UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

Matematica BásicaGuia 01

__________Agosto 2015__________________

1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es vacío?

(a)�x=x es un entero par y x2 = 9

(b) fx 2 Z=x+ 18 = 18g(c)

�x 2 Z=x2 � 3x� 4 = 0

(d) fx 2 Z=x < 0g(e)

�x 2 Z=6x2 + 5x� 4 = 0

2. Determinar los elementos de cada conjunto

(a) A =�números naturales x que satisfacen x2 = 16

(b) A =

�números enteros x que satisfacen x2 = 16

(c) C = fx 2 N=2x+ 3 = 15g(d) D = fx 2 Q= (2x+ 1) (x� 2) = 0g(e) E =

�x 2 Z=x2 � 2x� 3 = 0

(f) G = fx 2 N=5 < x < 12g

3. Si A = f2; 3; 5; 7g ; diga cuál de las siguientes a�rmaciones son verdaderas o falsas.

(a) 5 2 A(b) 3 � A(c) f7g � A(d) f3; 5g 2 A

4. Dados los siguientes conjuntos A = f7x+ 2=x 2 Zg ; B = f7x+ 26=x 2 Zg ; C =f4x+ 1=x 2 Zg y D = f2x+ 1=x 2 Zg, analizar y justi�car debidamente su con-clusión en los siguientes casos

(a) A = B

(b) C = D

5. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

1

(a) A =�x=x3 � 7x+ 6 = 0

(b) B =

�x=6x2 � 5x+ 1 = 0

(c) C = fx 2 N=x � 3 _ 5 < x < 7g(d) B =

�x2 � 1=x 2 Z ^ �1 � x � 3

(e) B = f3� 5x=x 2 Z;�2 � x < 5 ^ 3 < x � 8g

6. Sea U = f1; 2; 3; 4; 5; 9g el conjunto universal, si A =�x2=x 2 U

hallar A y Ac por

extensión.

(a) Sea A =�x+12 =x 2 Z; 0 < x < 4

y B =

nx2�12 =x 2 Z; � 2 � x � 3

odetermi-

nar cual de las relaciones se cumplen A � B;B � A;A = B:

7. Si A =�x 2 N=x3 � 3x2 � 6x+ 8 = 0

y B =

�x+12 =x 2 Z; � 4 < x � 3

determi-

nar cual de las relaciones se cumplen A � B;B � A;A = B:

8. Dibujar el diagrama que aparece a continuación tantas veces como sea necesario, pararepresentar, por sombreado, cada uno de los conjuntos que a continuación se indican

1. (a) A \B(b) A \ C(c) A \B \ C(d) A [B(e) Ac \Bc

(f) A�B(g) (A \B)c

(h) (A [B)c

(i) A [Ac

(j) A \Ac

(k) [A \ (B [ C)]c

2

(l) [A [ (B \ C)]� [A \B \ C](m) fA \ (B � C)g 4 (A [Ac)(n) A� (B [ C)(o) [A \ (B [ C)]4 [A� (B [ C)c]

2. Si los conjuntos son unitarios A = fx+ y; 12g ; B = fx+ y; 14g ; C = fy + z; 16g :Hallar x+ y + z

3. Determinar por extensión A = f(2x� 1) =x 2 N; 3 � x < 6g

4. Determinar por comprensión A =�2; 23; 25; 27

5. Determinar por extensión M =

�x 2 Z=x2 � 3x� 4 = 0

6. Determinar por extensión P =

�x 2 Z=2x4 � 3x3 � 3x2 + 2x = 0

7. Dados los conjuntos A = f0; 1; 2g ; B = f0; 2; 4g : Hallar el número de subconjuntosque tiene el conjunto A \B:

8. Marilú come frijoles y/o arroz chaufa en su almuerzo cada dia durante el mes demarzo. Si come 24 dias frijoles y arroz chaufa 19 dias. ¿Cuántos dias comio frijolescon arroz chaufa?

9. De 73 alumnos, 36 estudian en el dia, 35 en la tarde y 25 en la noche. ¿Cuántosestudian en sólo dos turnos, si sólo uno estudia en los tres turnos?.

10. De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNI; 109 no postulan a San marcos y 70no postulan a ninguna de estas dos universidades. ¿Cuántos postularán a ambasuniversidades?.

11. De un grupo de 109 personas; 60 juegan futbol; 44 juegan tenis; 45 juegan voley y6 juegan los tres deportes. ¿Cuántos juegan solamente un tipo de deporte, sabiendoque éstos pre�eren por lo menos un deporte?.

12. De 3750 personas consultadas acerca de su preferencia por los productos A,B y C seobtuvo el siguiente resultado: El número de personas que pre�eren los tres productoses 16 de los que pre�eren sólo A,

14 de los que pre�eren sólo C,

13 de los que pre�eren

B y C, 15 de los que pre�eren A y C e igual a la mitad de los que pre�eren A y B.¿Cuántas personas pre�eren sólo A?. Si 114 personas pre�eren sólo el producto B.

13. En un salon de clases hay 72 alumnos que se preparan para postular a la UNI ola Católica. La cantidad de postulantes a la UNI es el quíntuplo de quienes sólopostulan a la Católica; la cantidad de los que sólo postulan a la UNI es el triple delos que postulan a las dos universidades. ¿Cuántos postulan sólo a una universidad?.

3

14. De 40 personas se sabe que: 15 no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3personas estudian y trabajan. ¿Cuántos realizan sólo una de las actividades?.

15. De 200 alumnos que dieron exámenes, se observó que 56 estudian Matemática, 60Física, 84 Química, 16 Matematica y Fisica, 20 Matemática y Quimica, 10 Fisicay Quimica y los tres cursos 6 alumnos. ¿Cuántos no estudian ninguno de los trescursos?.

16. Si A = h�1; 2], hallar Ac

17. Si A = h1; 11] y B = [7; 18i : Hallar A \B y A [B

18. Si A = h�7;�1i [ h0; 6] ; B = h�1; 1] [ [4; 8i : Hallar

(a) Ac

(b) A \B(c) (A [B)c

19. Si A = h�1;�4] [ [4; 6i y B = [�12;�6i [ h5; 7] ; encontrar (A [B)� (A \B)

20. Si A = fx 2 R=� 3 < x � 5g ; B = fx 2 R=2 � x � 7g y C = fx 2 R=4 � x � 5g :Hallar:

(a) A [B [ C(b) (A�B) \ (A [ C)(c) (A [B)c � (A \B)c

21. Simpli�car los siguientes conjuntos:

(a) (h�2; 0] [ h�1; 5i)� [�2; 10](b) (h�2; 3i [ h0; 4])� [2; 6](c) (h�2; 3] [ [2; 6]c) [ (h0; 4i \ (h�1; 2i [ h6;+1i))

22. Simpli�car y expresar en términos de reuniones de intervalos:

(a) [2; 7i4 h0; 1i(b) h1; 4i4 (h2; 6i [ h0; 1i)(c) [2; 9] \ f(h�1;�3]c [ [3; 6])� h2; 8]g(d) (h�1; 5i [ h6; 12i)4f1; 7g

23. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

4

(a)�2p� q = 3p = 5� 3q

(b)�7x� 8y = 4x2 +

y3 = 3

(c)� x+y

2 � x�y3 = 8

x+y3 � x�y

4 = 11

(d)�x4 +

y5 + 1 =

x5 +

y4 = 23

(e)� x�2y

3 = 2 + 2x+3y4

3x�2y2 = �y+5x+11

4

(f)�5x� 7y + 2 = 015x� 21y = 7

(g)�2u� 3v = 12�u3 +

v2 = 4

(h)�

x+ 2y = 43x+ 6y = 12

(i)�

2p+ q = 323p+

13q = 1

(j)

8<:x+ y = 3y + z = 5x+ z = 4

(k)

8<:x+ 2y = 13y + 5z = 72x� y = 7

(l)

8<:x+ y + z = 62x� y + 3z = 9�x+ 2y + z = 6

(m)

8<:x+ 2y � z = �33y + 4z = 5

2x� y + 3z = 9

(n)

8<:3x1 + 2x2 + x3 = 62x1 � x2 + 4x3 = �4x1 + x2 � 2x3 = 5

(o)

8<:2u� 2v � 4w = 13u+ v + w = 6

�3u+ 2v � w + 1 = 0

5

24. Dos metales, X e Y pueden extraerse de dos tipos de mineral, I y II. Cien libras demineral I producen 3 onzas de X y 5 onzas de Y, por otro lado, 100 libras del mineralII producen 4 onzas de X y 2.5 onzas de Y, ¿Cuántas libras de los minerales I y II serequieren para producir 72 onzas de X y 95 onzas de Y?

25. Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada producto tiene que ser procesadopor dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere 1 hora de procesamientode la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere 3horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible300 horas al mes y la máquina II 350 horas, ¿Cuántas unidades de cada tipo podráfabricar al mes si utiliza el tiempo total que dispone en las dosmmáquinas?

26. Una compañía tratamde adquirir y almacenar dos tipos de artículos X e Y. Cadaartículo X cuesta $3 y cada artículo Y cuesta $2.50. Cada artículo X ocupa 2 piescuadrados del espacio del piso y cada artículo Y ocupa un espacio de 1 pie cuadradodel piso. ¿Cuántas unidades de cada tipo pueden adquirirse y almacenarse si sedispone de $400 para la adquisición y 240 pies cuadrados de espacio para almacenarestos artículos?

27. Una tienda vende dos tipos de café, uno a $2.00 el kilo y el otro a $1.50 por la mismacantidad. El propietario de la tienda produce 50 kilos de un nuevo producto de cafémezclando estos dos tipos y vendiéndolo a $1.60 el kilo. ¿Cuántos kilos de café decada tipo deberá mezclar para no alterar los ingresos? Un almacén de productosquímicos tiene dos tipos de soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido yla otra contieme 15%. ¿Cuántosmgalones de cada tipo deberá mezclar para obtener200 galones de una mezclaque contenga 18% de ácido?

28. Un pez de la especie 1 consume por día 10 gramos de comida 1 y 5 gramos de comida2. Un pez de la especie 2 consume por día 6 gramos de comida 1 y 4 gramos de comida2. Si un mediomambiente dado tiene 2.2 kilogramos de comida 1 y 1.3 kilogramosde comida 2 disponible diariamente, ¿Qué tamaño de población de las dos especiesconsumirá toda la comida disponible?

29. Hallar el dominio y rango de las relaciones en A :

A = f1; 2; 3; 4; 5gR1 = f(x; y) 2 A�A=x+ y = 7gR1 = f(x; y) 2 A�A=x+ y � 4g

30. Sea B = f1; 2; 3; 4g y las relaciones:R1 = f(x; y) 2 B �B=x = ygR2 = f(x; y) 2 B �B=x < yg

6

R3 = f(x; y) 2 B �B=y > xgHallar: n (R1) + n (R2) + n (R3)

31. Sea A = fx 2 N=x � 9gR =

�(x; y) 2 A2=y = x2

S =

�(x; y) 2 A2=y = 2x

T =

�(x; y) 2 A2=x < 4 ^ y > 7

Hallar n (R) + n (S) + n (T )

32. Si R = f(x; y) 2 N� N=x+ y = 6g Hallar el número de elementos del rango de larelación R:

33. Dada la relación R =�(x; y) 2 N2=x+ y = 5

: Hallar: Dom (R) \Ran (R)

34. Dada la relación R =�(x; y) 2 N2=x+ 3y = 12

: Hallar: Ran (R)�Dom (R)

35. Sea A = f�2;�1; 0; 1; 2g : Si R =�(x; y) 2 A2=x2 + y2 = 5

: Hallar: Dom (R) �

Ran (R) :

36. Si: A =�x 2 Z=x3 = x

R =

�(x; y) 2 A2=y2 = x2

: Entonces, n (R) es:

37. Se de�ne las relaciones:

R1 = f(1; a) ; (2; b) ; (3; c) ; (3; d) ; (4; d)gR2 = f(a; 2) ; (c; 3) ; (c; 4) ; (d; 1)g(x; y) 2 R3 , (x; z) 2 R1 ^ (z; y) 2 R2Hallar: Ran (R3)�Dom (R3)

38. Consideramos las siguientes relaciones de�nidas en Z :R = f(2; 3) ; (4; 6) ; (9; 3) ; (5; 13) ; (8; 9)gS = f(2; 4) ; (4; 6) ; (8; 9) ; (6; 4) ; (5; 12)g¿Cuántas de las siguientes a�rmaciones osn verdaderas?

(a) (2; 3) 2 (R \ S)(b) (4; 6) =2 (R \ S)(c) (5; 13) 2 (R� S)(d) S � (R [ S)

7

39. Sea A = f�2;�1; 0; 1; 2gR1 =

�(x; y) 2 A2=y � x� 2 = 0

R2 =

�(x; y) 2 A2=y � x2 = 0

Hallar la suma de todos los elementos de los pares ordenados comunes a R1 y R2:

40. Si A = f2; 3; 5; 8; 10; 12gR1 = f(x; y) 2 A�A=x es un número par ^ x = ygR2 = f(x; y) 2 A�A=x = 2y + 2g¿cuántas de las siguientes a�rmaciones son falsas?

(a) R1 tiene 9 elementos.

(b) R2 tiene 4 elementos.

(c) R1 \R2 = ?

8