UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA – CAMPUS IVCENTRO DE CIÊNCIAS APLICADAS E EDUCAÇÃODEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

MODELAGEM MATEMÁTICA:RAZÃO ÁUREA

EQUIPE: Wanderlânyo Anna Fabrícia Ana Maria Regina

INTRODUÇÃO HISTÓRICA

As buscas incessantes do porquê do ser homem e da infinidade de elementos existentes na natureza e de estes serem tão harmônicos, podem ser obtidos através de ordem e relações entre números e combinações, na tentativa de explicar a perfeição existente entre os mesmos. Neste contexto, o número de ouro, indicado pela letra grega (razão áurea) em homenagem ao escultor e arquiteto grego Phídeas (470 – 425 a.C.) através da razão áurea, é fator determinante no que concerne esta questão.

UM POUCO DA HISTÓRICA

O Número de Ouro, presente na natureza, que desde os tempos mais remotos é aplicado na arte, traduz a proporção geométrica conhecida como razão áurea, usada na pintura, escultura, na arquitetura.A razão áurea é a representação do equilíbrio do próprio universo.

A seguir mostraremos a razão áurea, em particular o retângulo áureo, sendo aplicada na arquitetura, pintura e escultura do mundo clássico e do atual.

O FI na Arquitetura (Egito)

Encontramos a razão áurea nas pirâmides do Egito.

PROPORÇÕES E RELAÇÕES PRESENTES NA ARQUITETURA

Análise da harmonia e das proporções da seção áurea, de acordo com os diagramas.

O Partenon (Atenas), é um perfeito exemplo do sistema de proporções gregas. Num simples exame, vê-se que a fachada do templo é compreendida num retângulo áureo subdividido. Um retângulo recíproco forma a altura da arquitrave, o friso e o frontão. O quadrado do retângulo principal fornece a altura do frontão, e o retângulo menor no diagrama, contém a colocação do friso e da arquitrave

PADRÃO ÁUREO DE BELEZA

A beleza é subjetiva;

No processo de comparação é necessário um critério especial, denominado medida.

Se tomarmos a medida de uma pessoa (altura) e dividirmos pela medida que vai da linha umbilical ate o chão veremos que a razão é a mesma que da medida do queixo ate a testa em relação aos olhos ate o mesmo ponto. O mesmo ocorre entre outras parte do corpo.

OS NÚMEROS DE OURO E SECÇÃO ÁUREA

Vamos tomar um segmento AB, tal que a med(AB)=x unidade. É como se este segmento fosse, a medida da altura de uma pessoa.

Sendo a medida(AB) = x, med(AC) = a e a med(CB) = (x -a),

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO.

Obtemos a equação

Resolvendo a equação, temos:

O número representado pela letra grega (fi) que é um número irracional denominado número de ouro. Ou seja

. , é a razão inversa do número de ouro.

Como a é a medida do segmento maior AC temos que a = x(0,618...) é denominada secção áurea do segmento AB.

A razão áurea, também denominada proporção áurea, representa a mais agradável proporção entre duas medidas. Os antigos gregos a designavam como “divisão de um segmento em media e extrema razão” ou simplesmente “secção”. (BOYER, 1996, p. 35)

POLÍGONOS DE OURO

A “ lei da divina proporção está presente em diversas figuras planas e sólidos geométricos e na natureza.

Dentre os polígonos de ouro estão o triângulo, o retângulo, o pentágono e o decágono.

TRIÂNGULO DE OURO OU SUBLIME

Um triângulo diz-se de ouro se a razão entre a base e um dos seus lados é igual ao número de ouro.

RETÂNGULO ÁUREO

Um retângulo é de ouro se a razão entre o comprimento e a largura é igual ao número de ouro.

Retângulo áureo é tal que um lado é do outro, ou seja: . Por exemplo se um lado do retângulo mede o outro deve medir

RETÂNGULO ÁUREO

Retângulo de Ouro exerceu uma influencia muito grande na arquitetura e na pintura. Nos dias de hoje ele e bastante utilizado no formato de cartões de credito, carteira de identidade, carteira de habilitação, capas de livros e cadernos,cartas de baralho, blocos de papel de carta, janelas, construções, etc.;

ESSA PROPORÇÃO ÁUREA TEM SIDO ENCONTRADA NAS MAIS DIVERSAS ÁREAS

Arquitetura

Natureza

Ser humano

PENTÁGONO OU PENTAGRAMA

A razão entre a diagonal com o lado é áurea. Ocorre, também, propriedade de autopropagação.

Desenhando uma circunferência de raio qualquer e, com um transferidor, dividindo o ângulo central em 5 ângulos com 72° cada;

LIGANDO OS PONTOS ABCDE, OBTEMOS UM PENTÁGONO REGULAR.

A ESTRELA A SEGUIR, TRAÇAMOS AS DIAGONAIS, FORMANDO UMA. A ESTRELA ERA O SÍMBOLO DA ESCOLA PITÁGORAS.

DIVIDINDO UMA DAS DIAGONAIS d POR UM LADO l:

O TRIÂNGULO É ISÓSCELES E O ÂNGULO ABC=108°

Conclusão

Com o nosso trabalho, pretendemos uma abordagem matemática do Número de Ouro-Razão Áurea. Tentámos mostrar algumas ocorrências do Número de Ouro em campos da atividade humana ao longo da História.

Apresentámos uma breve perspectiva da influência de Fibonacci e Leonardo Da Vinci.

Apresentámos também uma demonstração do valor de F (Fi maiúsculo).