SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS CCSS. BLOQUE PROBABILIDAD.. … · 2019. 9. 26. · Aplicamos la ley de...

SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS CCSS. BLOQUE PROBABILIDAD.. ENRIQUE CANTÓ ABAD. IES LA CANAL.

BLOQUE 3: PROBABILIDAD.

Año 2010

JUN10 PA3

Se sabe quep(B | A) 0,9 ,p(A | B) 0, 2 yp(A) 0,1.

a) Calculap(A B) y p(B) .b) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?c) Calcula p(A B) , dondeB representa el suceso complementario o contrario de B .

Resolución:

a) Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

pB A pB A

pA 0.9

pB A0.1

pB A 0.09

Ahora la dep(A | B):

pA B pA B

pB 0.2 0.09

pB pB 0.09

0.2 0.45

b) Dos sucesos son independientes cuando cumplen la igualdad

pA B pA pB 0.09 0.1 0.45 0.045

Por lo que A y B no son independientes.

c) Necesitamos dibujar la región A B :

En este dibujo A B es la región que queda pintada (A B sería la que queda pintada 2 veces)

Resulta más fácil calcular la región que ha quedado sin pintar(es su complementario).

pB A pB pA B 0.45 0.09 0.36

pA B 1 pB A 1 0.36 0.64

JUN10 PB3

-1-


Al 80% de los miembros de una sociedad gastronómica le gusta el vino Raïm Negre. Entre estos, al 75% legusta el queso de cabra. Además, a un 4% de los miembros de estasociedad no le gusta el vino RaïmNegre ni el queso de cabra.a) ¿A qué porcentaje le gusta tanto el vino Raïm Negre como el queso de cabra?b) ¿A qué porcentaje no le gusta el queso de cabra?c) Si a un miembro de la sociedad le gusta el queso de cabra, ¿cuál es la probabilidad de que le guste elvino Raïm Negre?d) ¿A qué porcentaje le gusta el vino Raïm Negre entre aquéllosa los que no les gusta el queso de cabra?

Resolución:

Si llamamosV y Q a los sucesos gustar el vino Raïm Negre y gustar el queso de cabra respectivamente,según el enunciado,

pV 0.8; pQ V 0.75; pV Q 0.04

a) Se pidep(V Q) . Usamos la fórmula de la probabilidad condicionada.

pQ V pQ V

pV 0.75

pQ V0.8

pQ V 0.6

Por lo que el porcentaje pedido es un 60%.

b) Se pidep(Q. Representamos los conjuntos:

El contrario deQ, Q, es unión disjunta deV Q y la lunaV-Q (o V Q. Por lo que su probabilidad serála suma de ellas.

pV Q pV Q pV pV Q 0.8 0.6 0.2

pQ pV Q pV Q 0.04 0.2 0.24

Así, la probabilidad de que no guste el queso de cabra es del 24%.

c) Se pide probabilidad de gustar el vino RN sabiendo que le gusta el queso de cabra.

pV Q pV Q

pQ 0.6

1 pQ 0.6

0.76 0.78947

Por lo que la probabilidad es un 0.78947, que equivale a un 78.947%

d) Hemos de calcular la probabilidad de que guste el vino RN sabiendo que no gusta el queso de cabra.Esto es

-2-


pV Q pV Q

pQ 0.2

0.24 0.8

3

Lo cual equivale a un 83.3%.

SEP10 PA3

En un colegio se va a hacer una excursión a una estación de esquí con tres autobuses: uno grande, unomediano y uno pequeño. La cuarta parte de los alumnos apuntados a la excursión irá en el autobúspequeño, la tercera parte en el mediano y el resto en el grande. Saben esquiar el 80% de los alumnos queviajarán en el autobús pequeño, el 60% de los que irán en el mediano y el 40% de los del autobús grande.a) Calcula la probabilidad de que un alumno de la excursión, elegido al azar, sepa esquiar.b) Elegimos un alumno de la excursión al azar y se observa que no sabe esquiar. ¿Cuál es la probabilidadde que viaje en el autobús mediano?c) Se toma un alumno de la excursión al azar y se observa que sabe esquiar. ¿Cuál es la probabilidad deque viaje en el autobús grande o en el pequeño?

Resolución:

LlamaremosP,M,G a los sucesos "ir en el autobús pequeño", en el mediano y en el granderespectivamente.

Y llamamosE a "saber esquiar". Según el enunciado:

PP 1/4; PM 1/3; PG 1 1/4 1/3 5/12

PE P 0.8; PE M 0.6; PE G 0.4

a) Se nos pideP(E).

Aplicamos la ley de la probabilidad total:

PE PP PE P PM PE M PG PE G

1/4 0.8 1/3 0.6 5/12 0.4 17/30 0.56.

b) Se pideP(M E ). Es una probabilidad condicionada en orden contrario al dado. Se trata por tanto deuna probabilidad "a posteriori", y se calcula mediante el teorema de Bayes.

El teorema de Bayes se puede aplicar desde la fórmula de probabilidad condicionada:

PM E PM E

PE

PM PE M

PE

PE 1 PE 13/30 0.43

PE M 1 PE M 1 0.6 0.4

Entonces

1/3 0.413/30

413

0.30769

c) Como viajar en el autobús grande y viajar en el autobús pequeño son sucesos incompatibles (no sepueden cumplir a la vez), podemos calcularP(P E, despuésP(G E y sumarlas.

-3-


PP E PP E

PE

PP PE PPE

1/4 0.8

17/30 6

17

PG E PG E

PE

PG PE GPE

5/12 0.4

17/30 5

17

Entonces, la probabilidad pedida es 6/17 5/17 11/17.

SEP10 PB3

Se tienen diez monedas en una bolsa. Seis monedas son legalesmientras que las restantes tienen dos caras.Se elige al azar una moneda.

a) Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzarla.b) Si al lanzarla se ha obtenido cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea de curso legal?Si se sacan dos monedas al azar sucesivamente y sin reemplazamientoc) ¿Cuál es la probabilidad de que una sea legal y la otra no lo sea?

Resolución:

a) Hemos de distinguir entre los casos "la moneda es legal" (L ) o "la moneda es trucada" (T ).Realicemos un diagrama de árbol.

Utilizamos el teorema de la probabilidad total.

PC PL PC L PT PC T

6/10 1/2 4/10 1 7/10

b) Se pideP( L C ). Se trata de una probabilidad condicionada "a posteriori", por lo que utilizaremos elteorema de Bayes:

PL C PL C

PC

PL PC L7/10

6/10 1/2

7/10 3/7

c) Consideremos ahora el experimento compuesto "sacar dos monedas al azar sin reemplazamiento", conlas posibilidadesL o T.

Como no hay reemplazamiento, para sacar la segunda moneda quedan 9 monedas en la bolsa.

-4-


Se nos pide

P"una legal y la otra no") PL,T PT,L 6/10 4/9 4/10 6/9 8/15

Año 2009

JUN09 PC1

Al 20% de los alumnos de 2º de Bachillerato le gusta un grupo musical A, mientras que al 80% restante nole gusta este grupo. En cambio otro grupo musical B gusta a la mitad y no a la otra mitad. Hay un 30% dealumnos de 2º de Bachillerato al que no gusta ninguno de los dosgrupos. Si se elige un estudiante de 2º deBachillerato al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que le gusten los dos grupos?b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos grupos?c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el grupo B y no el grupo A?

Resolución:

Según el enunciado, si llamamosA " le gusta el grupo musical A" y lo mismo conB

PA 0.2;PA 0.8;PB 0.5;PB 0.5;PA B 0.3

Ya que si no le gusta ninguno de los dos grupos, no le gusta A (A ) y además no le gusta B (B ), esto es

A B.

a) Se nos pideP(A B)

Si dibujamosA B, podemos observar que se trata del conjunto contrario deA B.

-5-


Entonces

PA B 1 PA B 1 0.3 0.7

Ahora utilizamos la fórmula de la unión y la intersección de conjuntos.

PA B PA PB PA B

0.7 0.2 0.5 PA B PA B 0

b) Alguno de los dos grupos es el sucesoA B, que por el apartado a), P(A B) 0

c) Se nos pide la probabilidad deB A.

Si dibujamos este conjunto observamos que se trata de una luna enB :

PB A PB PA B 0.5 0 0.5

JUN09 PC2

El 52% de los habitantes en edad de votar de cierto municipio son hombres. Los resultados de un sondeoelectoral determinan que el 70% de las mujeres opina que va a ganar el candidato A, mientras que el 35%de los hombres cree que ganará el candidato B. Si todos los habitantes han optado por un candidato,contesta las siguientes preguntas:

a) Si hemos preguntado a una persona que cree que ganará B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada alazar sea mujer o crea que va a ganar elcandidato A?

Resolución:

-6-


En el experimento de elegir una persona al azar en edad de votar, llamamosH, M, A, B a los sucesos serhombre, ser mujer, opina a favor de A y opina a favor de B. respectivamente. Entonces:

PH 0.52;PA M 0.7;PB H 0.35

Podemos representar la situación con un diagrama de árbol.

a) Se nos pideP(M B).cuando la que tenemos esP(B M) 0.3. Se trata por tanto de una probabilidad aposteriori y aplicaremos el teorema de Bayes.

PM B PM B

PB

PM PB MPB

0.48 0.30PB

Pero para calcularP(B) tenemos que aplicar el teorema de la probabilidad total.

PB PH PB H PM PB M

0.52 0.35 0.48 0.30 0.326

Sustituimos en el teorema de Bayes

PM B 0.48 0.30PB

0.48 0.300.326

0.44172

b) Como se trata de un elemento que está en un conjunto "o" en el otro, se representa por la unión.

Así, lo que nos piden esP(M A). Utilizamos la fórmula de la unión y la intersección.

PM A PM PA PM A

PM A 0.48 PA PM PA M

PM A 0.48 PA 0.48 0.70

El enunciado dice que todos los habitantes han optado por un candidato, por lo queA es elcomplementario deB. Así,

PA 1 PB 1 0.326 0.674

PM A 0.48 0.674 0.48 0.70 0.818

-7-


SEP09 PC1

Cierto estudio de mercado revela que el 50% de los entrevistados consume el producto A, el 40% consumeel B y el 25% no consume ninguno de ellos. Si seleccionamos al azar un individuo de los entrevistados,expresa los siguientes sucesos en función de los sucesos simplesAConsumir A y BConsumir B, ycalcula su probabilidad:

a) Que consuma los dos productos.b) Que sólo consuma uno de los productos.c) Si sabemos que consume el producto A, que consuma también el B.

Resolución:

Por el enunciado tenemos que

PA 0.5;PB 0.4;PA B 0.25

Ya que no consume ninguno de los dos significa no consumeA (A) "y además" ( ) no consumeB (B ).

a) Que consuma los dos se corresponde con la intersección ( consumeA "y además" consumeB)

Vamos a dibujar el conjuntoA B, que consta entre los datos. Se corresponde con la zona que está fueradeA y fuera deB.

Observamos queA B es el contrario deA B. Entonces

PA B 1 PA B 1 0.25 0.75

Ahora utilizamos la fórmula de la unión y la intersección

PA B PA PB PA B

0.75 0.5 0.4 PA B PA B 0.15

b) Que sólo consuma uno tiene dos posibilidades:

Que consumeA pero no consumeB (A B ). Que no consume A pero sí consumeB (A B ).

Estos conjuntos son las llamadas lunas (ver dibujo)

-8-


P" sólo consume una" PA B PA B PA PA B PB PB A

0.5 0.15 0.4 0.15 0.6

c) Se trata de una probabilidad condicionada

PB A PB A

PA 0.15

0.5 0.3

SEP09 PC2

Se realiza un estudio de mercado sobre la venta de turismos y coches todoterreno y se observa que el 20%de las compras de todoterreno corresponden a personas que adquieren un coche por primera vez, mientrasque este porcentaje se duplica en el caso de los turismos. Además, el 75% de las ventas de cochescorresponde a turismos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primercoche que compra?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer coche adquirido por una persona sea un turismo?c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primercoche que compray, además, sea un todoterreno?

Resolución:

a) Llamamos TT "elegir todoterreno". T "elegir turismo". 1Vez "ser primera compra".

Datos:

20%: Sabiendo que se compra un todoterreno, es la probabilidad de que sea una primera compra.

P1vez TT 0.2

Se duplica en el caso de los turismos.

P1vez T 0.4;PT 0.75

Se puede representar la situación con un diagrama de árbol

-9-


a) Se pideP(1vez). Por el teorema de la probabilidad total

P1vez PT 1vez PTT 1vez

PT P1vez T PTT P1vez TT

0.75 0.6 0.25 0.8 0.65

b) Se pide la probabilidad de que la compra sea un turismo (T) sabiendo que (condicionada a ) es unaprimera vez (1vez).

PT 1vez PT 1vez

P1vez

PT P1vez T1 P1vez

0.75 0.41 0.65

0.85714

Año 2008

JUN08 P4A

Dados dos sucesosA y B , sabemos quep(A B) 0,1 ,p(A B) 0,7 yp(A| B) 0,2

a) Calculap(A) y p(B) .

b) ¿Son independientes los sucesos Ay B ? ¿Por qué?

c) Calculap(A B) , dondeA representa el suceso complementario o contrario de A.

Resolución:

a) Utilizaremos la fórmula dep(A B) y la dep(A| B) :

pA B pA pB pA B

0.7 pA pB 0.1 pA pB 0.8

pA B pA B

pB 0.2 0.1

pB pB 0.5

Sustituimos

pA pB 0.8 pA 0.8 pB 0.8 0.5 0.3

Así, p(A) 0.3 yp(B) 0.5

b) Dos sucesos son independientes cuando cumplen

-10-


pA B pA pB

0.1 0.3 0.5 0.15

Entonces no son independientes por no cumplir la ecuación anterior.

c) Deduciremos cómo calcularp(A B) realizando un dibujo del conjuntoA B.

PintamosA, con rayas horizontales. PintamosB con rayas oblicuas. La unión de ambos será todo lopintado.

Así, A B es el contrario de la "luna" A‒ B A B.

pA B pA pA B 0.3 0.1 0.2

pA B pA B 1 pA B 1 0.2 0.8

JUN08 P4B

El 60% de los alumnos de cierta asignatura aprueba en junio. El 80% de los presentados en septiembretambién aprueba la asignatura. Sabiendo que los alumnos quese presentaron en septiembre son todos losque no aprobaron en junio, determina:

a) La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hayaaprobado la asignatura.

b) Si sabemos que un estudiante ha aprobado la asignatura, laprobabilidad de que haya sido en junio.

Resolución:

LlamaremosJ "aprobar en junio".S "aprobar en septiembre".

Por el enunciado,

PJ 0.6; PS J 0.8

Ya que aprueban en septiembre no el 80% del total, sino el 80 % de los alumnos que se presentan en

septiembre, que son los que sabemos que no aprueban en junio (J ).

a) Representamos la situación con un diagrama de árbol

-11-


Así encontramos 2 casos en los que el alumno aprueba, sonJ, y tambiénJ S.

P" aprobar" PJ PJ S 0.6 0.4 0.8 0.92

Que se corresponde con un 92% de los casos.

b) Se nos pideP( J "aprobar"), que se trata de una probabilidad "a posteriori", ya que el suceso"aprobar" es posterior a "aprobar en junio".

Utilizamos el teorema de Bayes

PJ " aprobar" PJ " aprobar"

P" aprobar"

PJP" aprobar"

0.60.92

0.65217

Notar queJ "aprobar" J, ya que "aprobar en junio y además aprobar" es "aprobar en junio".

SEP08 P4A

Una empresa automovilística fabrica su modelo Assegurat encuatro factorías distintas, A, B, C y D. Lafactoría A produce el 40% de los coches de este modelo con un 5%de defectuosos, la B produce el 30%con un 4% de defectuosos, la C el 20% con un 3% de defectuosos y,por último, la factoría D el 10%restante con un 2% de defectuosos. Si elegimos un coche del modelo Assegurat al azar, calcula:

a) La probabilidad de que sea defectuoso.

b) Si no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la factoría C.

Resolución:

a) Representamos la situación con un diagrama de árbol.

-12-


Por el teorema de la probabilidad total:

PDef PA Def PB Def PC Def PD Def

PA PDef A PB PDef B PC PDef C PD PDef D

0.4 0.05 0.3 0.04 0.2 0.03 0.1 0.02 0.04

Que se corresponde con un 4% de los casos.

b) Sabemos que no es defectuoso, luego es la siguiente probabilidad condicionada:P (C Def ).

Como ser defectuoso es un suceso posterior a salir de la fábrica C, se trata de una probabilidad a posteriori,por lo que se resuelve por el teorema de Bayes.

PC Def PC Def

PDef

PC PDef CPDef

0.2 0.030.04

0.15

SEP08 P4B

SeanA y B dos sucesos aleatorios tales queP(A) 0,7 ,P(B) 0,2 y P(A B) 1.

a) Calcula las probabilidades siguientes:P(A B) , P(A B) y P(B A).

b) ¿Son los sucesos A y B independientes?

Resolución:

a) Utilizaremos la fórmulas deA B y la deA B :

PA B PA B

PB 1

PA B0.2

PA B 0.2

Por otro lado

PA B PA PB PA B

PA B 0.7 0.2 0.2 0.7

-13-


Falta calcularP (B A)

PB A PB A

PA 0.2

0.7 0.28571

b) Dos sucesosA y B son independientes cuando cumplen la siguiente ecuación:

PA B PA PB

0.2 0.7 0.2 0.14

Por lo queA y B no son independientes.

Año 2007

JUN07 P4A

Un test para detectar si una persona es portadora del virus dela gripe aviar da positivo en el 96% de lospacientes que la padecen y da negativo en el 94% de los pacientes que no la padecen. Si una de cada cientocuarenta y cinco personas es portadora del virus y una persona se somete al test, calcula:

a) La probabilidad de que el test dé positivo.

b) La probabilidad de que sea portadora del virus, si el resultado del test es positivo.

c) La probabilidad de que el test sea negativo y no sea portadora del virus.

Resolución:

LlamemosV al suceso “ser portador del virus" y al suceso “dar positivo en el test".

Entonces, el enunciado dice que:

P V 0.96

P V 0.94

PV 1145

P V 0.04

P V 0.06

PV 144145

Dado que se trata de un experimento compuesto (1º es portadoro no del virus, después da positivo o no enel test) facilitará la resolución el planteamiento mediante diagrama de árbol:

a) Por el teorema de la probabilidad total:

-14-


P P V P V PV P V PV P V

1145

0.96 144145

0.06 0.066207

b) Se pideP(V ), que es una probabilidad “a posteriori". Tendremos que aplicar el teorema de Bayes.

PV PV

P 0.0066207

0.066207 0.1.

c) Se pideP(‒ V )

P V PV P V 144145

0.94 0.93352

JUN07 P4B

La probabilidad de que haya un incidente en una fábrica que dispone de alarma es 0,1. La probabilidad deque suene ésta si se ha producido algún incidente es 0,97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedidoningún incidente es 0,02.

a) Calcula la probabilidad de que no suene la alarma.

b) En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es laprobabilidad de que no haya habido ningúnincidente?

Resolución:

Llamemos I al suceso "se produce algún incidente" y A al suceso "suena la alarma". Datos:

PI 0.1 P I 0.9

PA I 0.97 PA I 0.03

PA I 0.02 PA I 0.98

Se trata de un experimento compuesto que se puede modelizar mediante un diagrama de árbol como éste:


PA PA I PA I PI PA I P I PA I

0.1 0.03 0.9 0.98 0.885

-15-


b) Se nos pideP( I A ), que es una probabilidad a posteriori, por lo que utilizaremos el teorema deBayes:

P I A P I A

PA

P I PA I 1 PA

0.9 0.021 0.885

0.15652

SEP07 P4A

Se sabe quep(A) 0,4,p(B) 0,6 yp(A B) 0,7.

a) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?

b) Calculap(A B), dondeB representa el suceso complementario o contrario deB.

c) Calculap(A B).

Resolución:

a) Para que sean independientes habría de cumplirse queP(A B) P(A) P(B). Para comprobarlo,hemos de calcularP(A B).

Utilicemos la fórmula de la unión y la intersección:

PA B PA PB PA B

0,7 0,4 0,6 PA B PA B 0,3

Pero

PA PB 0,4 0,6 0,24

luego los sucesosA y B no son independientes.

b) A B es el suceso formado por aquellos elementos que están enA y al mismo tiempo no están enB.Este conjunto lo solemos representar con forma de luna. Hagamos un dibujo mediante el cual deducir lafórmula para calcular su probabilidad:

PA B PA PA B 0,4 0,3 0,1.

c) A B es el suceso formado por los elementos que no están enA y además no están enB. Dibujo:

-16-


Por lo que

PA B 1 PA B 1 0,7 0,3.

SEP07 P4B

De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace 2 dianas de cada 3disparos, y el otro consigue 3 dianas decada 4 disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcula:

a) La probabilidad de que los dos acierten.

b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no.

c) La probabilidad de que ninguno acierte.

d) La probabilidad de que alguno acierte.

e) Sumar las probabilidades de a), b) y c), justificando la suma obtenida.

Resolución:

LlamamosA1 y A2 a los sucesos “acierta el tirador 1" y “acierta el tirador 2"respectivamente. Por elcontexto tenemos que los 2 sucesos son independientes.

a) Como los sucesos son independientes,

PA1 A2 PA1 PA2 2/3 3/4 1/2

b)

P" uno acierta y el otro no" PA1 A2 PA1 A2

PA1 PA2 PA1 PA2

2/3 1/4 1/3 3/4 1/6 1/4 5/12.

c)

PA1 A2 PA1 PA2 1/3 1/4 1/12

d)

P" alguno acierte" 1 P" nadie acierte" 1 PA1 A2 1 1/12 11/12.

También hubiera valido

P" alguno acierte" PA1 A2 PA1 PA2 PA1 A2

e) La suma obtenida es 1 y se justifica porque los sucesos correspondientes a los tres apartados sondisjuntos y componen el espacio muestral.

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Año 2006

JUN06 P4A

SeanA y B dos sucesos tales queP(A B) 0,9;P(A) 0,4, dondeA denota el suceso contrario ocomplementario del sucesoA, y P(A B) 0,2. Calcula las probabilidades siguientes:

PB,PA B,PA ByPA B.

Resolución:

PA 0.4 PA 0.6 ya quePA PA 1

Sabemos que

PA B PA PB PA B

0.9 0.6 PB 0.2 PB 0.5

PA B PA B

PB 0.2

0.5 0.4

PA B Verdibujo PA PA B 0.6 0.2 0.4

PA B Con ayuda de un dibujo se puede

apreciar queA B A B

PA B 1 PA B 1 0.2 0.8

JUN06 P4B

El volumen de producción diario en tres fábricas diferentesde una misma empresa es de 1000 unidades enla primera fábrica, 1500 unidades en la segunda y 2500 en la tercera. Por ciertos desajustes, algunasunidades salen defectuosas. En concreto, lo son el 1% de las unidades producidas en las dos primerasfábricas y el 3% de las producidas en la tercera.

a) ¿Qué proporción de unidades fabricadas son correctas?

b) Si se tiene una unidad defectuosa, ¿Cuál es la probabilidadde que haya sido fabricada en la tercera

-18-


fábrica?

Resolución:

Construyamos el árbol correspondiente, ya que se trata de un experimento compuesto.

Experimento: Escoger una pieza al azar.

F1: La pieza escogida es de la primera fábrica (análogamente con F2 y F3).

C: La pieza resulta ser correcta.D: La pieza resulta ser defectuosa.

PF1 10005000

15

;PF2 15005000

310

;PF3 25005000

12

a) Por el Teorema de la probabilidad total,

PC PF1 C PF2 C PF3 C

PF1 PC F1 PF2 PC F2 PF3 PC F3

15

0.99 310

0.99 12

0.97 0.98

Por lo que la proporción de unidades correctas es de un 98%

b) Se nos pideP(F3 D)

Esta es una probabilidad "a posteriori" y para calcularla aplicaremos el teorema de Bayes.

PF3 D PF3 D

PD

PF3 PD F3PD

12

0.03

0.02 0.75

Hemos utilizado aquí que

PD PC 1 PD 1 0.98 0.02

SEP06 P4A

Un estudio revela que el 10% de los oyentes de radio sintonizaa diario las cadenas Music y Rhythm, queun 35% sintoniza a diario Music y que el 55% de los oyentes no escucha ninguna de las dos emisoras.Obtén:

a) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonicela cadena Rhythm.

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b) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonicela cadena Rhythm pero no la Music.

c) La probabilidad de que un oyente, del que sabemos que escucha Rhythm, escuche Music.

Resolución:

Pongamos nombre a los sucesos que intervienen:

M "sintonizar la cadena Music".R "sintonizar la cadena Rhythm"

Así:

PM R 0.10

(pues se trata de elementos del espacio muestral que están enM y enR (en los 2 a la vez).

PM 0.35y PM R 0.55

(pues dice que no está enM y además no está enR).

a) Se nos pideP(R). Para saber cómo utilizar los datos que se nos da realizamosuna representacióngráfica:

PR PM PM R PM R 1

PR 0.35 0.10 0.55 1 PR 0.20

Otra manera de hacerlo:

Observando la representación gráfica, es fácil observar que M R es el contrario deM R, por lo que

PM R PM R 1 PM R 1 PM R 1 0.55 0.45.

Y ahora podemos utilizar la fórmula de la unión y la intersección:

PM R PM PR PM R

0.45 0.35 PR 0.10 PR 0.45 0.10 0.35 0.20.

b) Se nos pideP(R M).

Observando el dibujo del apartado a), obtenemos que:

PR M PR PM R 0.20 0.10 0.10

c) Se nos pideP(M R). Por la fórmula de la probabilidad condicionada:

-20-


PM R PM R

PR 0.10

0.20 0.5

SEP06 P4B

Dados dos sucesos aleatorios independientes se sabe que la probabilidad de que ocurran los dossimultáneamente es 3/25 y la de que ocurra al menos uno de los dos es 17/25. Calcula la probabilidad decada uno de los dos sucesos.

Resolución:

SeanA y B los sucesos de los que se habla.Que ocurran simultáneamente significa que ocurreA B

PA B 325

.

Que ocurra al menos uno de los dos significa que ocurreA B

PA B 17/25.

Como son independientes:

PA B PA PB 325

PA PB

Utilizando la fórmula de la unión:

PA B PA PB PA B 1725

PA PB 325

Juntamos las ecuaciones (*) y (**), llamamosx P(A) e y P(B) y así obtenemos el sistema:

0.12 x y

0.70 x y

x 0.4

y 0.3o

x 0.3

y 0.4

En cualquier caso la probabilidad de los sucesos es 0.3 de unode ellos y 0.4 del otro.

Año 2005

JUN05 P4A

SeanA y B dos sucesos con P(A) 0,5; P(B)0,3 y P(A B)0,1. Calcular las probabilidades siguientes:

P(A B), P(A | B), P(A | A B) y P(A | A B).

Resolución:

El siguiente dibujo ayuda a recordar las propiedades de la probabilidad para la unión e intersección de 2conjuntos:

-21-


PA B PA PB PA B.

0.5 0.3 0.1 0.7

Por definición de Probabilidad condicionada

PA | B PA B

PB 0.1

0.3 0.

3

Análogamente

PA | A B PA A B

PA B

PA BPA B

1.

Hemos utilizado que

A A A A A B A B

Resulta evidente que si sabemos que sucedeA B, (suceden ambos) la probabilidad de que sucedaA conesa condición es 1, dado que es suceso seguro.

PA | A B PA A B

PA B

PAPA B

0.50.7

57

0.7143

Hemos utilizado queA (A B) A, dado queA está contenido dentro deA B.

JUN05 P4B

Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón y la segunda20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar yextraemos un caramelo. Calcular:

a) La probabilidad de que el caramelo sea de naranja.

b) Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de la segundabolsa?

Resolución:

Se trata de un problema de probabilidad compuesta donde podemos representar la situación mediantediagrama de árbol:


-22-


PN PB1 PN | B1 PB2 PN | B2

0.5 1525

0.5 2045

0.52

b) Se trata de calcularP(B2 |L), (probabilidad "a posteriori").

Por el teorema de Bayes:

PB2 |L PB2 L

PL

PB2 PL | B2PL

0.5 25/451 PN

0.27

0.47

0.5319

SEP05 P4A

En un grupo de 2º de bachillerato el 15% estudia Matemáticas,el 30% estudia Economía y el 10% ambasmaterias. Se pide:

a) ¿Son independientes los sucesos Estudiar Matemáticas y Estudiar Economía?

b) Si se escoge un estudiante del grupo al azar, calcular la probabilidad de que no estudie ni Matemáticasni Economía.

Resolución:

En el experimento de escoger un alumno al azar, definimos lossucesosM estudia matemáticas yE

Estudia economía.

Entonces tenemos que

PM 0.15;PE 0.30;PM E 0.10.

a) Para ser independientes se ha de cumplir que

PM E PM PE.

PM E 0.10 ; PM PE 0.15 0.30 0.045

Por lo tantono son independientes.

b) Tenemos que calcularP(M E). Recordemos, con ayuda del siguiente gráfico la propiedades de laprobabilidad de la unión y la intersección:

Utilizaremos que

M E M E

-23-


PM E 1 PM E.

CalculamosP(M E) :

PM E PM PE PM E

0.15 0.3 0.1 0.35.

Con o que

PM E 1 0.35 0.65

SEP05 P4B

En un centro escolar, 22 de cada 100 chicas y 5 de cada 10 chicosllevan gafas. Si el número de chicas estres veces superior al de chicos, hallar la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:

a) No lleve gafas

b) Sea chica y lleve gafas

c) Sea chica, sabiendo que lleva gafas.

Resolución:

LlamemosA y O a los sucesos ser chica y ser chico, respectivamente. LlamaremosG al suceso llevargafas.

Observemos que los datos referidos a las personas que llevangafas está diferenciado según si se trata dechicas o de chicos.

Es decir los datos debemos interpretarlos como probabilidades condicionadas:

PG | A 22100

0.22 ; PG | O 510

0.5.

Para averiguarP(A) y P(O), tomamosP(O) p. EntoncesP(A) 3p. Como los sucesosA y O soncontrarios:

PA PO 1 3p p 1 p 0.25.

Así, P(A) 0.75 yP(O) 0.25.

Ahora podríamos formar el árbol que resume toda la información:

a) Hay que calcularP(G). Utilizaremos el teorema de la prob. total:

-24-


PG PA PG | A PO PG | O

0.75 0.78 0.25 0.5 0.71

b) Necesitamos calcularP(A G)

PA G PA PG | A 0.75 0.22 0.165

c) Nos pidenP(A | G) (probabilidad a posteriori). Por el teorema de Bayes:

PA | G PA G

PG 0.165

1 PG 0.165

0.29 0.56897.

Año 2004

JUN04 P4A

El 60 % de las personas que visitaron un museo durante el mes demayo eran españoles. De estos, el 40 %eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran españoles, tenían menos de 20 años el 30 %.Calcular:

a) La probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años.

b) Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de que nosea español y tenga 20 años o más.

Resolución:

Designamos por “ES” el suceso ser español; por “EX”, no ser español; por “‒20” tener menos de 20 años ypor “20” tener 20 o más años. Los datos son:

PES 0.6 PEX 0.4. P20 |ES 0.4 P20 |ES 0.6

P20 |EX 0.3 P20 |EX 0.7

Puede formarse el siguiente diagrama de árbol.

a) Por la ley de la probabilidad total:

P20 PESP20 |ES PEX P20 |EX

0.60 0.40 0.40 0.30 0.36

b)

PEX 20 PEX P20 |EX 0.40 0.70 0.28

JUN04 P4B

-25-


Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1 % y del 10 %,respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas fabricadasen una hora y elegimos una pieza al azar.Calcular:

a) La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B.

b) La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa.

Resolución:

Sean A y B los sucesos ser fabricados por la máquina A y por B, respectivamente. SeaD el suceso serdefectuosa.

Elegir una pieza al azar puede ser considerado como un experimento compuesto donde primero puede serfabricada por A o por B y después puede ser defectuosa o no:

PA 50300

16

; PB 250300

56

PD | A 0.01 PD | A 0.99

PD | B 0.1 PD | B 0.9

a)

PD B PB PD | B 56

0.9 0.75

b) Hemos de calcularP(A | D), que es una probabilidad "a posteriori". Por ello aplicaremos el Teorema deBayes:

PA | D PA D

PD

PA PD | APD

1/6 0.01

PD

Pero como como el sucesoD Ser defectuosa depende de si ha sido fabricada por la máquina A o por lamáquina B, para calcularP(D) utilizaremos la ley de la probabilidad total.

Ya que A y B forman un sistema completo de sucesos:

A B y A B

PD PD A PD B PA PD |A PB PD |B

16

0.01 56

0.1 0.085

-26-


PA | D 1/6 0.01

0.085 0.0196

SEP04 P4A

Se ha realizado una encuesta a un grupo de estudiantes de informática. Entre sus conclusiones está que un40 % ha recibido algún curso de LINUX. Además, el 20 % de aquellos que recibieron algún curso deLINUX tiene ordenador en su casa. Si un 10 % de estudiantes de informática tiene ordenador en casa y nohan recibido ningún curso de LINUX, calcular:

a) La probabilidad de que un estudiante de informática tengaordenador en casa y haya recibido un cursode LINUX.

b) La probabilidad de que un estudiante de informática tengaordenador en casa.

c) Si un estudiante de informática tiene ordenador en casa, la probabilidad de que haya recibido un cursode LINUX.

Resolución:

Sea CL el suceso "haber recibido algún curso de Linux" y O el suceso "tener ordenador en casa":

Sin embargo, entre los datos iniciales nos faltaP(O | CL ). Por eso el árbol no está completo.

Sin embargo sí nos dicen queP(O CL) 0.1. Con lo cual:

PO | CL PO CL

PCL 0.1

0.6 1

6

Y podemos completar el árbol:

-27-


a) Nos piden

PO CL PCL PO |CL 0.4 0.2 0.08

b) Nos piden

PO PO CL PO CL 0.08 0.1 0.18

Esto es así gracias a queCL y CL forman un sistema completo de sucesos.

c) Nos pidenP(CL |O) (probabilidad a posteriori, aplicaremos Teorema de Bayes):

PCL |O PCL O

PO 0.08

0.18 0.

4

SEP04 P4B

En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25 %de las mujeres son rubias y el 10 % delos hombres también son rubios. Calcular:

a) Si se elige al azar una persona y resulta ser rubia, ¿cuál esla probabilidad de que sea mujer?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio?

Resolución:

Sea M Ser mujer, H Ser hombre y R Tener pelo rubioLlamamosP(H) p. EntoncesP(M) 2p con lo que

p 2p 1 p 13

y así:

PH 13

y PM 23

.

Podemos formar el siguiente diagrama de árbol:

-28-


a) NecesitamosP(M |R)

PM | R PM R

PR

PM PR |MPR

2/3 0.25

PR.

Para calcularP(R) utilizamos la ley de la probabilidad total:

PR PM PR |M PH PR |H 23

0.25 13

0.10 0.2.

Con lo cual:

PM |R 2/3 0.25

0.2 0.8

3

b)

PH R PH PR |H 1/3 0,90 0.3

Año 2003

JUN03 P4A

En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas mientras queen la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica quela probabilidad de elegir la primera biblioteca es el tripleque la de elegir la segunda. Una vez llega a labiblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no.

a) Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela.

b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtenerrazonadamente la probabilidad de que hayaacudido a la primera biblioteca.

Resolución:

Necesitamos averiguar primero la probabilidad de elegir cada una de las bibliotecas. Designamos porB1 yB2 a la primera y segunda biblioteca.

Si p es la probabilidad de elegir la segunda biblioteca, P(B2) p, la de elegir B1 será P(B1) 3p.

Como

PB1 PB2 1 3p p 1 p 0,25

Y ahora podemos representar la situación con un diagrama de árbol.:

-29-


a)

PNovela PNovela B1 PNovela B2

PB1 PNovela | B1 PB2 PNovela | B2

0.75 0.5 0.25 0.7 0.55

b) Hemos de calcularP(B1 | Novela) (probabilidad a posteriori). Para ello utilizaremos el teorema deBayes:

PB1 |Novela PB1 Novela

PNovela

PB1 PNovela | B1PNovela

0.75 0.50.55

37.555

0.681

JUN03 P1

El 75 % de los alumnos acude a clase en algún tipo de transportey el resto andando. Llega puntual a claseel 60 % de los que utilizan el transporte y el 90 % de los que acude andando. Calcular de forma razonada:

a) si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntuala clase, la probabilidad de que hayaacudido andando, y

b) si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no hayallegado puntual.

Resolución:

Se trata de un experimento compuesto modelizable por un diagrama de árbol:

a) Se trata de calcularP( Andando | Puntual), que es una probabilidad a posteriori. Utilizando el Teoremade Bayes:

-30-


PAndando | Puntual PAndando Puntual

PPuntual

PAndando PPuntual | Andando

PPuntual 0.25 0.90

PPuntual.

Necesitamos calcularP(Puntual).

Para ello utilizamos la ley de la probabilidad total, utilizando que los sucesos "Transporte" y "Andando"forman un sistema completo de sucesos, ya que

"Transporte" "Andando" Ω y que "Transporte" "Andando" ϕ

PPuntual PPuntual Transporte PPuntual Andando

PTransporte PPuntual | Transporte PAndando PPuntual | Andando

0.75 0.60 0.25 0.90 0.675

Así,

PAndando | Puntual 0.25 0.900.675

0.3

b) Se trata de calcularP(no Puntual).

Ahora bien, como en el apartado anterior hemos calculadoP(Puntual), será muy fácil:

Pno Puntual 1 PPuntual 1 0.675 0.325

SEP03 P4A

Un ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus A1 y A2 que actúan simultánea eindependientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A1 lo detecta con una probabilidad de 0,9y el programa A2 lo detecta con una probabilidad de 0,8. Calcular de forma razonada:

a) La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado.

b) La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa A1 y no por A2.

Resolución:

LlamemosD1 al suceso "el virus ha sido detectado por el programa A1" yD2 al correspondiente por elprograma A2.

Como los programasA1 y A2 actúan independientemente, los sucesosD1 y D2 son independientes (y suscontrarios también).

a) Puede ser detectado por A1 o por A2. El suceso en cuestión es D1 D2.

PD1 D2 PD1 PD2 PD1 D2 0.9 0.8 PD1 PD2

(Hemos utilizado queP(D1 D2) P(D1) P(D2), por la independencia deD1 y D2)

0.9 0.8 0.9 0.8 0.98

b) El suceso cuya probabilidad nos piden esD1 D2 :

PD1 D2 PD1 PD2 0.9 0.2 0.18

-31-


Ya queD1 y D2 son independientes y que

PD2 1 PD2 1 0.8 0.2

SEP03 P4B

El 75 % de los jóvenes que tienen vídeoconsola ha recibido propaganda de un determinado vídeojuego y el25 % restante no. El 30 % de los que recibieron la propaganda hautilizado después dicho vídeojuego ytambién lo ha hecho el 5 % de los que no la recibieron. Calcular de forma razonada:

a) La probabilidad de que un joven con vídeoconsola seleccionado al azar haya utilizado este vídeojuego.

b) La probabilidad de que un joven con vídeoconsola seleccionado al azar haya recibido propaganda y nohaya utilizado el vídeojuego

Resolución:

La información se puede resumir en un diagrama árbol: (RP: Recibe propaganda. UV: Utiliza elvideojuego)

Hemos de averiguarP(UV). ComoRP y RP forman un sistema completo de sucesos, podemos aplicar elteorema de la probabilidad total:

PUV PUV RP PUV RP

PRP PUV | RP PRP PUV | RP

0.75 0.3 0.25 0.05 0.2375

b) Nos piden

PRP UV PRP PUV | RP 0.75 0.70 0.525

Año 2002

JUN02 P4A

En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, By C que emiten durante todo el día. Laemisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Alencender la radio se sintoniza indistintamente cualquierade las tres emisoras.

-32-


a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música.b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcula de formarazonada cuál es la probabilidad de queesté sintonizada en la emisora B.

Resolución:

Si A, B y C son los sucesos sintonizar la emisoraA, B o C, respectivamente, y M es el suceso escucharmúsica, se tiene:

PA 1/3 ; PB 1/3 ; PC 1/3. PM | A 1, PM | B 0.5, PM | C 0.5

Los sucesosA, B y C forman un sistema completo de sucesos, dado queA B C Ω, y que los tressucesos son disjuntos 2 a 2. Por ello:

a)

PM PM A PM B PM C

PA PM|A PB PM|B PC PM/C 2/3

Podría haber ayudado un diagrama de árbol como éste :

b) Contamos con el dato adicional de que al poner la radio no escuchamos música, luego sabemos que se

cumple no M (M ).

El resultado a calcular esP( B | M .

Ahora bien cuando tenemos que calcular una probabilidad condicionada y la que conocemos es la opuesta

P( M | B ), (probabilidad a posteriori), hemos de aplicar el teoremade Bayes.

Este se deduce de aplicar 2 veces la definición de probabilidad condicionada:

P B | M P B M

P M

P M | B P B

P M

12

13

13

12

SEP02 P4A

El 60 % de los alumnos de bachillerato de un Instituto son chicas y el 40 % chicos. La mitad de los chicoslee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las chicas la lee.a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumnoelegido al azar lea esta revista,b) Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada probabilidad de

-33-


que sea chica.

Resolución:

Sean A el suceso ser chica, O el suceso ser chico y C el suceso leer COMIC. Se tiene:

PA 0.6 ; PO 0.4 ; PC | A 0.3 ; PC | O 0.5

Organizando los datos en árbol:

a) Los sucesos A y O forman un sistema completo así que:

PC PC A PC B

PA PC | A PO PC | O 0.6 0.3 0.4 0.5 0.38.

b) Sabemos que sucedeC y nos piden la probabilidad deA. La respuesta es el valor deP(A | C ).

Se trata de calcular una probabilidad a posteriori, ya que tenemosP(C | A ) (está en el árbol y su valor esde 0.7 ).

Aplicamos el teorema de Bayes:

P A | C P A C

P C

P C | A P A

P C 0.7 0.6

0.62 0.67742

Hemos utilizado que

PC 1 PC 1 0.38 0.62

PC | A 1 PC | A 1 0.3 0.7

Por tanto, en este caso será chica en un 67´74 % de los casos.

SEP02 P4B

En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabora naranja, 5 con sabor a limón y 3 consabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no se sabe de qué sabor son. Seextraen tres caramelos al azar.a) Calcular de forma razonada la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja, luego uno consabor a fresa y, por último, uno con sabor a limón.b) Calcular de forma razonada la probabilidad de que sean de tres sabores diferentes.

Resolución:

-34-


a) Llamaremos N1, L1 y F1 a los sucesos obtener en la 1ª extracción el sabor naranja, limón o fresarespectivamente.

Análogamente nombramos N2, L2 y F2 y también N3, L3 y F3. (La situación puede resumirse en undiagrama de árbol de 3 x 3 27 posibilidades).

PN1 F2 L3 PN1 PF2 |N1 PL3 | N1 F2

1018

317

516

25816

0.0306

Es fácil observar que cuando ya se ha extraído uno de naranja,quedan 3 de fresa sobre un total de 17.Análogamente, cuando ya se ha extraído uno de naranja y uno defresa quedan 5 de limón sobre un total de16.

b) SeaD obtener 3 caramelos diferentes.

El sucesoD comprende los siguientes casos: (Naranja, limón, fresa) y todas sus permutaciones, queresultan serP3 3! 6 casos diferentes:

D N,L,F; N,F,L; L,N,F; L,F,N; F,N,L; F,L,N

Sobreentendemos aquí que (N,L,F) significa extraer 1º uno de naranja, después uno de limón y por últimouno de fresa, que en el apartado a) escribíamosN1 L2 F3

Como D es unión de 6 sucesos elementalesP(D) resultará ser la suma de las probabilidades de los 6sucesos.

Ahora bien, si calculamos la probabilidad de cualquiera de estos sucesos siempre obtendremos

1018

517

316

,

dado que los denominadores (casos posibles) siempre serán 18, 17 y 16 (ya que cada vez queda uncaramelo menos).

Por otro lado los numeradores siempre serán 10, 5 y 3 aunque aparezcan en otro orden.

PD 6 1018

517

316

25136

0.18382

Año 2000

JUN00 P1A

Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tresde cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que lamoneda extraída sea de plata?

Resolución:La situación se puede modelizar con un diagrama de árbol:

-35-


Llamamos Pl Extraer moneda de plata. U1 Elegir urna 1 U2 Elegir urna 2.

U1 y U2 forman un sistema completo de sucesos, ya que U1 U2 Ω y que U1 U2 ϕ.

Entonces

P Pl PPl U1 P Pl U2 12

25

12

47

1735

0.48571.

Lo cual equivale a un 48´57 %.

-36-

SELECTIVIDAD MATEMÁTICAS CCSS. BLOQUE PROBABILIDAD.. … · 2019. 9. 26. · Aplicamos la ley de...

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