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Ensino Fundamental: Geometria: ngulos

Segmentos de reta e semi-retas O conceito de ngulo Notas Histricas sobre ngulos ngulos consecutivos e adjacentes ngulos opostos pelo vrtice ngulos congruentes Medida de um ngulo Unidades de medida de ngulos

Histrico sobre grau e radiano Alguns ngulos especiais O transferidor Subdivises do grau Exerccios resolvidos Interior e Exterior de ngulo ngulos Complementares, Suplementares e Replementares

Segmentos de reta e semi-retas Lembramos que um segmento de reta orientado AB um segmento de reta que tem incio em A e final em B.

Uma semi-reta orientada AB a parte de uma reta que tem incio em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.

O conceito de ngulo ngulo a reunio de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.

A interseo entre os dois segmentos (ou semi-retas) denominada vrtice do ngulo e os lados do ngulo so os dois segmentos (ou semi-retas). Observao: Mostraremos nas notas histricas que no existe uma definio bem estabelecida de ngulo. Podem ser usadas trs letras, por exemplo ABC para representar um ngulo, sendo que a letra do meio B representa o vrtice, a primeira letra A representa um ponto do

primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi-reta).

Usamos a notao < para um ngulo, como por exemplo: DF, equivale a m(AB) > m(DF) 3. A partir de dois ngulos dados, podemos obter um terceiro ngulo, cuja medida corresponde soma das medidas dos ngulos dados.

Se m(AB) a medida de AB e m(BC) a medida de BC, ento AC AB+BC. Alm disso: m(AC) = m(AB) + m(BC)

Unidades de medida de ngulos

A unidade de medida de ngulo no Sistema Internacional o radiano e o processo para obter um radiano o seguinte: Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traamos um arco de circunferncia AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ngulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ngulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad). Uma forma prtica de visualizar isto, tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferncia (no importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das intersees da circunferncia com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OA da circunferncia. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunferncia. O ponto B coincidir com a outra extremidade do barbante. Traamos ento o segmento de reta OB, que representa o outro lado do ngulo AOB. A medida do ngulo AOB 1 radiano. Uma outra unidade muito utilizada nos primeiros nveis educacionais o grau. Ela obtida pela diviso da circunferncia em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ngulo de um grau, sendo que a notao desta medida usa um pequeno o colocado como expoente do nmero, como 1. Exemplo: Em geral, associa-se um nmero a um ngulo estabelecendo a razo entre este ngulo e outro ngulo tomado como unidade.

Por exemplo, se um ngulo com 1 radiano de medida for considerado um ngulo unitrio, ento o ngulo =6 tem a medida 6 vezes maior, isto , tem 6 unidades de medida. Pergunta: Voc conhece a razo pela qual o crculo dividido em 360 partes? Leia as notas histricas que seguem.

Notas histricas sobre o grau e o radiano Acerca de elementos geomtricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco props um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Coprnico, no entanto este material histrico se perdeu na noite do tempo. O

que ficou, do ponto de vista histrico foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distncia do Sol e da Lua. A diviso do crculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e no existe qualquer razo cientfica. Talvez exista uma razo histrica que justifique a existncia de tal nmero no contexto de estudos do povo babilnio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construes de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relao com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numerao com base 60 (sistema hexagesimal). No se sabe ao certo quais as razes pelas quais, foi escolhido o nmero 360 para se dividir a circunferncia, sabe-se apenas que o nmero 60 um dos menores nmeros menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razo forte pela qual este nmero tenha sido adotado. O primeiro astrnomo grego a dividir o crculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalizao de Hiparco para este procedimento. Dividir um crculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela poca e possvel que se tenha usado o nmero 60 para representar 1/6 do total que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do nmero 360 que o movimento de translao da Terra em volta do Sol se realizava em um perodo de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razovel para a poca. Hiparco mediu a durao do ano com grande exatido ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias. Nosso entendimento que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da diviso do crculo em 360 partes iguais, assim como a diviso de cada uma dessas partes em 60 partes menores e tambm na diviso de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto que os babilnios usavam fraes com potncias de 60 no denominador. As fraes sexagesimais babilnicas, usadas em tradues rabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:"primeiras menores partes" = sexagsimos

"segundas menores partes"

= sexagsimos de sexagsimos

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a lngua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:"primeiras menores partes" = partes minutae primae "segundas menores partes" = partes minutae secundae

de onde apareceram as palavras minuto e segundo. De um modo popular, usamos a unidade de medida de ngulo com graus, minutos e segundos. Na verdade a unidade de medida de ngulo do Sistema Internacional o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemtico Thomas Muir e o fsico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade o termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873. Em 1884, muitos cientistas ainda no usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade implementada ao longo do tempo.

Alguns ngulos especiais Com relao s suas medidas, os ngulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso. ngulo Caractersticas Grfico

ngulo cuja medida maior do que 0 graus e agudo menor do que 90 graus. Ao lado temos um ngulo de 45 graus. Um ngulo reto um ngulo cuja medida reto exatamente 90. Assim os seus lados esto localizados em retas perpendiculares. um ngulo cuja medida est entre 90 graus e 180 obtuso graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ngulo obtuso de 135 graus. ngulo que mede exatamente 180, os seus lados raso so semi-retas opostas. Neste caso os seus lados esto localizados sobre uma mesma reta. O ngulo reto (90) provavelmente o ngulo mais importante, pois o mesmo encontrado em inmeras aplicaes prticas, como no encontro de uma parede com o cho, os ps de uma mesa em relao ao seu tampo, caixas de papelo, esquadrias de janelas, etc... Um ngulo de 360 graus o ngulo que completa o crculo. Aps esta volta completa este ngulo coincide com o ngulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 ).

Observao: possvel obter ngulos maiores do que 360 mas os lados destes ngulos coincidiro com os lados dos ngulos menores do que 360 na medida que ultrapassa 360. Para obter tais ngulos basta subtrair 360 do ngulo at que este seja menor do que 360.

Por exemplo um ngulo de 400 equivalente a um ngulo de 40 pois: 400-360=40.

O transferidor Para obter a medida aproximada de um ngulo traado em um papel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, que contm um segmento de reta em sua base e um semicrculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ngulo sem muito esforo. Para medir um ngulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vrtice do ngulo, alinhe o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ngulo e o outro lado do ngulo determinar a medida do ngulo, como mostra a figura.

O ngulo AC mede 70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes ngulos: m(AB)=27 m(AC)=70 m(AD)=120 m(AE)=180 m(EB)=153 m(EC)=110 m(ED)=60 m(EA)=180

Observao: Os ngulos AB e EB so suplementares. O mesmo acontece com os pares de ngulos: AC e EC, AD e ED. Exemplos: 1. O ngulo BC pode ser medido mudando a posio do transferidor ou subtraindo dois ngulos conhecidos. m(BC) = m(AC) - m(AB) = 70 - 26 = 44 2. O ngulo DB pode ser medido mudando a posio do transferidor ou subtraindo dois ngulos conhecidos. m(DB) = m(EB) - m(ED) = 154 - 60 = 94

Subdivises do grau Em problemas reais, os ngulos nem sempre possuem medidas associadas a nmeros inteiros, assim precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notao para 1 minuto 1' e a notao para 1 segundo 1". Unidade de ngulo Nmero de subdivises Notao 1 ngulo reto 90 graus 90 1 grau 60 minutos 60' 1 minuto 60 segundos 60" Assim1 grau = 1 ngulo reto dividido por 90. 1 minuto = 1 grau dividido por 60. 1 segundo = 1 minuto dividido por 60.

Exemplo: Expressar a medida do ngulo 35 48' 36" como frao decimal do grau.3548'36" = = = = 35 + 48' + 36" = 35 + (48/60) + (36/3600) 35 + 0,80 + 0,01 35,81

Alguns exerccios resolvidos 1. Nos relgios desenhados, qual a medida do menor ngulo formado pelos ponteiros de cada relgio?

Soluo: No relgio lils, o menor dos ngulos formados pelos ponteiros de aproximadamente 120 enquanto que no relgio verde o menor dos ngulos formados pelos ponteiros de aproximadamente 150. 2. Para expressar 2/3 de 1 grau (1) em minutos, basta tomar: (2/3) = 2/3 x 60' = 40'. 3. Para escrever 48' como uma parte fracionria do grau, basta tomar: 48'=(48/60)=(4/5)=(4/5) de 1. 4. Para expressar 3/4 de 1' em segundos, tomamos (3/4)'=(3/4)x60" = 45" 5. De acordo com a figura, complete as medidas dos ngulos que esto faltando em cada linha da tabela abaixo: m(AC) m(AB) m(BC) 6220' 3240' 6142' 193' 20" 4342' 20" 2149' 52" 6418' 4525' 34" 6. Posicione o mouse sobre a palavra "Resposta" e aps alguns segundos voc ver se acertou a questo. 7. Na figura abaixo as retas AC e BD se interseptam no ponto O. Pergunta-se:

a. b. c. d. e.

Quais so ngulos agudos? Quais so ngulos obtusos? Quais so os nomes de quatro pares de ngulos suplementares? Quais ngulos so opostos pelo vrtice? Identifique dois ngulos que so adjacentes ao ngulo DA.

Soluo: f. ngulos agudos so BA e CD. g. ngulos obtusos so BC e DA.

h. Quatro pares de ngulos suplementares so DC e CB, CB e BA, BA e DA, BA e CD. i. ngulos opostos pelo vrtice: DC e AB, AD e BC. j. Dois ngulos adjacentes ao ngulo DA so: BA e DC. 8. Mostre que ngulos so opostos pelo vrtice so congruentes. Soluo: Se m(AB)=x, m(CD)=y e m(CB)=z, como os pares de ngulos AB, BC e BC, CD so suplementares, temos que x+z=180 e y+z=180, portanto x=y, o que implica que os ngulos AB e CD so congruentes.

9. A soma de dois ngulos adjacentes 120 graus. Calcule a medida de cada ngulo, sabendo que a medida de um deles o triplo da medida do outro menos 40 graus. Soluo: Sejam x e y as medidas dos ngulos. Assim, temos duas equaes: x+y=120 e x=3y-40. Resolvendo este sistema, obtemos x=40 e y= 80. 10. Dois ngulos so suplementares, a medida de um deles 24 graus menor do que o dobro da medida do outro.Calcule a medida de cada ngulo. Soluo: Sejam x e y as medidas dos ngulos. Desse modo: x+y=180 e x=2y24. Assim: x=112 e y=68. 11. Um entre dois ngulos complementares tem medida 18 menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ngulo. Soluo: Medidas dos ngulos: 36 e 54. 12. Dois ngulos complementares tm medidas respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10. Determinar a medida de cada ngulo. Soluo: Os ngulos medem 44 e 46. 13. Em quantos graus, a medida do suplementar de um ngulo agudo excede a medida do complementar deste ngulo? Soluo: Se x a medida do ngulo, ento a medida do suplementar de x igual a (180-x) e a medida do complementar de x igual a (90-x), portanto, a medida do suplementar de x que excede a medida do complementar de x igual 90.

14. Se (3x-15) graus a medida de um ngulo agudo, que restries devemos ter para o nmero x?

Soluo: O ngulo agudo mede 3x-15. Temos que um ngulo agudo deve medir mais do que zero graus e menos do que 90 graus, assim, 0