SEQUÊNCIAS E SÉRIES - ime.unicamp.brketty/ensino/ma311/Lista-Series-Gde.pdf · 1 MA 311 –...
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MA 311 – Cálculo III Lista de Exercícios - SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Parte I: Seqüências Infinitas A) Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
1) 2 1
nn
� �� �+� �
2) 2 1
3n
n−� �
� �+� � 3) 2
42
nn
−� �� �+� �
4) 2 1
3 ( 2)n
n n� �+� �+� �
5) 2
11 n� �� �+� �
6) 1ne
� �� �� �
7) { }5 8) 2
( 1)( 1)2 2 2n nn n− +� �
� �+ +� �
9) 20
1nn
� �� �
+� � 10)
32
2
6( 1)
nn
� �−� �� �
+� �� �
11) 3 ( 1)
2
n nn
� �+ −� �� �+� �� �
12) { }( 1) ( )n sen n−
13) 1
1n
� �� �+� �� �� �
14) ( 1)
12
n
n
� �−+� �� �
15) 2
1cos
nn
� �−� � � �
� � � 16)
1nn+� �
� �� �
17) 3
2
32
2
2
n
n
� �+� �� �� �� �
18) n n
n n
e ee e
−
−
� �−� �+� �
19) 1 1
1n n� �−� �+� �
20) 2
25
n
n+
� �� �� �
21) { }1n n+ − 22) 2cos n
n� �� �� �
23) 2 1n
n
� �+� �� �� �� �
24) 2
arctg2
n� �+� � � �
� � �
25) 2
nsenn
π� �� �� �
26) 2 1
ln( 2)( 3)
nn n
� �+� �+ +� �
27) 1
1n
n
� �� �� +� � �� � �� �
28) 1
1n
n
� �� �� −� � �� � �� �
B) Use a definição de limite para provar que l im nn
a L→ ∞
= nos casos abaixo:
1) 3
; 0na Ln
= = 2) 1
; 02 1na L
n= =
+
3) 1
; 3 1 3n
na L
n= =
+ 4) 3 1
; 31n
na L
n−= =
+
C) Determine os limites das seguintes seqüências:
1) 2
limn
nsenn→∞
� ��
2) 3
limn
sen nn→∞
3) lim 4n
nn
→∞ 4)
ln( )limn
nn→∞
2
5) lim( 1) n
nn e−
→∞+ 6) lim nn
ne→∞
7) lim!
n
n
nn→∞
8) 3
lim n
nn
→ ∞
9) 1
lim ( ) n
nn π
→ ∞+ 10)
3lim 1
n
n n→∞
� − ��
11) 3
lim( 3)!
n
n n→∞ + 12) lim ln
n
e en n→∞
� ��
13) 2 ln( )
lim2nn
n n→∞
14) ( )lim nsen
nn
π
→ ∞ 15) 3
limn
n
nn→∞
+� ��
16) 2
1lim 1
n
n n→∞
� + ��
17) 3lim n
nn
→∞ 18) limcosn
n sennn n→∞
−+
Parte II: Séries Infinitas D) Escreva os quatro primeiros termos das seguintes séries:
1)1
cos( )2k
k
kπ∞
=� 2)
1
cos( )1k
k kk
π∞
= +� 3) 1
2 13 2
k
kk
∞
=
++�
4) 0
tan3k
kπ∞
=
� ��
� 5) 1
ln1k
kk
∞
=
� �+�
� 6) 1
k
k
k∞
=�
E ) Determine a convergência das seguintes séries.Se convergirem, determine a sua soma.
1) 0
17k
k
∞
=� 2)
1
13k
k
∞
=� 3)
0
4k
k
∞
=� 4)
1
7 35
k k
kk
∞
=
+�
5)
2
30
23
k
kk
∞
=� 6)
2
13k
k
∞
=
−� 7)
2
1( 1)k k k
∞
= +� 8) 1
1 12 1k k k
∞
=
� �−� �+ +� ��
9) 1
2
2 2.79
k k
kk
+∞
=
+� 10)
1
cos( )k
kπ∞
=� 11) 2
2
11k k
∞
= −� 12) 21
15 6k k k
∞
= + +�
13) 24
19k k
∞
= −� 14) 1
ln1k
kk
∞
=
� �+�
� 15)
2 1
1
2 35
k k
kk
− +∞
=
+�
16)
2
0
23
k
kk
∞
=� 17) 2
1
33
k
k
k
∞
=�
3
F) Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: 1) 0,3333 ... 2) 0,777 7 ... 3) 0,929292 ... 4) 0,32151515 ... 5) 0,412412 412 ... 6) 0,21343434 ... G) Use o teste da integral para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
1) 1
2 1k +� 2) 2
1(3 1)k +� 3)
1lnk k�
4) 2
1(ln )k k� 5) 2
11 k+� 6)
32 kk e−�
H) Utilize o teste da comparação para estabelecer a convergência ou não das seguintes séries:
1) 2
11 k+� 2) 31
2 2
1
k k+� 3) 31
kk+�
4) 1
kk+� 5)
32k +� 6) ( 1) kk e−−�
I) Use o teste do limite para determinar a convergência ou divergência das séries:
1) 2
32 1kk
++� 2)
2
3
45
kk k
−+ +� 3) 3
k kk k++� 4)
3
2 2
2
k
k
++
�
J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
1) 11k +� 2) 2
cos( )kk
π� 3)
1kk+
� 4) 2
( 1)( 2)( 1)
k kk k
++ +�
5) 32 kk e −� 6) cos
4kπ�
��
� 7) 2
4
2 2 16 10
k kk k
+ −− +� 8)
( )sen kk
π�
9) 23 1
k
k +� 10) 2
arctg1
kk+� 11)
2
1
1 k+� 12)
2
2
22
kk
−+�
13) 1
4 ( 1)k k +� 14) 3
2 2
2
k
k
++
� 15) 3 2
1
2k k+� 16)
12lnk
k+
�
17) ln kk� 18) 2
arctgkk� 19)
32
1
1
k
k
+
+� 20)
ln1 ln
kk+�
21) ln( 1)
2k
k+
+� 22) 21kk+� 23)
2
3 1n
n +� 24) 2
4
32 6
nn n
++ −�
4
25) 3
ln nn� 26)
37
k
k +� 27) 2
3
2
5
k
k +� 28)
3( 2)2k
kk
++�
29) 2cos(2 6)k
k k− +� 30) 2
arctg6
kkπ +� 31)
22
k
k +� 32) 3
( 1)!
kkk +�
33) 10 kk e−� 34) 2
!2k
k+� 35)
lnk
ke� 36) 3
(3 )!( !)
kk�
37) 3
21k
k+
+� 38) 2 1
kk
k� �+�
� 39) 1
(ln )kk� 40) !k
kk�
41) 2
1k
k� + ��
� 42) 1
kk
k� �+�
� 43) 3 2
32
k
kk +� 44) 3 3
2
22
k
k
k +
�
45) 2( !)
(3 )!kk� 46) 31
kkk
� �+�
� 47) ( 2)!4! !2k
kk+
� 48) 1(1 )!k+�
49) 3
!k
ke� 50)
1lnk k
�
K) Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
1) 31
( 1)k
k k
∞
=
−� 2)
1
( 1)2 1
k
k k
∞
=
−+� 3)
1 2
1
( 1)( 2)!
k
k
kk
+∞
=
−+� 4) 1
2
( 1)ln
k
k
kk
∞+
=−�
5) 1
!( 1)
(2 1)!k
k
kk
∞
=−
+� 6) 3
1
( )3k
k
k∞
=
−� 7)
1
( 1)1
k
k k
∞
=
−+� 8)
1
cos( )
k
kk
π∞
=�
9) 1
2
k
ksen
k
π∞
=
� �� � 10)
1
( 1)( 2)
k
k k k
∞
=
−+� 11)
3
21
( 1)2
k
kk
k∞
+=
−� 12)
2 1
2
( 1)ln
k
k
kk
+∞
=
−�
14) 1
(2 1)( 1)6 2
k
k
kk
∞
=
+ −+� 15)
1
( 1)1
k
k
kk
∞
=
−+� 16)
1
3 21
( 1) 23
k k
kk k
+∞
+=
−� 17) 2
2
( 1)ln
k
k k k
∞
=
−�
18) 1
1
( 1) !6
k
kk
k+∞
=
−� 19) 2
1
( 1)1
k
k k
∞
=
−+� 20)
1 4k
ksen
π∞
=
� ��
� 21) 2
( 1)ln
k
k
kk
∞
=
−�
22) 2
1
( 1)(2 1)( 3)
k
k
kk k
∞
=
−+ +� 23) 2
1
( 1)3
k
kk
senhke
∞
=
−� 24)
1
( 1) arctgk
k
kk
∞
=
−� 25)
1
cos( )2k
kk
π∞
= +�
5
26) 2
( 1)ln
k
kk k
∞
=
−� 27)
2
(2 1)2
1 kk
kksen
e
π∞
=
+� ��
+� 28)
32
52 22
( 1) ( 3 )
7 2
k
k
k k
k k
∞
=
− +
− +� 29)
1
senh cosh
k
k kk
∞
=
−�
30) 1
( 1) cosh 2k
kk
kke
∞
=
−�
Parte III: Séries de Potências L) Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
1) 0
1( 1) se 1
1k k
k
x xx
∞
=
− = <+� 2) 2
20
1 se 1
1k
k
x xx
∞
=
= <−�
3) 0
se k
kk
x yx y
y y x
∞
=
= <−� 4)
0
se 11
k
k
xx x
x
∞
=
= <−�
M) Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x >0 para os quais a série converge:
1) 2 3
0
1 ... (0! 1)2! 3! !
k
k
x x xx
k
∞
=
+ + + + = =� 2) 2 4 2
0
1 ... k
k
x x x∞
=
+ + + =�
3) 2 4 2
1
1 ... 12 4 2
k
k
x x xk
∞
=+ + + = +� 4)
2 4 2
0
1 ...2 3 1
k
k
x x xk
∞
=+ + + =
+�
N) Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
1)2
0
1 ...! 2!
k
k
x xx
k
∞
=
= + + +� 2) 2
0
1 ...2 1 3 5
k
k
x x xk
∞
=
= + ++�
3) 2 1 3 5 7
0
( 1) ...(2 1)! 3! 5! 7!
kk
k
x x x xx
k
+∞
=
− = − + − ++� 4)
2 2 4 6
0
( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!
kk
k
x x x xk
∞
=
− = − + − +�
O) Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
1)0 2
k
k
xk
∞
= +� 2) 1 2
k
k
xk
∞
=� 3)
1
0
( 1)!
kk
k
xk
+∞
=
−� 4)
0
2( 1)!
k k
k
xk
∞
= +�
5) 2
1
( 1)!
k
k
kx
k
∞
=
+� 6)
0 2
k
kk
kx∞
=� 7)
2 ln
k
k
xk
∞
=� 8) 2
1
( 1)k kk
k
ex
k
∞
=
−�
9) 1
cos( )1
k
k
kx
kπ∞
= +� 10) 2
1
(2 1)!2 !
k
k
kx
k
∞
=
+� 11)
1
( 1)( 1)
kk
k
xk k
∞
=
−+� 12) 2
1
k k
k
k c x∞
=�
6
13) 1
( 1)( 3)
!
kk
k
xk
∞
=
− −� 14) 1
( )3
kk
k
kx π
∞
=
−� 15) 0
!( 1)k
k
k x∞
=
−� 16) 21
3(2 1)
kk
k
xk
∞
=−�
17) 2
( 1)(3 2)
ln
kk
k
xk
∞
=
− −� 18) 2
1( 1)
(ln )k
kk
xk
∞
=−� 19) 2 1
1
12
k
k
xk
∞+
= +� 20) 1
( 2)( 1)3
k
kk
xk
∞
=
++�
21) 1
( 3)( 1)
k
k
xk k
∞
=
−+� 22)
2 1
0
k
kk
xπ
+∞
=� 23)
1
( 2)k
kk
k xe
∞
=
−� 24)
0
(2 5)2 8
k
k
xk
∞
=
++�
25) 2
(7 1)2
k
kk
k x∞
=
+� 26) 2
1
( 2)3
k
kk
xk
∞
=
−� 27)
3
k
k
kx∞
=� 28)
0 ln( 1)
k
k
xk
∞
= +�
29) 1
( 1)3 1
k
kk
xk
∞
=
−+� 30)
0
(2 1)5
k
kk
x∞
=
−� 31)
1
( 4)( 1)( 2)
k
kk
k xk k e
∞
=
++ +� 32)
3
0
( 2)3
k
kk
k x∞
=
−�
33) 2 1
0
( 1)2( 1)!
k k
k
xk
+∞
=
−+� 34)
2
0
( 1)(2 )!
k k
k
xk
∞
=
−� 35)
1 ( 1)
k
k
xk k
∞
= +�
P) Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções.Determine o raio de convergência.
1) 11 2x−
2) 2
1x
x− 3) 2
11 4x+
4) 2
11 9x−
5) 21xx+
6) 21xx−
7) 11
xx
−+
8) 2
11x
x−
−
9) 4
11 x−
10) 24xx−
Q) Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Determine o raio de convergência.
1) 2
2 1( ) Dica: ( ) 2
(1 ) 1d
f x f xx dx x
� � = = − � �+ +� � 2)
2
3 2
2 1( ) Dica: ( )
(1 ) 1d
f x f xx dx x
� � = = � �− −� �
3) 2 2( )(1 )
xf x
x=
+ 4)
2
2 2
1( )
(1 )x
f xx
+=−
5) 2
1( )
(1 4 )f x
x=
+
7) 2
2 2 2
1( ) Dica: ( )
(1 ) 1x d x
f x f xx dx x
� − � = = � �+ +� � 8) 2 2
8( )
(1 4 )x
f xx
=+
9) 2
2 2
1 2( )
(1 )x x
f xx
+ −=+
10) 2
2( )
( 1)f x
x=
+
7
R) Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções.Utilize o teorema sobre a integração de séries de potências.Determine o raio de convergência. 1) ( ) ln(1 )f x x= + 2) ( ) ln(1 )f x x= − 3) ( ) ln(1 )f x x x= + 4) ( ) arctg2f x x= 5) arctgx x 6) ln(4 )x+
7) 41dx
x+� 8) 2ln(1 )x+
S) Utilize os resultados dos itens (1) e (2) do exercício R para mostra que:
3 51
ln 2 ... 11 3 5
x x xx x
x� +� = + + + < � �−� �
T) Para a série de potências2 2 4 6
0
( 1) 1 ...(2 )! 2! 4! 6!
kk
k
x x x xk
∞
=− = − + − +� , faça o que se pede nos itens abaixo:
1)Use o teste da razão para mostrar que a série converge absolutamente para todo x.
2)Utilize o teorema da diferenciação de séries de potências para mostrar que a função 2
0
( ) ( 1)(2 )!
kk
k
xf x
k
∞
=
= −�
satisfaz ( ) ( )f x f x′′ = − . 3)Mostre que ( 0 ) 1f = 4) Qual a função que já foi vista que satisfaz os itens (2) e (3)? U) Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções.Determine os valores de x para os quais a série converge. 1) 2( ) 0xf x e c= = 2) ( ) sen 0f x x c= =
3) ( ) cos 4
f x x cπ= = 4) ( ) sen
6f x x c
π= =
5) 2( ) 1 2f x x c= + = 6) 1
( ) 01
f x cx
= =+
7) ( ) ln(3 ) 0f x x c= + = 8) ( ) sen2 0f x x x c= =
9) ( ) 2 0xf x c= = 10) 1
( ) 2f x cx
= =
11) sen
( ) 0x
f x cx
= = 12) 2( ) 0xf x x e c−= =
13) ( ) sen 4
f x x x cπ= = 14) 2( ) ln(1 ) 0f x x x c= + =