Séries de temporais – Modelos de suavização … · Séries temporais – Modelos de...

Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção

Análise de séries de tempo:

modelos de suavização exponencial

Profa. Dra. Liane Werner

Séries temporais –

Modelos de suavização exponencial

� A maioria dos métodos de previsão se baseiam na idéia de que observações passadas contêm informações sobre o padrão de comportamento da série temporal.

� O propósito dos métodos é distinguir o padrão de qualquer ruído que possa estar contido nas

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qualquer ruído que possa estar contido nas observações.

� Os modelos de suavização assumem que os valores extremos da série representam a aleatoriedade e,

� através da suavização desses extremos pode-se identificar o padrão básico, para então usá-lo e prever valores futuros da série.



Para realizar a modelagem utilizando os modelos de suavização exponencial é indicado proceder da seguinte forma:

� Coletar os dados e separar a série em duas

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partes, uma para modelagem outra para testagem.

� Escolha o método de suavização apropriado, verifique se existe tendência, sazonalidade e a forma da sazonalidade.

� Construa um gráfico para facilitar.

Séries de temporais –


Série com tendência e sazonalidade aditivaSérie com tendência e sazonalidade aditiva

Holt-Winter aditivoSuavaização exponencial simples

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Série com tendência e sazonalidade aditivaSérie com tendência e sazonalidade aditivaSérie sem tendênciaSérie sem tendência

Série com tendênciaSérie com tendência Série com tendência e sazonalidade multiplicaticaSérie com tendência e sazonalidade multiplicatica

Holt-Winter multiplicativoLinear de Holt



� Estime os parâmetros para o modelo escolhido.

� Para o modelo estimado utilize os dados de testagem para obter as medidas de

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testagem para obter as medidas de adequação MSE, MAPE e outras...

� Obtem-se as previsões se o modelo for adequado.


Modelos sem tendência

� Para séries sem tendência, os dados são representados pela média da série:

Yt = µ + εt t = 1,2,...,T

onde: µ é um nível médio constante.

� É necessário estimar os parâmetros do modelo, neste

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� É necessário estimar os parâmetros do modelo, neste caso µ.

� Pode-se estimar µ utilizando médias móveis (MM)

∑+−=

=t

kti

tt Yk

)k(MM1

1

onde: MMt(k) é a média móvel para o período t com k observações.

� O termo média móvel é usado para descrever o procedimento que para cada nova observação disponível,

� uma nova média pode ser calculada trocando a observação mais antiga e incluindo a mais recente.



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recente. � Esta média será a previsão do próximo período.� A previsão de todos os valores futuros é dada

pela última média móvel calculada:

0>∀== h)k(MM)h(Y ˆttµ

onde: é a previsão no tempo t, para h passos a frente.)h(Yt

Mês t consumo mm(3) mm(6)jan 0 13251fev 1 11671mar 2 13643 12855,0



Conjunto de dados para o consumo de energia e médias móveis para k=3 e k=6

mar 2 13643 12855,0abr 3 15109 13474,3mai 4 13402 14051,3jun 5 12295 13602,0 13228,5jul 6 13056 12917,7 13196,0ago 7 12376 12575,7 13313,5set 8 14146 13192,7 13397,3out 9 12993 13171,7 13044,7nov 10 14206 13781,7 13178,7dez 11 13703 13634,0 13413,3

8



13000

14000

15000

16000consumo

9

10000

11000

12000

13000

jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez

mês

consumo

consumo mm(3) mm(6)



� Uma extensão óbvia para o método de Médias Móveis é a previsão utilizando uma ponderação no seu cálculo,

� isto é atribuindo pesos para cada valor observado nasérie.Contudo, para previsão, a observação mais recente

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� Contudo, para previsão, a observação mais recentetende a prover uma melhor informação para o futuro,

� assim se torna desejável que, quanto mais antigo for ovalor, menor seja seu peso.

� Mas isto deve ser de forma gradativa, quanto mais nopassado o valor estiver menor será sua contribuição.

� Por isto pode-se estimar µ através da SuavizaçãoExponencial Simples



� Assim o método de Suavização Exponencial Simples(SES) as observações mais recentes na sérietemporal recebem maior importância para aestruturação do modelo.

( ) ( ) ˆ1ˆˆYˆ11111t YYYYY ttttt −−−−− −+=−+== αααµ

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( ) ( )

:estimadoserpodeˆ

1Yˆ

1

11111t

Y

YYYYY ttttt −−−−− −+=−+== αααµ

�usando a observação mais recente� avaliando subjetivamente



Consumo de energia elétrica e os valores de suavização para α = 0,9; 0,5 e 0,1.

Mês t consumo α = 0,9 α = 0,5 α = 0,1jan 0 13251fev 1 11671 13251 13251 13251mar 2 13643 11829 12461 13093abr 3 15109 13462 13052 13148

1214905)13091)(1,0()14206)(9,0(Y)-(1YY 101011 =+=+= αα

abr 3 15109 13462 13052 13148mai 4 13402 14944 14081 13344jun 5 12295 13556 13741 13350jul 6 13056 12421 13018 13244ago 7 12376 12993 13037 13226set 8 14146 12438 12707 13141out 9 12993 13975 13426 13241nov 10 14206 13091 13210 13216dez 11 13703 14095 13708 13315



� A escolha de α tem um impacto considerável sobre a previsão,

� quanto menor for o valor de α mais estável serão as previsões,

13000

14000

15000

16000

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estável serão as previsões,

� uma vez que a utilização de valores baixos de α

� implica que pesos maiores serão dados às observações passadas.

10000

11000

12000

jan mar

mai jul set

nov

jan mar

mai jul set

nov

consumo SES = 0,9 SES = 0,5 SES = 0,1


Modelos sem tendência� O valor de α é arbitrário. � A determinação do melhor valor de α pode ser feita

iterativamente, utilizando alguma forma de comparação,

� a mais usada é a média dos quadrados dos erros (MSE – mean square error).

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(MSE – mean square error). � O procedimentos consiste em:

� Seleciona-se aleatoriamente um valor inicial de α, a partir do qual previsões são geradas.

� Compara-se os valores previstos com os observados, e � calcula-se a média dos quadrados das diferenças entre

os mesmos (observado e previsto), � o valor de α que minimiza essa média é utilizado no

modelo.


Modelos não sazonais com tendência

� Este tipo de modelo pode ser expresso por:

Yt = µ + Tt + εt t = 1,2,...,Tonde: µ é um nível médio constante;

Tt é a componente de Tendência no período t.

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Tt é a componente de Tendência no período t.

� Este modelo pode ser estimado por regressão linear simples ou então pelo método de suavização dupla, o modelo de Holt:

tttt YYY εβα ++= −1



� Em 1957, Holt estendeu o método SES visando obterprevisões para dados com Tendência, surgindo omodelo de suavização linear de Holt.

� Isto por que quando se aplica o método de SES a

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� Isto por que quando se aplica o método de SES auma série que apresenta tendência linear positiva ounegativa,

� esta fornece previsões que super ou subestimamcontinuamente os valores reais da série.



� O modelo de alisamento linear de Holt é uma extensão do SES,

� a diferença é que além utilizar uma constante (α) para suavizar o nível médio,

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para suavizar o nível médio,

� ele utiliza uma outra constante (β) de suavização para modelar a tendência da série.

� As constantes utilizadas são, respectivamente, αe β.



� O nível médio e a inclinação da série são estimados, respectivamente por Lt e Tt conforme as equações:

Lt = α Yt + (1 - α) (Lt-1+Tt-1) 0 < α < 1

T = β (L - L ) + (1 - β) T 0 < β < 1

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Tt = β (Lt - Lt-1) + (1 - β) Tt-1 0 < β < 1

� e as previsões são dadas por:

0Yt >∀+= hT.hL)h(ˆ tt


Modelos não sazonais com tendência� A fim de iniciar o processo de suavização

exponencial linear de Holt é necessário obter uma estimativa para o primeiro valor suavizado L1 e também para a tendência T1. � Um procedimento simples é igualar L1 a Y1 e para T1 é

igualar a diferença entre Y e Y .

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igualar a diferença entre Y2 e Y1. � Outra forma de cálculo é obter a regressão linear

simples dos dados da série temporal, onde a inclinação é uma estimativa para o valor de T1 e o intercepto é uma estimativa para L1.

� Além disto é necessário verificar qual os valores de αe β iniciais. O procedimento é similar a SES, buscar pela menor média de quadrado dos erros, variando os dois parâmetros (α,β).


Modelos não sazonais com tendênciaVendas e a suavização exponencial pelo modelo linear de Holt

Nesta tabela também encontra-se a aplicação do método usando como

tempo vendas Lt Tt previsão (h=1)

1 54 54 9 -

2 63 63,00 9,00 63,00

3 73 72,50 9,04 72,00

4 49 65,27 7,90 81,54

5 47 60,08 6,98 73,16

6 86 76,53 7,64 67,06

7 53 68,59 6,55 84,17

8 52 63,57 5,74 75,14

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método usando como constantes de suavização α = 0,5 e β = 0,07.

Para os valores de L1

e T1 utilizou-se a primeira alternativa de onde: L1=54 e T1=(63-54)=9.

8 52 63,57 5,74 75,14

9 74 71,66 5,91 69,31

10 93 85,28 6,45 77,56

11 76 83,86 5,90 91,73

12 83 86,38 5,66 89,76

13 120 106,02 6,64 92,04

14 106 109,33 6,41 112,66

15 121 118,37 6,59 115,73

16 132 128,48 6,84 124,96

17 144 139,66 7,14 135,31

18 140 143,40 6,90 146,80

19 118 134,15 5,77 150,30

20 142 140,96 5,84 139,92

21 138 142,40 5,54 146,81

22 158 152,97 5,89 147,94

23 154 156,43 5,72 158,86

24 183 172,57 6,45 162,15

� Os cálculos para o período t = 2 e t = 3 são apresentados a seguir:

L2 = 0,5Y2+(1–0,5)(L1+T1) = 0,5(63)+0,5(54+9) = 63

T2 = 0,07(L2 - L1)+(1-0,07)T1 = 0,07(63 -54)+(0,93)9 = 9

729.163.)1(Y =+=+= ThL

Séries temporais –Modelos não sazonais com tendência

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729.163.)1(Y 222 =+=+= ThL

L3 = 0,5Y3+(1 – 0,5)(L2 + T2) = 0,5(73)+0,5(63 + 9) = 72,5T3 = 0,07(L3 – L2)+(1 - 0,07)T2= 0,07(72,5 - 63)+(0,93)9= 9,04

54,8104,9.15,72.)1(Y 333 =+=+= ThL



As previsões apresentadas se referem as previsões obtidas a um passo a frente (h=1) no período em que o modelo foi estabelecido (de t =1 até t = 24). 100

150

200

250

22

t = 24).

Contudo o interesse é buscar previsões para o futuro, as previsões para o período de t = 25 até t = 30, por exemplo, e precisam ser calculadas com base no período t = 24, isto é:

242424 .)(ˆ ThLhY +=

0

50

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930

vendas previsão (h=1)



� Com os dados do número de intervenções que certo processo passa durante a semana,

� encontre o modelo de suavização exponencial linear de Holt.

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exponencial linear de Holt.

� Os dados de 32 semanas encontram-se no arquivo TEQ7_intervencoes.xls

� Use o NCSS ou o SPSS


Modelos sazonais com tendência

� Este tipo de modelo pode ser expresso por:Yt = µ + Tt + St+ εt t = 1,2,...,T

quando a componente sazonal tem comportamento aditivo

Yt = (µ + Tt ).St+ εt t = 1,2,...,Tquando a componente sazonal tem comportamento multiplicativo

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quando a componente sazonal tem comportamento multiplicativo

� Quando a série apresenta Sazonalidade o modelo de Holt foi estendido por Winters em 1960 para capturar este efeito.

� O modelo de Holt-Winters é baseado em três equações de suavização – uma para o nível, uma para a tendência, e uma para a sazonalidade,

� contudo a modelagem da sazonalidade pode ser aditiva ou multiplicativa.



� No modelo sazonal aditivo o nível médio, a inclinação e a sazonalidade da série são estimados, respectivamente por Lt, Tt e St, conforme o modelo expresso pelas seguintes equações:

Lt = ( )( )111 −−− +−+− ttstt TL)SY( αα 0 < α < 1

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e as previsões são dadas por:

onde: γ é o coeficiente de suavização da componente sazonal e s é uma estação completa de sazonalidade, por exemplo, ao trabalhar-se com dados mensais tem-se s = 12, se os dados são trimestrais tem-se s = 4.

s ..., 1,2, S .T L)(Y s-t ttt =++= + hhh h

Lt = ( )( )111 −−− +−+− ttstt TL)SY( αα 0 < α < 1

Tt = β ( Lt - Lt-1) + (1 - β) Tt-1 0 < β < 1

St = ( ) ( ) sttt SLY −−+− γγ 1 0 < γ <1



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� Uma empresa produtora de automóveis precisa prever o número de unidades a ser fabricadas.

� O banco de dados da empresa tem registro

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O banco de dados da empresa tem registro do número de unidades produzidas desde agosto de 2003.

� Modele os dados e preveja a quantidade a ser produzida para out/11 a dez/11.

� Os dados encontram-se no arquivo TEQ7_venda_carros.xls



Vendas de carros e as previsões

pelo modelo Holt-Winters aditivo

15

20

25

30

vendas, em

mil unidades

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Um algoritmo gerou os valores de α = 0,17 e β = γ = 0,01 que minimizam o valor do mse, critério utilizado para escolher os valores das constantes de suavização.

0

5

10

15

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99

período

vendas, em

mil unidades

Vendas Previsão


Modelos sazonais com tendênciaDa mesma foram que para o modelo sazonal aditivo,

no modelo sazonal multiplicativo o nível médio, a inclinação e a sazonalidade da série são estimados, respectivamente por Lt, Tt e St conforme o modelo expresso pelas seguintes equações:

( )( )Y

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e as previsões são dadas por:

onde: γ é o coeficiente de suavização da componente sazonal e s é uma estação completa de sazonalidade.

s ..., 1,2, h S .Th LY hs-t ttt =+= +)()h(ˆ

Lt = ( )( )111 −−

−

+−+ tt

st

t TLS

Yαα 0 < α < 1

Tt = β ( Lt - Lt-1) + (1 - β) Tt-1 0 < β < 1

St = ( ) st

t

t SL

Y−−+ γγ 1 0 < γ <1



YtYtQuando a sazonalidade é multiplicativa,a amplitude do padrão sazonal aumenta com o aumento da série.

30

t

1 estação

t

1 estação



� Os dados de exportação foram registrados e encontram-se no arquivo TEQ7_exportacoes.xls

� Modele os dados e preveja o valor das

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� Modele os dados e preveja o valor das exportações para 6 passos a frente.



� É importante ressaltar que na aplicação dos modelos de suavização exponencial

� reserva-se uma parte final dos dados para fazer a verificação do modelo encontrado.

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� A verificação consiste em averiguar se o modelo produz boas previsões,

� esta averiguação se dá comparando as previsões obtidas pelo modelo para os dados da parte final com os valores reais observados.

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