Semana 02-Investigaciòn Operativa
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7/26/2019 Semana 02-Investigacin Operativa
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Segundo Agustn Garca Flores
INVESTIGACIN OPERATIVA
Mdulo: I Unidad:
II Semana:
02
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7/26/2019 Semana 02-Investigacin Operativa
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TTULO DEL TEMA
Formulacin del modelo
matemtico
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ORIENTACIONES
Lea las previamente las orientaciones generalesdel curso.
Revise los temas afines a este en la BibliotecaVirtual de la UAP.
Participe de los foros.
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CONTENIDOS TEMTICOS
La investigacin de operaciones
El modelamientoEl modelo matemtico
Estructura de un modelo de PL
Etapas del modelamiento
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DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTTULOSDEL TEMA
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Conjunto de tcnicas matemticas y
estadsticas aplicable a diversos sistemas con
el fin de mejorarlos, buscando las mejores
alternativas de accin; esto mediante el
modelamiento matemtico de los problemas
en estudio.
Investigacin de operaciones
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El modelo es una representacin o abstraccinde una situacin u objeto reales, que muestralas relaciones (directas e indirectas) y las
interrelaciones de la accin y la reaccin entrminos de causa y efecto.
Definicin de modelo
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Mundo real
Mundo real supuesto Modelo Matemtico
El xito de un buen resultado
luego del anlisis del problema es
efectuar el modelo del sistema
real, al cual se esta representando
para efectuar el planteamientodel problema que aqueja al
sistema.
El formular un modelo
adecuado que represente al
sistema de manera objetiva,
har que minimice la brecha
entre el mundo real y elsupuesto, asegurando unos
resultados confiables.
Importancia del modelamiento
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Clasificacin de los modelos
Representan la realidad en forma abstractade muy diversas maneras.
Utilizados para representar sistemas cuyoestado es invariable a travs del tiempo.
Utilizados para representar sistemas cuyoestado vara con el tiempo.Dinmicos
Estticos
Matemticos
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Clasificacin de los modelos
La realidad se representa por frmulasmatemticas. Estudiar el sistema consiste en
operar con esas frmulas matemticas.
Se tiene el comportamiento numrico de lasvariables intervinientes. No se obtiene ninguna
solucin analtica.
La realidad es representada por algo tangible,construido en escala o que por lo menos secomporta en forma anloga a esa realidad
(maquetas, prototipos, etc.).
Fsicos
Numricos
Analticos
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Clasificacin de los modelos
Son modelos cuya solucin para determinadas
condiciones es nica y siempre la misma.
Representan sistemas cuyos cambios de estado
son de a saltos. Las variables varan en forma
discontinua.
Representan sistemas cuyos cambios de estado
son graduales. Las variables intervinientes son
continuas.Continuos
Discretos
Determinsticos
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Clasificacin de los modelos
Representan sistemas donde los hechos suceden al
azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar
cules acciones ocurren en un determinado instante. Se
conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribucinprobabilstica.
Estocsticos
Ejemplo, llega una persona cada 20 10 segundos, con una distribucin
equiprobable dentro del intervalo.
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Un modelo matemtico es una construccin
matemtica abstracta y simplificada relacionada
con una parte de la realidad y creada para un
propsito particular. As, por ejemplo, un grfico,
una funcin o una ecuacin pueden ser modelos
matemticos de una situacin especfica.
modelo matemtico
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El modelado
Ciencia Arte
anlisis de relaciones
aplicacin de algoritmos desolucin
visin de la realidad
estilo, elegancia, simplicidad
uso creativo de las herramientas
experiencia
Es
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El modelaje es
" el arte de aplicar las matemticas
a la vida real" .
Mogen Niss, [email protected]
Acerca del modelamiento
mailto:[email protected]:[email protected] -
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La Modelacin Matemtica es un proceso de
elegir caractersticas que describen
adecuadamente un problema de origen no
matemtico, para llegar a colocarlo en unlenguaje matemtico. La Modelacin es un
proceso iterativo en que una etapa de
validacin frecuentemente lleva a
diferencias entre las predicciones basadas
en el modelo y la realidad.
Tim OShea, John Berry, 1982.
Acerca del modelamiento
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El proceso de modelado es creativo: cuando se trata con problemas
administrativos reales, es comn que no haya un modelo correcto sino
varias formas alternativas para realizarlos. El proceso de modelado es un
proceso evolutivo que comienza con un simple modelo verbal para
definir la esencia del problema y gradualmente evoluciona hacia los
modelos matemticos cada vez mas completos (quiz en un formato de
hoja de calculo) Hillier et al. 2001,p7.
Acerca del modelamiento
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Maximizar o minimizar la funcin
objetivo
Restriccin 1
Sujeto a :
Restriccin 2
Restriccin N
.
.
.
Representa lanecesidad
Define las reglas de
juego o las reglas delnegocio.
Define laslimitaciones onormas que debenrespetarse para elanlisis.
Representacin del problema que
se presenta en un sistema real.
Un enfoquede la
realidad
MODELO MATEMTICO EN IO
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Z = C1X1+ C2X2+ ... + CnXnsujeto a (Restricciones (m)):
A11X1+ A12X2+ .... + A1nXn B1..................................................................
Am1X1+ Am2X2+ ..... + AmnXn BmX1; X2; ....;Xn 0
Z: es un objetivo econmico (beneficios, costos, etc.)
Ci: coeficientes constantes (factores de ponderacin)Xi: variables de decisin (n)
Bi: cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para
i = 1,2,...,m)
Aij: cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
MODELO GENERAL DE PL
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1. Funcin objetivo.Consiste en optimizar el objetivo que persigueuna situacin la cual es una funcin lineal de las diferentesactividades del problema, la funcin objetivo se maximizar ominimiza.
2. Variables de decisin. Son las incgnitas del problema. Ladefinicin de las variables es el punto clave y bsicamente consisteen los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a caboen el problema a formular.
ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL
3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debecumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo, dichas
restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima,calidad, balance de materiales, etc.
4. Condicin tcnica. Todas las variables deben tomar valorespositivos, o en algunos casos puede ser que algunas variablestomen valores negativos.
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FuncinObjetivo
Restricciones
4 6Z x y
2 4 24
4 2 24
0
0
x y
x y
x
y
Es la funcin deutilidades que debo
maximizar
Limitacioneshorarias de lasmquinas A y B
Condiciones de nonegatividad
EJEMPLO DE UN MODELO DE PL
Regin desoluciones factibles
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1. FORMULACION DEL PROBLEMA
2. IDENTIFICACIN DE VARIABLES
3. DETERMINACION DE LA FUNCION OBJETIVO
4. IDENTIFICACION DE RESTRICCIONES
ETAPAS DEL MODELAMIENTO
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Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los
cuales son sometidos a un proceso de trituracin, con tres grados: alto ,
medio y bajo. Las compaas han firmado un contrato para proveer de
mineral a una planta de fundicin, cada semana, 12 toneladas de mineralde grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo.
Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricacin.
Mina Coste por da Produccin(toneladas/da)(Miles de euros) Alto Medio Bajo
A 180 6 3 4B 160 1 1 6
Cuntos das a la semana debera operar cada empresa para cumplir el
contrato con la planta de fundicin?
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo 1
I.- Formulacin del Problema
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Formulacin matemtica
x = N de das a la semana que la
Minera A produce.
y = N de das a la semana que la
Minera B produce.
Notar que x 0 e y 0
Como objetivo buscamos minimizar el
costo
II.- Identificacin de Variables
III.- Determinacin de la Funcin Objetivo
Minimizar C =180x + 160y
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Formulacin matemtica
Restriccin 1. refleja el balance entre las limitacionesproductivas de la fbrica y el contrato con la planta de fundicin.
GradoAlto 6x + 1y 12 (tn/dia)
Medio 3x + 1y 8 (tn/dia)
Bajo 4x + 6y24 (tn/dia)
Restriccin 2. das de trabajo disponibles a la semana
0 x 5 y 0 y 5
IV.- Determinacin de restricciones
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La representacin completa del problema tomara lasiguiente forma:
Minimizar C =180x + 160y
Sujeta a:6x + 1y 12
3x + 1y 8
4x + 6y 24x 5, y 5
x 0, y 0
Modelo matemtico
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Ejemplo 2:
Una mueblera produce dos tipos de productos, sillas y mesas.Supngase que el beneficio marginal por cada silla es de $8 y
por cada mesa es de $10. Para la produccin se dispone de 60
horas hombre (hh) y de 20 unidades de madera (um).
Para la construccin de una
silla se requieren 8 hh y 2 um,
y para la construccin de una
mesa se requieren 6 hh y 4
um. Cuntas sillas y mesas sedeben construir para obtener
el mayor beneficio?
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Recursos Sil las MesasDisponibilidad
de recursos
R1: horas
hombre 8 6 60
R2: unidades de
madera2 4 20
Beneficios $8 $10
Solucin:
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Formulacin del modelo de PL
Sean X1 : N de sillas a producir
X2 : N de mesas a producir
Funcin Objetivo:
Max Z = 8X1+ 10X2
Sujeto a:
8X1+ 6X2 60 (horas hombre)2X1+ 4X2 20 (unidades de madera)X1 0 yX2 0 (no negatividad)
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Ejemplo 3:
Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tresmquinas. El tiempo por mquina asignado a los dos productos
est limitado a 10 horas por da. El tiempo de produccin y la
ganancia por unidad de cada producto son:
Producto Mquina 1 Mquina 2 Mquina 3 Ganancia $
1 10 6 8 2
2 5 20 15 3
Minutos por unidad
Obtenga el modelo de PL paramaximizar la ganancia
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Solucin:
1.Variables de decisinX1 : Cantidad del producto 1
X2 : Cantidad del producto 2
2. Funcin Objetivo: Maximizar gananciaM A X Z = 2 X1 + 3 X2
3. Restricciones
10 X1+ 5 X2 6006 X1+ 20 X2 600
8 X1+ 15 X2 600
X1
, X2 0
24 X1+ 40 X2 1800
X1, X2 0
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RMC posee una pequea fbrica de
pinturas para interiores y exteriores decasa para su distribucin al mayoreo. Se
utilizan dos materiales bsicos, A y B. La
disponibilidad mxima de A es de 6
toneladas diarias, la de B es de 8toneladas por da. La necesidad diaria de
materia prima por tonelada de pintura
para interiores y exteriores se resumen
en la siguiente tabla:
Tonelada de materia prima
por tonelada de pintura Disponibilidad
Exterior Interior mxima (Toneladas)
Materia prima A 1 2 6
Materia prima B 2 1 8
Ejemplo 4:
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Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria
de pintura para interiores no puede ser mayor que las pinturas
para exteriores en ms de una tonelada. Asimismo, el estudio
seala que la demanda mxima de pintura para interiores est
limitada a dos toneladas diarias. El precio al mayoreo es de
$3.000 para la pintura de exteriores y $2.000 para la deinteriores.
Cunta pintura para exteriores e interiores debe producir la
fbrica de pinturas RMC todos los das para maximizar el
ingreso bruto?
.Ejemplo 4:
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Solucin:
1.Variables de decisin
X1:Toneladas de pintura de exteriores producidas por da
X2:Toneladas de pintura para interiores producidas por da
2. Funcin Objetivo: Maximizar ingreso
MAX Z = 3 X1+ 2 X2(miles de unidades monetarias)
3. Restricciones X1 + 2 X2 6
2 X1 + X2 8
- X1 + X2 1
X2 2
X1, X2 0
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Un Confeccionista hace un pedido a la empresa textil
Textiles T y C 700 rollos de tela Polyalgodon, de 42
centmetros de ancho, 480 rollos de 50 centmetros de
ancho y 1200 rollos de 70 centmetros de ancho. SiTextilesT yCslo tiene rollos de tela de 1.45 metros de ancho.
Expresar en un modelo de programacin lineal para indicar
de cmo debe cortarse la tela para cubrir el pedido con el
mnimo desperdicio posible, sabiendo que el mximo
desperdicio de tela que se puede aceptar es de 25
centmetros (las telas deben ser cortadas en 5 tipos).
I.- Formulacin del Problema
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo
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La empresa Textiles T y C establece la siguiente tabla deconsumo en centmetros de cada tipo de corte para facilitar la
solucin:
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo
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II.- Identificacin de VariablesEl primer paso a seguir en el desarrollo de problemas de
Programacin Lineal (PL) es identificar las variables existentes en el
enunciado.
En este caso,X1: Cantidad de rollo del corte de tipo 1.
X2: Cantidad de rollo del corte de tipo 2.
X3: Cantidad de rollo del corte de tipo 3.
X4:Cantidad de rollo del corte de tipo 4.
X5: Cantidad de rollo del corte de tipo 5.
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo
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III.- Determinacin de la Funcin Objetivo
Por lo comn la funcin objetivo (FO) en la PL busca
maximizar o minimizar: costos, utilidades, cantidad de
produccin, ventas, unidades, etc.
Para el caso se buscaMinimizarel desperdicio de corte
de tela en funcin de los tipos de corte en metros de la
tela de 1.35 metros.
Min C = 19X1 + 25X2 + 11X3 + 3X4 + 5X5
ETAPAS DEL MODELAMIENTO
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IV.- Identificacin de RestriccionesComo tercer paso debemos detallar o especificar las restricciones al
cual esta inmerso el problema o enunciado, de acuerdo a los datos o
condiciones que muestra en problema.
En este caso,
Restriccin de pedidos de rollos de tela de 42 centmetros:
3X1+2X3+X4 700Restriccin de pedidos de rollos de tela de 50 centmetros:
X2 +X3+2X4 480Restriccin de pedidos de rollos de tela de 70 centmetros:
X2 +2X5 1,200Condiciones de no negatividad:
X1 0; X2 0; X3 0; X4 0; X5 0
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo
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Finalmente se realiza el modelo matemtico del problema, y si esta bien
planteado nos facilita para determinar la solucin optima por los diferentes
mtodos: Mtodo grfico, Mtodo Simplex, etc.
Min C = 19X1 + 25X2 +11X3 + 3X4 +5X5
S. a.
3X1+ 2X3 + X4 < 700
X2 +X3 + 2X4 < 480
X2 + 2X5 < 1,200
X1>0; X2 >0; X3 >0; X4 >0; X5 >0
Modelo Matemtico Final
ETAPAS DEL MODELAMIENTO: ejemplo
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Hemos pasado de la definicin del problema a su formulacin
matemtica.
Error de especificacin, el error ms frecuente consiste en descuidar
las limitaciones (restricciones, caractersticas de las variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de da)
b) Existe un nico objetivo (minimizar los costes)
c) El objetivo y las restricciones son lineales
Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que
denominamos un problema de Programacin Lineal PL
Algunas reflexiones
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Ejercicios anteriores plantean un PROBLEMA DE DECISIN.Hemos tomado una situacin real y hemos construido suequivalente matemtico MODELO MATEMTICO.
Durante la formulacin del modelo matemtico nosotrosconsideramos el mtodo cuantitativo que (esperanzadamente) nospermitir resolver el modelo numricamente ALGORITMO.
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo demanera gradual producen una solucin numrica.
Llegamos a una nueva definicin de I.O.
Ciencia para la representacin de problemas realesmediante modelos matemticos que junto con mtodoscuantitativos nos permiten obtener una solucin numricaa los mismos.
Algunas reflexiones
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Identificacin del problema (debemos ignorar partes otratar el problema entero)
Eleccin del modelo matemtico adecuado as como el
algoritmo adecuado para resolverlo (validacin delalgoritmo)
Dificultades en la implementacin
Velocidad (costes) que supone llegar a una solucin
Calidad de la solucin
Consistencia de la solucin
Dificultades
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CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DEINVESTIGACIN SUGERIDAS
Se ha logrado comprender que la idealizacin de unsistema ayuda a plantear problemas reales a travsde un modelo matemtico.
Introduccin a Investigacin de operaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones -
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GRACIAS