SEMINAR 1

VEKTORI – definicija, zbrajanje i oduzimanje vektora, množenje vektora

1. Vektori:

- Skalarne veličine – opisuje ih samo jedan broj (skalar) udaljenost, masa, površina,....

- Postoje veličine koje ne možemo potpuno odrediti brojem, već je potrebno zadati i

njihov smjer. Npr, brzina, ubrzanje, sila, itd. Njih zovemo vektorskim veličinama - Vektor je definiran:

o pravcem,

o orjentacijom i

o intenzitetom (iznosom, veličinom, dužinom)

- Vektore označavamo:

- Iznos | |

- Nul vektor:

o vektor duljine 0

o oznaka:

o vrijedi:

o duljina (modul) nul vektora: | |

- Jedinični vektor (ort

vektor)

o vektor duljine 1: | |

o za zadani vektor , duljine | |, jedinični vektor je

definiran sa | |

| |,

o je vektor koji ima isti smjer kao i a duljina mu je 1

2. Zbrajanje i oduzimanje vektora:

- Neka su i bilo kakvi vektori. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru vektora

( )pridružuje vektor

- Zbrajanje vektora koji leže na pravcu

- Vektore zbrajamo prema pravilima zbrajanja vektora: o Metoda trokuta

o Metoda paralelograma

- Svojstva:

- Komutativnost

- Asocijativnost

( ) ( )

- Suprotni (negativni) vektori

( ) ( )

- Oduzimanje vektora se definira kao operaija zbrajanja sa suprotnim vektorom:

( )

o Metoda trokuta:

o Metoda paralelograma:

3. Množenje vektora sa skalarom:

- Neka je vektor i realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru

( ) pridružuje vektor

- Za vektor vrijedi:

o i su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač),

o su isto orijentirani,

o su suprotno orijentirani

- Svojstva operacije množenja sa skalarom:

( )

( )

( ) ( )

( )

4. Komponente vektora:

| | iznos vektora

√

- Jedinični vektor:

| |

- jedinični vektori u Cartesijevom koordinatnom sustavu

- Primjer 1: Tijelo na horizontalnoj površini

- Primjer 2: Tijelo na kosini

- Komponente vektora su projekcije vektora na koordinatnim osima. Koordinate su algebarske

vrijednosti odgovarajućih komponenata vektora duž koordinatne osi

komponente

koordinate

- Primjer: 3-D prostor

prostorna dijagonala

| | √

5. Skalarni i vektorski produkt:

- Skalarni produkt:

( )

⏟

⏟

( ) ( )

o Primjer:

- Vektorski produkt:

| |⏟

| | | | ( )

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

|

| ( ) ( ) ( )

o Svojstva:

( )

- Mješoviti produkt: | |

ZADACI:

1. Dana su dva vektora sa koordinatama ( ) i ( ). Odredite:

a)

b)

c) takav da je

2. Svaki od vektora i na slici imaju modul od 3 m. Odredite:

a)

b)

c)

d)

3. Nađite modul zbroja (rezultante) vektora , i prikazanih na slici ako je | | | |

| | , a duljina stranice kvadrata je .

4. Nađite na slici

a) x-komponente vektora

b) y-komponente vektora

c) eksplicitne vektore

d) x i y komponente vektora

5. Neka su zadani vektori i . Nađite:

a) skalarni produkt vektora i

b) kut između vektora i

c) vektor takav da je

d) | | i kut koji vektor zatvara s x-osi

6. Položaj točke je u trenutku dan radijvektorom , a u trenutku dan radijvektorom . Nađite:

a) eksplicitan izraz za i na osnovi slike

b) vektor pomaka

c) pomak točke u datom intervalu