Semelhança de Triângulos Professor Anderson Weber

(andersweber@bol.com.br)

1. (Unesp) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.

A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 3/4 e seny = 3/7. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. 2. (Fgv) O triângulo ABC da figura a seguir é acutângulo.

Trace duas alturas, AD e BE, do triângulo ABC. Demonstre que: a) Os triângulos ADC e BEC são semelhantes. b) Os triângulos ABC e DEC são semelhantes.

3. (Fuvest) Considere uma circunferência de centro O e raio 2 cm tangente à reta t no ponto T. Seja x a medida do ângulo AÔT, onde A é um ponto da circunferência e 0 < x < ™/2. Calcule, em função de x, a área do trapézio OABT sendo B o ponto da reta t tal que åæ é paralelo a OT.

4. (Fuvest) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura adiante. a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?

5. (Fuvest) Considere um cubo ABCDEFGH de lado 1 unidade de comprimento, como mostra a figura a seguir M e N são os pontos médios de åæ e èî, respectivamente. Para cada ponto P da reta AE seja Q o ponto de intersecção das retas PM e BF. a) Prove que ÐPQN é isósceles. b) A que distância do ponto A deve estar o ponto P para que o ÐPQN seja retângulo?

6. (Fuvest) Na figura a seguir, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão DE/BC.

7. (Fuvest) ABCD é um trapézio; BC = 2, BD = 4 e o ângulo AïC é reto.

a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Determine AB sabendo que BV = 3VD.

8. (Uerj)

A figura acima representa um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros equivalentes. Se cada lado desses triângulos mede 2 cm, calcule o lado do quadrado ABCD. 9. (Ufrj) Na figura a seguir, o círculo de raio 1 cm rola da posição I para a posição F, sempre tangenciando o cateto AC do triângulo retângulo ABC.

Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo valem AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 10 cm. Determine a distância percorrida pelo centro do círculo.

10. (Unesp) Um homem sobe numa escada de 5 metros de comprimento, encostada em um muro vertical. Quando ele está num degrau que dista 3 metros do pé da escada, esta escorrega, de modo que a extremidade A se desloca para a direita, conforme a seta da figura a seguir e a extremidade B desliza para baixo, mantendo-se aderente ao muro. Encontre a fórmula que expressa a distância h, do degrau em que está o homem até o chão em função da distância x, do pé da escada ao muro.

11. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar totalmente na sombra. 12. (Unicamp) Na figura adiante, åæ = åè = Ø é o lado do decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 e centro O. a) Calcule o valor de Ø. b) Mostre que cos 36° = (1 + Ë5)/4.

13. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 14. (Unicamp) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30°, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima. b) Calcular a área do triângulo ABC. 15. (Unicamp) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura adiante. Dados: åæ = 6 m; åè = 1,5 m; èî = 4 m.

a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa? b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa?

16. (Unifesp) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos:

a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC. b) Calcule AD e FD. 17. (Unifesp) Um observador, em P, enxerga uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo š, conforme mostra a figura.

a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do ângulo š. b) Calcule tg(š), dado que a distância de P a O vale 3 metros. 18. (Unifesp) Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um plano horizontal projeta uma sombra de 10 metros, a partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como indica a figura.

Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência de um raio de luz, BD um segmento que passa por C, perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T coplanares: a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são semelhantes. b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do ângulo BÂD é 1/2. 19. (Fuvest) Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m.

20. (Ufg) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x, 0) , onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T� e T‚ , destacados na figura.

Para que a área do triângulo T� seja o dobro da área de T‚, o valor de x é: a) 2-Ë2 b) 4-2Ë2 c) 4-Ë2 d) 8-2Ë2 e) 8-4Ë2

21. (Fgv) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado æè foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA.

O comprimento do segmento PC é a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11. 22. (Fuvest) No triangulo ABC, AB = 20 cm, BC = 5 cm e o ângulo AïC é obtuso. O quadrilátero MBNP é um losango, de área 8 cm£. A medida, em graus do ângulo BNP é:

a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75 23. (Fuvest) No papel quadriculado da figura a seguir, adota-se como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é a) 4Ë2 b) 4 c) 3Ë3 d) 8(Ë3)/3 e) 7(Ë3)/2

24. (Fuvest) No triângulo acutângulo ABC a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q ao lado AC. O perímetro desse retângulo, em cm, é

a) 4 b) 8 c) 12 d) 14 e) 16 25. (Fuvest) Na figura adiante, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 a 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento èî, para que CÊA=DÊB? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

26. (Fuvest) Na figura a seguir, os triângulos ABC e DCE são eqüiláteros de lado Ø, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de æî com åè. Então, a área do triângulo BCF é:

a) (Ø£ Ë3)/8 b) (Ø£ Ë3)/6 c) (Ø£ Ë3)/3 d) (5Ø£ Ë3)/6 e) (2Ø£ Ë3)/3

27. (Fuvest) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula:

a) (bh)/(h + b) b) (2bh)/(h + b) c) (bh)/(h + 2b) d) (bh)/(2h + b) e) (bh)/[2(h + b)] 28. (Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12 m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de:

a) 18,8 m b) 19,2 m c) 19,6 m d) 20 m e) 20,4 m

29. (Fuvest) Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = Ë3 e BE = 2DE. Logo, a medida de AE é

a) (Ë3)/2 b) (Ë5)/2 c) (Ë7)/2 d) (Ë11)/2 e) (Ë13)/2 30. (Ita) Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles com base de 6cm e altura de 4cm. Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados do triângulo mede a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm d) 2,5 cm e) 3 cm 31. (Ita) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede 40°. Sobre o lado åæ, tome o ponto E tal que ACE = 15°. Sobre o lado åè, tome o ponto D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB vale a) 35° b) 45° c) 55° d) 75° e) 85° 32. 32. (Pucpr) A área do retângulo DEFB é: a) 24 b) 160 c) 120 d) 20 e) 180

33. (Pucsp) Dois mastros verticais, com alturas de 2 m e 8 m, têm suas bases fixadas em um terreno plano, distantes 10 m uma da outra. Se duas cordas fossem esticadas, unindo o topo de cada mastro com a base do outro, a quantos metros da superfície do terreno ficaria a intersecção das cordas? a) 2,4 b) 2,2 c) 2 d) 1,8 e) 1,6 34. (Uel) Na figura a seguir, são dados: ângulo ABC = ângulo EDC = 2,5 cm, AB = 6 cm, BC = 9 cm e AC = 12 cm.

Se os triângulos da figura são semelhantes, o perímetro do triângulo EDC é, em centímetros, a) 11,25 b) 11,50 c) 11,75 d) 12,25 e) 12,50 35. (Uel) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura adiante. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras.

a) 1,50 m b) 1,75 m c) 2,00 m d) 2,25 m e) 2,50 m

36. (Ufjf) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/3. b) 5/2. c) 20/7. d) 15/4. e) 15/2. 37. (Ufjf) Na figura a seguir, encontra-se representado um trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, onde ADN = NDC = ACB = ’.

Considere as seguintes afirmativas: I. AD × NC = AN × CD II. AB × DN = BC × AN III. DN × BC = AC × AD As afirmativas corretas são: a) todas. b) somente I e II. c) somente I e III. d) somente II e III. e) nenhuma. 38. (Ufmg) Nesta figura, o quadrado ABCD está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n:

Então, o lado do quadrado mede a) (mn)/(m + n). b) Ë[(m£ + n£)/8]. c) (m + n)/4. d) [Ë(mn)]/2.

39. (Ufrn) Considerando-se as informações constantes no triângulo PQR (figura abaixo), pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

Obs.: Todas as medidas se referem à mesma unidade de comprimento a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 40. (Ufrs) Na figura abaixo AB, CD e EF são paralelos, AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm.

O comprimento de EF é a) 5/3. b) 2. c) 3. d) 10/3. e) 4. 41. (Ufu) Na figura a seguir, ABC é um triângulo e suas medianas AP, BN e CM medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 4 cm.

Se BQ é paralelo ao lado AC com 2BQ = AC, então, o perímetro do triângulo APQ é igual a a) 24 cm. b) 22 cm. c) 20 cm. d) 18 cm.

42. (Unesp) Na figura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.

Se o segmento AD = 6 dm, o segmento AC = 11 dm e o segmento EC = 3 dm, as medidas possíveis de AB, em dm, são: a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3. d) 7 e 4. e) 9 e 2. 43. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano, numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m.

A altura do prédio, em metros, é a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75.

44. (Unesp) Um observador situado num ponto O, localizado na margem de um rio, precisa determinar sua distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem atravessar o rio. Para isso marca, com estacas, outros pontos do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.

A distância, em metros, do observador em O até o ponto P, é: a) 30. b) 35. c) 40. d) 45. e) 50. 45. (Unirio)

Observe os dois triângulos anteriormente representados, onde os ângulos assinalados são congruentes. O perímetro do menor triângulo é: a) 3 b) 15/4 c) 5 d) 15/2 e) 15

GabaritoGabaritoGabaritoGabarito 1. a) BC = 70 km b) DE = 42 km 2. Demonstração. 3. 2 senx (2 - cos x) 4. a) y = 2/3(30-x) b) Para x = 15 m, y = 10 m. 5. a)Demonstração. b) Ë3/2 6. 2/3 7. a) 2Ë3 U. área b) 6Ë3 U. comprimento 8. 2 (3 - Ë3) cm 9. 4 cm 10. h = (3/5) Ë25-x£ 11. 4,08 m 12. a) Ø = (Ë5-1)/2 b) cos 36° = (1+Ë5)/4 13. b) 20,5 m 14. a) 2,25 m b) 7,8125 Ë3 m£ 15. a) 1,2m b) 1468,8 litros 16. a)AB = 24 e EC = 3 b) AD = 15 e FD = 9 17. a)Demonstração. b) tg š = (4Ë2)/7 18. a) Demonstração b) 10 [(Ë5) - 2] m 19. m = 2 + [(5Ë2)/2] 20. [B] 21. [C] 22. [B] 23. [A] 24. [B] 25. [A] 26. [A] 27. [D] 28. [B] 29. [C] 30. [B] 31. [D] 32. [C] 33. [E] 34. [A] 35. [D] 36. [A] 37. [B] 38. [A] 39. [B] 40. [D] 41. [B] 42. [E] 43. [A] 44. [E] 45. [D]