Sejarah Distribusi Poisson
Click here to load reader
-
Upload
arya-wahyu-wibowo -
Category
Documents
-
view
356 -
download
78
Transcript of Sejarah Distribusi Poisson
SEJARAH DISTRIBUSI POISSON
Proses PoissonProses Poisson merupakan point proccess yang terpenting.
Seperti telah disebutkan di bagian depan, sebagaimana halnya point proccess, karakteristik proses Poisson dicirikan oleh tiga hal:
a) Stasioner
b) lndependen dan
c) Simple.Sifat dasar proses Poisson, selain sebagai suatu point proccess adalah:
a) Number representation-nya terdistribusi Poisson
b) lnterval Representation -nyaterdistribusi Eksponensial
c) Point process memunculkan DUA buah variabel random Nt dan Xt. Dua buah variabel random ini memiliki makna adanya Number Representation dan lnterval representation.
d) Number Representation dan Interval Representotion masing - masing mungkin saja memiliki distribusi yang berbeda
Estu Sinduningrum, ST, MT
SEJARAH DISTRIBUSI POISSONDistribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa
yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson
(1781–1841), seorang ahli matematika berkebangsaan
Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis
yang memakai variabel random diskrit.
Menurut Walpole (1995), distribusi poisson adalah
distribusi peluang acak poisson X, yang menyatakan
banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang
waktu atau daerah tertentu.
Estu Sinduningrum, ST, MT
DEFINISI DISTRIBUSI POISSONDistribusi poisson adalah
Distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X
diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi
dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah
tertentu.
Distribusi probabilitas diskrit yang menyatakan peluang
jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu
tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan
dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir.
Estu Sinduningrum, ST, MT
CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSONBanyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval
waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada
banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu
atau daerah lain yang terpisah.
Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval
waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil,
sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya
daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil
percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah
tersebut.
Estu Sinduningrum, ST, MT
CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON
Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang
terjadi dalam interval waktu yang singkat atau
dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
Estu Sinduningrum, ST, MT
CIRI-CIRI DISTRIBUSI POISSON Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut
satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu,
seperti menghitung probabilitas dari:
Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya
mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,
Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,
Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan
Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu
pertama bulan Oktober.
Estu Sinduningrum, ST, MT
Distribusi Poisson
8
Limit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a
Estu Sinduningrum, ST, MT
RUMUS DISTRIBUSI POISSONRumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial
dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari
kelas sukses (x) dari n percobaan Binomial dalam situasi
dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p)
sangat kecil.
Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20
atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05.
Estu Sinduningrum, ST, MT
RUMUS DISTRIBUSI POISSON
Rumus pendekatannya adalah :P ( x ; μ ) = e – μ . μ X X ! Dimana : e = 2.71828μ = rata – rata keberhasilan = n . px = Banyaknya unsur berhasil dalam sampeln = Jumlah / ukuran populasip = probabilitas kelas sukses
Estu Sinduningrum, ST, MT
Contoh soalSebuah mesin memproduksi rata-rata 2 persen produk
yang cacat. Dalam sebuah sampel acak sebanyak 60 produk, tentukan probabilitas terdapat 3 produk cacat dalam sampel itu.
Jawab :
n = 60 ; p = 2/100 = 0,02 ;
μ = n.p = 60 x 0,02 = 1,2
P ( x ; μ ) = e – μ . μ X = P(x =3) = e – μ . μ 3
X ! 3!
= 0,0867
Estu Sinduningrum, ST, MT
Latihan Soal
1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk
sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas
penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan
datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3
orang yang tidak datang.
2. Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam,
berapakah peluang dari x = 4 kedatangan dan t = 3
menit. Gunakan proses poisson.!
Estu Sinduningrum, ST, MT
Jawaban:
1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X! = 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 %
3!
2. Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam
atau 60 menit adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 /
60 = 1 / 20 unit waktu maka t = 1 / 20 dan x = 4
P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x
X!P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4
4!= 0.191 atau 19.1 %
Estu Sinduningrum, ST, MT
Estu Sinduningrum, ST, MT
Waktu Pembicaraan TeIeponBerdasar pengukuran yang telah dilakukan selama puluhan tahun
pada jaringan telekomunikasi, pdf (probobility density function)
dari waktu pembicaraan telepon (interval representation) adalah
merupakan distribusi eksponensial negatif .
Estu Sinduningrum, ST, MT
Waktu Pembicaraan TeIeponMaka waktu rata-rata pembicaraan telepon, merupakan
nilai harapan atau moment pertama dari fungsi densitas:
Dan momen kedua yang tidak lain merupakan variansi dari
waktu pembicaraan telepon adalah sama dengan :
Estu Sinduningrum, ST, MT
Periode Paket ATM (Asynchronous Transfer Mode)
Pada suatu sistem komunikasi yang menggunakan protokol tertentu, misal
ATM (Asynchronous Transfer Mode), ukuran paket adalah konstan,
dengan demikian Ukuran paket yang tetap menunjukkan bahwa holding
time-nya terdistribusi konstan.
Setiap paket ATM terdiri dari 424 bit.
Misal paket ATM ditransmisikan dengan kecepatan 42,4 kbps. lnterval
waktu yang dialami paket selama transmisi adalah =h = (424bit) / (42400
bit per detik) = 10 milidetik.
Estu Sinduningrum, ST, MT
Periode Paket ATM (Asynchronous Transfer Mode)
Maka waktu rata-rata keberadaan paket selama transmisi,
merupakan nilai harapan atau moment pertama dari fungsi
densitas:
Dan momen kedua yang tidak lain merupakan variansi dari waktu
keberadaan paket selama transmisi adalah sama dengan:
Estu Sinduningrum, ST, MT
Waktu MengantriSalah satu GoS yang penting pada jaringan antrian (queueing
network) adalah waktu mengantri atau waktu tunggu (waiting time).
Distribusi waktu antrian Ws(t) yang diukur terhadap sejumlah
pelanggan secara random selalu memiliki nilai positif > 0, karena ada
sebagian paket yang langsung terlayani di jaringan.
Maka distribusi waktu antri untuk pelanggan yang waktu antrinya >
0 ditulis sebagai W+ (t) adalah:
Estu Sinduningrum, ST, MT
Waktu MengantriProbabilitas bahwa waktu antri adalah positif = 1-ws(t) , ditulis
dengan notasi D (= probabilitas terjadinya delay).
Maka:
Jika kita perhatikan moment pertama, atau nilai rata-ratanya saja:
Estu Sinduningrum, ST, MT
Waktu MengantriNotasi w (huruf kecil) adalah menunjukkan waktu mengantri
rata-rata untuk paket yang mengantri saja , dan
Notasi w (huruf besar) adalah sama dengan waktu mengantri
rata-rata semua paket, yang tidak mengantri maupun yang
mengantri.
Berlaku untuk jaringan antrian: probabilitas terjadinya delay
dikalikan waktu antri mengantri rata-rata untuk paket yang
mengantri saja adalah sama dengan waktu mengantri rata-rata
semua paket (yang tidak mengantri maupun yang mengantri).
Estu Sinduningrum, ST, MT
Probabilitas Terjadinya Loss
Perlu dipahami proses terjadinya loss
di jaringan telekomunikasi. Mungkin
ada pertanyaan, kenapa pada suatu
system berkapasitas c bisa terjadi
loss padahal trafik telekomunikasi
sebesar A selalu lebih kecil dibanding
c ?
Mengapa dalam bisa terjadi loos??
Mungkin ada pertanyaan kenapa pada suatu sistem
berkapasitas C bisa terjadi loos padahal trafik
telekomunikasi sebesar A selalu lebih kecil dibandingkan
C?
Trafik Rata-rata < Kapasitas Sistem, Tetapi ada Loss
Sengaja ditampilkan trafik yang mengalir di suatu system
telekomunikasi, dimana trafik (=A) adalah jauh lebih kecil dibanding
kapasitas system (=C)Terlihat bahwa probabilitas terjadinya loss tetap saja ada, karena trafik
bervariasi terhadap waktu.Meskipun nilai rata-rata trafik < dibanding kapasitas trafik, masih
mungkin terjadi loss
Pada suatu system telepon yang masih mengggunakan circuit
swtching, loss/blocking probability dari call telepon dianalisis sebagai
suatu poisson proces
Estu Sinduningrum, ST, MT
Penerapan TelekomunikasiDistribusi Kontinyu Pada Rekayasa Trafik
23
Perhitungan probabilitas kedatangan paket yang diamati sebagai suatu point process, mengikuti prinsip dasar dari berbagai distribusi.
Berikut ini diberikan contoh - contoh fungsi distribusi terkait dengan perhitungan probabilitas kedatangan paket.
Berlaku untuk trafik yang datang dan dilayani suatu server memiliki beberapa fundamental
Properties sebagai berikut:
a. Stationary,
b. lndependent at all time instants (epochs),
c. Simple
d. Continous. Misal paket yang pertama telah datang pada t1 dan sukses dilayani server
Estu Sinduningrum, ST, MT
Penerapan TelekomunikasiDistribusi Kontinyu Pada Rekayasa Trafik
24
a. Probabilitas bahwa pada waktu (t1 + t detik) paket yang
kedua akan datang dan sukses dilayani server adalah akan
mengikuti distribusi eksponensial negative
Estu Sinduningrum, ST, MT
Penerapan TelekomunikasiDistribusi Kontinyu Pada Rekayasa Trafik
25
b. Probabilitas bahwa paket yang ke-k datang pada waktu
(t1 + t) adalah akan mengikuti distribusi er1ang-k
Estu Sinduningrum, ST, MT
Penerapan TelekomunikasiDistribusi Kontinyu Pada Rekayasa Trafik
26
Estu Sinduningrum, ST, MT
c. Probabilitas bahwa pada periode {t1, t1 + t detik}
telah datang x paket akan mengikuti distribusi
poisson.
Penerapan Distribusi Diskrit pada Rekayasa Trafik TeIekomuni kasi
27
Misal probabilitas bahwa request yang datang pada
suatu web server gagal dilayani = p,
probabilita s request yang datang pada suatu web server
berhasil dilayani = q = (1-p).
Maka probablitas bahwa dari sejumlah n request yang
datang pada suatu web server terdapat x request yang
berhasil dilayani oleh server adarah akan mengikuti
distribusi binomial.
Estu Sinduningrum, ST, MT
Penerapan Distribusi Diskrit pada Rekayasa Trafik TeIekomuni kasi
28
Probabilitas request yang datang pada suatu web server ke
(n+1) datang dan gagal dilayani server, setelah n request
berturut-turut datang dan sukses dilayani server adalah
mengikuti distribusi geometric,
Estu Sinduningrum, ST, MT
Ilustrasi Berbagai Distribusi
29
Estu Sinduningrum, ST, MT
Ilustrasi Berbagai Distribusi
30
Estu Sinduningrum, ST, MT
Ilustrasi Berbagai Distribusi
31
Estu Sinduningrum, ST, MT
Ilustrasi Berbagai Distribusi
32
Estu Sinduningrum, ST, MT
Ilustrasi Berbagai Distribusi
33
Estu Sinduningrum, ST, MT
Contoh Soal (1) Perhitungan Dasar Trafik
34
Estu Sinduningrum, ST, MT
1) Hitunglah intensitas trafik (dengan satuan erlang) pada 3 soal di bawah ini :a. suatu radio-link yangberkapasitas 6 saluran, dengan pengukuran selama 45
menit, setiap saluran rata-rata holded selama 35 menit.b. suatu digital switch yang selama pengukuran selama 20 menit , mengolah
sebanyak 25.000 call yang memiliki mean holding time =3 menit.c. suatu web server yang mempunyai servic rate = 1 Mbps, jika selama 10 menit
pengukuran menerima 600 request, setiap request memerlukan rata-rata 10.000 packet data @ 1000 bit per paket.
Jawab :1.a. A = 6 saluran x 35 menit/45 menit = 3750 Erlang1.b. A = 25.000 call x 3 menit/call x 1/20 menit = 1.c. A = 600 request x 10.000 paket/request x 1000 bit 1Mbit/detik (10 x 60detik) = 10 Erlang.
Contoh Soal (2) Proses Poisson
35
Bila kedatangan request mengikuti suatu distribusi poisson , hitung
probabilitas bahwa dalam perioda 1 menit, terdapat 5 request datang
dalam 10 detik pertama DAN 6 request datang pada 5 detik terakhir.
Misal request datang pada suatu web server dengan laju 30 request
per menit.
(laju kedatangan request per satuan waktu, T = waktu pengamatan
ketika melihat adanya sejumlah request datang, x = jumlah request
selama perioda T)
Estu Sinduningrum, ST, MT
Jawab Proses Poisson
36
λ = 30 request/60 detik = 0,5P{N(10)} = ( λ = 0.5 ; x = 5 ; t = 10) =
Jadi Probabilitas bahwa dalam periode 1 menit ada 5 request datang dalam 10 detik pertama dan 6 request datang dalam 5 detik terakhir =
P{N(10)} x P {N(60) – N(55)} = ( λ = 0.5 ; x = 6 ; t = 10)
Estu Sinduningrum, ST, MT
Contoh soal (3) Binomial dan geometrik
37
1. Misalkan request-request pada suatu web server adalah saling bebas. Jika
probabilitas suatu request akan sukses = p = 0.2 dan probabilitas tidak sukses
= q = 1-p. Hitung probabilitas bahwa dari 10 request, terdapat 4 request
sukses. Untuk soal ini hitung juga rata-rata terjadi request sukses dari 1000
request yang masuk.
2. Jika pada suatu web server, peluang satu request akan sukses pada usaha
pertama = 0.1 Hitunglah berapa probabilitas bahwa suatu request berturut-
turut 3 kali sukses terus , dan baru gagal pada usaha ke 3. Hitunglah, berapa
rata-rata jumlah request yang harus dilakukan dan terus-menerus sukses,
sebelum merasakan gagal.
Estu Sinduningrum, ST, MT
Jawaban soal (3) Binomial dan geometrik
38
1. Binomial: Dari n percobaan terdapat x gagal :
Rata-rata = E = 0.2 x 1000 = 200.
2. Geometrik
sukses terus,baru pada usaha ke 4, terjadi kegagalan P = (0.1)(0.1)(0.1)(0.9) = 0.0009
Estu Sinduningrum, ST, MT
Contoh soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel
39
Berkas trunk-GSM dengan kapasitas satu E1 = 30 saluran voice dgunakan untuk melayani trafik dengan GOS maksimum yang diperbolehkan = 2%
a. Berapa carried-traffic, loss traffic dan offered traffic saat GOS = GOS maksimum yang diperbolehkan.
b. Jika carried-traffic = 20,9 erlang, hitung berapa GOS, utilitas, dan efisiensi. Hitung SCR, misal berdasar data statistik di operator tersebut %SCR = 100%-(%GOS x 10).
Estu Sinduningrum, ST, MT
Contoh soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel
40
Tabel erlang yang dipakai :
Estu Sinduningrum, ST, MT
Offered Traffic (erlang)B = 0,5% B = 1% B = 2% B = 5%
N = 29 18,2 19,5 21,0 23,8N = 30 19,0 20,3 21,9 24,8N = 31 19,9 21,2 22,8 25,8N = 32 20,7 22,0 23,7 26,7
Jumlah kanal
GOS
A = Traffic Intensity
Jawaban soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel
41
a. Diketahui N = 30 , B= 2 %Offfered traffic = A= 21,9 erlang.Loss= R = 2% x 2I,9 = 0,438 erlang Carried = A - R= 21.462 erlang
Estu Sinduningrum, ST, MT
Gos MaxGMS masih menggunakan loss
system, menuju IP based
b. Diketahui N = 30 , Y = 20,9 Erlang Menghitung B dg interpolasi , hitung dulu N=30 , B=2%, A = 21,9, Y = A. ( 1- Gos Max ) = 21.9(1-0.02) = 21.462 B = 0 .01+ ( (0. 02 - 0,0 1)* ( 20. 9- 20. 097 ) / (21. 462-20.097) = 0. 015883
Pakai rumus Erlang
B Gos B
Y Carrier Traffic
Y
Y Carrier TrafficCarrier Y
Jawaban soal (4) Distribusi Erlang-B Menggunakan tabel
42
A = Y/(1-B) = 20.9 / (1-0.015883 ) = 21,2373 Erlang
Efisien = A/N =21.23737/30 = 0.70791 = 70,7 %
Utilitas = Y/N = 20.9 /30 = 0.696667 = 69,67 %
SCR =100-(1.5883*10) = 84.117 %
Estu Sinduningrum, ST, MT
TERIMA KASIH