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Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree

斎藤 大

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発表の流れ

1. Self-Stabilizing Minimum Spanning Tree （ＭＳＴ）の概要

モデル2. ＭＳＴアルゴリズム

ＧＨＳアルゴリズム Antonoiu and Srimani アルゴリズム

3. Self-Stabilizing ＭＳＴアルゴリズム

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１． Self-Stabilizing MST の概要

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１． Spanning Tree とは？

頂点 V と辺 E の集合（ V,E ）から同じ頂点集合を持つ（ V,E’ ）を生成する

循環構造を持たない 孤立した部分集合を持たない

→木構造

和訳：生成木

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１． MST とは？

各辺に重み（コスト）をつける 木の辺の重みの和を最小にする 一般に MST は一意に定まらない

→重みは全て異なる（単射）と仮定すると一意に定まる

和訳：最小生成木

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１． MST の具体例

a

d

g

c

b

e

f

h

3

8

95 4

1

10 26 7

11

a

d

g

c

b

e

f

h

35 4

1

26 7

∑cost = 28 （最小）

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１． Self-Stabilizing MST とは 頂点の増減や辺の切断を考慮

→現実のネットワークに適用 状況の変化に合わせて自動で木の再構

築を行う

3

a

d

g

c

b

e

f

h

5 4

1

26 7

8

8

１．現実への適用

グラフ → ネットワーク 辺の重み → 通信コスト 生成木 → あるプロセスの情報を全プ

ロセスに放送 最小生成木 → 通信コストが最小の放

送

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１．モデル

Message-Passing Network を想定 重み付き無向グラフ（重みは単射） 各ノード（頂点）は固有の ID を持つ 各ノードは、隣接するノードの ID 、

及びそれらの間の枝（辺）の重みを保持する

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２． MST アルゴリズム

1. ＧＨＳアルゴリズム2. Antonoiu and Srimani アルゴリズム

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２．１． MINTREE

Gallager-Humblet-Spira のアルゴリズム→ MINTREE と呼ぶ

グラフ理論の KRUSKAL アルゴリズムを基にしている

ノード全体の情報を知る必要がない フラグメント（後述）をまとめて統

率するプロセッサを仮定

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２．１． KRUSKAL

G=(V, E, c) から T=(V, ET) を求める　　　　をコストの小さい順に並べる (m: 枝

n: ノード )

[KRUSKAL]

mee ...1

};

}{: then

}{ if

;1:

{ do 1|| while

:0:

i

i

eETET

eET

ii

nET

;; ETi

が閉路を含まない

∪

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２．１．用語の定義

a

d

g

c

b

e

f

h

34

6 7

フラグメント

内枝 (inside edge)

外向枝

(outgoing edge)

レベル：合併（後述）回数特に最小外向枝

(Minimum Outgoing Edge)

が重要！

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２．１． MINTREE の流れ（１） 各フラグメントのプロセスが最小外向

枝（ MOE ）を探す レベルが等しく MOE も共通な場合

→合併 [merge] ・レベルが１増加 MOE の相手のレベルが高い場合

→吸収 [absorb] ・レベル変化無し absorb はレベルが低い方のみ出せる

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２．１． MINTREE の流れ（２）

a

d

g

c

b

e

f

h

34

6 7absorb２

F1 ： L１

F ２：L １

F ３：L ０

F ４：L １

(c, f) ：L2

merge

１

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２．２． Basic_MST

Antonoiu and Srimani アルゴリズム→ Basic_MST と呼ぶ

各枝がプロセッサを持っていると仮定

既になんらかの生成木が存在する時のアルゴリズム→初期設定が必要

一般にはあまり用いられないが、 Self-Stabilization を適用する上で便利

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２．２． Basic_MST の流れ（１）

1. 既に生成木が構築されているとする2. 適当な non-tree edge を選ぶ

→循環構造が出来る3. 循環構造内で最も重い枝を切る4. ２～３の繰り返しによって、 MST

を構築

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２．２． Basic_MST の流れ（２）

a

d

g

c

b

e

f

h

3 95 4

1

10 26 7

コスト最大の枝

コスト最大の枝

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２．２．簡単な証明

ある関数を定義する（ e:non-tree edge ）

minimize_cycle は生成木を返す E’ が MST だったら、どんな e に対しても

E’=minimize_cycle(E’,e) 逆も成り立つ 一度 minimize_cycle によって除かれた枝

は二度と選ばれることはない よって全ての e について minimize_cycle

を実行し求まる生成木は MST となる

))},(_{max(\}){(),(ycleminimize_c eEcylfndeEeE ∪

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２．２． Basic_MST の実装（１） 枝に {chosen, unchosen} の status 追加 待ち時間 safetime(e) を追加

→ n 個のノードを通る最大の時間徐々に減少し、自分の命令受信で reset

search 、 remove 、 insert 命令を追加 unchosen edge は time-out すると sear

ch 命令を送信する 循環した自分の search を受信し、重み

が自分より大きかったら remove 送信

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２．２． Basic_MST の実装（２）

a

d

g

c

b

e

f

h

39

54

1

10

26

search ([g, f],6)

[g,f],6

[g,f],6[g,f],6

[g,f],9[g,f],6

[g,f],10 [g,f],9

[g,f],10

remove ([g,f],10)

Insert ([g, f])

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３． Self-Stabilizing MST

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３． Self-Stabilize のために

Basic_MST に以下の機能を追加search_sent ： search 到着待ち statussearch 命令に通ってきた path を追加

path は重みも保持するfind_cycle ： chosen edge が発する命令

→３ *Safetime 間メッセージを受信しないと送信（ Safetime ： max{safetime(e)} ）

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３． Self-Stabilizing の実装（１） 各枝プロセッサが３つの変数を持つ

boolean chosen_statusunsigned int timerboolean search_sent

３種類のメッセージ(“search”, eid, path)(“remove”, path)(“find_cycle”, path)

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３． Self-Stabilizing の実装（２） ２種類の通信プロトコル

send(mess, e) (e: 隣接する枝 )propagate(mess, v) (v: ノード )

タイムアウトの機構chosen edge は 3*Safetime で time-outunchosen edge は Safetime で time-out

［配布資料参照］

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３． Self-Stabilizing の実装（３）

a

d

g

c

b

e

f

h

39

54

1

10

26

search ([g, f], φ)

[g, f], path

[g, f], path[g, f], path

[g, f], path

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３． Self-Stabilizing の実装（４）

a

d

g

c

b

e

f

h

39

54

1

102

[g, f], path

[g, f], [fhebc]

７6

search ([g, f], φ)

[g, f], [fh]

[g, f], [fhe]

cycleremove ([fhebc])

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３．正当性の直観的な証明

MST となるべき枝が一度 chosen edge になったらそれは二度と remove されない

時間を重ねれば重ねるほど、生成木全体のコストは小さくなっていく

MST となるべき枝がまだ chosen edge でなかったら、必ず chosen edge になる

一度 MST が構築されたら、エラーが無い限り MST は不変

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３．現実に適用するために

各枝がプロセッサを持っていると仮定→各ノードがそれぞれの枝を担当→枝を挟む相手の情報が欲しい

大規模ネットワークでの Safetime の設定ネットワーク全体を知ることは不可能Safetime 大：ネットワークトラフィック減Safetime 小：エラーに即座に対応

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まとめ

MST とはコスト最小の生成木を構成

Self-Stabilizing MSTエラーを自動的に修復ノードの増減が激しいインターネット

にも適用可能