Senad Medić Adaptivna MKE_Novi Sad PhIDAC

5/27/2018 Senad Medi Adaptivna MKE_Novi Sad PhIDAC

1/8

III

,

-1-

Senad Medi1

ADAPTIVNO MODELIRANJE KORITENJEM METODE KONANIHELEMENATA

Rezime: U radu se daju osnove adaptivnog modeliranja metodom konanih elemenata (AMKE), kakoteoretski tako na primjerima. Sutina adaptivnog modeliranja jeste da se mrea automatski proguuje

gdje rezultati dramatino variraju, dok drugdje moe ostati gruba.Postoje razliiti kriteriji za procjenugreke aproksimativnog modela, a greku obino mjerimo u H1 ili L2 normi. Algoritam AMKE sesastoji od modula RIJEI, PROCIJENI, OZNAI i RAFINIRAJ. Numeriki primjeri vezani su zaPoissonovu parcijalnu diferencijalnu jednainu na L domeni i rijeeni su koritenjem programa iFEMsa trougaonim linearnim konanim elementima. Uporeena su rjeenja sa uniformnim i adaptivnim

rafiniranjem mree obzirom na broj stepeni slobode, brzinu konvergencije i trajanje prorauna.

ljune rijei: Adaptivno modeliranje. Greka. Poissonova jednaina. iFEM.

ADAPTIVE MODELING USING FINITE ELEMENT METHOD

Summary: Basic principles of adaptive finite element modeling (AFEM) are discussed in this paper, boththeoretically and numerically. The core of adaptive modeling is automatic mesh refinement in regionswith dramatic variations of results. Elsewhere we can keep a coarse traingulation. Different estimatorsare available for assessing error of approximate models, and error is usually measured in H1 or L2

norm. AFEM algorithm consists of modules SOLVE, ESTIMATE, MARK and REFINE. Poisson partialdifferential equation on L shaped domain is used for numerical examples which were solved utilizing

free software iFEM with linear triangular finite elements. Also, the comparison between uniform andadaptive refinement concerning number of DOFs, convergence rate and analysis duration is presented.

Keywords: Adaptive modeling. Error. Poisson equation. iFEM.

1. UVOD

Metoda konanih elemenata (MKE) je najpopularnija tehnika za odreivanje rjeenja parcijalnih

diferencijalnih jednaina (PDJ). Poto PDJ predstavljaju bazu mnogih matematskih modela uinenjerskim oblastima, izuavanje MKE je od velike vanosti. Metoda konanih elemenata svodi

problem rubnih vrijednosti za linearnu PDJ na sistem linearnih algebarskih jednaina, koji se obinozapisuje u matrinoj formi kao KU = F. Galerkinova metoda konanih elemenata temelji se na tri vaneideje.

Prva je da se klasina (jaka, diferencijalna) forma ravnotee moe preinaiti u slabu ili varijacionuformu. Slaba forma rubnog problema je integralna formulacija problema koja doputa upotrebuGalerkinove metode. Druga je da je Galerkinova metoda nain projiciranja bekonano dimenzionalne(diferencijalne) jednaine na aproksimativni konano dimenzionalni potprostor. Rjeavanjem sistemalinearnih algebarskih jednaina nalazimo priblino rjeenje rubnog problema, koje u odreenom smislu

1Dipl. ing. gra., Graevinski fakultet u Sarajevu, Patriotske lige 30, 71 000 Sarajevo, [email protected]


2/8

predstavlja najbolju moguu aproksimaciju za dati potprostor2. U Galerkinovoj metodi konanihelemenata koristimo potprostor polinoma po dijelovima (trea ideja) jer je polinomna baza prikladna zaformiranje i rjeavanje jednaina MKE3. Proraunska domena podijeljena je odreenim tipom mreena

jednostavnije poddomene zvane elementi. Element koriten u ovom radu se moe definirati kao d simplex Kodnosno konveksna anvelopa koja se sastoji od d + 1 taaka ajR

d1 1j d . Na primjer,trougao je 2 simplex, tetraedar je 3 simplex, dok je taka 0 simplex. Matematski se to moe izraziti

kao: 1 1

1 1

: | 0 1, 1: 1,d d

i i i ii i

i d

x x 1 (1)

gdje su ibaricentrine koordinatedefinirane kao

/i i x x (2)

pri emu je Lebesgue ova mjera u odnosno povrina u 2D ili zapremina u 3D.d

Afinom transformacijom nalazimo proizvoljni nedegenerirani d simplex K kao sliku jedininog(matinog, referentnog) d simplexa K* (tzv. afina ekvivalencija KE). Za razliku od inenjerskog

pristupa MKE gdje korisnika ne zanima teorija na kojoj se bazira proraun, u sluaju razvoja novihmodela (kao npr. adaptivnih) kljuno je poznavanje osnovnih lema o egzistenciji rjeenja, konvergenciji,grekama itd. (Lax Milgram4, Cea5, Bramble Hilbert6, ...) o kojima se nee raspravljati u ovom radu,vese upuuje na literaturu (npr. [4], [5] ).

2. ADAPTIVNA METODA KONANIH ELEMENATA

Kada rjeavamo problem rubnih vrijednosti, cilj je da odredimo dovoljno tano rjeenje. Da biproraunato rjeenje bilo tano, nuno je da je mrea dovoljno rafinirana da moe predstaviti varijacijutanog rjeenja. Ako rjeenje rapidno varira, mrea mora biti gusta. S druge strane, ako rjeenje sporovarira, zadovoljiemo se i sa grubom mreom. Mnoga rjeenja su takva da na odreenom dijelu raunskedomene variraju dramatino, dok drugdje nema promjena. Primjer takve funkcije je

2 2100 0.5 0.75,

x yu x y e

(3)

sa otrim vrhom u (v.sl. 1), 0.5,0.75x y

Slika 1 Primjer varijacije rjeenja na proizvoljnoj domeni.

2Greka aproksimacije je jednaka nuli ako je mjerena u normi definiranoj kroz bilinearnu formu Gint(,). Takoer, MKE dajenajbolju moguu aproksimaciju energije u odnosu na bilo koji drugi metod za pronalaenje priblinog rjeenja (v. [1])

3Danas u konanim elementima postaje sve popularnija baza sa racionalnim funkcijama (NURBS non uniform rationalbasis spline) zbog kompatibilnosti sa CAD softverima prilikom importa (exporta) geometrije. (v. [2])

4Lema o jedinstvenosti rjeenja varijacione jednaine.5 Diskretna aproksimacija konstruirana metodom konanih elemenata konvergira ka tanom rjeenju ili norma grekeaproksimacije se potpuno kontrolira izborom prostora aproksimacije Vhodnosno izborom postavnih funkcija.

6Ogranienje greke aproksimacije funkcije upolinom reda najvie m 1 u smislu izvoda funkcije u.

-2-


3/8

Adaptivna metoda konanih elemenata lokalno rafinira mreu KE automatskiu toku rjeavanja rubnogproblema. Osnovi algoritam je:

Za datu inicijalnu mreu :

DO

Rijei problem rubnih vrijednosti na

Procijeni greku u proraunatom rjeenju na svakom elementu

IF greka dovoljna mala,stop

ELSE upotrijebi indikator greke i selektiraj odreene elemente za rafiniranje

Lokalno rafiniraj mreu

END

Adaptivna MKE je aktivno podruje istraivanja i ne postoji najbolji algoritam. Lokalnimrafiniranjem treba kreirati geometrijski konformnnu triangulaciju (spoj 2 elementa sastoji odlica - face,ruba - edge ili vora - vertex), odnosno nebi trebalo biti viseih vorova (hanging nodes7) (v.sl. 2).Moe se rei i da se u nekonformnoj triangulaciji ne dobija funkcija u H1 kada zalijepimointerpolacione funkcije izmeu 2 elementa. Za razliku od trougaonih elemenata, efekat rafiniranja mreesastavljene od pravougaonih elemenata je globalnog karaktera i kao takav nije pogodan.

Slika 2 Lijevo: nekonformna triangulacija Desno: konformna triangulacija. [6]

Osim toga, geometrija elementa mora biti regularna, odnosno oblik ne smije biti pretanak. Jedan odkriterija regularnosti oblika moe biti odnos dijametra upisane krunice i duine najdulje stranice trougla.Regularnost oblika mree osigurava da su uglovi ogranieni izmeu 0 i to je vano za kontrolu grekeu H1 normi i broj uvjetovanosti matrice krutosti. Kvalitetna nedegenerativna mrea jo se naziva izelena.

Rafiniranje mree zasnovano je na razliitim metodama bisekcije trougla: newest node, longest edge bisekcija, itd., a ovdje se upuuje na literaturu [3], [6] gdje je detaljno objanjena metodologija iimplementacija u MATLAB u. MATLAB (Matrix Laboratory) je popularan u raunarskoj mehanicizbog rutina za rijetke matrice (koje proizvodi MKE) i grafikih kapaciteta. Meutim, mana mu je to se

program ne moe kompajlirati, ve se kod svaki put interpretira. Zbog toga proraun moe trajati jakodugo ili ak biti neizvediv. Problem se moe prevazii vektorizacijom koda, odnosno zamjenomforpetlji

matrinim operacijama ili raznim ugraenim funkcijama (v. [9]).Kao to je ve reeno, ideja adaptivnog modeliranja jeste da se mrea progusti/prorijedi gdje je to

potrebno, odnosno da se izbjegne uniformno rafiniranje. Esencijalni sastojak adaptivnog algoritma jemetoda kojom selektiramo trouglove koje treba rafinirati. Rjeavanjem rubnog problema nalazimoaproksimativno rjeenje uh tanog rjeenja u. Greku u - uhocjenjujemo na svakom trouglu h i naosnovu greke odreujemo koji trougao treba rafinirati, a koji ne. Meutim, nuno je odabrati normu ukojoj emo mjeriti greku na , obino su toL2 norma iH1 semi norma8:

7Za hanging nodes se jo kae i da su pain in the neck zbog komplikacija koje prouzrokuju.8Sobolev prostor H1definiran je u smislu L2kao: 1 2 2: ,

u uH u L L

x y

-3-


4/8

1/ 2

2

0,h hu u u u dx

[4]

1/ 2

2

1,h h hEu u u u u u dx

[5]

Druga mogunost je da se procijeni maksimalna greka po takama na ime uvodimo novu normu,L- normu, koja je definirana za kontinuirane funkcije kao:

,max ,

L x yv v

x y [6]

gdje bi adaptivni algoritam procijenio

,max , ,h hL x y

u u u x y u x y

[7]

Ako je tano rjeenje dovoljno glatko i vai eliptika regularnost, mogu se uvesti sljedei estimatorigreke za uhsa linearnim polinomima po dijelovima:

2

2 2, , logh h hE L Lu u O h u u O h u u O h h [8]

Standardna adaptivna metoda konanih elemenata (AMKE) utemeljena na lokalnom rafiniranju moese napisati kao petlja oblika:

RIJEI PROCIJENI OZNAI RAFINIRAJ/PRORIJEDI

O modulu RIJEI ovdje se nee raspravljati jer se koristi Matlabov solver. A posteriori indikatorigreke su esencijalni dio modula PROCIJENI. Postoji nekoliko nekoliko naina da se ocijeni greka,meu kojima su:

a posteriori estimatori greke rezidualnog tipa a posteriori estimatori greke hijerarhijskog tipa estimatori greke bazirani na lokalnom osrednjavanju

Ilustrativan primjer rezidualnog tipa estimatora greke koji se koristi u iFEM programu (v. narednopoglavlje sa primjerima) definiran je za bilo koji i v V :

22 1/ 2

0, 0,, e e

e

v h f h v n

[9]

gdje je1/ d

h predstavlja veliinu elementa dok je skok u fluksu preko ruba edat sa

1 2e ev v v e [10]

pri emu je 1 2e i 0ev ako je e . je jedinina normala na rubu e.e

Neka su ui uegzaktno rjeenje i aproksimativno MKE rjeenje Poissonove jednaine sa Dirichlet

ovim rubnim uvjetom. Tada se moe dokazati estimator greke

2 2

1,u u C u

[11]

Modul OZNAI zaduen je za diferenciranje elemenata koji e se rafinirati od onih koji e seprorijediti. Neki od kriterija su :

Babuka Vogelius: , * max ,u u

za neko 0,1

Doerfler ov kriterij: 2 2,M

u u

,

, 0,1 ,M - skup svih oznaenih trouglova

(ovaj kriterij ocjene greke je globalnog karaktera)

Modul RAFINIRAJ/PRORIJEDI baziran je na gore spomenutim metodama bisekcije, a put od

inicijalne do finalne mree skiciran je na donjoj slici.

-4-


5/8

Slika 3 Od poetne do krajnje mree metodom bisekcije najdue stranice. [6]

3. NUMERI

KI PRIMJERIU ovom poglavlju pokazae se dva rjeenja eliptine parcijalne diferencijalne jednaine drugog reda

(Poisson - ove), prvi sa uniformnim rafiniranjem mree, drugi sa adaptivnim i to koritenjem programaiFEM [6] sa a posteriori estimatorom greke rezidualnog tipa. U sluaju da je funkcija pobude jednakanuli, Poissonova jednaina se naziva Laplace ova. Poissonovom (Laplaceovom) jednainom se moemodelirati stacionarni tok toplote kroz plou koja zauzima domenu u R2. Funkcija u(x,y) predstavljatemperaturu u taki (x,y)i ne ovisi o vremenu dok temperaturni gradijent u indicira tok energije

kroz plou. Takoer, Poissonovom jednainom modeliramo male vertikalne deformacije membrane. Kaese da eliptina regularnost vrijedi za ravnu domenu ako je rub gladak ili ako je konveksna.

Nekonveksni region sa rubom koji nije gladak moe dovesti do rjeenja sa singularitetima. Primjer kojie biti pokazan odnosi se upravo na takav sluaj gdje je domena L oblika

2

1, 1 \ 0,1 1,0 :0 na

na :

u

u g

[12]

gdje treba odabrati tako da je u polarnim koordinatamag

2 / 3, sin 2 / 3u r r [13]

egazktno rjeenje problema. Dobro je poznato da rjeenje uHs() za ima singularitet u

ishoditu

5/ 3s9. Mrea h kreirana je podjelom kvadrata iz h na dva trokuta

10, odnosno na P1 konformne

elemente (polinomi prvog reda). Za razliit broj vorova N izraunati uh Vh kao rjeenje

,0, : 0,h h h h h ha u v u v dx v V

[14]

Izraunate su greke1,h

u u

i0,h

u u

i prikazane nie u tabelarnoj formi. Takoer su prikazane

rafinirana mrea (meurezultat jer zbog prevelike gustine vorova za N = 197633 nema dovoljnokvalitetne rezolucije) sa konanim rezultatima kao i brzine konvergencije.

Primjer 1. Uniformno rafiniranje za = 0.5.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

234

5

6 7

8

9

10

11

12

13

14 1516

17

18

19

20 21

Slika 3 Inicijalna mrea.

9Tzv. reentrant corner.10Tzv.simplex triangulation.

-5-


6/8

Tabela 1 Greke1,h

u u

i0,h

u u

N 1,hu u 0,hu u

21 0.0932 0.3196

65 0.0667 0.2009

225 0.0435 0.1266

833 0.0278 0.0794

3201 0.0176 0.0492

12545 0.0111 0.0294

49665 0.0070 0.0157

197633 0.0044 0.0000

102

103

104

105

10-2

10-1

Number of unknowns

err

Rate of convergence is N-0.38294

||DuI-Duh||

N-0.33763

sqrtE(uk)-E(u

i)

N-0.38294

Slika 4 Brzina konvergencije u dvije norme za uniformno rafiniranje.

Slika 5 Uniformno rafinirana mrea sa konanim rezultatima.

-6-


7/8

Primjer 2. Adaptivno rafiniranje.U ovom sluaju provodimo sve faze prorauna (RIJEI PROCIJENI OZNAI - RAFINIRAJ) za

razliite vrijednosti Doerflerovog markera kojima odgovara broj stepeni slobode (za problem uskalarnom polju broj stepeni slobode je jednak broju vorova N) potreban za ostvarenje zadate tanosti.

Tabela 2 Adaptivna MKE. Greka 1,,h h ha u u u u u u za razliite vrijednosti Doerflerovog markera .

= 0.1 = 0.5 = 0.9

N 1,hu u N 1,hu u N 1,hu u

21 0.0087 21 0.0087 21 0.0087

22 0.0065 22 0.0065 27 0.0063

23 0.0066 25 0.0051 41 0.0043

24 0.0067 29 0.0032 62 0.0029

25 0.0051 38 0.0021 96 0.001926 0.0044 52 0.0014 161 0.0012

27 0.0032 69 0.0012 256 0.0008

101.4

101.6

101.8

10-2.9

10-2.7

10-2.5

10-2.3

10-2.1

log(DOF)

loga

(u-uh,u-u

h)

decay of |u-uh|1,

||DuI

-Duh

||

N-1.397

Slika 6 Brzina konvergencija za AMKE = 0.5.

Slika 7 Adaptivno rafinirana mrea sa konanim rjeenjem za = 0.5.

-7-


8/8

-8-

Oigledno je da uniformnim rafiniranjem proguujemo mreu tamo gdje to nije potrebno te za H1greku od 0.0044 trebamo imati 197 633 vora. Adaptivna mrea se za isti problem sastoji od samo 69vorova za H1greku od 0.0012. Vrijeme prorauna za uniformno rafiniranje je 13.912 s , dok je zaadaptivno 1.714 s.

LITERATURA

[1] Ibrahimbegovi A.: Nelinearna mehanika deformabilnih tijela, Graevinski fakultet, Sarajevo,2010, str. 39 40

[2] Cottrell, J.A., T.J.R. Hughes, Y. Bazilevs: Isogeometric Analysis: Toward Integration of CADand FEA, John Wiley & Sons, 2009

[3] Gockenbach M.S.: Understanding and implementing the finite element method, SIAM, 2006, str.309 - 349

[4] Hoppe R.:Finite Element Methods - Lecture notes, http://www.math.uh.edu/~rohop/[5] Brenner S., Scott: The mathematical theory of finite element methods, Springer, 2008[6] Chen L.: iFEM an innovative finite element method package in Matlab,

http://ifem.wordpress.com/, str. 1 35

[7] Chen L./Zhang C.: A coarsening algorithm on adaptive grids by newest vertex bisection and itsapplications, Journal of computational mathematics, vol.28, no.6,2010, str.767 - 789

[8] Chen L.: Short bisection implementation in Matlab, http://ifem.wordpress.com/, str. 1 18[9] MathWorks: http://www.mathworks.com/support/tech-notes/1100/1109.html

Senad Medić Adaptivna MKE_Novi Sad PhIDAC

Documents

Transcript of Senad Medić Adaptivna MKE_Novi Sad PhIDAC