1. Los siguientes datos son mediciones de la resistencia a la ruptura (en onzas) de una muestra de 60 hilos de camo:

32.5 21.2 27.3 20.6 25.4 36.9

15.2 28.3 33.7 29.5 34.1 24.6

35.4 27.1 29.4 21.8 27.5 28.9

21.3 25 21.9 37.5 29.6 24.8

28.4 32.7 29.3 33.5 22.2 28.1

26.9 29.5 17.3 29.6 22.7 25.4

34.6 30.2 29 26.8 31.3 34.5

29.3 23.9 36.8 28.7 33.2 23.6

24.5 23 29.2 34.8 37 38.4

31 26.4 23.5 18.6 28.3 24

a) Representar grficamente la informacin. Valor mayor = 38.40 Valor menor = 15.20 Rango : 38.40-15.20 = 23.20 Formula de sturges. K= 1+3.30 long (60) = 6.86 6.86 numero de clase. Longitud de intervalo de clase TC = 23.20/6.86 = 3.38

Intervalos Frecuencia

14-17.38

17.38-20.76 20.76-24.14 24.14-27.52 27.52-30.90 30.90-34.28 37.66-41.04 2 2 11 12 8 8 1

2.- Se sabe que un grupo de cuatro componentes contiene dos defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo defectuoso, se concluye la prueba, pero se prueba el segundo defectuoso como comprobacin. Sea Y el nmero de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Encontrar la distribucin de probabilidad para Y. Solucin:2 3 D B D 4 B D

D

Y P(y)

2 1/6

3 2/6

4 3/6

3.-Los alambres que se utilizan en cierto equipo deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohm. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compaa A tienen una distribucin de probabilidad normal con una media de 0.13 ohm y una desviacin estndar de 0.005 ohm. a) Cual es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la produccin de la compaa A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan cuatro de estos alambres en el equipo y los seleccionan de la compaa A Cul es la probabilidad de que satisfagan las especificaciones? a).- datos: x1= 0.12 x2= 0.14 estandarizamos z = ((x- )/ )) z1= ((0.12-0.13)/0.005) = -2 z2= ((0.14-0.13)/0.005) = 2 se busca z en la tabla para z= 2 tenemos q nos da un valor de 0.4772 para z = -2 nos da el valor de 0.4772 z1 + z2 = .9544 la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la produccin de la compaa A satisfaga las especificaciones es de 0.9544

4.- Cinco pelotas numeradas, 1, 2, 3, 4 y5 se encuentran en una urna. Se sacan dos pelotas al azar de las cinco, y se anotan sus nmeros. Encontrar la distribucin de probabilidad para lo siguiente: a) El mayor de los dos nmeros seleccionados. b) La suma de los dos nmeros seleccionados. Solucin: a) 2 3 4 5 x p(x) Mediana 2,1 3,1 4,1 5,1 2 1/10 3,2 4,2 5,2 3 2/10

4,3 5,3 4 3/10

5,4 5 4/10

x = (p(x))(x)=(2+6+12+20)/10 = 40/10 = 4 x2 = (x-x)2 (p(x))= (4+2+4)/10 = 1 Desviacin estndar b) 3 4 5 6 7 8 9 1,2 1,3 1,4 1,5 2,5 3,5 4,5 4 1/10 x = 1

2,5 2,4 3,4

x 3 p(x) 1/10 Media

5 2/10

6 2/10

7 2/10

8 1/10

9 1/10

x = (p(x))(x)= (3+4+10+12+14+8+9)/10 = 6 x2 = (x-x)2 (p(x))= (9+4+2+2+4+9)/10 =30/10 =3 Desviacin estndar x = 1.732

5.- Con el propsito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compaas tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Suponer que los empleados de una compaa efectan asientos errneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar: a) Encontrar la distribucin de probabilidad para Y, el numero de errores detectado por el auditor. b) Construir un histograma de probabilidad para p (y). c) Encontrar la probabilidad de que el auditor detecte ms de un error. Solucin: (a):5% 5% 95% 5% 95% 95% 5% 5% 95% 95% 95% 5% 5%

95%

Errores detectados por el auditor: Y 0 1 2 3 F(Y) (0.95) = 0.857375 3 (0.05) (0.95)2 = 0.135375 3 (0.05)2(0.95) = 0.007125 (0.05)3 = 0.0001253

(b): construir un histograma (errores detectados por el auditor)1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 0.135375 0.007125 0.000125 0.857375

Funcin distributiva

Funcin acumulativa1 0.5 0 1 2 Axis Title 3 4

(c): encontrar la probabilidad de que el auditor detecte ms de un error. P (X>1) =? n=3 p = 0.05 q = 0.95 P (X>1) = 1 P (X1) P (X=1) = ( ) P (X=0) =( ) 0.9926 P (X>1) = 1 0.9926 = 0.0074 Distribucin de Bernoulli

6.- El nmero de errores tipogrficos cometidos por una mecangrafa en particular tiene unadistribucin de poisson con una media de cuatro errores por pgina. Si una pagina dada tiene ms de cuatro errores, la mecangrafa tendr que repetir la pagina entera. Cul es la probabilidad de que no se tenga que repetir cierta pgina? Solucin: Formula de poisson: Datos: = 4. = 0.0183 = 0.07326 = 0.14525 =0.19536 =0.19536

7.- PROBLEMA 8 Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una media de 3 por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una media de 4 por hora. Cul es la probabilidad de que 3 coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que los nmeros de coches que llegan a las 2 entradas son independientes) SOLUCION Por medio de la distribucin de Poisson se tiene:

ESTACIONAMIENTOEntrada 1 Entrada 2

0 1 2 3

3 2 1 0

Se calculan las probabilidades de acuerdo al diagrama: Cuando = 3

Cuando = 4

Se multiplican las probabilidades de acuerdo a como se relacionan en el diagrama y se hace la sumatoria: ( ( ( (

RESPUESTA Por lo tanto la probabilidad es de 0.05206

8.- Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada 1 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una media de 3 por hora, y a la entrada 2 de acuerdo con una distribucin de Poisson con una media de 4 por hora. Cul es la probabilidad de que 3 coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que los nmeros de coches que llegan a las 2 entradas son independientes) Solucin: Por medio de la distribucin de Poisson se tiene:

ESTACIONAMIENTOEntrada 1 Entrada 2

4 5 6 7

3 2 1 0

Se calculan las probabilidades de acuerdo al diagrama: Cuando = 3

Cuando = 4

Se multiplican las probabilidades de acuerdo a como se relacionan en el diagrama y se hace la sumatoria: ( ( ( (

9.-En un juego, una persona recibe $15 cuando saca una jota o una reina y recibe $5 si saca un rey o un as de una baraja de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar $4, Cul es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?

Solucin El problema en si nos esta pidiendo la ganancia total de una carta solo con el simple hecho de sacar una sola carta de la baraja. Entonces procedemos a lo siguiente: 4 cartas de jotas ganamos: 4 cartas de reinas ganamos: 4 cartas de reyes ganamos: 4 cartas de as ganamos: $60 $60 $20 $20 Pero tambin perdemos $4 por cualquier otra carta que no sean ninguna de las mencionadas anteriormente Como el resto de las dems cartas sumas 36 entonces tendremos una perdida total de $144

Total ganado con 16 cartas: $160

Entonces tenemos que encontrar la ganancia total por jugar las 52 cartas incluyendo ganancia de las 16 y perdidas de las otras 36 Ganancia total por las 52 cartas es de: $160-$144= $16 Entonces lo nico que falta es dividir los $16, que representa la ganancia por las 52 cartas; entre 52 para saber cual es la ganancia individual por carta. $16/52 = $0.307 Respuesta $0.31

10.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, cul es la probabilidad de haber sido extrada de la urna A?

( )

( )

( )

11.- Se observo durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones en cierta fabrica tienen aproximadamente una distribucin normal con una media de $400 y una desviacin estndar de $20. Si el presupuesto para la prxima semana es de $450, cual es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada? Solucin: La media () = 400 Desviacin estndar ( )= 20 X= es el valor del presupuesto que se dar (450) Z= x- z= 450-400 =2.5 20 Z= 2.5 (se busca el rea bajo la curva en las tablas) Y el reas es = 0.4938 Z= 2.5 rea bajo la curva = 0.4930

Por tanto: 0.5-0.4938 = 0.0062 que seria el rea al lado derecho del rea encontrada ya que esa es la probabilidad de que sea mayor la cantidad presupuestada.

12.- En el ejercicio 11, De cunto tendra que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la cantidad presupuestada solamente se rebasara con una probabilidad de 0.1?

f(z)

f(x)

0.1 0.4 z 1.29 Solucin: 426 x

En la tabla, reas bajo la curva normal estndar.

Por frmula: x= (z)+

13.- Se supone que los resultados de un examen tienen una distribucin normal con una media de 78 y una varianza de 36. a) Cul es la probabilidad de que una persona que presenta examen obtenga una calificacin mayor que 72? b) Calcular aproximadamente la proporcin de estudiantes que tienen calificaciones que exceden por lo menos en 5 puntos a la calificacin reprobatoria del 25 %(de calificaciones inferiores). c) Si se sabe que la calificacin de un estudiante es mayor que 72, cul es la probabilidad de que su calificacin sea mayor que 84?

Comparando con las tablas El valor para z es igual a 0.3413 + 0.5 Resultado X=0.8413

Calculamos el valor z tal que P(Z78.9531) Estandarizamos con Z=(X - )/ Z=(78.9531-78)/6 = 0.1589 P(X>78.9531) = P(Z>0.1589) = 1 - P(Z84 | X>72) = P(X>84 y X> 72) / P(X>72) = La probabilidad que X sea mayor que 72 y a la vez mayor de 84 es la misma que sea mayor que 84, por lo que: P(X>84) / P(X>72) Estandarizamos con Z=(X - )/ X=84 ---> Z=(84-78)/6 = 1 X=72 ---> Z=(72-78)/6 = -1 Por lo tanto

P(X>84) / P(X>72) = P(Z>1) / P(Z>-1) = (1-P(Z