CAPTULO 1Introduccin

1

En las cien cias y la in ge nie ra se de sa rro llan mo de los ma te m ti cos pa ra com pren der me jor los fe n me nos f si cos. Con fre cuen cia, es tos mo de los pro du cen una ecua cin que con tie ne al gu nas de ri va das de una fun cin in cg ni ta. Es ta ecua cin es una ecua cin di fe ren cial. Dos ejem plos de mo de los que se de sa rro llan en cl cu lo son la ca da li bre de un cuer po y el de- cai mien to de una sus tan cia ra diac ti va.

En el ca so de la ca da li bre, un ob je to se li be ra des de una al tu ra de ter mi na da (por en-ci ma del ni vel del sue lo) y cae ba jo la fuer za de la gra ve dad. Po de mos apli car al ob je to que cae la se gun da ley de New ton, la cual es ta ble ce que la ma sa de un ob je to por su ace le ra cin es igual a la fuer za to tal que ac ta so bre l. Es to lle va a la ecua cin (va se la fi gu ra 1.1)

don de m es la ma sa del ob je to, h es la al tu ra so bre el sue lo, d2hdt2 es su ace le ra cin, g es la ace le ra cin gra vi ta cio nal (cons tan te) y mg es la fuer za de bi da a la gra ve dad. s ta es una ecua cin di fe ren cial que con tie ne la se gun da de ri va da de la al tu ra des co no ci da h co mo fun-cin del tiem po.

En es te ca so su po ne mos que la gra ve dad es la ni ca fuer za que ac ta so bre el ob je to, y que es ta fuer za es cons-tan te. Otros mo de los ms ge ne ra les con si de ra rn otras fuer zas, co mo la re sis ten cia del ai re.

Figura 1.1 Man za na en ca da li bre

1.1 FUNDAMENTOS

2 Captulo 1 Introduccin

Por for tu na, es f cil re sol ver la ecua cin an te rior en tr mi nos de h. Bas ta di vi dir en tre m e in te grar dos ve ces con res pec to de t. Es de cir,

de mo do que

y

Ve re mos que las cons tan tes de in te gra cin c1 y c2 que dan de ter mi na das si co no ce mos la al tu- ra ini cial y la ve lo ci dad ini cial del ob je to. As, te ne mos una fr mu la pa ra la al tu ra del ob je to en el ins tan te t.

En el ca so del de cai mien to ra diac ti vo (fi gu ra 1.2), par ti mos de la si guien te pre mi sa: lara zn de de cai mien to es pro por cio nal a la can ti dad de sus tan cia ra diac ti va pre sen te. Es to con-du ce a la ecua cin

don de A (0) es la can ti dad des co no ci da de sus tan cia ra diac ti va que es t pre sen te en el ins tan te t y k es la cons tan te de pro por cio na li dad. Pa ra re sol ver es ta ecua cin di fe ren cial, la es cri bi mos en la for ma

e in te gra mos pa ra ob te ner

Al des pe jar A ob te ne mos

Figura 1.2 De cai mien to ra diac ti vo

Seccin 1.1 Fundamentos 3

don de C es la com bi na cin de cons tan tes de in te gra cin eC2C1. El va lor de C, co mo ve re-mos ms ade lan te, que da de ter mi na do si se tie ne la can ti dad ini cial de sus tan cia ra diac ti va. En ton ces te ne mos una fr mu la pa ra la can ti dad de sus tan cia ra diac ti va en cual quier ins tan te fu tu ro t.

Aun que los ejem plos an te rio res se re sol vie ron f cil men te me dian te m to dos del cl cu- lo, nos dan po ca idea del es tu dio de las ecua cio nes di fe ren cia les en ge ne ral. En pri mer lu gar, ob sr ve se que la so lu cin de una ecua cin di fe ren cial es una fun cin, co mo h(t) o A(t), no s lo un n me ro. En se gun do lu gar, la in te gra cin es una he rra mien ta im por tan te pa ra re sol -ver ecua cio nes di fe ren cia les (lo cual no es sor pren den te!). En ter cer lu gar, no po de mos es pe rar ob te ner una ni ca so lu cin a una ecua cin di fe ren cial pues hay unas cons tan tes de in te gra cin ar bi tra rias. La se gun da de ri va da d2hdt2 en la ecua cin de ca da li bre da lu gar a dos cons tan tes, c1 y c2 y la pri me ra de ri va da en la ecua cin de de cai mien to da lu gar, en l-ti ma ins tan cia, a una cons tan te C.

Siem pre que un mo de lo ma te m ti co im pli que la ra zn de cam bio de una va ria ble con res pec to de otra, es pro ba ble que apa rez ca una ecua cin di fe ren cial. Por des gra cia, en con tras te con los ejem plos de la ca da li bre y el de cai mien to ra diac ti vo, la ecua cin di fe ren cial pue de ser muy com ple ja y di f cil de ana li zar.

Las ecua cio nes di fe ren cia les sur gen en una am plia ga ma de reas, no s lo en las cien cias f si cas, si no tam bin en cam pos tan di ver sos co mo la eco no ma, la me di ci na, la psi co lo ga y la in ves ti ga cin de ope ra cio nes. Aho ra enu me ra re mos unos cuan tos ejem plos es pe c fi cos.

1. Una apli ca cin cl si ca de las ecua cio nes di fe ren cia les apa re ce en el es tu dio de un cir cui to elc tri co for ma do por un re sis tor, un in duc tor y un ca pa ci tor que son ex ci-ta dos por una fuer za elec tro mo triz (va se la fi gu ra 1.3). En es te ca so, al apli car las le yes de Kirch hoff ob te ne mos la ecua cin

(1)

don de L es la in duc tan cia, R es la re sis ten cia, C es la ca pa ci tan cia, E(t) es la fuer za elec tro mo triz, q(t) es la car ga en el ca pa ci tor y t es el tiem po.

Analizaremos las leyes de Kirchhoff en la seccin 3.5.

Figura 1.3 Dia gra ma de un cir cui to RLC en se rie

2. En el es tu dio del equi li brio gra vi ta cio nal de una es tre lla, una apli ca cin de la ley de gra vi ta cin de New ton y la ley de Ste fan-Boltz mann pa ra los ga ses con du ce a la ecua cin de equi li brio

(2)

don de P es la su ma de la pre sin ci n ti ca del gas y la pre sin por ra dia cin, r es la

dis tan cia des de el cen tro de la es tre lla, es la den si dad de la ma te ria y G es la cons-tan te de gra vi ta cin.

3. En psi co lo ga, un mo de lo del apren di za je de una ta rea im pli ca la ecua cin

(3)

En es te ca so, la va ria ble y re pre sen ta el ni vel de ha bi li dad del es tu dian te co mo fun-cin del tiem po t. Las cons tan tes p y n de pen den del in di vi duo y la na tu ra le za de la ta rea.

4. En el es tu dio de las cuer das vi bran tes y la pro pa ga cin de on das, en con tra mos la ecua cin di fe ren cial par cial

(4)

don de t re pre sen ta el tiem po, x la po si cin a lo lar go de la cuer da, c la ra pi dez de la on da y u el des pla za mien to de la cuer da, que es una fun cin del tiem po y la po si cin.

Pa ra co men zar nues tro es tu dio de las ecua cio nes di fe ren cia les ne ce si ta mos cier ta ter mi-no lo ga co mn. Si una ecua cin im pli ca la de ri va da de una va ria ble con res pec to de otra, en ton ces la pri me ra se lla ma una va ria ble de pen dien te y la se gun da una va ria ble in de pen-dien te. As, en la ecua cin

t es la va ria ble in de pen dien te y x es la va ria ble de pen dien te. Nos re fe ri mos a a y k co mo coe-fi cien tes en la ecua cin (5). En la ecua cin

x y y son va ria bles in de pen dien tes y u es una va ria ble de pen dien te.Una ecua cin di fe ren cial que s lo im pli ca de ri va das or di na rias con res pec to de una so la

va ria ble in de pen dien te es una ecua cin di fe ren cial or di na ria. Una ecua cin di fe ren cial que im pli ca de ri va das par cia les con res pec to de ms de una va ria ble in de pen dien te es una ecua-cin di fe ren cial par cial. La ecua cin (5) es una ecua cin di fe ren cial or di na ria y la ecua cin (6) es una ecua cin di fe ren cial par cial.

El or den de una ecua cin di fe ren cial es el or den de las de ri va das de or den m xi mo que apa re cen en la ecua cin. La ecua cin (5) es una ecua cin de se gun do or den, pues d2xdt2 es la de ri va da de m xi mo or den que apa re ce en la ecua cin. La ecua cin (6) es una ecua cin de pri mer or den, pues s lo con tie ne de ri va das par cia les de pri mer or den.

Se r til cla si fi car las ecua cio nes di fe ren cia les or di na rias co mo li nea les y no li nea les. Re cuer de que las rec tas (en dos di men sio nes) y los pla nos (en tres di men sio nes) son par ti-cu lar men te f ci les de vi sua li zar, en com pa ra cin con ob je tos no li nea les co mo las cur vas c bi cas o las su per fi cies cu dri cas. Por ejem plo, po de mos de ter mi nar to dos los pun tos de una rec ta si s lo co no ce mos dos de ellos. En co rres pon den cia, las ecua cio nes di fe ren cia les li-

4 Captulo 1 Introduccin

No ta his t ri ca: Jean le Rond dA lem bert (1717-1783) des cu bri por pri me ra vez es ta ecua cin di fe ren cial par cial en 1747.

Seccin 1.1 Fundamentos 5

nea les son ms sus cep ti bles de re sol ver se que las no li nea les. Las ecua cio nes pa ra las rec tas ax by c y los pla nos ax by cz d tie nen la ca rac te rs ti ca de que las va ria bles apa-re cen s lo en com bi na cio nes adi ti vas de sus pri me ras po ten cias. Por ana lo ga, una ecua cin di fe ren cial li neal es aque lla en que la va ria ble de pen dien te y y sus de ri va das s lo apa re cen en com bi na cio nes adi ti vas de sus pri me ras po ten cias.

Una ecua cin di fe ren cial es li neal si tie ne el si guien te for ma to

(7)

don de an(x), an1(x), . . . , a0(x) y F(x) de pen den s lo de la va ria ble in de pen dien te x. Las com-bi na cio nes adi ti vas pue den te ner mul ti pli ca do res (coe fi cien tes) que de pen den de x, sin que ha ya res tric cio nes so bre la na tu ra le za de es ta de pen den cia de x. Si una ecua cin di fe ren cial or di na ria no es li neal, en ton ces se co no ce con el nom bre de no li neal. Por ejem plo,

es una ecua cin di fe ren cial or di na ria de se gun do or den no li neal, de bi do a la pre sen cia del tr mi no y3, mien tras que

es li neal (a pe sar del tr mi no x3). La ecua cin

es no lineal debido al trmino y dydx.Aun que la ma yor par te de las ecua cio nes que pro ba ble men te apa rez can en la prc ti ca

es tn en la ca te go ra no li neal, un pri mer pa so im por tan te con sis te en tra ba jar con las ecua-cio nes li nea les, ms sen ci llas (as co mo las rec tas tan gen tes ayu dan en la com pren sin de cur vas com pli ca das al pro por cio nar apro xi ma cio nes lo ca les).

En los pro ble mas 1 a 12, da mos una ecua cin di fe ren cial jun to con el cam po o rea don de sur ge. Cla si f que las co mo una ecua cin di fe ren cial or di na ria (EDO) o una ecua cin di fe ren cial par cial (EDP), pro por cio ne el or-den e in di que las va ria bles in de pen dien tes y de pen dien-tes. Si la ecua cin es una ecua cin di fe ren cial or di na ria, in di que si la ecua cin es li neal o no li neal.

(vi bra cio nes me c ni cas, cir cui tos elc tri cos, sis mo lo-ga).

2.

(ecua cin de Her mi te, me c ni ca cun ti ca, os ci la dor ar m ni co).

3.

(com pe ten cia en tre dos es pe cies, eco lo ga).

4.

(ecua cin de La pla ce, teo ra de po ten cial, elec tri ci-dad, ca lor, ae ro di n mi ca).

EJERCICIOS 1.1

6 Captulo 1 Introduccin

5.

dpdt

kp(P p) , don de k y P son cons tan tes

(cur va lo gs ti ca, epi de mio lo ga, eco no ma).

6. dxdt

(4 x)(1 x)

(ve lo ci dad de reac cin qu mi ca).

7.

don de C es una cons tan te

(pro ble ma de la bra quis to cro na, cl cu lo de va ria cio nes).

8.

(ecua cin de Kid der, fl u jo de un gas a tra vs de un me-dio po ro so).

9.

(ae ro di n mi ca, an li sis de ten sin me c ni ca).

10.

(de fl e xin de vi gas).

11. don de k es una cons tan te

(fi sin nu clear).

12.

(ecua cin de van der Pol, vl vu la trio do).

En los pro ble mas 13 a 16, es cri ba una ecua cin di fe ren-cial que se ajus te a la des crip cin f si ca.

13. La ra zn de cam bio de la po bla cin p de bac te rias en el ins tan te t es pro por cio nal a la po bla cin en el ins-tan te t.

14. La ve lo ci dad en el ins tan te t de una par t cu la que se mue ve a lo lar go de una l nea rec ta es pro por cio nal a la cuar ta po ten cia de su po si cin x.

15. La ra zn de cam bio en la tem pe ra tu ra T del ca f en el ins tan te t es pro por cio nal a la di fe ren cia en tre la tem pe ra tu ra M del ai re en el ins tan te t y la tem pe ra-tu ra del ca f en el ins tan te t.

16. La ra zn de cam bio de la ma sa A de sal en el ins tan te t es pro por cio nal al cua dra do de la ma sa de sal pre-sen te en el ins tan te t.

17. Ca rre ra de au tos. Dos pi lo tos, Ali son y Ke vin, par ti ci pan en una ca rre ra de arran co nes. Par ten des de el re po so y lue go ace le ran a una ra zn cons-tan te. Ke vin cu bre la l ti ma cuar ta par te de la dis-tan cia en 3 se gun dos, mien tras que Ali son cu bre la l ti ma ter ce ra par te de la dis tan cia en 4 se gun dos. Quin ga na y por cun to tiem po?

No ta his t ri ca: En 1630, Ga li leo for mu l el pro ble ma de la bra quis to cro na ( ms cor to, tiem- po), es de cir, de ter mi nar una tra yec to ria ha cia aba jo, por la cual de be caer una par t cu la des de un pun to da do has ta otro en el me nor tiem po po si ble. Fue pro pues to de nue vo por John Ber nou lli en 1696 y re suel to por s te al ao si guien te.

Una ecua cin di fe ren cial or di na ria de or den n es una igual dad que relaciona la va ria ble in de-pen dien te con la n-sima derivada de la va ria ble de pen dien te (y usualmente tambin de ri va das de orden menor). Al gu nos ejem plos son

(segundo orden, x independiente, y dependiente)

(segundo orden, t independiente, y dependiente)

(cuarto orden, t independiente, x dependiente).

1.2 SOLUCIONES Y PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 7

SOLUCIN EXPLCITA

Defi nicin 1. Una fun cin f(x) tal que al sus ti tuir la en vez de y en la ecua cin (1) [o (2)] sa tis fa ce la ecua cin pa ra to da x en el in ter va lo I es una so lu cin ex pl ci ta de la ecua cin en I.

Mos trar que f(x) x2 x1 es una so lu cin ex pl ci ta de la ecuacin lineal

(3)

Las fun cio nes f(x) x2 x1, f(x) 2x x2 y f(x) 2 2x3 es tn de fi ni das pa ra to da x 0. Al sus ti tuir f(x) en vez de y en la ecua cin (3) se tie ne

Co mo es to es v li do pa ra cual quier x 0, la fun cin f(x) x2 x1 es una so lu cin ex pl-ci ta de (3) en (q, 0) y tam bin en (0, q).

Mos trar que pa ra cual quier elec cin de las cons tan tes c1 y c2, la fun cin

es una so lu cin ex pl ci ta de la ecuacin lineal

(4)

Cal cu la mos f(x) c1ex 2c2e

2x y f(x) c1ex 4c2e

2x. Al sus ti tuir f, f y f en vez de y, y y y en la ecua cin (4) se tie ne

Co mo la igual dad es v li da pa ra to da x en (q, q), en ton ces f(x) c1ex c2e2x es una so lu cin ex pl ci ta de (4) en el in ter va lo (q, q) pa ra cual quier elec cin de las cons tan tes c1 y c2.

EJEMPL0 1

SOLUCIN

EJEMPLO 2

SOLUCIN

As, una forma general para una ecuacin de orden n con x independiente, y dependiente, se puede expresar como

(1)

don de F es una fun cin que de pen de de x, y, y de las de ri va das de y has ta de or den n; es de-cir, de pen de de x, y, . . . , dnydxn. Su po ne mos que la ecua cin es v li da pa ra to da x en un in ter va lo abier to I (a x b, don de a o b pue den ser in fi ni tos). En mu chos ca sos, po de mos des pe jar el tr mi no de or den m xi mo dnydxn y es cri bir la ecua cin (1) co mo

(2)

que con fre cuen cia se pre fi e re so bre (1) por ra zo nes te ri cas y de cl cu lo.

Co mo ve re mos en el ca p tu lo 2, los m to dos pa ra re sol ver las ecua cio nes di fe ren cia les no siem pre pro por cio nan una so lu cin ex pl ci ta de la ecua cin. A ve ces ten dre mos que plan-tear una so lu cin de fi ni da en for ma im pl ci ta. Con si de re mos el si guien te ejem plo.

Mos trar que la re la cin

(5)

defi ne de manera implcita una solucin de la ecuacin no lineal

(6)

en el in ter va lo (2, q).Al des pe jar y en (5), ob te ne mos y x3 8. Vea mos si f(x) x3 8 es una so lu cin ex pl ci ta. Co mo dfdx 3x2(2x3 8 ), tan to f co mo dfdx es tn de fi ni das en (2, q). Al sus ti tuir las en (6) se tie ne

que es v li da pa ra to da x en (2, q). [Usted puede verifi car que c(x) x3 8 tam bin es una so lu cin ex pl ci ta de (6)].

8 Captulo 1 Introduccin

SOLUCIN IMPLCITA

Defi nicin 2. Se di ce que una re la cin G(x, y) 0 es una so lu cin im pl ci ta de la ecua cin (1) en el in ter va lo I si de fi ne una o ms so lu cio nes ex pl ci tas en I.

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

SOLUCIN

Mos trar que

(7)

es una solucin implcita de la ecuacin no lineal

(8)

Pri me ro ob ser va mos que no po de mos des pe jar a y en (7) en tr mi nos de x. Sin em bar go, pa ra que se cum pla (7), ob ser va mos que cual quier cam bio en x re quie re un cam bio en y, de mo do que es pe ra mos que la re la cin de fi na de ma ne ra im pl ci ta al me nos una fun cin y(x). Es to es di f cil de mos trar di rec ta men te, pe ro pue de ve ri fi car se con ri gor me dian te el teo re- ma de la fun cin im pl ci ta del cl cu lo avan za do, el cual ga ran ti za la exis ten cia de tal fun-cin y(x) y que ade ms es di fe ren cia ble (va se el pro ble ma 30).

SOLUCIN

Vase Vector calculus, J. E. Marsden y A. J. Tromba, quinta edicin (San Francisco: Freeman, 2004).

Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 9

Una vez que sa be mos que y es una fun cin di fe ren cia ble de x, po de mos usar la tc ni ca de de ri va cin im pl ci ta. De hecho, si en (7) derivamos con respecto de x y aplicamos las reglas del producto y de la cadena,

o

que es idn ti ca a la ecua cin di fe ren cial (8). As, la re la cin (7) es una so lu cin im pl ci ta en al gn in ter va lo ga ran ti za do por el teo re ma de la fun cin im pl ci ta.

Verifi car que para cada constante C la relacin 4x2 y2 C es una solucin implcita de

(9)

Grafi car las curvas solucin para C 0, 1, 4. (Llamamos a la coleccin de tales solucio-nes una familia a un parmetro de soluciones).

Al de ri var de ma ne ra im pl ci ta la ecua cin 4x2 y2 C con res pec to de x, te ne mos

que es equi va len te a (9). En la fi gu ra 1.4 bos que ja mos las so lu cio nes im pl ci tas pa ra C 0, 1, 4. Las cur vas son hi pr bo las con asn to tas co mu nes y 2x. Ob ser ve que las cur vas so lu cin im pl ci tas (con C ar bi tra rio) cu bren to do el pla no y no se cor tan pa ra C 0. Pa ra C 0, la so lu cin im pl ci ta pro du ce las dos so lu cio nes ex pl ci tas y 2x y y 2x, am bas pa san por el ori gen.

EJEMPLO 5

SOLUCIN

Figura 1.4 So lu cio nes im pl ci tas de 4x2 y2 C

Pa ra abre viar, a par tir de es te mo men to usa re mos el tr mi no so lu cin pa ra in di car una so lu cin ex pl ci ta o im pl ci ta.

Al ini cio de la sec cin 1.1 vi mos que la so lu cin de la ecua cin de ca da li bre de se-gun do or den im pli ca ba dos cons tan tes ar bi tra rias de in te gra cin c1, c2:

mien tras que la so lu cin de la ecua cin de de cai mien to ra diac ti vo de pri mer or den con te na una so la cons tan te C:

Es cla ro que al in te grar la sen ci lla ecua cin de cuar to or den

se pro du cen cua tro cons tan tes in de ter mi na das:

.

Ms ade lan te mos tra re mos que, en ge ne ral, los m to dos pa ra re sol ver ecua cio nes di fe ren cia-les de or den n ne ce si tan n cons tan tes ar bi tra rias. En la ma yor par te de los ca sos, po dre mos eva luar es tas cons tan tes si co no ce mos n va lo res ini cia les y(x0), y(x0), . . . , y

(n1)(x0).

10 Captulo 1 Introduccin

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Defi nicin 3. Por un pro ble ma con va lo res ini cia les pa ra una ecua cin di fe ren-cial de or den n

se de be en ten der: Ha llar una so lu cin de la ecua cin di fe ren cial en un in ter va lo I que sa tis fa ga en x0 las n con di cio nes ini cia les

don de x0 I y y0, y1, . . . , yn1 son cons tan tes da das.

En el ca so de una ecua cin de pri mer or den, las con di cio nes ini cia les se re du cen a un ni co re qui si to

y(x0) y0 ,

Seccin 1.2 Soluciones y problemas con valores iniciales 11

y en el ca so de una ecua cin de se gun do or den, las con di cio nes ini cia les tie nen la for ma

La ter mi no lo ga con di cio nes ini cia les pro vie ne de la me c ni ca, don de la va ria ble in de-pen dien te x re pre sen ta el tiem po y se in di ca co mo t. Si t0 es el ins tan te ini cial, y(t0) y0 re-pre sen ta la po si cin ini cial de un ob je to y y(t0)dt pro por cio na su ve lo ci dad ini cial.

Mos trar que f(x) sen x cos x es una so lu cin del pro ble ma con va lo res ini cia les

(10)

Ob ser ve que f(x) sen x cos x, dfdx cos x sen x, y d2fdx2 sen x cos x es-tn de fi ni das en (q, q). Al sus ti tuir es to en la ecua cin di fe ren cial te ne mos

que es v li da pa ra to da x (q, q). Por tan to, f(x) es una so lu cin de la ecua cin di fe ren-cial (10) en (q, q). Al ve ri fi car las con di cio nes ini cia les, te ne mos

lo que cum ple los re qui si tos de (10). Por tan to, f(x) es una so lu cin del pro ble ma con va lo-res ini cia les da do.

Co mo se mos tr en el ejem plo 2, la fun cin f(x) c1ex c2e

2x es una so lu cin de

pa ra cual quier elec cin de las cons tan tes c1 y c2. De ter mi nar c1 y c2 de mo do que se cum plan las con di cio nes ini cia les

para satisfacer.

Pa ra de ter mi nar las cons tan tes c1 y c2, cal cu la mos pri me ro dfdx pa ra ob te ner dfdx c1ex 2c2e

2x. Al sus ti tuir en nues tras con di cio nes ini cia les, ob te ne mos el si guien te sis-te ma de ecua cio nes:

Al su mar las dos l ti mas ecua cio nes te ne mos que 3c2 1, de mo do que c2 13. Co mo c1 c2 2, te ne mos que c1 73. Por lo tan to, la so lu cin del pro ble ma con va lo res ini cia les es f(x) (73)ex (13)e2x.

EJEMPLO 6

SOLUCIN

EJEMPLO 7

SOLUCIN

Aho ra enun cia re mos un teo re ma de exis ten cia y uni ci dad pa ra pro ble mas de pri mer or-den con va lo res ini cia les. Su po ne mos que la ecua cin di fe ren cial tie ne ya el for ma to

Por su pues to, el la do de re cho f (x, y) de be es tar bien de fi ni do en el pun to ini cial x0 con res-pec to de x y en el va lor ini cial da do y0 y(x0) con res pec to de y. Ade ms, las hi p te sis del teo re ma pi den la con ti nui dad de f y fy pa ra x en cier to in ter va lo a x b que con ten ga a x0, y pa ra y en cier to in ter va lo c y d que con ten ga a y0. Ob ser ve que el con jun to de pun tos en el pla no xy que sa tis fa cen a x b y c y d for man un rec tn gu lo. La fi gu ra 1.5 mues tre es te rec tn gu lo de con ti nui dad con el pun to inicial (x0, y0) en su in te rior y un bos que jo de la par te de la cur va so lu cin con te ni da en l.

12 Captulo 1 Introduccin

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIN

Teorema 1. Da do el pro ble ma con va lor ini cial

su pn ga se que f y fy son fun cio nes con ti nuas en un rec tn gu lo

que con tie ne al pun to (x0, y0). En ton ces el pro ble ma con va lor ini cial tie ne una ni ca so lu cin f(x) en al gn in ter va lo x0 d x x0 d, don de d es un n-me ro po si ti vo.

Figura 1.5 Dia gra ma pa ra el teo re ma de exis ten cia y uni ci dad

Prefacio