24. LTA LOGISTICS v Enrique Varona (LTA Gets Subpoena Duces Tecum)
Semántica de LTA Ialeteya.cs.buap.mx/~jlavalle/flp/6 Semantics of LTA I.pdfContenido 1...
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Sem´ antica de LT A I Jos´ e de Jes´ us Lavalle Mart´ ınez http://aleteya.cs.buap.mx/ ˜ jlavalle/ Benem´ erita Universidad Aut´ onoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Computaci´ on Licenciatura en Ciencias de la Computaci´ on Fundamentos de Lenguajes de Programaci´ on CCOS 255 Oto˜ no 2020 Jos´ e de Jes´ us Lavalle Mart´ ınez (FCC-BUAP) Sem´ antica de LT A I Oto˜ no 2020 1 / 14
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Semantica de LT A I
Jose de Jesus Lavalle Martınezhttp://aleteya.cs.buap.mx/˜jlavalle/
Benemerita Universidad Autonoma de PueblaFacultad de Ciencias de la Computacion
Licenciatura en Ciencias de la ComputacionFundamentos de Lenguajes de Programacion
CCOS 255
Otono 2020
Jose de Jesus Lavalle Martınez (FCC-BUAP) Semantica de LT A I Otono 2020 1 / 14
Contenido
1 Introduccion
2 Ordenes parciales sobre LT A
3 Diferentes tipos de induccion
4 Propiedades de la semantica del LT A
5 Ejercicios
Jose de Jesus Lavalle Martınez (FCC-BUAP) Semantica de LT A I Otono 2020 2 / 14
Motivacion I
¿Por que es importante una sintaxis y una semantica formal para el LT A?
Con respecto a la sintaxis formal, esta nos permite:
1 combinar los sımbolos del alfabeto correctamente,2 definir funciones recursivas para razonar sobre los elementos del
lenguaje.3 definir diferentes ordenes parciales entre los elementos del lenguaje,
para poder hacer demostraciones por induccion.
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Motivacion I
¿Por que es importante una sintaxis y una semantica formal para el LT A?
Con respecto a la sintaxis formal, esta nos permite:
1 combinar los sımbolos del alfabeto correctamente,2 definir funciones recursivas para razonar sobre los elementos del
lenguaje.3 definir diferentes ordenes parciales entre los elementos del lenguaje,
para poder hacer demostraciones por induccion.
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Motivacion I
¿Por que es importante una sintaxis y una semantica formal para el LT A?
Con respecto a la sintaxis formal, esta nos permite:1 combinar los sımbolos del alfabeto correctamente,
2 definir funciones recursivas para razonar sobre los elementos dellenguaje.
3 definir diferentes ordenes parciales entre los elementos del lenguaje,para poder hacer demostraciones por induccion.
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Motivacion I
¿Por que es importante una sintaxis y una semantica formal para el LT A?
Con respecto a la sintaxis formal, esta nos permite:1 combinar los sımbolos del alfabeto correctamente,2 definir funciones recursivas para razonar sobre los elementos del
lenguaje.
3 definir diferentes ordenes parciales entre los elementos del lenguaje,para poder hacer demostraciones por induccion.
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Motivacion I
¿Por que es importante una sintaxis y una semantica formal para el LT A?
Con respecto a la sintaxis formal, esta nos permite:1 combinar los sımbolos del alfabeto correctamente,2 definir funciones recursivas para razonar sobre los elementos del
lenguaje.3 definir diferentes ordenes parciales entre los elementos del lenguaje,
para poder hacer demostraciones por induccion.
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Motivacion II
Con respecto a la semantica formal:
1 Elimina la ambiguedad que existirıa sin este tipo de significado.2 Nos permite razonar sobre las propiedades semanticas que tiene el
lenguaje.3 Define una funcion que es computable.
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Motivacion II
Con respecto a la semantica formal:1 Elimina la ambiguedad que existirıa sin este tipo de significado.
2 Nos permite razonar sobre las propiedades semanticas que tiene ellenguaje.
3 Define una funcion que es computable.
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Motivacion II
Con respecto a la semantica formal:1 Elimina la ambiguedad que existirıa sin este tipo de significado.2 Nos permite razonar sobre las propiedades semanticas que tiene el
lenguaje.
3 Define una funcion que es computable.
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Motivacion II
Con respecto a la semantica formal:1 Elimina la ambiguedad que existirıa sin este tipo de significado.2 Nos permite razonar sobre las propiedades semanticas que tiene el
lenguaje.3 Define una funcion que es computable.
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Sintaxis de LT A
Recordemos la sintaxis de LT A:
d ::= 0|1| · · · |9n ::= d|nd
e ::= n|(ei+ed)|(ei−ed)|(ei∗ed)
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size(e)
Definicion 1Sea e ∈ LT A definimos el tamano de e (el numero de nodos que tiene suarbol de sintaxis abstracta), en sımbolos size(e), de la siguiente manera.
size(e) =
1 si e = d,
size(n) + size(d) + 1 si e = nd,
size(ei) + size(ed) + 1 si e = (ei � ed).
De aquı en adelante � ∈ {+,−, ∗}.
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depth(e)
Definicion 2Sea e ∈ LT A definimos la profundidad de e (la profundidad que tiene suarbol de sintaxis abstracta), en sımbolos depth(e), de la siguiente manera.
depth(e) =
1 si e = d,
max{depth(n), depth(d)}+ 1 si e = nd,
max{depth(ei), depth(ed)}+ 1 si e = (ei � ed).
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Subtermino inmediato
Definicion 3Sea e ∈ LT A definimos el conjunto de subterminos inmediatos de e, ensımbolos immsubt(e), de la siguiente manera.
immsubt(e) =
{} si e = d,
{n, d} si e = nd,
{ei, ed} si e = (ei � ed).
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Diferentes tipos de induccion
Induccion sobre N : Si P (0) se cumple y si dado P (i) podemosdemostrar P (i + 1), entonces P (n) se cumple para todo n ∈ N. AP (i) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion sobre size(e) : Si para todo termino e′ con size(e′) = 1 secumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) consize(e′′) < size(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion sobre depth(e) : Si para todo termino e′ con depth(e′) = 1se cumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) condepth(e′′) < depth(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion estructural: Si para todo termino e′ con immsubt(e′) = {}se cumple P (e′) y si para todo e′′ ∈ immsubt(e′′′) dado P (e′′)podemos demostrar que P (e′′′), entonces P (e) se cumple para todoe ∈ L. A P (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
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Diferentes tipos de induccion
Induccion sobre N : Si P (0) se cumple y si dado P (i) podemosdemostrar P (i + 1), entonces P (n) se cumple para todo n ∈ N. AP (i) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion sobre size(e) : Si para todo termino e′ con size(e′) = 1 secumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) consize(e′′) < size(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion sobre depth(e) : Si para todo termino e′ con depth(e′) = 1se cumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) condepth(e′′) < depth(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion estructural: Si para todo termino e′ con immsubt(e′) = {}se cumple P (e′) y si para todo e′′ ∈ immsubt(e′′′) dado P (e′′)podemos demostrar que P (e′′′), entonces P (e) se cumple para todoe ∈ L. A P (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
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Diferentes tipos de induccion
Induccion sobre N : Si P (0) se cumple y si dado P (i) podemosdemostrar P (i + 1), entonces P (n) se cumple para todo n ∈ N. AP (i) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion sobre size(e) : Si para todo termino e′ con size(e′) = 1 secumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) consize(e′′) < size(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion sobre depth(e) : Si para todo termino e′ con depth(e′) = 1se cumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) condepth(e′′) < depth(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion estructural: Si para todo termino e′ con immsubt(e′) = {}se cumple P (e′) y si para todo e′′ ∈ immsubt(e′′′) dado P (e′′)podemos demostrar que P (e′′′), entonces P (e) se cumple para todoe ∈ L. A P (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
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Diferentes tipos de induccion
Induccion sobre N : Si P (0) se cumple y si dado P (i) podemosdemostrar P (i + 1), entonces P (n) se cumple para todo n ∈ N. AP (i) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion sobre size(e) : Si para todo termino e′ con size(e′) = 1 secumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) consize(e′′) < size(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.Induccion sobre depth(e) : Si para todo termino e′ con depth(e′) = 1se cumple P (e′) y si dado P (e′′) podemos demostrar que P (e′′′) condepth(e′′) < depth(e′′′), entonces P (e) se cumple para todo e ∈ L. AP (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
Induccion estructural: Si para todo termino e′ con immsubt(e′) = {}se cumple P (e′) y si para todo e′′ ∈ immsubt(e′′′) dado P (e′′)podemos demostrar que P (e′′′), entonces P (e) se cumple para todoe ∈ L. A P (e′′) se le llama Hipotesis de Induccion.
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Semantica de LT A
Recordemos la semantica de LT A.
JK : LT A → Z
J0K = 0, . . . , J9K = 9JndK = ((JnK∗10)+JdK)
J(ei+ed)K = (JeiK+JedK)J(ei−ed)K = (JeiK−JedK)J(ei∗ed)K = (JeiK∗JedK)
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.
Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.
Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.
e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.
e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.
e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.
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Todo termino aritmetico tiene un significado
Teorema 4
Para todo e ∈ LT A, existe z ∈ Z tal que JeK = z.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k, entonces JeK = ze.
e = d : JdK = zd.
e = nd : JndK = ((JnK∗10)+JdK), por la definicion de size:size(n) < size(nd), ası por hipotesis de induccion tenemos:JnK = zn, de tal manera que ((JnK∗10)+JdK) =((zn ∗ 10) + zd) ∈ Z.
e = (ei�ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei�ed)K = (JeiK�JedK), nuevamentepor la definicion de size: size(ei) < size((ei�ed)) ysize(ed) < size((ei�ed)), aplicando la hipotesis de inducciondos veces, tenemos: JeiK = zei y JedK = zed
, de tal maneraque (JeiK�JedK) = (zei � zed
) ∈ Z.Jose de Jesus Lavalle Martınez (FCC-BUAP) Semantica de LT A I Otono 2020 11 / 14
El significado de un termino aritmetico es unico I
Teorema 5
Sea e ∈ LT A, si JeK = z′ y JeK = z′′ entonces z′ = z′′.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.
Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entoncesz′ = z′′.
e = d : Si JdK = z′d y JdK = z′′
d entonces claramente z′d = z′′
d .e = nd : JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′
n ∗ 10) + zd) yJndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′′
n ∗ 10) + zd), por ladefinicion de size: size(n) < size(nd), aplicando lahipotesis de induccion tenemos z′
n = z′′n, ası que
((z′n ∗ 10) + zd) = ((z′′
n ∗ 10) + zd).
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El significado de un termino aritmetico es unico I
Teorema 5
Sea e ∈ LT A, si JeK = z′ y JeK = z′′ entonces z′ = z′′.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.
Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entoncesz′ = z′′.
e = d : Si JdK = z′d y JdK = z′′
d entonces claramente z′d = z′′
d .e = nd : JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′
n ∗ 10) + zd) yJndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′′
n ∗ 10) + zd), por ladefinicion de size: size(n) < size(nd), aplicando lahipotesis de induccion tenemos z′
n = z′′n, ası que
((z′n ∗ 10) + zd) = ((z′′
n ∗ 10) + zd).
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El significado de un termino aritmetico es unico I
Teorema 5
Sea e ∈ LT A, si JeK = z′ y JeK = z′′ entonces z′ = z′′.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entonces
z′ = z′′.
e = d : Si JdK = z′d y JdK = z′′
d entonces claramente z′d = z′′
d .e = nd : JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′
n ∗ 10) + zd) yJndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′′
n ∗ 10) + zd), por ladefinicion de size: size(n) < size(nd), aplicando lahipotesis de induccion tenemos z′
n = z′′n, ası que
((z′n ∗ 10) + zd) = ((z′′
n ∗ 10) + zd).
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El significado de un termino aritmetico es unico I
Teorema 5
Sea e ∈ LT A, si JeK = z′ y JeK = z′′ entonces z′ = z′′.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entonces
z′ = z′′.e = d : Si JdK = z′
d y JdK = z′′d entonces claramente z′
d = z′′d .
e = nd : JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′n ∗ 10) + zd) y
JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′′n ∗ 10) + zd), por la
definicion de size: size(n) < size(nd), aplicando lahipotesis de induccion tenemos z′
n = z′′n, ası que
((z′n ∗ 10) + zd) = ((z′′
n ∗ 10) + zd).
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El significado de un termino aritmetico es unico I
Teorema 5
Sea e ∈ LT A, si JeK = z′ y JeK = z′′ entonces z′ = z′′.
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entonces
z′ = z′′.
e = d : Si JdK = z′d y JdK = z′′
d entonces claramente z′d = z′′
d .
e = nd : JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′n ∗ 10) + zd) y
JndK = ((JnK ∗ 10) + JdK) = ((z′′n ∗ 10) + zd), por la
definicion de size: size(n) < size(nd), aplicando lahipotesis de induccion tenemos z′
n = z′′n, ası que
((z′n ∗ 10) + zd) = ((z′′
n ∗ 10) + zd).
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El significado de un termino aritmetico es unico II
Demostracion: por induccion sobre el tamano de e.Hipotesis de induccion: Si size(e) = k y JeK = z′ y JeK = z′′ entonces
z′ = z′′.e = (ei � ed) : Donde � ∈ {+,−, ∗}. J(ei � ed)K = (JeiK � JedK) =
(z′ei� z′
ed) y J(ei � ed)K = (JeiK � JedK) = (z′′
ei� z′′
ed), por la
definicion de size: size(ei) < size((ei � ed)) ysize(ed) < size((ei � ed)), aplicando la hipotesis deinduccion dos veces tenemos z′
ei= z′′
eiy z′
ed= z′′
ed,
concluyendo que (z′ei� z′
ed) = (z′′
ei� z′′
ed).
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Ejercicios
1 Implemente en ML las funciones size, depth y immsubt (utilice lostipos de datos que previamente hemos definido para implementarLT A).
2 Pruebe sus funciones con las siguientes expresiones (traduzca primerocada expresion a un elemento del tipo exar):
1 (23 + 50), (28 ∗ 15).2 (9− (5 ∗ 2)), (23 ∗ (8 + 2)).
3 Demuestre por induccion sobre depth e induccion estructural losTeoremas 4 y 5.
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