MATEMÁTICAS I - SEMANA 6

Logro D2

Docentes:Xyoby Chávez PachecoSergio Quispe RodríguezCristina Navarro FloresNaudy López RodríguezPatricia Reynoso Quispe Cordelia Khouri de Arciniegas

2

Logro D1

4

Aproximar funciones usando los diferenciales. df=f'(x)dx y

aplicar las reglas de la derivación para calcular derivada

de funciones compuestas e implicitas usando la notación

de Leibniz.

MATEMÁTICAS I

ALGUNAS NOTACIONES COMUNES DE LA DERIVADA

DE UNA FUNCIÓN

El símbolo 𝐷 𝑦 𝑑/𝑑𝑥 se llaman operadores de la derivación

El símbolo 𝑑𝑦/𝑑𝑥 es la notación de Leibniz, que es lo mismo que 𝑓′ 𝑥

MATEMÁTICAS I

La notación de Leibniz para un número específico

Se quiere indicar la derivada 𝑓′(𝑥), en la notación de

Leibniz en un numero específico 𝑥 = 𝑎, entonces se usa

MATEMÁTICAS I

Definición:

Una función 𝑓 es derivable en 𝑥 = 𝑎 si 𝑓′ 𝑎 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒.

Es derivable en un intervalo si es derivable en cada punto del

intervalo.

MATEMÁTICAS I

Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales

Derivada de una función constante: 𝑑

𝑑𝑥𝑐 = 0

Regla de la potencia: 𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1 En particular

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 1

Regla del múltiplo constante: 𝑑

𝑑𝑥𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑐

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 , 𝑐 = 𝑐𝑡𝑒

MATEMÁTICAS I

Regla de la suma: 𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 ±

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Derivada de la multiplicación: 𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥)

Derivada del cociente: 𝑑

𝑑𝑥

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥 /𝑔2(𝑥)

Derivada de la función exponencial: 𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

en general𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑓(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑒𝑓(𝑥)

MATEMÁTICA I

Derivada de la función logaritmo: 𝑑

𝑑𝑥𝐿𝑛 𝑓(𝑥) =

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)

Derivada de las funciones trigonométricas:

𝑑

𝑑𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) = cos 𝑥 ;

𝑑

𝑑𝑥cos(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 ;

𝑑

𝑑𝑥tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

en particular𝑑

𝑑𝑥Ln(𝑥) =

1

𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑐𝑜𝑡(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2 𝑥 ;

𝑑

𝑑𝑥sec(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 tan 𝑥 ;

𝑑

𝑑𝑥cs𝑐 𝑥 = −csc 𝑥 cot(𝑥)

MATEMÁTICAS I

Derivadas de funciones compuestas y regla de la cadena

Luego su derivada es: 𝐹′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥)

Dada la función compuesta F x = 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) es derivable si 𝑓

es derivable en 𝑔 𝑥 y 𝑔 es derivable en 𝑥.

Usando diferenciales: 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑔 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑑

𝑑𝑥𝐹 =

𝑑

𝑑𝑢𝑓

𝑑𝑢

𝑑𝑥

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 01:

Solución

Encuentre 𝐹′ 𝑡 𝑠𝑖 𝐹 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛 3cos(4𝑡)

Hacemos: 𝑣 = 4𝑡 𝑢 = 3cos(𝑣) entonces 𝐹 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑢

Usando la regla de la cadena 𝑑𝐹

𝑑𝑡=

𝑑𝐹

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝐹

𝑑𝑡= 2 cos 𝑢 −3 𝑠𝑒𝑛 𝑣 4

𝑑𝐹

𝑑𝑡= −24 cos 𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑣

Usando las relaciones anteriores: 𝑑𝐹

𝑑𝑡= −24 cos 3 cos(4𝑡) 𝑠𝑒𝑛 (4𝑡)

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 02:

Solución (a)

a) Encuentre 𝐹′ 𝑥 𝑠𝑖 𝐹 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥2 − 2 5

Solución (b)

b) Encuentre 𝐹′ 𝑥 𝑠𝑖 𝐹 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑘𝑥

Haciendo: 𝑢 = 𝑥4 − 3𝑥2 − 2

Quedando F = 𝑢5

Entonces por la regla de la cadena 𝑑𝐹

𝑑𝑥=

𝑑𝐹

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝐹

𝑑𝑥= 5𝑢4 4𝑥3 − 6𝑥

Así 𝑑𝐹

𝑑𝑥= 5 𝑥4 − 3𝑥2 − 2 4 4𝑥3 − 6𝑥

Por la derivada del producto:

𝑑𝐹

𝑑𝑥=

𝑑𝑥

𝑑𝑥𝑒−𝑘𝑥 + 𝑥

𝑑 𝑒−𝑘𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝐹

𝑑𝑥= 1 𝑒−𝑘𝑥 + 𝑥 −𝑘 𝑒−𝑘𝑥

𝑑𝐹

𝑑𝑥= 𝑒−𝑘𝑥 − 𝑘𝑥 𝑒−𝑘𝑥

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 03:

Solución (a)

a) Encuentre 𝑦′ 𝑠𝑖 𝑥3 + 𝑦3 = 6𝑥𝑦

b) Halle la recta tangente en el punto (3;3)

Usando diferenciales : 𝑑 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑑 6𝑥𝑦

Entonces 𝑑 𝑥3 + 𝑑 𝑦3 = 6 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦

3𝑥2𝑑𝑥 + 3𝑦2𝑑𝑦 = 6 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦

𝑥2𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 2𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑑𝑦

agrupando: 𝑥2 − 2𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 𝑦2 𝑑𝑦

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥2 − 2𝑦

2𝑥 − 𝑦2

Evaluando: 𝑚 = 𝑦′ 3; 3 = −1

Solución (b)

Recta L: 𝑦−3

𝑥−3= −1

Recta L: 𝑦 = −𝑥 + 6

MATEMÁTICAS I

Ejercicio 04:

Solución

Se infla un globo esférico y su volumen crece a una razón de 100 𝑐𝑚3/𝑠 ¿Qué tan

rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50cm?

Datos: 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 100𝑐𝑚3/𝑠 queremos

𝑑𝑅

𝑑𝑡=?

Sabemos: V =4

3𝜋𝑅3

Diferenciando: dV =4

3𝜋 3𝑅2 𝑑𝑅

entonces dV = 4𝜋 𝑅2 𝑑𝑅

Dividiendo ambos lados por dt

Se tiene: 𝑑𝑉

𝑑𝑡= 4𝜋 𝑅2 𝑑𝑅

𝑑𝑡

Reemplazando el dato:

100 = 4𝜋 252𝑑𝑅

𝑑𝑡

Respuesta: 𝑑𝑅

𝑑𝑡=

1

25𝜋𝑐𝑚/𝑠