www.kaliumacademia.com -1-

PPP...AAA...UUU... 222000111222---222000111333

JJJuuunnniiiooo MATEMÁTICAS II

OOOpppccciiióóónnn AAA 1

a) Sean la matriz de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A*):

111

11

12

* aa

a

A

a

aa

aa

A

2111

111

112

*

La discusión del sistema puede hacerse en base al teorema de Roche-Frobenius, así, del determinante de la matriz de coeficientes:

2

111

11

122

aaa

a

A (0,75 pto, también si se hace para un valor concreto de a)

Que se anula cuando 2a , para el resto de valores el determinante sería no nulo y por tanto el rango de A sería 3, al igual que el de la matriz ampliada por contenerla, y además coincidiría con el

número de incógnitas, por tanto el sistema es compatible determinado cuando 2a (0,5 pto, también si se hace para un valor concreto de a)

b) Aplicando la regla de Cramer, para un valor genérico del parámetro:

2

2

111

11

12

112

11

121

2

2

a

aa

aa

a

a

a

a

x 2

242

111

11

12

121

11

11

2

23

a

aa

aa

a

a

aa

aa

y

2

225

111

11

12

211

111

12

2

2

a

aa

aa

a

a

a

aa

z

MATEMÁTICAS II

www.kaliumacademia.com -2-

Y tomando, por ejemplo el valor a=0 surge (x,y,z)=(0,1,-1) (1,25 pto, también por resolución por cualquier otro método)

2 a) El producto vectorial puede calcularse según:

j

kji

ue

2

101

002 (0,2,0) (1 pto)

b) Para calcular el ángulo, podemos aprovechar el resultado conocido para el módulo del producto vectorial:

2

2

)1(01·002

020

·

··

222222

222

arcsen

arcsen

ue

uearcsen

senueue

45º (0,75 pto)

c) Utilizando la definición del producto escalar:

0arccos

)2(3)2(·)1(01

)2,3,2)·(1,0,1(arccos

·

·arccos

·cos··

222222

vu

vu

vuvu

90º (0,75 pto)

3 Sea la derivada de la función:

123)( 2 xxxf

Sabido es que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto es el valor de la derivada en dicho punto, por tanto el problema pasa por encontrar los valores de x tales que f´(x)=4, (por ser 4 el valor de la pendiente de la recta dada):

3·2

)5·(3·442

0523

41232

2

x

xx

xx

De donde surgen las soluciones x1=1 y x2=-5/3(1,5 pto por un planteamiento correcto y encontrar los valores de x donde la pendiente de f es de 4)

P.A.U. 2012-13

www.kaliumacademia.com -3-

No obstante, para que dicha recta sea tangente a la función en alguno de estos puntos, la recta y(x) debe contener a su imagen, es decir, debe pasar por (x,f(x)). Así, sustituyendo las soluciones halladas, resulta:

2)1()1( yf

326)3

5(2722)3

5( yf

Por lo tanto la recta y=4x-2 es tangente a la gráfica de f(x) en el punto (x,y)=(1,2) (1 pto)

4 a) Se dice que una función F(x) es primitiva de otra función f(x) si se verifica que F´(x)=f(x). Para el

cálculo de la primitiva procederemos calculando la integral:

xdxdxxfxF ln1)()(

Para aplicar la técnica de la integración por partes ( vduvuudv · ) denotaremos:

dxdv

xu

ln1

Derivando e integrando, respectivamente, resulta:

xv

dxx

du

1

Y de la aplicación del método:

KxxKxxxdxxxdxx

xxxxdx ln)·ln1()·ln1(1

)·ln1(ln1 (1 pto)

b) El recinto en cuestión es el de la siguiente figura:

Y su área la podemos evaluar, aplicando la regla de Barrow y el resultado anterior, sobre la integral:

1ln1lnlnln1)1(ln 111eexxxdxdxx eee

e (unidades de área) (1 pto por plantear la

integral definida y 0,5 puntos por el cálculo del área)

xxf ln)(

1x ex

1y