SEMEJANZA DE TRIANGULOS 1.ppt

7/24/2019 SEMEJANZA DE TRIANGULOS 1.ppt

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SEMEJANZA DE TRIANGULOS

TEOREMA DE THALES

DEFINICION CASOS DE

SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD

AUTOEVALUACIN
http://semejanza%20de%20triangulos%201.ppt/http://semejanza%20de%20triangulos%201.ppt/http://semejanza%20de%20triangulos%201.ppt/http://semejanza%20de%20triangulos%201.ppt/http://semejanza%20de%20triangulos%201.ppt/


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Razn de segmentos: Es el cociente entre las longitudes de dossegmentos.

Proporcin de segmentos: Es la igualdad entre dos razones.

Propiedades: gozan de las mismas que las de las proporciones aritmticas:

Son adimensionalesSe puede intercambiar medios o extremos

PROPORCIONALIDAD


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SABER PREVIO

Teorema de Thales:Cuando dos rectas secantes soncortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentosdeterminados en una de las rectas son proporcionales a lossegmentos correspondientes de la otra recta.

Applet


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SABER PREVIO

Teorema de Thales(Segundo enunciado): Cuando dos rectassecantes son cortadas por una serie de paralelas, la razn entre dossegmentos de una de las rectas es igual a la razn entre los

segmentos correspondientes de la otra recta.

Applet


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SABER PREVIO


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SABER PREVIO

Ejemplo .En la siguiente escena tenemos un tringulo ABC. Por un punto B',situado sobre uno de los lados del tringulo, hemos trazado unaparalela al lado BC, la cual corta al otro lado en C'. Observemos

que ahora tenemos un segundo tringulo, el AB'C'. ospreguntamos si ha! alguna relaci"n entre los dos tringulos.

Applet


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Para dividir un segmento OP en partes iguales, se realiza la siguienteconstruccin

So!re una recta au"iliar OR se u!ican los puntos e#uidistantes $%, &%, '%,(%, )%, *% + %- Por cada uno de estos puntos se trazan paralelas alsegmento %P, las cuales determinan so!re OP los puntos re#ueridos$,&,',.- /a 0usti1icacin es

TEOREMA

DE THALES

CONGRUENCIA

DE TRIANGULOS


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Toda paralela a un lado de un tringulo ABC determina con los otros dos

lados un nuevo tringulo AB'C' se cumplen las dos condiciones siguientes:

Sus lados respectivos son proporcionales.

Sus ngulos respectivos son iguales.

!stas son las condiciones "ue #an de cumplir dos pol$gonos para ser

seme%antes.

2I34RAS SE5E6A7TES


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Tam&in se puede compro&ar "ue en general si solo se cumple

una de las dos condiciones, las iguras resultantes no sonseme0antes-

T*A+-/S S!0!1A+T!S

+o o&stante, en el caso del pol$gono ms sencillo, el tringulo, s$&asta con una de las dos condicionespuesto "ue la otra secumplir automticamente.


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8E2I7I9I:7

2os tringulos son seme%antes si sus ngulos son, respectivamente, iguales,en consecuencia sus lados #omlogos sern proporcionales3 es decir, si lostringulos ABC A4B4C4 son seme%antes, se escri&e

se veriica:

A 5 A4 B 5 B4 C 5 C4AB6A4B4 5 BC6 B4C4 5 CA6C4A45 razn de seme%anza

ABC ~ ABC


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9ORRESPO78E79IA BI47IVO9A

ABC ~ ABC

A

B C B' C'

A'


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E/E5E7TOS ;O5O/O3OS

AB6A7B7 5 AC6A7C7 5 BC6B7C7 5 # A96 # A


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A

B C D F

E


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9O79EPTO

Para determinar si dos tri!ngulos dados son semejantes "astar#a concompro"ar si $eri%ican estas condiciones. Pero e&isten algunos principios'ue nos permiten determinar si dos tri!ngulos son semejantes sinnecesidad de medir ( comparar todos sus lados ( todos sus !ngulos. Estosprincipios se conocen con el nom"re de casos de semejanza de

tri!ngulos) o tam"i*n) criterios de semejanza de tri!ngulos.


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Casos de semejanza de tringulos

Dos t!"#$%&os 'o# s%s "#$%&os(%t%)(*#t* !$%)&*s so# s*(*+)#t*s

$ ABC %&'

Applet


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Sa&emos "ue los ngulos de un tringulo S-0A+ necesariamente ?.Si tenemos dos tringulos "ue tienen dos de sus ngulos respectivamenteiguales, el tercer ngulo tam&in ser igual, entonces, son seme%antes estostringulos

9rimer caso A A

$ ABC DEF

Plantea) en tu cuaderno) laproporcionalidad entre elementos+omlogos en la semejanza

mostrada.


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E,E-PLO .Compara los !ngulos de los tri!ngulos A/C ( -NL. 0Podemos decir'ue son iguales dos a dos1.

Indica) en tu cuaderno de tra"ajo la correspondencia "iun#$ocaentre cada uno de los !ngulos. Plantea las razones entre suselementos +omlogos

Applet


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Ejemplo 2

#i tenemos dos tringulos rectngulos de di$erente tama%o, onsemeantes estos tringulos(

&Por qu)(

*espuesta+ O, por que solo tienen un ngulo mutuamentecongruentes


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Segundo caso

Dos tri!ngulos con los lados mutuamente proporcionales sonsemejantes.

Applet

$ABC (&)


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os lados de dos tringulos miden, respectivamente, - cm, / cm !0 cm 1los del primero2 ! 30 cm, 43 cm ! 5- cm 1los del segundo2.Comprueba que son semeantes ! calcula la raz"n de semeanza.

DE/AB = EF/BC = DF/AC

$ABC DEF#ea la semeanza+

Como se veri$ica que

5, / 8 = 65 / 10 = -8 / 1, = 65

Entonces la raz"n de semeanza es 4,3

E0emplo (


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!%emplo @

os lados de un tringulo miden 6/, 7/ ! 3/ cent8metros. oslados de un segundo tringulo miden 0, 4 ! 0/ cent8metrosrespectivamente. on semeantes(. En caso a$irmativo, &cual esla raz"n de semeanza(

Como se veri$ica que

1, / 0 = 16 / 40 = ,0 / 50 = 04

os tringulos son semeantes ! la raz"n de semeanza es/,7


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Tercer caso A

Dos tri!ngulos con dos lados mutuamente proporcionales ( el !ngulo

comprendido entre ellos igual) son semejantes.

A

B C D F

E

$ABC DEF


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!%emplo =

9n poste vertical de 6 metros pro!ecta una sombra de 0metros: &qu) altura tiene un rbol que a la misma horapro!ecta una sombra de 7,3 metros( 1;az un dibuo delproblema2.

$ABC DEFAB / DE = AC / DF

/ = , / 45

= 6a altura del rbol es 4metros


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!%emplo 9n cilindro circular recto seinscribe en un cono de revoluci"nde 0 cm de altura ! 7 cm de radioen la base tal como se muestra enla $igura

#i el radio de la base del cilindro es0 cm, halle su altura.

A

B

C

DF

G


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$ABC DEF

AB / DB = AC / DF 1, /1, 2 3 = 4 / , = 6

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