Prezentare PowerPoint

OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGICESeminar 2seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarModelele LINIARE de OPTIMIZARE sunt printre cele ce dein cel mai ridicat grad de succes privitor la aplicaiile comerciale din cadrul cercetrilor operaionaleHarvey WAGNER Professor of Operation Research and Innovation Management at the University of North Carolina

Departamentul Alocarea flotei DELTA AIRLINES rezolv zilnic probleme de programare liniar ce implic, fiecare 60.000 variabile i 40.000 constrngeri

seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarAbordarea sinopticTipuri de situaii identificate pentru optimizareNecesitatea identificrii unui singur obiectiv = se rezolv cu programare liniarNecesitatea identificrii a n. obiective = se rezolv cu programarea pe obiectiveImposibilitate divizrii produselor sau a resurselor = se rezolv cu programare integralNecesitatea rezolvrii problemei n etape = se utilizeaz programarea dinamic ( rezultatele etapelor se combin )Alte tipuri de restricii sau condiii intervin = se utilizeaz programarea nonliniar

seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarProgramarea liminar (PL) = metod de programare matematic de abordare a optimizrilor ( suport pentru deciziile de afaceri - cea mai bun soluie) = model de tip cantitativ = conine condiii de restricieAbordarea sinopticseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarTipuri de restricii majore n PL Trebuie s fie resurse limitate ( nr. de muncitori, nr. de echipamente, cant. de bani, cant. de materie prim)

Trebuie s existe un obiectiv explicit (maximizare profit ori minimizare cost, etc.)

Trebuie s ndeplineasc condiia de liniaritate ( s poat fi exprimat prin ecuaii de gr.1)

Trebuie s existe condiia de omogenitate ( se vor desfura aceleai tipuri de elemente)

Trebuie s existe condiia de divizibilitate ( mprirea n fraciuni )Abordarea sinopticseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarModelele de PL includ:metoda GRAFIC de programare liniar = limitat la 2-3 variabile de deciziemetoda SIMPLEX = rezolv probleme de n. variabile sau constrngeri se execut cu ajutorul programelor de calculator (creat de G.B. Dantzig 1947)metode cu aplicaie specializat de TRANSPORT = caz particular al simplex, resurse limitate la destinaii diferiteAbordarea sinopticseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarModelele de PL includ:Metoda ALOCRII = caz particular al metodei de transport din programarea liniar n. elemente pentru n. destinaiiMetoda KARMARKAR = caz particular al simplex din programarea liniar cu cerine extreme reele de telefonie, programarea rutele avioanelorMetoda SISTEMULUI GENERAL de MODELARE ALGEBRIC = caz de nelegere i rezolvare a unui model conceput de n. autori Abordarea sinopticseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXProcedur algebric - se construiesc ecuaii ( vs. p. grafic)Se execut prin operaii repetitiveSoluia optimal se identific progresiv/ iteraiiRezolva probleme cu n. variabile i constrngeriseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXProcedura de rezolvare const n 6 pai:Formularea problemeiCrearea i completarea tabloului de variabile generale al soluieiDeterminarea variabilelor necesare unei soluii mai bune Determinarea variabilelor ce trebuie nlocuiteCalcularea noilor valori pentru variabileRevizuirea elementelor valabileseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXDatele problemei: Compania SPALDING fabric crose de hochei i seturi de ah. Fiecare cros fabricat crete profitul incremental cu 2 i fiecare set cu 4. Fiecare cros necesit 4 ore de lucru la utilajul A i 2 ore la utilajul B. Fiecare set necesit 6 ore la utilajul A, 6 ore la utilajul B i 1 or la utilajul C. Utilajul A, poate funciona maxim 120 ore/zi, utilajul B, 72 ore/zi i utilajul C 10 ore/zi.Compania dorete s-i maximizeze profitul, cte crose i cte seturi trebuie produse / zi ?

H = nr. de crose hocheiK = nr. de seturi de ahseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarVariabil de bazVariabil secundarMetoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXPAS 2. Crearea i completarea tabloului de variabile:

Metoda SIMPLEX propune alocarea de valoare 0 la oricare 2 variabile secundare prin iteraii succesive ( verificnd i alte variante)

- Soluia de baz complet H=0, K=0, S1=120, S2=72, S3=10 - Prima iteraie- Pn la n iteraii

Mulimea soluiilor formeaz puncte de extrem numite variante fezabile de baz in interiorul crora avem regiunea fezabil de bazseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXPAS 2. Crearea i completarea tabloului de variabile (matricea sistemului):Generalizarea tabelului iniialmax. Z = c1X1 + c2X2 + c3X3..+cnXn

a11+a12+a13++a1n = b1a21+a22+a23++a2n = b2.am1+am2+am3++amn = bm

cj = coeficientul funciei obiectiv pentru variabila j.bi = valoarea pentru varianta fezabil de baz la constrngerea i.aij = coeficientul asociat cu variabila j pentru constrngerea i.seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarc1c2c3cna11a12a13a1nb1a21a22a23a2nb2am1am2am3amnbmMetoda SIMPLEXPAS 2. Crearea i completarea tabloului de variabile:Exemplificarea Cj i Zjmax. Z = 2 H + 4 K + 0S1 + 0S2 + 0S3seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd baza24000cant.HKS1S2S30S1461001200S226010720S30100110Zj000000Cj-Zj24000Coeficienii funciei obiectivCj = indic ct se poate ctiga la o unitate, dar doar dac este produs (conform enun pr.)Zj = indic raportat la Cj ct se poate pierde la o unitate (ce profit s-ar fi pierdut/ unitate)Cj Zj = reprezint costul de oportunitate, al non-produciei unei buci din fiecare (ce se putea produce sau ct se poate pierde la o unitate produs); Cj Zj = dac valoarea este pozitiv ( soluia nu este optim), reprezint indicaie pentru o posibil mbuntireValoarea funciei obiectivpentru profitDin soluia de baz:Z1 = 0x4+0x2+0x0 = 0Z2 = 0x6+0x6+0x1 = 0..Metoda SIMPLEXPAS 3. Determinarea variabilelor necesare unei soluii mai bune Se caut n ultima linie a tabelului de variabile ( corespunztoare var. de baz ) valori mai mari dect 0. Se alegea cea mai mare valoare ntlnit ( dorim maximizarea profitului)PAS 4. Determinarea variabilelor ce trebuie nlocuiteValoarea aleas corespunde produsului K ( variabilei K) i va nlocui n tabel una din variabilele neutilizate (S1, S2, S3 ), pe care?Se trece la divizarea valorilor tip cantitate corespunztoare cu valorile coloanei KSe va alege variabila neutilizat corespunztoare valorii celei mai mici

seminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXcalculseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantbi/ai2HKS1S2S30S146100120120/6=200S2260107272/6=120S3010011010/1=10Zj000000Cj-Zj24000Variabila corespunztoare celei mai mici valori este S3 i va fi cea nlocuit ( prsete baza), locul va fi ocupat de ctre K.Conform programrii liniare se numete valoarea pivot i cu galben, coloan i rnd pivotPAS 5. Calcularea noilor valori pentru variabileDeoarece se introduce K, ntregul rnd pivot se modificMetoda SIMPLEXcalculseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantbi/ai2HKS1S2S30S146100120120/6=200S2260107272/6=120S3010011010/1=10Zj000000Cj-Zj24000PAS 5. Calcularea noilor valori pentru variabileDeoarece se va introduce K, ntregul rnd pivot se modificSe mparte fiecare valoare din rndul pivot la valoarea pivotului Metoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantbi/ai2HKS1S2S30S146100120120/6=200S2260107272/6=120S3010011010/1=10Zj000000Cj-Zj24000Metoda SIMPLEXseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarK 0H + 1K + 0S1 +0S2 + 1S3 = 10

Noile restricii se vor trece n tabelMetoda SIMPLEXActualizare tabelseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantHKS1S2S30S14010-6600S22001-6124K0100110Zj0400440Cj-Zj2000-4- Soluia de baz complet H=0, K=0, S1=120, S2=72, S3=10 - Prima iteraie complet H=0, K=10, S1=60, S2=12, S3=0 - Pn la n iteraii

Valoarea ultimului rnd din tabel indic existena a cel puin nc o alt posibil valoare mai sunt valori pozitive

Valoarea funciei obiectivpentruCant. ce pot fi produse Metoda SIMPLEXA doua iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantHKS1S2S30S14010-6600S22001-6124K0100110Zj04004Cj-Zj2000-4bi/ai260/4=1512/2=610/0=Cj coloanCj rndbaza24000cantHKS1S2S30S14010-6600S21001/2-364K0100110Zj04004Cj-Zj2000-4Este o valoare dar nu poate fi luat n considerare deoarece o cantitate trebuie s fi pozitiv i finit.Metoda SIMPLEXA doua iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarMetoda SIMPLEXActualizare tabel pt. a doua iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantHKS1S2S30S1001-26362H1001/2-364K0100110Zj2401-252Cj-Zj000-12- Soluia de baz complet H=0, K=0, S1=120, S2=72, S3=10 - Prima iteraie complet H=0, K=10, S1=60, S2=12, S3=0 - A doua iteraie complet H=6, K=10, S1=36, S2=0, S3=0 - Pn la n iteraiiValoarea ultimului rnd indic existena a cel puin nc o alt posibil valoare mai sunt valori pozitiveValoarea funciei obiectivpentruCant. ce pot fi produse Metoda SIMPLEXA treia iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarbi/ai236/6=66/-3=-210/1=10Cj coloanCj rnd

baza24000cantHKS1S2S30S1001-26362H1001/2-364K0100110Zj2401-2Cj-Zj000-12Cj coloanCj rndbaza24000cantHKS1S2S30S1001/6-1/3162H1001/2-364K0100110Zj2401-2Cj-Zj000-12Este cea mai mic valoare dar nu poate fi luat n considerare deoarece o cantitate trebuie s fi pozitivMetoda SIMPLEXA treia iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarValoarea optim a produciei pentru profit maximMetoda SIMPLEXActualizare tabel pt. a treia iteraieseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniarCj coloanCj rnd

baza24000cantHKS1S2S30S3001/6-1/3162H101/2-1/20244K01-1/61/314Zj241/31/3464Cj-Zj00-1/3-1/3- 4- Soluia de baz complet H=0, K=0, S1=120, S2=72, S3=10 - Prima iteraie complet H=0, K=10, S1=60, S2=12, S3=0 - A doua iteraie complet H=6, K=10, S1=36, S2=0, S3=0 A treia iteraie complet H=24, K=4, S1=0, S2=0, S3=6 - Iteraii pn cnd valoarea ultimului rnd indic inexistena unei alte valori, NU mai sunt valori pozitiveValoarea funciei obiectivpentruCant. ce pot fi produse Metoda SIMPLEXANALIZA DE SENSIBILITATESituaia de minimizareseminar 2OPTIMIZAREA PROCESELOR TEHNOLOGE Programarea liniar