Congruencias y semejanzas de figuras planas

Juan Serrano MA

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

bull 9G51 Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la semejanza

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

bull 9G51 Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la semejanza

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

3

Son ideacutenticas

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

bull

Ejemplos de Congruencia

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

bull Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Congruencia

bull Dos figuras son congruentes cuando

tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Criterios de congruencia

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Triaacutengulos congruentes

bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si

bull Sus lados correspondientes son congruentesbull Sus aacutengulos correspondiente son congruentesbull En la figura

A

DFAC EFBC EDAB

B

C

E

F D

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Postulado LLL

bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E F

ABC DEF

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Postulado ALA

bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A B

C

DE

ABC CDE

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Postulado AAL

bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes

A

B C

D

E

ABC EFD

F

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Postulado LALbull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son

congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes

A

B

C D

E

ABC DEF

F

bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
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• Slide 16
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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bull Ejemplosbull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC

isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes

bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
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• Postulado LAL
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones

bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

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GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

TEOREMA DE THALES

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

22

A

B

C

BASE MEDIAPROPIEDAD

M N

2AC

MN 2AC

MN

ACMN

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

GEOMETRIA

El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico

7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

25

iquestCoacutemo son las figuras mostradas

Son proporcionales

Son semejantes

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma forma aun

con diferentes dimensiones se llaman semejantes

bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales

bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los

segmentos determinados por pares cualesquiera

de puntos correspondientes

son iguales

ML

MLes la razoacuten de semejanza

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales

El cocientea b c

ka b c

se llama razoacuten de semejanza

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

30

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

33

Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m

Multiplica cada uno de los lados por 3

x 3

Los lados del triaacutengulo se han triplicado

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

34

Identificamos algunos elementos

RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3

LADOS HOMOacuteLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a

Ademaacutes

Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Distancias o alturas aplicando semejanza

bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos

bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo

38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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38

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS

Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
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• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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• Identificamos algunos elementos
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• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
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Criterios de semejanza de triaacutengulos

bull existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos

1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)2 LLL (lado-lado-lado)3 LAL (lado-aacutengulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA

Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo

Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
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• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

I Primer criterio AA

bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute

aacutea

bacute

bgacute

g

Es decir Si = a aacute = bbacute

de lo anterior se deduce que = ggacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Slide 16
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Ejemplo

iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes

25

65 25

65

iexclSIPor que al tener dos de sus

aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
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• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
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• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

II Segundo criterio LLLbull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son

semejantes entre siacuteAacute

BacuteCrsquo

A

BCa

aacute

El cociente obtenido de comparar los lados

homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de

semejanza

Es decir

aaacute = b

bacute = ccacute =K

b bacute

c

cacute

Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
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• Semejanza
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• Slide 30
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• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes

A

BC

P

Q

R

15

35

5

3

7

10

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

15 3 = =

35 7

510

Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales

15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35

Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
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• Identificamos algunos elementos
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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III Tercer criterio LAL

bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute

Aacute

BacuteCrsquo

A

BC

Es decir

aaacute

aaacute = c

cacute

c

cacute

y a = aacute

a

aacute

Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute

EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• TEOREMA DE THALES (2)
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• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
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• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
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• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente asiacute es ya que los productos

ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9

iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes

Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente porque tal como se sentildeala en el

dibujo ambos son rectos

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• Slide 15
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
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• Semejanza
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• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
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• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
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• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
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• Identificamos algunos elementos
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• Distancias o alturas aplicando semejanza
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• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
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Ejerciciobull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de

semejanzabull a) 8 cm 10 cm 12 cm

b) 52 cm 65 cm 78 cm

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL

8

10

12

78

65

52

Representemos el ejercicio

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones65 10 = 65

52 8

= 6510

= 7812

= 65

Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo

podemos ver la proporcionalidad entre las

medidas de los lados respectivos

52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780

Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
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Ejerciciobull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente

y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza

Luego debe ocurrir

3

4

5x

y

z

Entonces X= 3 3 = 9

= 9

Y = 4 3 =12

12 =

Z = 5 3 = 15

=15

La razoacuten de semejanza es 3

Representamos la situacioacuten

=X3 =

Y4

Z5 =

31 =3

Escala de ampliacioacuten

X3

= 3

Y4 =3

Z5

=3

Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

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Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de

semejanza

50

30

40

12

16

20

30 12

= 4016

5020

=

Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de

las razones50 20 = 25

Para comprobar la proporcionalidad podemos

efectuar los productos ldquocruzadosrdquo

30x16=480 y 40x12=480ademaacutes

40x20=800 y 16x50=800

Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

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Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)

45m

x3m

2m sombra

poste

Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto

De donde = 675m

Son semejantes por que cumplen el

criterio AA tienen iguales el aacutengulo

recto y el aacutengulo de elevacioacuten que

forman los rayos solares con el suelo

=3x

245

X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten

Para terminar una pequentildea demostracioacuten

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

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• Identificamos algunos elementos
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• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
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Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

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D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
• Slide 21
• Slide 22
• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
• Slide 52
• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
• Slide 54

Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC

CA

B

D

E

Afirmaciones RazonesDemostracioacuten

Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC

CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre

Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes

Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes

• Congruencias y semejanzas de figuras planas
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas
• Congruencia
• Criterios de congruencia
• Triaacutengulos congruentes
• Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
• POSTULADOS DE CONGRUENCIA
• Postulado LLL
• Postulado ALA
• Postulado AAL
• Postulado LAL
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• PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
• TEOREMA DE THALES
• TEOREMA DE THALES (2)
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• FIGURAS SEMEJANTES
• GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
• iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
• Semejanza
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• Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
• Identificamos algunos elementos
• Slide 35
• Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
• Distancias o alturas aplicando semejanza
• Slide 38
• Criterios de semejanza de triaacutengulos
• Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
• Slide 41
• Primer criterio AA
• Ejemplo
• II Segundo criterio LLL
• Ejemplo (2)
• III Tercer criterio LAL
• Ejemplo (3)
• Algunas aplicaciones de estos conceptos
• Ejercicio
• Ejercicio (2)
• Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
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• Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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