Series y Sumatorias
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TRILCE
109
Captulo
SERIES Y SUMATORIAS10DEFINICIN :Una serie es la adicin indicada de los trminos de una sucesin numrica y al resultado de dicha adicin se le llama sumao valor de la serie.De acuerdo con esto, si la sucesin numrica es :
n321 a ; ...... ; a ; a ; a
Entonces la serie numrica asociada a ella ser :
n321 a......aaa
SERIE ARITMTICALa serie aritmtica es la adicin indicada de los trminos de una sucesin aritmtica de razn constante (Esta clase desucesiones son llamadas progresiones aritmticas (P. A.)).
n321 a......aaa
r r Razn AritmticaConstante
EJEMPLO
... El profesor de RM le pidi al nio TRILCITO que sumar las notas obtenidas por sus 20 compaeros en el ltimosimulacro. Las notas son :
16 ;19 ; 22 ; 25 ; ...... ; 73
El profesor se qued admirado de TRILCITO porque lo resolvi por 4 mtodos diferentes.Observa cmo lo hizo y cules son los mtodos que utiliz :1 mtodo
8989
89737067.....221916S
La suma de los trminosequidistantes siempre es la misma
-
Raz. Matemtico
110
Como son 20 trminos, se forman 10 parejas, luego :
890 10(89) S
2 mtodo : invierto el orden de los sumandos
898989....8989892S161922....677073S737067....221916S
20 trminos
Serie original :Serie escrita al revs :
2S = 20 (16 + 73)
S = (16 + 73)2
201 sumando ltimo sumando
Cantidad de sumandos
De esta ltima expresin podemos deducir que el valor de la serie se obtiene mediante la frmula :
n2
ttS n1
Donde : t : 1 sumando1 er
t : ltimo sumandon : cantidad de sumandos2
3 mtodoHall la ley de formacin de los trminos y los orden as :
13)20(373
13)3(32213)2(31913)1(316
=3[1+2+3+...+18+19+20]+260212121
S = 3(10 21)+260S = 890
)13(20)20...321(373...221916
S
En esta 1 columna estamos sumando 20 trminos; conocemos esta cantidad gracias a la sucesin que aparece en la 2 columna
Ntese en esta 2 columna la sucesin : 1 , 2 , 3 , ... , 20
-
TRILCE
111
4 mtodo :Utiliz el mtodo combinatorio
S = 16 + 19 + 22 + 25 + .... + 73
3 3 3
1 2 3 4 ....... 20
202
201 C3C16S
!2 !18
!2032016S
890S
Ejemplo (1)Calcular la suma de los 120 primeros trminos de :
1 ; 2 ; 3 ; - 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; - 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; - 12 ; ...
Resolucin :
Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglonumrico , si hay 30 filas :
477744774
47444
4
Resolucin :
Ejemplo (3)Calcular la suma de todos los nmeros desde la figura 1hasta la figura 20.
13
5(1)
59
7(2)
911
13(3)
Resolucin :
Ejemplo (4)Cuntas bolitas hay en la figura 20?
(1) (2) (3) (20)
?
Resolucin :
SERIE GEOMTRICAS
El Rey de la India, en reconocimiento al ingenioso inventorealizado por Lahur Sessa, decidi recompensarlo genero-samente, para lo cual mand llamarlo a Palacio.El invento constaba de un tablero cuadriculado con 8 casi-lleros por lado (es decir; 64 cuadrados en total) que simula-ba un campo de batalla y 32 piezas (16 para cada jugador)que representaban los ejrcitos en lucha. Pide lo que quie-ras dijo el rey. Solicito que se me de 1 grano de trigo porel primer casillero, y por cada casillero siguiente el doble dela cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros.El Rey orden que se cumpliese su deseo. Al cabo de untiempo los calculistas del palacio comunicaron al soberanoque tal pedido era imposible. Veamos :
-
Raz. Matemtico
112
6463
63
22....842S2
2....8421S
64......4321
1 = 18446744073709551615 granos de trigo2S 64
Casillero :
Una serie geomtrica es la adicin indicada de los trminosde una progresin geomtrica.
* Sea la serie geomtrica :
n321 a......aaa
r r Razn Geomtrica
* )r(aa1n
1n
*)1r(
)1r(aS
n1
n
En el problema de la historia de el Ajedrez, se tiene laserie.
S = 1 + 2 + 4 + 8 + .... + 2 63
2 2 2 Razn Geomtrica
En donde :
1a1
n = 64r = 2
)12()12(1S
64
12S 64
La Tierra, convertida de Norte a Sur en un sembrado conuna cosecha por ao, tardara 450 siglos en producir seme-jante cantidad de trigo.
Ejemplo (5)Calcular : S = 1 + 3 + 6 + 12 + ....... + 1536
Ejemplo (6)Cinzia le dijo a Alessandro : "Te voy ha pagar una suma dedinero por el primer cuadriltero que encuentres de la si-guiente figura, y luego te ir duplicadndo dicha suma porcada nuevo cuadriltero que encuentres".Si Cinzia le pag 12285 soles en total, cunto le pag por elcuarto cuadriltero?
Ejemplo (7)Calcular :
cifras 40
7......77...777777R
Resolucin :
SERIES NOTABLES
A) Suma de los "n" primeros nmeros naturalesconsecutivos.
2)1n(nn.......4321
Ejemplo (8)Calcular :
R = 0,1 + 0,2 + 0,3 + ...... + 1,1
Resolucin :
-
TRILCE
113
Ejemplo (9)Hallar la suma total de todos los elementos del siguientearreglo :
10987654
32
112
34
20
Resolucin :
Ejemplo (10)Hallar "x" en la siguiente serie :
2 + 4 + 6 + 8 + ..... + x = 930
Resolucin :
B) Suma de los "n" primeros nmeros imparesconsecutivos.
1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n - 1) = n2
Ejemplo (11)Se sabe que :A = 1 + 3 + 5 + ...... + 19B = 5 + 7 + 9 + 11 + ...... + 21Hallar : B - A
Resolucin :
Ejemplo (12)Calcular :
4 19,0...05,003,001,0)199...7531(S
Resolucin :
Ejemplo (13)Se tiene el siguiente arreglo numrico :
171513119753
1
Calcular la suma de todos los trminos que hay desde lafila 4 hasta la fila 10.
Resolucin :
C) Suma de cuadrados de los "n" primeros nmerosnaturales.
6)1n2)(1n(nn.....4321 22222
Ejemplo (14)Calcular :
S = 2 + 3 + 10 + 15 + ...... + 99
Resolucin :
-
Raz. Matemtico
114
Ejemplo (15)Calcular el valor de "a", en la siguiente serie :
1 + 4 + 9 + 16 + ...... + a = 2870
Resolucin :
Ejemplo (16)Hallar el nmero total de tringulos que hay desde lafigura 1 hasta la figura 20.
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
Resolucin :
D) Suma de los cubos de los "n" primeros nmerosnaturales.
2
2)1n(nn...4321 33333
Ejemplo (17)Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :
2
22
222
2222
22222
10
10......4
10......43
10......432
10......4321
......
.....................
Resolucin :
Ejemplo (18)Si :
sumandos "n"
222n
......131415S
Calcular :
154321 S......SSSSS
Resolucin :
Ejemplo (19)Calcular :
S = 1,001 + 1,008 + 1,027 + .... + 2
Resolucin :
E) Suma de los "n" primeros nmeros triangularesconsecutivos.
n.....43212
)1n(nn
4321104
32163
2132
111
-
TRILCE
115
6)2n)(1n(n
2)1n(n...1510631
Ejemplo (20)Calcular :
trminos20
....
15141
1
1091
1
651
1
321
1N
Resolucin :
Ejemplo (21)Cuntas bolitas habr hasta la figura 20?
(1) (2) (3) (4) (20)
?
Resolucin :
SERIES ESPECIALES
A) Suma de productos compuestos por factores consecutivos :
Ejemplo (1)
4039......433221S
Resolucin :
Ejemplo (2)
403938......543432321S
Resolucin :
Ejemplo (3)Hallar la suma total en el siguiente esquema si hay 20 filas.
408642:F
8642:F642:F
42:F
2:F
20
4
3
2
1
-
Raz. Matemtico
116
Resolucin :
B) Suma de productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.Ejemplo (1)
3230......534231S
Resolucin :
Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :
15...4321
15...4321
4321
4321432
434
15
15
14
...
...
...
...
... 1514
1414
Resolucin :C) Suma de productos compuestos por factores cuya suma es constante :
Ejemplo (1)
120......183192201S
Resolucin :
Ejemplo (2)Hallar la suma de todos los elementos en el siguiente esquema :
-
TRILCE
117
20...4321
4321
321
21
1
Resolucin :
D) Suma de las inversas de los productos compuestos por factores cuya diferencia es constante.
Ejemplo (1)
64611......
13101
1071
741S
Resolucin :
Ejemplo (2)
33601......
12181
9121
661S
Resolucin :
-
Raz. Matemtico
118
E) Serie geomtrica ilimitada :
r1
a.....aaaS 1321
Donde : 0 < |r| < 1
Ejemplo (1)
......6251
1251
251
51S
Resolucin :
Ejemplo (2)
......641
321
161
81
41
21S
Resolucin :
Ejemplo (3)
......74
73
72
71S 4321
Resolucin :
Ejemplo (4)
......716
79
74
71S 432
Resolucin :
-
TRILCE
119
SUMATORIAS
Consideremos la siguiente sucesin:
m3n2n1nn a ; ...... ; a ; a ; a ; a
La suma de los trminos de la sucesin ser :
m
niim3n2n1nn aa + ...... + a + a + a + a
La expresin en el lado derecho de la igualdad se denomina "sumatoria" y constituye una forma abreviada de escribir la seriedada.
Donde :
: Notacin Sigma. Nos representa la suma de los trminos de la forma " ia " de dicha sucesin.
ia : Nos representa uno de los trminos de la sucesin, dependiendo del valor de "i".
trmino generalaami
trmino3er.aa2ni
trmino2doaa1ni
trmino1er.aani
mi
2ni
1ni
ni
i : Toma valores desde n hasta m
Lmite superior de la sumatoriami
Lmite inferior de la sumatoriani
Ejemplo : Representar la siguiente sumatoria :1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 30
Resolucin :La sucesin est formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30.Sea i un entero cualquiera cuyo valor mnimo es 1 (lmite inferior) y el valor mximo es 30. (lmite superior).
Por lo tanto la sucesin indicada la podemos representar como :
30
1ii
Ejemplo : Calcular :
5
3i)1i2(
Resolucin :
Cada trmino a sumar es de la forma "2i - 1" donde "i" toma valores 3 ; 4 y 5
91525i
71424i
51323i
Para Trmino
5
3i21975)1i2(
-
Raz. Matemtico
120
Ejemplo : Expresar las sumatorias en forma desarrollada ycalcular el valor de la suma :
a)
40
1ii
b)
10
1i
2i
c)
20
1i)3i2(
d)
3
0i
2 )3i(i
Ejemplo : Expresar las sumas usando sumatorias :
a) 1 + 2 + 3 + 4 + ...... + 10 =
b) 17 + 18 + 19 + ..... + 40 =
c) 2222 20......321
d) 11 + 17 + 23 + ...... + 191 =
PROPIEDADES
1. Nmero de trminos de la sumatoria :
m
niia # trminos = m n + 1
Ejemplo : Halle el nmero de trminos de la siguientesumatoria :
80
23iia # trminos = 80 23 + 1 = 58
2. Si k es un valor constante :
m
nii
m
nii akak
Ejemplo :
7
4i
7
4ii2i2
3. ai ; bi son trminos que dependen de la variable"i"
m
nii
m
nii
m
nii ba)bai(
Ejemplo :
4
1i
24
1i
4
1i
2 ii3)ii3(
4. Sumatoria de una constante. k = cte.
k (#trminos) = k (m n + 1)
m
nik
Ejemplo :
50)148(10108
4i
5. Desdoblando la sumatoria :i = n ; n + 1 ; n + 2 ; n + 3 ; ....... ; n + p ; n + p + 1 ; ......m
m
1pni
pn
ni
m
niaiaiai
-
TRILCE
121
En cada caso resolver las siguientes sumatorias :
a)
10
1i)1i5(
b)
10
1i
2 )20i(
c)
100
0i
22
100
0i
4100
0i
4
)1i)(1i(
)2i2()1i(
d)
26
7i 101
40
9i
40
1iii
e)
20
2i)3i4(
f)
80
5i
480
2i
4 i)1i(
g)
30
2i
23 )1i3i3i(
-
Raz. Matemtico
122
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. La suma de 20 nmeros enteros consecutivos es 430.Cul es la suma de los 20 siguientes?
a) 830 b) 720 c) 630d) 820 e) 900
02. Al sumar 61 nmeros naturales consecutivos elresultado da 2745.Hallar el mayor de los sumandos.
a) 75 b) 74 c) 73d) 76 e) 77
03. La suma de todos los nmeros naturales desde "n"hasta "5n" es 1230.Calcular el valor de "n" y dar como respuesta el productode sus cifras.
a) 0 b) 24 c) 12d) 32 e) 40
04. Si :
630m3...963
990n...321
Hallar : nm
a) 10 b) 12 c) 7d) 8 e) 6
05. Calcular el valor de :J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + ...... + 7
a) 2002 b) 2004 c) 2006d) 1200 e) 802
06. Determinar el valor de la siguiente suma :S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ...... + 18,81
a) 90,28 b) 92,85 c) 98,25d) 92,28 e) 93,23
07. Calcular el valor de los 100 primeros trminos de :1 , 2 , 3 , -4 , 5 , 6 , 7 , - 8 , 9 , 10 , 11 , - 12
a) 2640 b) 2650 c) 2660d) 2670 e) 2680
08. Disponga los nmeros naturales en forma adjunta y deenseguida el ltimo trmino de la fila nmero 30.
1514131211
10987
654
32
1
a) 465 b) 850 c) 890d) 910 e) 999
09. Hallar la suma total si hay 20 filas :
55555
4444333
22
1
a) 2870 b) 2780 c) 2875d) 2872 e) 2880
10. Se arreglan nmeros en forma de "diamante", comose muestra en el diagrama
1221
3332214444333221
333221221
1
Cul es la suma de los nmeros en el ensimodiamante?
a) 3
)1n2(n 2 b) 3
)1n(n 2
c) 3
)2n(n 2 d) 2
)3n(n 2
e) 3
)2n(n 2
11. Dos hermanas : Patty y Paola iniciaron ante laproximidad del verano un rgimen de dieta. Patty lolleva a cabo comiendo 13 duraznos cada da, mientrasque Paola la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primerda, 2 en el segundo, 3 en el tercero y as sucesivamente,la dieta termin cuando ambas haban comido lamisma cantidad de duraznos. Si la dieta se inici el 15de noviembre.Qu da termin?
a) 10 de diciembre.b) 11 de diciembre.c) 8 de diciembre.d) 9 de diciembre.e) 12 de diciembre.
12. En una reunin todos los asistentes se saludaron conun apretn de manos, si en total hubo 28 apretones demanos.Cuntos asistieron a la reunin?
-
TRILCE
123
a) 8 b) 6 c) 9d) 7 e) 5
13. Por motivos de una fiesta infantil se repartieron un totalde 1600 juguetes entre 25 nios, dndole a cada uno2 juguetes ms que al anterior.Cuntos juguetes se les dio a los 15 primeros?
a) 800 b) 820 c) 290d) 810 e) 560
14. Un abuelo tiene 20 nietos y reparti cierta cantidad decaramelos de la siguiente forma: El primero le dio 10,al segundo 12, tercero 14 y as sucesivamente.Cuntas bolsas de caramelo ha tenido que comprar elabuelo, si cada bolsa trae 20 caramelos?
a) 30 b) 29 c) 31d) 28 e) 32
15. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras delresultado)
2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1295
a) 14 b) 15 c) 20d) 16 e) 17
16. Un profesor se dio cuenta que a medida que transcurrael ciclo, l gastaba mayor nmero de tizas por semana.As la primera semana gast 11 tizas, la segunda 13tizas, la tercera 15 tizas y as sucesivamente. Si el ciclodur 38 semanas; y cada caja de tizas traa 15 tizas.Cuntas cajas abri el profesor durante el ciclo paracompletar su dictado?
a) 121 b) 120 c) 122d) 119 e) 123
17. Dos hermanas : Karen y Melina, compran cada una elmismo lbum de figuritas. Karen pega en el suyo 1figurita el primer da, 2 en el segundo da, 3 en el terceroy as sucesivamente y Melina pega 10 figuritas cadada. Si ambas compraron su lbum el mismo da yMelina lo llena el da 16.Cuntas figuritas le faltarn a Karen ese da paracompletar el suyo?
a) 18 b) 24 c) 20d) 36 e) 56
18. Calcular :
11 1...3,02,01,0)19...7531(
a) 10 b) 10 c) 100
d) 1 e) 1000
19. Hallar el valor de : 3 x ; si :
1 + 3 + 5 + ..... + (2x + 5) = 900
a) 2 b) 4 c) 6d) 3 e) 5
20. Cuntas bolitas blancas hay en la figura 20?
(1) (2) (3)
a) 211 b) 210 c) 209d) 214 e) 221
21. Hallar las sumas de las reas de los infinitos crculos asformados, tomando como dimetro el radio de lacircunferencia anterior.
12
a) 144 b) 160 c) 180d) 192 e) 200
22. Una persona debe recorrer 3275 m y los hace de lasiguiente manera, en el primer minuto recorre "a"metros, en el segundo minuto recorre "2a" metros yretrocede 10m, en el tercer minuto recorre "3a"m yretrocede 10m, en el cuarto minuto recorre "4a"m, yretrocede 10m, y as sucesivamente, llegando a la metaen 21 minutos exactamente.Hallar "2a".
a)15 b) 20 c) 24d) 30 e) 32
23. Hallar la suma total en el siguiente arreglo triangular :
86549
6327
415
23
1 F1F2F3F4F5
F20
a) 15486 b) 15480 c) 15470d) 15342 e) 15398
24. Cuntos hexgonos regulares se formarn al unir loscentros de las circunferencias, tal que en el interior decada hexgono haya solamente una circunferencia?
-
Raz. Matemtico
124
30 circunferencias
a) 370 b) 380 c) 378d) 365 e) 392
25. Luis todos los das visita a uno de sus familiares enorden ms cercano. Si la casa del ms cercano est a10m de la casa de Luis y a partir de all todos seencuentran a 10m de distancia.Cunto habr caminado Luis en total despus de habervisitado al ltimo de sus familiares, sabiendo que luegode visitar a un familiar siempre retorna a su casa y quesus familiares son 90?
a) 920 b) 915 c) 850d) 900 e) 870
26. Gilder y Lincoln leen una novela de 300 pginas, Gilderlee 100 pginas diarias y Lincoln 10 pginas el primerda, 20 pginas el segundo da, 30 el tercero y assucesivamente.Despus de haber ledo cuntas pginas, coincidirn?
a) 1950 b) 2000 c) 1900d) 1850 e) 2100
27. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellostiene 16m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riegoel hortelano lleva los cubos de agua desde el pozosituado a 14m del extremo de la huerta y da la vuelta elcaballn por el surco, el agua que carga cada vez lesirve para pegar un solo caballn.Cul es la longitud de camino que recorre el hortelanopara regar toda la huerta?Nota :El camino comienza y termina junto al pozo.
a) 4 225 m b) 4 325 mc) 4 125 m d) 4 025 me) 4 200 m
28. Calcular el valor de "S". Si :
trminos40
...131111997755331S
a) - 3300 b) - 3280 c) 3080d) - 3380 e) - 3240
29. Una pelota de Ping pong es dejada caer de 24m dealtura, y cada vez que rebota se eleva una altura igual ala mitad de la altura anterior.Cuntos metros recorri la pelota hasta que quedtericamente esttica?
a) 48 m b) 96 m c) 72 md) 24 m e) 108 m
30. Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :
3725232119
131197
975
53
1
a) 1 065 b) 1 045 c) 1 035d) 1 095 e) 1 075
31. Calcular : A + B
11B...531
A...115113111
trminosx
trminosx
a) 156 b) 150 c) 155d) 160 e) 152
32. Sabiendo que :
n....54321Sn
Hallar :
121617181920 SS...SSSSSS
a) 1 640 b) 121 c) 110d) 90 e) 131
33. Hallar la suma total del siguiente arreglo numrico :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2 2
2 + 3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2 2
3 + 4 + 5 + ........... + 202 2 2 2
4 + 5 + ........... + 202 2 2
202
a) 44100 b) 42400 c) 44400d) 4300 e) 4540
34. Hallar la suma de :
sumandos "n"
).........7x()5x()3x()1x(R
Para : x = (n - 2)
-
TRILCE
125
a) n(2n 1) b) 2n(n 1)c) 2n(2n 2) d) n(2n 3)
e) nn2
35. Un micro parte con 10 pasajeros, en el primer paraderosuben 4 y bajan 2, en el siguiente suben 8 y bajan 3, enel siguiente suben 12 y bajan 4 y as sucesivamente.Cuntos bajaron en el paradero central de su recorrido,si finaliza con 561 a bordo?
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
36. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguientearreglo numrico.
1 F13 5 F2
7 9 11 F313 15 17 19 F4
a) 3225 b) 2525 c) 3025
d) 1515 e) 4225
37. Hallar la suma total del siguiente arreglo, si tiene 10filas :
365433323
31333
3
a) 723 b) 726 c) 710d) 720 e) 724
38. El primer da de trabajo gan S/. 3; el segundo da ganS/. 7; el tercer da gan S/. 13; el cuarto da gan S/. 21y as sucesivamente. Si trabaj 20 das, cunto gan elltimo da?
a) 441 b) 421 c) 560d) 380 e) 420
39. Calcular la suma de los infinitos trminos dados :
...72
71
72
71
72
71
65432
a) 161
b) 169
c) 167
d) 163
e) 165
40. Si x > 3; calcular el valor de la siguiente serie :
.....x1
x1
x1R 32
a) 4x
x2
b) 7x
x2
c) 1x
x2
d) xx
x2
e) 3x
x2
41. Calcular la suma de todos los trminos del siguientearreglo :
11111
27272727282828
2929
30
a) 4 960 b) 4 980 c) 4 900d) 4 700 e) 4 500
42. Calcular el valor de "E".Si :
]n.....321[n11....
411
311
211
E2222
a) n1
b) 2n1
c) n2
d) n3
e) 2n2
43. La suma de la ltima fila del arreglo :
7654543
321
Es igual a 2380, cuntas filas tiene el arreglo?
a) 35 b) 38 c) 39d) 40 e) 41
44. Hallar el valor de la siguiente serie :
1410...736251E
a) 610 b) 609 c) 605d) 606 e) 607
45.Calcular :
....21635
3613
652S
a) 3,8 b) 4,5 c) 3,5d) 2,5 e) 2,6
-
Raz. Matemtico
126
46. Calcular R en :
204321 10......10101010R
a) 9
)110(10 2 b)
9)110(10 20
c) 9
)110(10 21 d)
9)310(10 20
e) 3
)110(10 20
47. Calcular el valor de :
...15123
11292
1961
1M
3633101
a) 271665
b) 217665
c) 241665
d) 257665
e) 237665
48. Hallar el rea del tringulo, si todos los cortes sonhomogneos.
A
B
C1 2 3 4 17 18 19 20
2cm2
a) 2cm172 b) 2cm192 c) 2cm190
d) 2cm180 e) 2cm380
49. Calcular : S
119...173182191S
a) 1 290 b) 1 330 c) 1 020d) 1 390 e) 1 225
50. Anita una esforzada atleta realiza su entrenamiento elcual se encuentra en el punto A y se dirige hacia el
punto B, recorriendo 54
de la distancia que la separa
de B y marca ah el punto C. Luego se dirige hacia A,
recorriendo 54
de la distancia que la separa de A, y
marca el punto D. Despus se dirige hacia C recorriendo
54
de la distancia que la separa de C y marca el punto
E y as sucesivamente. A qu distancia de B se
encontrar al cabo de "x" aos?
V=1m/s
360 mA
B
a) 250m b) 140m c) 240md) 160m e) 200m
51. Reducir :
100001
1.....251
1161
191
141
1N
a) 100101
b) 100202
c) 200101
d) 2 e) 20099
52. Un atleta se dispone de entrenar en el circuito mostradoempleando 10 segundos para ir de un crculo a otro(en sentido horario), pero cada vez que completa mediavuelta descansa un tiempo mayor en 10 segundos alque viene empleando para ir de un crculo a otro. Luegocontina y para ir de un crculo a otro emplea el tiempoque descansa. Cunto tiempo habr transcurrido hastaterminar un descanso que dur 410 segundos?
a) 41400 seg b) 41000 segc) 42600 seg d) 43500 sege) 461000 seg
53. Calcular la suma de todos los trminos unidos por lalnea demarcada hasta la fila 20.
1615201561 6 Fila15101051 5 Fila
146414 Fila1331 3 Fila
121 2Fila1 1 Fila
a) 1540 b) 1620 c) 1520d) 1740 e) 1850
54. Calcular : S
...34
33
32
31S 432
-
TRILCE
127
a) 814
b) 163
c) 43
d) 34
e) 94
55. Si :
2662f242f
22f2f
)4(
)3(
)2(
)1(
Calcular :
)20()3()2()1( f....fff
a) 1221 b) 2221 c) 3221 d) 4221
e) 6221
56. Dados :
2120...131212111110S1
2120...433221S2
Hallar : 12 SS
a) 7584
b) 7542
c) 2542
d) 8584
e) 8483
57. Calcular el valor de la siguiente serie :
trminos30
.....837261S
a) 13780 b) 11780 c) 12780d) 14790 e) 15780
58. Hallar "S"
....1280
7232036
8018
209S
a) 0,1 b) 0,7 c) 0,6d) 1,9 e) 0,9
59. En el siguiente arreglo tringulo calcular la suma de los
trminos de 20F
20Fila
4 Fila1008164493 Fila362516 2Fila941 Fila1
a) 804470 b) 804670 c) 846470d) 805070 e) 804600
60. Calcular "S"
1051001...
20151
15101
1051S
a) 10021
b) 1058
c) 1057
d) 214
e) 1054
-
Raz. Matemtico
128
Claves Claves
a
a
a
d
a
b
b
a
a
a
a
a
d
b
b
c
b
b
d
a
d
d
a
c
d
c
e
d
c
b
e
c
a
b
c
c
a
b
d
d
a
b
d
c
c
b
e
c
b
e
c
a
a
c
b
a
b
e
b
e
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.