PROBABILIDAD CONDICIONAL

Hay ocasiones en que nos interesa alterar nuestra

estimacin de la probabilidad de un evento cuando

poseemos informacin adicional que podra afectar el

resultado. Esta probabilidad modificada se denomina

probabilidad condicional del evento.

Por ejemplo, hemos visto que la probabilidad de

observar un nmero par (evento A) en un

lanzamiento de un dado balanceado es . Sin

embargo, se recibe la informacin de que en cierto

lanzamiento del dado el resultado fue un nmero

menor o igual que 3 (evento B). Pensara usted

todava que la probabilidad de observar un nmero

par en el lanzamiento del dado es igual a ?

Si razona que el hecho de suponer que B

ocurri reduce el espacio de muestra de seis

eventos simples a tres eventos simples (a saber,

los contenidos en el evento B), el espacio de

muestra reducido ser el que se muestra en la

Figura 1.

. 1 . 2 . 3

A B B

Figura 1

Puesto que el nico nmero par de los tres que quedan

en el espacio de muestra reducido del evento B es el

nmero 2, y puesto que el dado est balanceado,

concluimos que la probabilidad de que A ocurra, dado

que B ocurra es de una en tres, o 1/3.

Utilizaremos el smbolo P(A/B) para representar la

probabilidad del evento A dado que ocurre el

evento B. Para el ejemplo del lanzamiento de un

dado, escribimos

P(A/B) = 1/3

Para determinar la probabilidad del evento A, dado que

ocurre el evento B, procedemos como sigue: dividimos

la probabilidad de la parte de A que queda dentro del

espacio de muestra reducido del evento B, a saber, P(A

B), entre la probabilidad total del espacio de muestra

reducido, a saber, P(B).

As pues, para el ejemplo de lanzamiento de un

dado donde evento A: {Observar un nmero par}

y evento B: {Observar un nmero menor o igual

que 3}, tenemos:

P(A B ) P(2) 1/6 1

P(A/B) = = = =

P(B) P(1) + P(2) + P(3) 3/6 3

Esta frmula para P(A/B) se cumple en general.

Frmula para la probabilidad condicional

Para determinar la probabilidad condicional de que el evento A

ocurra, dado que ocurre el evento B, divida la probabilidad de que

ocurran tanto A como B entre la probabilidad de que ocurra B; esto

es,

P(A B )

P(A/B) = donde suponemos que P(B) 0

P(B)

La investigacin de las quejas de los consumidores

referentes a productos realizada por INDECOPI ha

generado gran inters por parte de los fabricantes en la

calidad de sus productos. Un fabricante de procesadores

de alimentos realiz un anlisis de un gran nmero de

quejas de los consumidores y determin que entraban en

las seis categoras que se muestran en la siguiente tabla.

TABLA: Distribucin de quejas por productos

Razn de la queja Totales

Elctrica Mecnica Aspecto

Durante el periodo de garanta 18% 13% 32% 63%

Despus del periodo de garanta 12% 22% 3% 37%

TOTALES 30% 35% 35% 100%

Si se recibe una queja de un consumidor, qu

probabilidad hay de que la causa de la queja sea el

aspecto del producto, dado que la queja se origin

durante el periodo de garanta?

Solucin

Representemos con A el evento de que la causa de una

queja en particular fue el aspecto del producto, y con B

el evento de que la queja se present durante el periodo

de garanta. Si consultamos la Tabla, veremos que el

(18 + 13 + 32) % = 63% de las quejas se presentaron

durante la vigencia de la garanta; por tanto, P(B) =

0.63.

El porcentaje de quejas debidas a la apariencia que

ocurrieron durante el periodo de garanta (el evento

A B) es del 32%. Por tanto, P(A B) = 0.32.

Con base en estos valores de probabilidad, podemos

calcular la probabilidad condicional P(A/B) de que la

causa de una queja sea el aspecto, dado que la queja

ocurri durante el periodo de garanta.

P(A B) 0.32

P(A/B) = = = 0.51

P(B) 0.63

As, podemos ver que un poco ms de la

mitad de las quejas que ocurrieron durante el

periodo de garanta se debieron a rayones,

abolladuras u otras imperfecciones en la

superficie de los procesadores de alimentos.

Regla multiplicativa de la probabilidad

P(A B) = P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A)

EJEMPLO

Considere el experimento de lanzar una moneda balanceada

dos veces y registrar la cara superior en cada lanzamiento. Se

definen los siguientes eventos:

A: {El primer lanzamiento es cara}

B: {El segundo lanzamiento es cara}

Si sabemos que ocurri el evento A, afecta esto la

probabilidad de que B ocurra?

Solucin

La respuesta intuitiva debe ser no, pues lo que

ocurra en el primer lanzamiento no tiene por qu

afectar lo que ocurra en el segundo. Verifiquemos

nuestra intuicin. Recordemos el espacio de

muestra para este experimento:

1.- Observar CC

2.- Observar CS

3.- Observar SC 4.- Observar SS

Cada uno de estos eventos simples tiene

una probabilidad de . Entonces,

P(B) = P(CC) + P(SC) y P(A) = P(CC) + P(CS)

= 1/4 + 1/4 = 1/2 = 1/4 + 1/4 = 1/2

Ahora bien, qu es P(B/A)?

P(A B) P(CC)

P(B/A) = =

P(A) P(A)

= (1/4)/(1/2) = 1/2

Ahora vemos que P(B) = y que P(B/A) = . Saber

que el primer lanzamiento fue cara no afecta la

probabilidad de que el segundo lanzamiento sea cara.

La probabilidad es de sin importar que sepamos o

no el resultado del primer lanzamiento. Cuando esto

ocurre, decimos que los dos eventos A y B son

independientes.

Definicin: Los eventos A y B son independientes si

la ocurrencia de B no altera la probabilidad de que

haya ocurrido A, es decir, los eventos A y B son

independientes si

(A/B) = P(A)

Si los eventos A y B son independientes,

tambin se cumple que P(B/A) = P(B).

Si los eventos no son independientes, se dice que

son dependientes.

Ejemplo

Refirase al estudio de quejas de consumidores

referentes a productos. Los porcentajes de quejas de

diversos tipos en los periodos de garanta y posterior

a la garanta se muestran en dicho ejemplo.

Defina los siguientes eventos:

A: {La causa de la queja es el aspecto del

producto}

B: {La queja se present durante el plazo

de garanta}

Son A y B eventos independientes?

Solucin

Los eventos A y B son independientes si P(A/B) = P(A).

En el ejemplo anterior calculamos que P(A/B) es 0.51, y

de la tabla podemos ver que

P(A) = 0.32 + 0.03 = 0.35

Por tanto, P(A/B) no es igual a P(A) y A y B no son

independientes.

Regla multiplicativa para eventos independientes

Si los eventos A y B son independientes, la

probabilidad de la interseccin de A y B es igual al

producto de las probabilidades de A y B, es decir,

P(AB) = P(A)P(B)

EJEMPLO

Un ingeniero de control de calidad consider el

problema de determinar si una lnea de ensamble est o

no fuera de control. En ese ejemplo analizamos el

problema de calcular la probabilidad de que uno, dos o,

en general, k artculos salieran de la lnea de ensamble

con defectos. Ahora estamos en condiciones de

calcular la probabilidad de que dos artculos que salen

en sucesin de la lnea sean defectuosos.

Supongamos que la lnea est fuera de control y que

el 20% de los artculos que se producen tiene

defectos.

a) Si dos artculos salen en sucesin de la lnea, qu

probabilidad hay de que ambos tengan defectos?

b) Si k artculos salen en sucesin de la lnea, qu

probabilidad hay de que todos tengan defectos?

Solucin

Sea D1 el evento en el que un artculo est defectuoso, y sea D2 un evento similar para el artculo 2. El evento en

el que ambos artculos tienen defectos es la interseccin D1 D2 . Entonces, dado que es razonable suponer que las

condiciones operativas de los artculos sean mutuamente independientes, la probabilidad de que ambas tengan

defectos es

D D P D P D1 2 1 220 2 02 0 2 004 ( ) ( ) ( . )( . ) ( . ) .

b) Representemos con Di el evento en el que el i-simo artculo que sale de la lnea en sucesin sea defectuoso.

Entonces, el evento en el que tres de tres artculos que salen de la lnea en sucesin sean defectuosos es la

interseccin del evento D1 D2 . (del inciso a) con el evento D3 . Si suponemos la independencia de los eventos

D D1 2, y D3 , tendremos

P D D D P D D P D( ) ( ) ( ) ( . ) ( . ) ( . ) .1 2 3 1 2 32 302 02 02 0008

Observando el patrn, es evidente que la probabilidad de que k artculos que salen sean

defectuosos es la probabilidad de D D D Dk1 2 3 ... , o sea

P( D D D Dk1 2 3 ... ) = ( . )0 2k

para k = 1, 2, 3, ....

Regla de Bayes

Uno de los primeros intentos por utilizar la

probabilidad para hacer inferencias es la base de una

rama de la metodologa estadstica llamada mtodos

estadsticos bayesianos. La lgica empleada por el

filsofo ingls, el reverendo Thomas Bayes (1702-

1761) se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Un sistema de monitoreo automtico emplea equipo

de video de alta tecnologa y microprocesadores

para detectar intrusos. Se ha creado un prototipo del

sistema y se est utilizando en exteriores en una

planta de municiones para armamento. El sistema se

dise de modo que detectara intrusos con una

probabilidad de 0.90. Sin embargo, los ingenieros de

diseo esperan que esta probabilidad vare con las

condiciones del clima.

El sistema registra automticamente las

condiciones del clima cada vez que detecta

un intruso. Con base en una serie de

pruebas controladas, en las que se liber a un

intruso en la planta en diversas condiciones

climticas, se cuenta con la siguiente

informacin

En los casos en que el intruso s fue detectado por

el sistema, el clima estuvo despejado 75% del

tiempo, nublado 20% del tiempo y lluvioso 5% del

tiempo. Cuando el sistema no detect al intruso,

60% de los das estuvieron despejados, 30%

nublados y 10% lluviosos. Utilice esta informacin

para calcular la probabilidad de detectar un intruso

cuando el clima est lluvioso. (Suponga que se

liber un intruso en la planta).

Solucin

Defina D como el evento de que el sistema detecta al

intruso. Entonces D es el evento de que el sistema

no pudo detectar al intruso. Nuestro objetivo es

calcular la probabilidad condicional, P(D/lluvioso).

A partir del enunciado del problema, contamos con

la siguiente informacin:

P(D) = 0.90 P(D) = 0.10

P(Despejado/D) = 0.75 P(Despejado/D) = 0.60

P(Nublado/D) = 0.20 P(Nublado/D) = 0.30 P(Lluvioso/D) = 0.05 P(Lluvioso/D) = 0.10

Entonces

P(Lluvioso D) = P(D)P(Lluvioso/D) = (0.90)(0.05) = 0.045

y

P(Lluvioso D) = P(D)P(Lluvioso/D) = (0.10)(0.10) = 0.01

El evento Lluvioso es la unin de dos eventos mutuamente

exclusivos, P(Lluvioso D) y P(Lluvioso D). Por tanto,

P(Lluvioso) = P(Lluvioso D) + P(Lluvioso D) = 0.045 +

0.01 = 0.055

P D LluviosoP Lluvioso D

P Lluvioso

P Lluvioso D

P Lluvioso D P Lluvioso D( / )

( )

( )

( )

( ) ( ' )

=

= 0 045

0 0550818

.

..

Por tanto, en condiciones de clima lluvioso, el prototipo del

sistema puede detectar al intruso con una probabilidad de 0.818,

un valor menor que la probabilidad diseada de 0.90.

Ahora aplicamos la frmula de la probabilidad condicional para

obtener:

Regla de Bayes

Dados k estados de la naturaleza (eventos) mutuamente exclusivos y exhaustivos, A A Ak1 2, ,..., ,

y un evento observado E, entonces P A Ei( / ) , para i = 1, 2, ... , k, es

P A EP A E

P Ei

i( / )( )

( )

= P A P E A

P A P E A P A P E A P A P E A

i i

k k

( ) ( / )

( ) ( / ) ( ) ( / ) ... ( ) ( / )1 1 2 2

Al aplicar la regla de Bayes al ejemplo 10, el evento observado E es {Lluvioso} y los

estados de la naturaleza mutuamente exclusivos y exhaustivos son D (se detect el intruso y D

(no se detect el intruso). Por tanto, la frmula

P D LluviosoP D P Lluvioso D

P D P Lluvioso D P D P Lluvioso D( / )

( ) ( / )

( ) ( / ) ( ' ) ( / ' )