Séries Chro Insea

8/18/2019 Séries Chro Insea

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Séries chronologiques

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Rappels.

Processus stochastique : suite de variables aléatoires indicéespar le temps.

⇒ temps discret : X 1, X 2, . . . , X t, . . . avec t ∈ Z.⇒ temps continu : X t, t ≥ 0, t ∈ Θ où Θ est un intervalle de R.

Série temporelle ou chronologique ou chronique : réalisationd’un processus stochastique.

♠ Dans ce cours, on se limitera qu’au cas des processusstochastiques à temps discret.



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Moments du processus stochastique.

Souvent, on s’intéresse aux deux premiers moments de la loi duprocessus

E (X 1), E (X 2), . . . , E (X t), . . . .V (X 1), V (X 2), . . . , V (X t), . . . .Cov(X 1, X 2), Cov(X 1, X 3), . . . , Cov(X i, X j), . . . avec i = j.



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Stationnarité.

Une des grandes questions dans l’étude de séries temporelles est desavoir si celles-ci suivent un processus stationnaire.Cette stationnarité joue un rôle majeur en séries temporelles car elleremplace de manière naturelle l’hypothèse d’observations

indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) en statistiquestandard. Garantissant que l’accroissement de la taille del’échantillon s’accompagne d’une augmentation du même ordre del’information, la stationnarité est à la base d’une théorieasymptotique générale. On considère la notion de stationnarité

forte ou stricte et celle de la stationnarité faible ou au second ordre.



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Stationnarité stricte.

Parfois, on étudie la loi des échantillons

(X t1 , X t2 , . . . , X tn).

Lorsque les lois de (X t1 , X t2 , . . . , X tn) ne sont pas affectées partranslation dans le temps, on dit que le processus X est strictementstationnaire :

ℓ(X t1 , X t2 , . . . , X tn) = ℓ(X t1+k, X t2+k, . . . , X tn+k).

Lorsque X est strictement stationnaire, toutes les observations ontla même loi :

ℓ(X t) = ℓ(X t+k).



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Stationnarité faible.

On peut relâcher cette hypothèse et se concentrer sur les deux

premiers moments. Dans ce cas, on parle de processus (faiblement)stationnaire ou stationnaire au second ordre.



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Stationnarité faible.

Le processus X = (X t)t∈Z est stationnaire si

1) l’espérance est stable au cours du temps :E (X 1) = E (X 2) = · · · = E (X t) = m.

2) la variance est stable au cours du temps :

V (X 1) = V (X 2) = · · · = V (X t) = σ2.3) les covariances sont stables au cours du temps :

Cov(X 1, X 1+k) = Cov(X 2, X 2+k) =

· · ·= Cov(X t−k, X t)

= · · · = Cov(X t, X t+k) = · · · = γ k.

Les covariances ne dépendent que du délai k entre les variablesconsidérées, et pas de la date t à laquelle elles sont évaluées.



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Remarque.

Cette définition de la stationnarité faible est moins exigeante que lastationnarité stricte car elle n’impose de contraintes qu’aux deuxpremiers moments des variables (X t), mais contrairement à la

stationnarité stricte, elle requiert l’existence de ceux-ci.N.B.Stricte stationnarité+E (X 2t ) < ∞=⇒ stationnarité faible. Maisl’inverse n’est pas vraie. Il faut que E (X 2t ) existe. Maisstationnarité faible+gaussien =⇒ stricte stationnarité .



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Autocorrélations - Autocorrélogramme.

Pour un processus X stationnaire

ρk := ρ(k) = Cov(X t, X t−k)

V (X t)V (X t−k)=

γ k

γ 0

= γ k

σ

2.

Les autocorrélations ne dépendent que du délai k entre les variablesconsidérées, et pas de la date t à laquelle elles sont évaluées.On représente les autocorrélations par un autocorrélogramme.



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Exemple d’autocorrélogramme.

-1

-0,5

0

0,5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40retard

ACF pour Trafic

+- 1,96/T0,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

retard

PACF pour Trafic

+- 1,96/T0,5



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Remarque.

1 ρ0 := ρ(0) = 12 −1 ≤ ρh := ρ(h) ≤ 1,∀h.3 Lorsque X est stationnaire, on a

Cov(X t, X

t−

h) = Cov(X

t+h, X

t) = Cov(X

t, X

t+h)

et γ h := γ (h) = γ −h := γ (−h).Par conséquent ρh := ρ(h) = ρ−h := ρ(−h).

La fonction γ (·) (resp. ρ(·)) est appelée fonction d’autocovariance(resp. fonction d’autocorrélation) de X . En particulierγ X (0) = Var (X t).



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Estimation de m, σ2, ρ1, ρ2. . . .

Pour un processus stationnaire, m, σ2, ρ1, ρ2, . . . peuvent être

estimés de manière convergente :

m̂ = X = 1

T

T t=1

X t → m, T → ∞.

σ̂2 = 1

T

T t=1

(X t −X )2 → σ2, T → ∞.

ρ̂k =

1T −k

T t=k+1(X t −X )(X t−k −X )

σ̂2 → ρk, T → ∞.Ces quantités doivent être interprétées avec prudence lorsque X n’est pas stationnaire.



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Autre estimation des autocovariances γ k.

Pour estimer γ (k), on utilise souvent l’autocovariance empirique

définie par

γ̂ k := γ̂ (k) = 1

T

T −kt=1

(X t −X )(X t+k −X ) = γ̂ −k := γ̂ (−k),

pour 0 ≤ k < T .De manière analogue, on définit la fonction d’autocorrélationempirique par ρ̂(k) = γ̂ (k)/γ̂ (0) pour |k| < T .Ces estimateurs sont biaisés mais asymptotiquement sans biais. Il

existe d’autres estimateurs similaires de la fonction d’autocovariancepossédant les mêmes propriétés asymptotiques ( par exemple enremplaçant 1/T par 1/(T − k)), comme le précédent.



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Formules de Bartlett.

Pour la sélection de modèles, par exemple, il est souvent importantde déterminer si les les autocovariance empiriques sontsignificativement différentes de zéro au-delà d’un certain rang. Pourcela il est nécessaire d’estimer la structure de covariance de cesautocovariance empiriques. On a le résultat suivant (voir parexemple Brockwell et Davis (1991), Proposition 7.3.1, p. 219):



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Formules de Bartlett.

Théorème :

Si X est un processus linéaire, c’est-à-dire s’il satisfait

X t =∞

ℓ=−∞

Ψℓǫt−ℓ

où (ǫt) est une suite de variables i.i.d., telles que

E (ǫt) = 0, E (ǫ2t ) = σ

2, E (ǫ4t ) = ησ4 < ∞, η := E (ǫ

4t )

[E (ǫ2t )]2 ∀ t ∈ Z,

et où ∞ℓ=−∞ |Ψℓ| < ∞, on a les formules de Bartlett :lim

n→∞nCov{γ̂ (h), γ̂ (k)} = (η − 3)γ (h)γ (k)

+∞

ℓ=−∞[γ (ℓ)γ (ℓ + k − h) + γ (ℓ + k)γ (ℓ − h)].



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Autre résumé de la dynamique d’un processus stationnaire.

Les autocorrélations partielles : on définitrk : l’autocorrélation partielle d’ordre krk est le coefficient de X t−k dans la régression de X t sur X t−1,X t−2, . . . , X t−k.L’autocorrélation partielle entre X t et X t−k est la corrélation entre

ces variables ajustées en enlevant l’information provenant desvaleurs intermédiaires (i.e. des dates t− 1, t − 2, . . . , t − k + 1).Lorsque le processus X est stationnaire, ses autocorrélationspartielles peuvent être estimées par la méthode des moindres carrésordinaires et on a :

r̂k → rk, T → ∞.



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Autocorrélations partielles.

DéfinitionLes autocorrélations partielles sont les corrélations résiduelles entreX t et X t−h une fois enlevée l’influence linéaire des valeursintermédiaires X t−1, . . . , X t−h+1. On note:

r(h) = Corr(X t, X t−h|X t−1, . . . , X t−h+1).On montre que :

r(h) = ah,h, où X t = ah,1X t−1 +· · ·

+ ah,hX t−h + uh,t,

avec uh,t le résidu de la régression linéaire.


l l d l ll l h d b


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Calcul des autocorrélations partielles : algorithme de Durbin.

On peut calculer r(h) rapidement, à partir de ρ(1), . . . , ρ(h), àl’aide de l’algorithme de Durbin :

a1,1 = ρ(1)

ah,h = ρ(h)−

h−1

i=1 ρ(h−i)ah−1,i

1−h−1

i=1 ρ(i)ah−1,i

ah,i = ah−1,i − ah,hah−1,h−i, i = 1, . . . , h − 1.

Pour plus de détail, voir Monfort et Gourieroux p. 131-134.


C l l d l ll


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Calcul des autocorrélations partielles.

Le calcul de k autocorrélations partielles nécessite l’estimation de k

régressions :Calcul de r1 :X t = r1X t−1 + ut

Calcul de r2 :X

t = α

1X

t−1

+ r2

X t−2

+ ut

Calcul de r3 :

X t = α1X t−1 + α2X t−2 + r3X t−3 + ut.

Calcul de rk :

X t = α1X t−1 + α2X t−2 + · · · + rkX t−k + ut.


R


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Remarque.

1 On pose: r0 = 1

2 −1 ≤ rk ≤ 1,∀k.3 rk = r−k4 On représente les autocorrélations partielles à l’aide de

l’autocorrélogramme partiel.


E l d’ él i l


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Exemple d’autocorrélogramme partiel.

-1

-0,5

0

0,5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

retard

ACF pour Trafic

+- 1,96/T0,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

retard

PACF pour Trafic

+- 1,96/T0,5


E l 1 l b it bl


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Exemple 1 : le bruit blanc:

Le processus ǫ = (ǫt) est appelé bruit blanc faible s’il vérifie

(i) Eǫt = 0 ∀ t ∈ Z, (ii) Var(ǫt) = Eǫ2t = σ2 ∀ t ∈ Z,(iii) Cov (ǫt, ǫt+h) = 0 ∀ h, t ∈ Z, h = 0,

→ Si on remplace l’hypothèse (iii) par l’hypothèse plus forte(iii’) que les variables ǫt et ǫt−h sont indépendantes.

On parle alors de bruit blanc fort.Un bruit blanc est un processus stationnaire. Si on ajoute une

hypothèse de normalité, on parle de bruit blanc gaussien. Un bruitblanc gaussien est un processus strictement stationnaire.


T j t i i lé d’ b it bl f t


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Trajectoire simulée d un bruit blanc fort.

Time

t s ( s e r i e

)

0 50 100 150 200

− 2

− 1

0

1

2

3


Remarque


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Remarque.

Les autocorrélations et autocorrélations partielles d’un bruit blancsont toutes nulles (sauf ρ0 et r0) :

ρ0 = r0 = 1

ρi = ri = 0, ∀i > 0.


Exemple 2 : la moyenne mobile d’ordre 1


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Exemple 2 : la moyenne mobile d ordre 1.

Soit ǫ = (ǫt) un bruit blanc de variance σ2. On définit

X t = ǫt − θǫt−1,

où θ ∈ (−1, 1) et θ = 0. On obtient :

E (X t) = E (ǫt)− θE (ǫt−1) = 0,

V (X t) = V (ǫt) + θ2V (ǫt−1)− 2θCov(ǫt, ǫt−1)

= (1 + θ2

)σ2

,


Exemple 2 : suite


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Exemple 2 : suite.

Cov(X t, X t−1) = Cov(ǫt − θǫt−1, ǫt−1 − θǫt−2)= Cov(ǫt, ǫt−1)− θCov(ǫt, ǫt−2)

−θCov(ǫt−1, ǫt−1) + θ2Cov(ǫt−1, ǫt−2)= −θV (ǫt−1) = −θσ2,

Cov(X t, X t−2) = Cov(ǫt − θǫt−1, ǫt−2 − θǫt−3)= Cov(ǫt, ǫt−2)− θCov(ǫt, ǫt−3)

−θCov(ǫt−1, ǫt−2) + θ

2Cov(ǫt−1, ǫt−3)

= 0,

On en déduit que : Cov(X t, X t−h) = 0,∀h ≥ 2.La moyenne mobile d’ordre 1 est stationnaire.


Trajectoire simulée d’une moyenne mobile d’ordre 1


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Trajectoire simulée d une moyenne mobile d ordre 1(θ = 0.6).

Time

t s ( s e r i e )

0 50 100 150 200

− 3

− 2

− 1

0

1

2

3


Trajectoire simulée d’une moyenne mobile d’ordre 1


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Trajectoire simulée d une moyenne mobile d ordre 1(θ = −0.6).

Time

t s ( s e r i e )

0 50 100 150 200

− 3

− 2

− 1

0

1

2

3

4


Autocorrélogramme : la moyenne mobile d’ordre 1


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Autocorrélogramme : la moyenne mobile d ordre 1.

ρ0 = 1

ρ1 = −θσ2(1 + θ2)σ2

= −θ1 + θ2

ρ2 = 0

...

ρh = 0,∀h ≥ 2.

Toutes les autocorrélations sont nulles à partir de l’ordre 2.


Autocorrélogramme partiel: la moyenne mobile d’ordre 1


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Autocorrélogramme partiel: la moyenne mobile d ordre 1.

r0 = 1

r1 = ρ1 = −θ1 + θ2

r2 = ρ2 − ρ21

1− ρ21=

0− −θ1+θ2

21−

−θ1+θ2

2 = −θ2(1 + θ2)2 − θ2 = −θ2

1 + θ2 + θ4

r1 est du signe de θ et r2 est toujours négative.


Autocorrélogramme partiel: la moyenne mobile d’ordre 1


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Autocorrélogramme partiel: la moyenne mobile d ordre 1.

On peut montrer que :

rh = θ(1 + θ2)

1 + θ2 + θ4rh−1,

∀h

≥2.

Les autocorrélations partielles décroissent mais ne s’annulent jamais.


Exemple 3 : la marche aléatoire.


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Exemple 3 : la marche aléatoire.


X 0 = 0

X 1 = X 0 + ǫ1 = ǫ1

X 2 = X 1 + ǫ2 = ǫ1 + ǫ2...

X t = X t−1 + ǫt

= ǫ1 + ǫ2 +

· · ·+ ǫt


Exemple 3 : moments d’une marche aléatoire.


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e p e 3 o e ts d u e a c e a éato e


E (X t) = E (ǫ1 + ǫ2 + · · · + ǫt) = 0V (X t) = V (ǫ1 + ǫ2 + · · · + ǫt)

= V (ǫ1) + V (ǫ2) + · · · + V (ǫt)

+ 2Cov(ǫ1, ǫ2) + 2Cov(ǫ1, ǫ3) + . . .= σ2 + σ2 + · · · + σ2 = tσ2

La marche aléatoire n’est pas stationnaire : sa variance estexplosive.

En revanche, l’accroissement d’une marche aléatoire, c’est-à-dire leprocessus défini par X t −X t−1, est stationnaire (c’est un bruitblanc).


Transformations de processus stationnaires.


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p

Si X est strictement stationnaire, alors toute transformation(indépendante du temps) de ce processus est encorestrictement stationnaire.

Si X est stationnaire et si a1, a2, . . . , a p sont des coefficientsréels, alors le processus Y = (Y t) défini par :

Y t = X t + a1X t−1 + a2X t−2 + · · · + a pX t− pest aussi stationnaire.


Transformations de processus stationnaires.


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p

Si X est stationnaire et si les coefficients ai sont, absolumentsommables, tels que

∞

i=0 |ai| < ∞, alors le processus Y défini par :

Y t =∞i=0

aiX t−i

est aussi stationnaire.


L’innovation d’un processus X t.


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p t

L’innovation de X t à la date t :

X t − EL {X t|X t−1, X t−2, . . . } ,

où EL {X t|X t−1, X t−2, . . . } désigne la régression linéaire d’unevariable de carré intégrable X t sur X t−1, X t−2, . . . . L’innovationd’un processus est la part de celui-ci qui est impossible à prévoir(linéairement) à partir de la connaissance du passé.

Propriété :

Lorsque X est stationnaire, son innovation est un bruit blanc.


Décomposition de Wold-Cramér.


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Si X est un processus stationnaire tel que : L’innovation de X t à la

date t : limk→∞

E {X t|X t−k, X t−k−1, . . . } = E (X t),alors il existe un bruit blanc ǫ tel que :

X t = m + ǫt + α1ǫt−1 + α2ǫt−2 + . . .

= m +∞i=0

αiǫt−i

avec α0 = 1 et 1 + α21 + α22 + · · · < ∞.X s’écrit sous forme moyenne-mobile infinie [M A(∞)](=moving-average en anglais).


L’opérateur avance ou retard noté B ou L.


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L’opérateur retard L :

LX t = X t−1

L2X t = L(LX t) = LX t−1 = X t−2

LkX t = X t−k

On peut considérer des polynômes en L :

A(L) = 1− a1L − a2L2 − · · · − a pL p→ A(L)X t = (1− a1L− a2L2 − · · · − a pL p)X t

= X t − a1LX t − a2L2X t − · · · − a pL pX t= X t − a1X t−1 − a2X t−2 − · · · − a pX t− p


L’opérateur avance ou retard noté B ou L.


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ou, même, des séries en L :

A(L) =

∞i=0

aiLi

→ A(L)X t = (a0 + a1L + a2L2 + · · · + a pL p + . . . )X t= a0X t + a1LX t + a2L

2X t + · · · + a pL pX t + . . .= a0X t + a1X t−1 + a2X t−2 + · · · + a pX t− p + . . .=

∞i=0

aiX t−i.

On a aussi :L−1X t = BX t = X t+1

L−kX t = BkX t = X t+k

B est appelé opérateur avance.Version de 2015 en cours d’amélioration à ne pas diffuser

Les processus autorégressifs.


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Un processus autorégressif d’ordre p est un processus stationnaires’écrivant sous la forme :

X t = a1X t−1 + a2X t−2 + · · · + a pX t− p + ǫtoù a1, a2, . . . , a p ∈ R, a p = 0 et ǫt est un bruit blanc. On parle deprocessus AR( p).


Processus AR( p).


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On introduit le polynôme

A(L) = 1− a1L− a2L2 − · · · − a pL p

qui permet d’écrire le modèle autorégressif sous une forme trèscompacte :

X t = a1X t−1 + a2X t−2 + · · · + a pX t− p + ǫtX t − a1X t−1 − a2X t−2 − · · · − a pX t− p = ǫt(1− a1L− a2L2 − · · · − a pL p)X t = ǫt→ A(L)X t = ǫt


Processus AR( p) : stationnarité.


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Pour que le processus soit stationnaire , il faut que les coefficientsremplissent des contraintes assez compliquées : il faut que les psolutions x∗1, x

∗2, . . . , x

∗ p de l’équation caractéristique :

1− a1x− a2x2 − · · · − a px p = 0

soient telles que |x∗i | > 1, i = 1, 2, . . . , p.


Processus AR( p) : écriture MA(∞).


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Si ces contraintes sont satisfaites, le processus X t peut s’écriresous forme moyenne-mobile infinie [M A(∞)] :

X t = A(L)−1ǫt

= ǫt + α1ǫt−1 + α2ǫt−2 + . . .

Innovation de X t :

EL[X t|X t−1, X t−2, . . . ] = a1X t−1 + a2X t−2 + · · · + a pX t− p

Donc X t − EL[X t|X t−1, X t−2, . . . ] = ǫt.ǫt est l’innovation de X t.


Exemple : le processus autorégressif d’ordre 1 [AR(1)].


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Un processus autorégressif d’ordre 1 est un processus stationnaireX défini par :

X t = aX t−1 + ǫt

où a

∈R et ǫt est un bruit blanc.

On peut écrire :

X t − aX t−1 = (1− aL)

A(L)

X t = ǫt


1. Etude de la stationnarité du processus AR(1).


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L’équation caractéristique est :1− ax = 0.

Sa solution est :

x∗

=

1

a .

Pour que X soit stationnaire, il faut donc que :

|x∗| = 1

a > 1 ⇒ |a|


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Par remplacements successifs, on obtient :X t = a X t−1

aX t−2+ǫt−1

+ǫt = a(aX t−2 + ǫt−1) + ǫt

= a2X t−2 + aǫt−1 + ǫt

= a2(aX t−3 + ǫt−2) + aǫt−1 + ǫt

= a3X t−3 + a2ǫt−2 + aǫt−1 + ǫt

...

= ǫt + aǫt−1 + a2

ǫt−2 + · · · + ak−1

ǫt−k+1 + ak

X t−k


2. Écriture moyenne-mobile infinie du processus AR(1).


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Intuitivement, si −1 < a


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On a deux écritures équivalentes du modèle :

(1− aL)X t = ǫt ⇔ X t = ∞i=0

aiLi

ǫt.

On peut donc conclure que

(1− aL)−1 =∞i=0

aiLi.


4. Généralisation : inversion d’un polynôme en L.


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Un polynôme en L, A(L), peut toujours être factorisé :

1− a1L − a2L2 − · · · − a pL p = −a p(L − x∗1)(L − x∗2) . . . (L− x∗ p)

où x∗1, x∗2, . . . , x

∗ p sont les p solutions de l’équation caractéristique :

1− a1x− a2x2 − · · · − a px p = 0.

On a alors :

(L

−x∗k) =

−x∗k1 −

1

x∗k

L .




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En comparant avec les résultats précédents :

(L− x∗k)−1 =−x∗k

1− 1

x∗kL

−1

= −1x∗k1− 1x∗k L

−1

= −1

x∗k

∞i=0

1

x∗k

iLi.




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On peut donc calculer l’inverse de A(L)

A−1(L) =−a p(L − x∗1)(L − x∗2) . . . (L− x∗ p)−1

= −1

a p(L − x∗1)−1(L− x∗2)−1 . . . (L − x∗ p)−1

= (−1) p+1

a p × x∗1 × · · · × x∗ p ∞

i=0

1x∗1i

Li . . . ∞ j=0

1x∗ p j

L j=

∞

i=0αiL

i.

où les coefficients αi sont des fonctions compliquées descoefficients a1, a2, . . . , a p.


Exemple 1.


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X t = 3X t−1 − 2X t−2 + ǫt⇒ X t − 3X t−1 + 2X t−2 = ǫt ⇒ (1− 3L + 2L2)X t = ǫt

L’équation caractéristique est :

1− 3x + 2x2 = 0

Les solutions x∗1 = 1 et x∗2 = 1/2 ne sont pas strictement

supérieures à 1.

Le processus n’est pas stationnaire et le polynôme (1− 3L + 2L2

)n’est pas inversible.


Exemple 2.


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X t = 34

X t−1 − 18

X t−2 + ǫt

⇒ X t − 34

X t−1 + 1

8X t−2 = ǫt ⇒ (1− 3

4L +

1

8L2)X t = ǫt

L’équation caractéristique est :

1− 34

x + 1

8x2 = 0

Les solutions x∗1 = 2 et x∗2 = 4 sont strictement supérieures à 1.

Le processus est stationnaire et le polynôme (1− 34L + 18L2) estinversible.



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Exemple 2.


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L’écriture moyenne-mobile infinie de X est :

X t = ∞

k=0

k j=0

1

2k+ j Lk ǫt = ǫt + 34 ǫt−1 + 716 ǫt−2 + . . . .


Les processus moyennes mobiles.


56/116

Un processus moyenne mobile (moving average en anglais) d’ordreq est un processus s’écrivant sous la forme :

X t = ǫt − b1ǫt−1 − b2ǫt−2 − · · · − bqǫt−qoù b1, b2, . . . , bq ∈ R, bq = 0 et ǫt est un bruit blanc. On parle deprocessus M A(q ).Le processus est toujours stationnaire, quelles que soient les valeursdes coefficients b1, b2, . . . , bq.


Processus MA(q ).


57/116

On peut introduire le polynôme

B(L) = 1− b1L− b2L2 − · · · − bqLq

et écrire le modèle M A(q ) sous une forme très compacte :

X t = ǫt − b1ǫt−1 − b2ǫt−2 − · · · − bqǫt−qX t = (1− b1L− b2L2 − · · · − bqLq)ǫt→ X t = B(L)ǫt


Processus MA(q ) : écriture AR(∞).


58/116

Pour que ǫ soit l’innovation du processus X , il faut que les q

solutions x∗1, x

∗2, . . . , x

∗q de l’équation caractéristique :

1− b1x− b2x2 − · · · − bqxq = 0

soient telles que |x∗i | > 1, i = 1, 2, . . . , q .Si ces contraintes sont satisfaites, le processus X t peut s’écriresous forme autorégressive infinie [AR(∞)] :

X t = α1X t−1 + α2X t−2 + · · · + ǫt = ǫt +∞

i=1 αiX t−i.et on dit que le processus est inversible.


Les processus autorégressifs moyennes mobiles.


59/116

Un processus autorégressif moyenne mobile (autoregressive movingaverage en anglais) d’ordres p et q est un processus stationnaires’écrivant sous la forme :

X t = a1X t−1+a2X t−2+· · ·+a pX t− p+ǫt−b1ǫt−1−b2ǫt−2−···−bqǫt−qoù a1, a2, . . . , a p, b1, b2, . . . , bq ∈ R, a p, bq = 0 et ǫt est un bruitblanc. On parle de processus ARMA( p, q ).


Processus ARMA( p, q ).


60/116

On introduit les deux polynômes

A(L) = 1− a1L− a2L2 − · · · − a pL p

et

B(L) = 1− b1L− b2L2 − · · · − bqLqet écrire le modèle ARMA( p, q ) sous une forme très compacte :

A(L)X t = B(L)ǫt


Processus ARMA( p, q ) : écriture MA(∞).


61/116

Pour que le processus soit stationnaire , il faut que les p

solutions x∗1, x

∗2, . . . , x

∗ p de l’équation caractéristique :

1− a1x− a2x2 − · · · − a px p = 0

soient telles que |x∗i | > 1, i = 1, 2, . . . , p. Dans ce cas, on a :

X t = A(L)−1B(L)ǫt =

∞i=0

ciǫt−i

alors X t est une combinaison linéaire de ǫt, ǫt−1, . . . (cette

combinaison est une solution non anticipative ou causale del’équation ARMA( p, q )).


Processus ARMA( p, q ) : écriture AR(∞).


62/116

Pour que ǫ soit l’innovation du processus X , il faut que les q solutions x∗

1, x∗

2, . . . , x∗

q de l’équation caractéristique :

1− b1x− b2x2 − · · · − bqxq = 0

soient telles que |x∗i | > 1, i = 1, 2, . . . , q .

Si ces contraintes sont satisfaites, le processus X t peut s’écriresous forme autorégressive infinie [AR(∞)] :

ǫt = A(L)B(L)−1X t = X t+d1X t−1+d2X t−2+· · · =

∞

i=0diX t−i.

Alors ǫt peut s’écrire comme une combinaison linéaire deX t, X t−1, . . . et on dit que le processus est inversible.


Caractérisation des autocorrélogrammes.


63/116

Processus AR( p) :Les autocorrélations vérifient les équations de Yule-Walker :

ρh +

p

i=1aiρh−i = 0, ∀h > 0.

Elles sont toujours non nulles et globalement décroissantes.Les autocorrélations partielles sont nulles à partir de l’ordre p + 1 :

rh = 0,

∀h

≥ p + 1 et r p = a p

= 0.



64/116

Processus M A(q ) :Les autocorrélations sont nulles à partir de l’ordre q + 1 :

ρq = −bq

1 + b21 + b22 +

· · ·+ b2q

= 0

ρh = 0, ∀h ≥ q + 1.Les autocorrélations partielles sont toujours non nulles etglobalement décroissantes.



65/116

Processus ARMA( p, q ) :Les autocorrélations et les autocorrélations partielles sont non

nulles et globalement décroissantes.


Modèles non stationnaires et saisonniers.


66/116

ARIMA( p, d, q ), SARIMA( p, d, q )(P,D,Q)s, SARMA( p, P s, q , Qs), . . .


Processus intégrés.


67/116

Il s’agit de processus non stationnaires, qui se ramènent pardifférenciation à un processus stationnaire.Exemple : la marche aléatoire

X t = X t−1 + ǫt

X n’est pas stationnaire.

Y t = X t −X t−1 = (1− L)X t = ǫt

Y est un bruit blanc et est donc stationnaire.


Processus intégrés : opérateur de différence.


68/116

(1− L) := ∆ est l’opérateur de différence première.(1− L)d := ∆d est l’opérateur de différence d’ordre d.Le processus X est intégré d’ordre d (noté I (d)) si X n’est pas

stationnaire mais que Y défini par Y t = (1−L)dX t est stationnaire.La marche aléatoire est un processus I (1).


Modèles ARIMA( p, d, q ).


69/116

Définition

On dit que (X t) est intégré d’ordre d si X t, ∆X t, . . . , ∆d−1X t nesont pas stationnaires et ∆dX t = (1− L)dX t est stationnaire.

Définition

On dit que (X t) suit un modèle ARIMA( p, d, q ) si ∆dX t suit unARMA( p, q ).

A(L)(1− L)dX t = B(L)ǫt, ǫt bruit blanc

A(L) et B(L) n’ont pas de racines communes.


Modèles ARIMA( p, d, q ).


70/116

Le polynôme P (z) = A(z)(1

−z)d est tel que P (1) = 0

⇒ on

a une "racine unité".Les modèles ARIMA( p, d, q ) sont donc utiles pour des sériesavec tendance polynômiale. Mais ils peuvent aussi convenir àdes séries sans tendance (comme la marche aléatoire).

En général d = 1, rarement d = 2. On ne rencontre jamais lecas d > 2.

Racine unité ⇒ Autocorrélations proches de 1 et adécroissance très lente.

Une observation à une date dépend beaucoup de l’observationprécédente.


Exemple de série non stationnaire.


71/116

Figure: Taux de change Yen/USD journalier du 31/08/1971 au 8/09/2006.


Exemple de série non stationnaire.


72/116

Figure: Autocorrélations et autocorrélations partielles résiduelles.


Modèles SARIMA.

Décomposition classique des observations:


73/116

p q

X t = m

t + S

t + v

t,

mt: composante déterministe

S t: composante saisonnière de saison s

vt: composante aléatoire stationnaireReprésentation qui implique que X t −X t−s est stationnaire.⇒ Ne suffit pas pour éliminer les phénomènes saisonniers dans

bien des cas.

⇒ Ne prend pas en compte la nature aléatoire des saisons.⇒ Modèles SARIMA : Introduire de l’aléa dans la modélisation de

la saisonnalité.



74/116

Modèles SARIMA.D’une manière plus générale, pour une saison s:


75/116

Φ(Ls)X t = Θ(Ls)ut. (1)

Les saisons sont prises en compte par une telle approche.

⇒ Une telle modélisation implique qu’il n’existe pas de liens entreles mois des différents saisons.

On peut imaginer que le processus (ut) suit un modèleARMA( p, q ). (Idée : les dynamiques non prises en compte parles saisons se retrouvent dans les erreurs en (1))

A(L)ut = B(L)ǫt

⇒ En appliquant les polynômes A(L) et B(L) à gauche et àdroite de (1)

A(L)Φ(Ls)X t = B(L)Θ(Ls)ǫt.


Modèles SARIMA.


76/116

Définition

On dit que (X t) suit un modèle SARIMA( p, d, q )(P,D,Q)s depériode s, si le processus différencié Y t = (1− L)d(1− Ls)DX t estun processus ARMA causal

A(L)Φ(Ls)Y t = B(L)Θ(Ls)ǫt

"pré-traitement" :

Filtre : (1− L)d élimine une éventuelle tendancedéterministe/marche aléatoire (d = 0 ou 1)

Filtre : (1− Ls

)D

élimine éventuellement la saison (D = 0 ou1).


Modèles SARMA multiplicatif : cas particulier SARIMA.


77/116

DéfinitionOn dit que (X t) suit un modèle SARMA( p, P s, q , Qs) de période s,si le processus différencié Y t = (1− Ls)X t est un processus ARMAcausal

A(L)Φ(Ls)Y t = B(L)Θ(Ls)ǫt

"pré-traitement" :

Filtre : Φ(Ls) et Θ(Ls) polynômes des coefficients saisonniers.

Filtre : A(L) et B(L) polynômes des coefficients non

saisonniers.


Implémentation des Modèles SARIMA.


78/116

1- Transformer la série observée X t de mainière à obtenir un

processus Y t qui apparaît "à peu près" stationnaire.(Application des filtres (1− Ls)D et éventuellement (1− L)d)

2- Identifier les ordres P, Q en examinant les autocorrélationsρ̂(ks), k

∈ {1, . . . , K

}, par exemple (autocorrélations d’ordre

multiple de s).⇒ Autocorrélations à décroissance rapide→ P = 0, s’annulent de

façon abrupte→ Q = 0, etc. . . .3- Identifier les ordres p, q en examinant les ρ̂(1), . . . , ρ̂(s− 1)4- Estimation et validation du modèle.


Méthode de Box et Jenkins.


79/116

Méthodologie de Box et Jenkins.

Méthode permettant de trouver en plusieurs étapes un modèleARMA représentant la série statistique étudiée.


Méthodologie Box et Jenkins.

G h d l é i d i i é


80/116

Graphe de la série, tests de racine unité ❅ ❅ ❘

✠Différencier, ∆ ou ∆s ✲Identifier le modèle

❄Estimation du modèle

❄Validation du modèle ❄

Choix du modèle ❄

Prévision, analyse du modèle

✛

Si on conclut que la série est stationnaire ⇒ On procède àl’identification, estimation, validation,. . . .Notations : ∆X t = X t −X t−1 ou ∆s = X t −X t−s.


Première étape : analyse des données.


81/116

Étape fondée sur les représentations graphiques des données et desautocorrélogrammes ayant pour objet la stationnarisation de la sérieainsi que la correction de valeurs aberrantes. On peut :

1- faire une différence ordinaire :

(1− L), (1− L)2

, . . . , (1− L)d

.

2- faire une différence saisonnière : (1− Ls).3- faire une transformation log, √ , . . . .4- . . . .


Deuxième étape : identification du modèle.


82/116

Cette étape est basée sur l’analyse des autocorrélogrammes de lasérie stationnarisée ainsi que sur la méthode du coin. On peututiliser des critères d’information tels que : AIC, BIC,. . . .

Elle aboutit au choix de la forme d’un modèle :

AR( p), M A(q ), ARMA( p, q ), ARIMA( p, d, q ), . . .

avec ou sans transformation des données.



83/116

Estimation du modèle AR( p).

Processus AR( p) : Les équations de Yule-Walker


84/116

Modèle AR( p) :

X t = a1X t−1 + · · · + a pX t− p + ǫt, V (ǫt) = σ2.

En multipliant par X t−h, h ∈ {1, . . . , p} à gauche et à droiteet en prenant les espérances :

γ (h) = a1γ (h − 1) + · · · + a pγ (h− p).

Avec ces h relations, en tenant compte de la parité de γ (·), onécrit sous forme matricielle :

Γ p = M pφ avec M p = [γ (i − j)] pi,j=1 et φ = (a1, . . . , a p)′


Estimation AR( p).


85/116

On peut montrer que M p est inversible.

On définit un estimateur:

φ̂ = M̂ −1 p Γ̂ p.

Cet estimateur correspond au l’estimateur des moindres carrés.

On a les résultats suivants:φ̂ = φ + o p(n

−1/2)

n1

2 (φ̂ − φ) ⇒ N (0, σ2 M̂ −1 p )

⇒ Construction de bornes de confiance pour les estimateurs, pour

faire des tests sur les paramètres. . . .


Estimation (ARMA( p, q )).


86/116

X t = a

1X

t−1

+· · ·

+a p

X t− p

+ǫt−

b1

ǫt−1−·· ·−

bq

ǫt−

q E (ǫ2

t) = σ2

p et q ont été déterminés lors de la phase précédente.→ En disposant d’observations X 1, . . . , X n de longueur n.→ Pour 0 < t ≤ n, les variables aléatoires et(θ) sont définies

récursivement par

et(θ) = X t − p

i=1

aiX t−i +

q j=1

b jet− j(θ),

où les valeurs initiales inconnues sont remplacées par zéro:e0(θ) = · · · = e1−q(θ) = X 0 = · · · = X 1− p = 0 etθ = (a1, a2, . . . , a p, b1, b2, . . . , bq, σ

2)′.


Maximum de vraisemblance et définition de l’estimateur duMV :


87/116

→ La vraisemblance:

Ln(θ) =n

t=1

1

(2πσ2)1/2 exp

−e

2t (θ)

2σ2

.

→ Un estimateur du MV de θ0 (vrai valeur) est défini comme toutesolution mesurable θ̂n de

θ̂n = arg maxθ∈Θ

Ln(θ) = arg minθ∈Θ

ℓn(θ), ℓn(θ) = −2

n log Ln(θ).


Propriétés asymptotiques : estimation (ARMA( p, q )).Théorème: (Normalité asymptotique)

Sous certaines hypothèses de régularité, on obtient


88/116

yp g ,

√ n(θ̂n − θ0) L→ N (0, Ω := 2J −1),

où J = J (θ0) (appelée matrice d’information de Fisher), avec

J (θ) = limn→∞

∂ 2

∂θ∂θ′ ℓn(θ) p.s..

L’EMV est asymptotiquement normal, convergent.L’EMV correspond à l’estimateur des moindres carrés pour unprocessus AR( p), aussi bien pour processus ARMA( p, q ) sous

des hypothèses complémentaires.L’EMV est plus efficient que l’estimateur obtenu par moindrescarrés dès que q > 0 (en comparant les variancesasymptotiques)


Quatrième étape : validation du modèle.

Modèle estimé:


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X t = â1X t−1 + · · · + â pX t− p + ǫ̂t − b̂1ǫ̂t−1 − · · · − b̂q ǫ̂t−qoù les ǫ̂t = et(θ̂n) sont les résidus.

Idée: Comme les estimateurs sont convergents, les résidusdevraient se comporter comme un bruit blanc.

On définit les autocovariances et autocorrélations résiduelles:

γ̂ ǫ(h) = n−1

nt=h+1

ǫ̂tǫ̂t−h et ρ̂ǫ(h) = γ̂ ǫ(h)

γ̂ ǫ(0).

Les autocorrélations résiduelles devraient ne pas être "trop"éloignées de 0.


Validation du modèle.


90/116

1) vérification de la blancheur de ǫ.

ǫ est non observable, on l’approche à l’aide des résidus ǫ̂t del’estimation.• ǫ doit être de moyenne nulleH 0 : E (ǫ) = 0.

Sous H 0 : t =√

n¯̂ǫσ̂ ≈ N (0; 1).

On rejette H 0 avec un risque α = 5% lorsque la statistique t estsupérieure à 1.96 en valeur absolue (

|t

|> 1.96).




91/116

Test individuel

• ǫ doit être non autocorrélé

H 0 : ρǫ(k) = 0.

Sous H 0 :√

nρ̂ǫ̂(k) ≈ N (0; 1).On rejette H 0 avec un risque α = 5% lorsque l’autocorrélationestimée ρ̂ǫ̂(k) est supérieure à 1.96/

√ n en valeur absolue.


Validation du modèle.Test global [Test portmanteau]


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H 0 : ρǫ(1) = ρǫ(2) = · · · = ρǫ(m) = 0.

a) Statistique de Box et Pierce (1970), QBP , : sous certaineshypothèses (notamment (ǫt) iid gaussien et H 0) on montre

que la statistique :

QBP = nm

h=1

ρ̂2ǫ (h)

est approximée par une loi χ2m− p−q, quand n →∞ et enprenant m →∞ (m > p + q ).Pour un niveau α : RH 0 si QBP > χ2m− p−q;1−α.




93/116

b) Statistique de Ljung et Box (1978), QLB

, :sous certaineshypothèses (notamment (ǫt) iid gaussien et H 0) on montreque la statistique :

QLB = n(n + 2)m

h=1ρ̂ǫ(h)

2

n− hpeut être approximée par une loi χ2m− p−q, quand n →∞ et enprenant m →∞ (m > p + q ).Pour un niveau α : RH 0 si QLB > χ2m− p−q;1−α.



En cas de non validation du modèle ARMA( p, q ) :

Essayer le modèle ARMA(p + 1 q) ou le modèle


94/116

Essayer le modèle ARMA( p + 1, q ) ou le modèle

ARMA( p, q + 1)Ne pas ajuster un modèle ARMA( p + 1, q + 1) (ce modèlen’est pas identifié sous l’hypothèse de processus ARMA( p, q ))

⇒ Retour à la phase d’indentification.

En cas de validation du modèle ARMA( p, q ) :Penser à privilégier des modèles plus simples (par exemplel’utilisation d’un AIC peut amener au choix d’un modèlecompliqué lors de la phase d’identification).

Vérifier la pertinence des paramètres du modèle avec lesT-ratio (obtenu en exploitant la normalité asymptotique desestimateurs).




95/116

2) Tests sur les coefficients.

Ces tests sont utiles pour éliminer des coefficients non significatifs

des modèles ou pour juger de la pertinence d’une augmentation oud’une diminution des ordres du modèle.


Tests sur les paramètres:

Pour tester la nullité ou la constance de certains coefficients, s0


96/116

Pour tester la nullité ou la constance de certains coefficients, s0

contraintes linéaires peuvent être testées sur les paramètres θ0 dumodèle (en particulier a p = 0 ou bq = 0).

Hypothèse nulle :

H 0 : R0θ0 = r 0, où R0 est une matrice s0×

k0 connue de rangs0 et r 0 est aussi un vecteur connu de dimension s0, avec k0 lenombre de paramètres estimés.

Diverses approches asymptotiques: la procédure de Wald, celle dumultiplicateur de Lagrange encore appelée du score ou de Rao-scoreet la méthode du rapport de vraisemblance.


Statistique de Wald :

De la normalité asymptotique de θ0, on déduit que :

L


97/116

√ nR0ˆθn − r 0 L→ N 0, R0ΩR′0 := R0 2J −1R′0 ,quand n →∞. La statistique de Wald est

Wn = n(R0θ̂n − r 0)′(R0Ω̂R′0)−1(R0θ̂n − r 0),

où Ω̂ := 2 Ĵ −1 est un estimateur convergent de Ω.Sous H 0, cette statistique suit une distribution de χ2s0.Rejeter H 0 quand Wn > χ2s0(1− α) pour un niveau de risqueasymptotique α.


Statistique du LM :

Soit θ̂cn l’EMV contraint sous H 0. Définissons le Lagrangien


98/116

L(θ, λ) = ℓn(θ) − λ′(R0θ − r 0),où λ est de dimension s0. Les conditions de premier ordre donnent

∂ℓn

∂θ (θ̂c

n

) = R′

0

λ̂, R0θ̂c

n

= r 0.

Sous H 0,√

nλ̂ L→ N 0, 2(R0J −1R′0)−1 ,


Statistique du LM :

La statistique du LM est


99/116

LMn = nλ̂′ 2(R0 Ĵ −1R′0)−1−1 λ̂=

n

2

∂ℓn∂θ′

(θ̂cn) Ĵ −1

∂ℓn∂θ

(θ̂cn).

De la convergence du vecteur multiplicateur de Lagrange, on a ladistribution asymptotique de la statistique LMn qui suit unedistribution χ2s0 sous H 0.L’hypothèse nulle est rejetée quand LMn > χ2s0(1− α).


Statistique du LR :Un développement limité de Taylor nous montre que

√ n θ̂n − θ̂cn

op(1)= −√ nJ −1R′0λ̂,


100/116

√

n n√

0 ,

et que La statistique du LR: est

LRn + o p(1) := 2

log Ln(θ̂n)− log Ln(θ̂cn)

op(1)=

n2 (θ̂n

− θ̂cn)

′J (θ̂n

−θ̂cn)

op(1)= LMn.

Cette statistique suit asymptotiquement une distributions0i=1 λiZ

2i où les Z i sont iid N (0, 1) et les λ1, . . . , λs0 sont les

valeurs propres de

ΣLR = J −1/2R′0(R0J

−1R′0)−1R0J

−1/2


On a : ΣLR est une matrice de projection dont le nombre de v.p.é l à 1 t


101/116

égales à 1 est

Tr

J −1/2R′0(R0J −1R′0)

−1R0J −1/2

= Tr (I s0) = s0.

Ainsi LRn ∼ χ2s0 sous H 0.

L’hypothèse nulle est rejetée quandLR

n > χ2

s0(1− α).


Cinquième étape : comparaison de modèles.


102/116

Il arrive que plusieurs modèles soient satisfaisants du point de vuestatistique. Il faut alors choisir le meilleur d’entre eux, encomparant leur qualité d’ajustement et de prévision.

On utilise les critères d’information et les critères de qualitéprédictive.



103/116

Critères d’information.


104/116

σ̂2 p,q est la variance résiduelle du modèle ARMA( p, q ) ajusté

L est la vraisemblance.

Idée: Plus on complique le modèle, plus σ̂2 p,q décroit ⇒ On

pénalise les modèles les + compliqués.Un modèle est préférable à un autre lorsque son critère AIC (resp.BIC) est inférieur à celui de l’autre modèle.


Propriétés des critères.

La pénalisation des modèles est plus forte en utilisant le critère


105/116

BIC.Le modèle sélectionné correspond à la valeur de l’IC minimum.

Le critère AIC a tendance a selectionner des modèles pluscompliqués que ceux choisis par BIC.

Le critère BIC est convergent = AIC (ˆ p → p et q̂ → q quandn →∞Le critère AIC est efficient = BIC (au sens de la minimisationde l’erreur de prévision).

Le processus (X t) suit-il réellement un ARMA( p, q )? ⇒ On nepeut conclure quel type de IC est meilleur que l’autre!!


Critères de qualité prédictive :


106/116

l’erreur moyenne e = T −1T

t=1 et,

l’erreur moyenne absolue MAE:= T −1T

t=1 | et |,l’erreur moyenne absolue en pourcentageMAPE:= T −1T t=1 | et/X t |,le carré moyen des erreurs MSE:= T −1T t=1 e2t ,la variance empirique de l’erreur V e(e) := T −1

T t=1(et − e)2.


Sixième étape : calcul des prévisions.


107/116

Premier exemple : AR(2).

X t = a1X t−1 + a2X t−2 + ǫt

Données : X 1, X 2, . . . , X T

Prévisions : faites en T pour X T +1, X T +2, . . .

→ X̂ T (1), X̂ T (2), . . . .


Exemple AR(2).


108/116

X T +1 = a1X T + a2X T −1 + ǫT +1EL(X T +1|X T , X T −1, . . . ) = a1X T + a2X T −1

X̂ T (1) = â1X T + â2X T −1

X T +2 = a1X T +1 + a2X T + ǫT +2

EL(X T +2|X T , X T −1, . . . ) = a1EL(X T +1|X T , X T −1, . . . ) + a2X T X̂ T (2) = â1 X̂ T (1) + â2X T

... = ...

X̂ T (h) = â1 X̂ T (h − 1) + â2 X̂ T (h − 2), h ≥ 3.


Deuxième exemple : MA(2).

X t = ǫt − b1ǫt−1 − b2ǫt−2


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X T +1 = ǫT +1 − b1ǫT − b2ǫT −1EL(X T +1|X T , X T −1, . . . ) = −b1ǫT − b2ǫT −1

X̂ T (1) = −b̂1ǫ̂T − b̂2ǫ̂T −1X T +2 = ǫT +2 − b1ǫT +1 − b2ǫT

EL(X T +2|X T , X T −1, . . . ) = −b1 EL(ǫT +1|X T , X T −1, . . . ) =0

−b2ǫT

X̂ T (2) =

−b̂2ǫ̂T

... = ...

X̂ T (h) = 0, h ≥ 3.



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Erreurs de prévision.

A(L)X = B(L)ǫ X = A−1(L)B(L)ǫ


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A(L)X t = B(L)ǫ

t ⇒X

t = A (L)B(L)ǫ

t,

⇒ X t = ǫt + α1ǫt−1 + α2ǫt−2 + α3ǫt−3 + . . . ,avec A(L) = 1−a1L−· · ·−a pL p, B(L) = 1−b1L−· · ·−bqLq

EL(X t|X t−1, X t−2, . . . ) = α1ǫt−1 + α2ǫt−2 + α3ǫt−3 + . . .

X t − EL(X t|X t−1, X t−2, . . . ) = ǫt

X t − ˆX t−1(1) = et



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Erreurs de prévision.

A(L)X t = B(L)ǫt ⇒ X t = A−1(L)B(L)ǫt,X = ǫ + α ǫ + α ǫ + α ǫ +


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⇒X

t = ǫ

t + α

1ǫt−1

+ α2

ǫt−2

+ α3

ǫt−3

+ . . . .

EL(X t|X t−h, X t−h−1, . . . ) = αhǫt−h+αh+1ǫt−h−1+αh+2ǫt−h−2+. . .

X t − EL(X t|X t−h, X t−h−1, . . . ) = ǫt + · · · + αh−1ǫt−h+1

X t − X̂ t−h(h) = et + α̂1et−1 + · · · + α̂h−1et−h+1On utilisera les erreurs de prévision pour construire des intervallesde prévisions.


Intervalles de prévision à l’horizon h = 1.


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Pour la prévision à l’horizon h = 1, on a :X T +1 − X̂ T (1) = eT +1 ≈ N (0; σ̂2)

Donc P(−1, 96σ̂ < eT +1


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X T +h −

X T

(h) eT +h

+ α1

eT +h

−1

+· · ·

+ αh−1

eT +1≈ N (0; (1 + α̂21 + · · · + α̂2h−1)σ̂2).

DoncP(−1, 96σ̂ < eT +h + α̂1eT +h−1 + · · ·+ α̂h−1eT +1


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Remarques générales:Si E (X t) = µ = 0 on rajoute un paramètre au modèle pourprendre en compte ce genre de situation.

Dans ce cas on ajoute µ aux prévisions.

Nous sommes dans un cas stationnaire, les prévisions serapprochent de µ à mesure que l’on prend k grand.

En pratique les paramètres sont inconnus ⇒ On les remplacepar leurs estimations.


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