Segundo Trabajo Anal is Is

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

2° PRÁCTICA DE INTEGRAL MULTIPLE

CURSO : ANÁLISIS MATEMÁTICO III

DOCENTE : ING. HORACIO URTEAGA BECERRA

ESTUDIANTES:

CHUQUIRUNA CHÁVEZ MARVICK ALAIN RAMIREZ CHÁVEZ ANTONY SOLANO VARGAS DIEGO RENATO

CAJAMARCA, SEPTIEMBRE DEL 2015

INTRODUCCIÓN

De la misma manera en que la integral de una función positiva de una variable definida

en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese

intervalo, la doble integral de una función positiva de dos variables, definida en una

región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la

función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una

función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolúmen,

sin embargo es bueno notar que si el resultado se puede interpretar como

el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado

geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de

integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en

ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de

integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra

en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una

función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

OBJETIVOS

UTILIZAR LOS SOFTWARES (AUTOCAD, DERIVE 6, MATHCAD) PARA EL DIBUJO DE LOS SÓLIDOS ASÍ COMO DETERMINAR LAS GRAFICAS Y RESULTADOS DE LAS INTEGRALES DOBLES Y VOLUMENES DE LOS SÓLIDOS.

APLICAR LOS CONOCIMIENTOS PARA EL CÁLCULO DEL TEMA DE INTEGRALES MULTIPLES MEDIANTE LOS MÉTODOS APRENDIDOS PREVIAMENTE EN CLASE.

ANÁLISIS MATEMÁTICO III 1

problemas de integrales multiples ing.civil

https://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivada

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_primitiva

https://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Signos_de_integraci%C3%B3n

https://es.wikipedia.org/wiki/Hipervolumen

1. Evalué las siguientes integrales cambiando el orden de integración.

a) ∫0

1

∫√ y

1

√( x2+1 ) dxdy

b) ∫0

1

∫arcsen( y)

π /2

√(1+cos2 x ) cosxdxdy

c) ∫0

1

∫x2

1

x3 sen y3dydx

d) ∫0

3

∫y2

9

yco s2 xdxdy

e) ∫0

1

∫3 y

3

ex2dydx

f) ∫0

8

∫∛ y

2

ex4dxdy

a¿ ∫0

1

∫√ y

1

√( x2+1 ) dxdy

SOLUCIÓN



i) Grafica de los límites de la integral doble.

ii) Integramos cambiando el orden de integración.



IID=∫0

1

∫√ y

1

√ ( x2+1 ) dxdy

IID=∫0

1

∫0

x2

√ ( x2+1 ) dydx

IID=3√28

−( ln (√2+1 )8 )



b) ∫0

1

∫arcsen( y)

π /2

√(1+cos2 x ) cosxdxdy

SOLUCIÓN

i) Gráfica de los límites de la integral doble.




IID=∫0

1

∫arcsen ( y )

π2

√ (1+cos2 x ) cosxdxdy

IID=∫0

π

∫0

senx

√ (1+cos2 x ) cosxdydx

IID=0.61

c) ∫0

1

∫x2

1

x3 sen y3dydx

SOLUCIÓN





IID=∫0

1

∫x2

1

x3 sen y3dydx

IID=∫0

1

∫0

√ y

x3 sen y3dxdy

I ID= 112

(1−cos (1 ))

d) ∫0

3

∫y2

9

yco s2 xdxdy

SOLUCIÓN





IID=∫0

3

∫y2

9

yco s2 xdxdy

IID=∫0

9

∫0

√ x

yco s2 xdydx

ID=sen (81 )4

e) ∫0

1

∫3 y

3

ex2dydx

SOLUCIÓN





IID=∫0

1

∫3 y

3

ex2 dxdy

IID=∫0

3

∫0

x3

ex2dydx

ID=16

¿

f)∫0

8

∫∛ y

2

ex4 dxdy

SOLUCIÓN





IID=∫0

8

∫3√ y

2

ex4 dxdy

IID=∫0

2

∫0

x3

ex4 dydx

IID=14(e16−1)

2. Evaluar:

∬R

❑

(x2 tanx+ y3+4 )dA Siendo R={(x , y) / x2+ y2≤2}

SOLUCION:



1) Región de integración: R={(x . y) / x2+ y2≤2}

2) despejando x en función de y:



3) EVALUANDO:

∬R

❑

(x2 tanx+ y3+4 )dA=∫y1

y2

∫x1

x

(x¿¿2tanx+ y3+4)dxdy ¿

∬R

❑

(x2 tanx+ y3+4 )dA=8∗π



3. EVALUAR:

∬R

❑

xdA Siendo R la región del primer cuadrante, acotada por las circunferencias:

x2+ y2=4∧ x2+ y2=2x Grafique la región de integración usando el programa derive.

SOLUCION:

1) Región de integración: R={(x . y )/ √x (2−x )≤ y ≤√4−x2∧0≤ x≤2}

2) despejando x en función de y:



3) evaluando:

∬R

❑

xdA=∫x1

x2

∫y1

y2

xdydx=∫0

2

∫√x (2− x)

√4−x2

xdydx

∬R

❑

xdA=−1.356



4. Halle el volumen del solido ubicado debajo del paraboloide z=3 x2+ y2∧ sobre la región acotada por y=x∧ x= y2− y.

SOLUCIÓN

1) Región acotada:R={(x . y )/ y2− y≤ x≤ y∧−14

≤ x ≤2}



2) Solido:

z=3 x2+ y2

x= y2− y

y=x

3) Volumen del solido: V

v=∬ zdA=∫y1

y2

∫x1

x2

zdxdy=∫0

2

∫y2− y

y

3 x2+ y2dxdy



5. Halle el volumen del sólido acotado por la superficie x2+ z2=9 ∧ los planos x=0,y=0, z=0 ∧ x+2 y=2, en el primer octante.SOLUCIÓNi) Gráfico del sólido.

S1: x2+z2=9 (Cilindro regular) S2: x=0 (Plano yz) S3 : y=0 (Plano xz) S4 : z=0 (Plano xy) S5 : x+2 y=2 (Plano)



ii) Volumen del sólido.dV =zdxdy

V=∬R

❑

zdxdy

V=∫0

1

∫0

2−2 y

√(9−x2)dxdy

V=2.88un d3



6. Halle el volumen del solido ubicado sobre la superficie z=√ x2+ y2 y debajo de la superficie x2+ y2+z2=1.

SOLUCION

I. GRAFICO DE LA REGION DE INTEGRACION:

S1: z=√x2+ y2 …Cono de revolución S2: x2+ y2+z2=1…Esfera

S1∩ S2 :√ x2+ y2=√1−x2− y2

x2+ y2=1−x2− y2

x2+ y2=12

≈ r=12

…Circunferencia



II. GRAFICO DEL SOLIDO:

III. VOLUMEN DEL SOLIDO:

dV =zdA=( z1−z2 ) dA

V=∬R

❑

( z1−z2 ) dA=∫0

2π

∫0

1√2

(√1−r2−r2 )r dr dθ

I=∫0

1√2

(r √1−r2−r2 )dr



V=¿∫0

2π

dθ

V=0.6134uni d3

7. Halle el volumen del solido acotado por las superficies z=3 x2+3 y2y debajo de la superficie z=4−x2− y2.

SOLUCION

I. GRAFICO DEL SOLIDO:

S1: z=3x2+3 y2 …Paraboloide de revolución, se abre hacia arriba y con V(0,0,0)

S2: z=4−x2− y2 …Paraboloide de revolución, se abre hacia abajo y con V(0,0,4)

S1∩ S2 :3 x2+3 y2=4−x2− y2

x2+ y2=1 …Circunferencia



II. VOLUMEN DEL SOLIDO:

V=∬R

❑

( z2−z1 ) dA=∫0

2π

∫0

1

(4−r2−3 r2 )r dr dθ

V=¿

8. Halle el volumen del solido que está dentro del cilindro x2+ z2=4 y de la superficie

4 x2+4 y2+z2=64.

SOLUCION

I. GRAFICO DEL SOLIDO:



Hacemos: y1=√ 64−(4−5 sen (θ ) ) r2

4 Convirtiendo a coordenadas polares con

x=rcos (θ )∧ z=rsen(θ)

II. VOLUMEN DEL SOLIDO:

V=∬R

❑

f ( x , z ) dA=∫0

2π

∫0

2 √ 64−(4−5 sen (θ ) ) r2

4r drdθ



V=49.0396unid3

9. Hallar la masa y el centro de masa de una lámina que tiene la forma de una región acotada por la curva y=sen ( x ) , el eje x y las rectas x=0∧ x=π ; si la densidad de área, en cualquier punto, es igual a la ordenada del mismo. La masa se da en slugs y la distancia en pies.

SOLUCION

I. GRAFICO DE LA PLACA:

En donde: ρ ( x , y )= y

II. MASA DE LA PLACA

m=∬R

❑

ρ (x , y ) dA

m=∫0

π

∫0

sin ( x)

y dydx

m=12∫0

π

¿¿



m ¿π4

slugs

III. MOMENTOS:

Mx=∬R

❑

yρ ( x , y ) dA=∫0

π

∫0

sin (x )

y2dy dx=∫0

π13

( sin (x ) )3dx

My=∬R

❑

xρ ( x , y ) dA=∫0

π

∫0

sin ( x )

xydy dx=12∫0

π

x (sin ( x ) )2dx



→ Mx=49

slug . pies

My=π2

8slug . pies

IV. CENTRO DE MASA:

x=

π2

8π4

=π2

pies y=

49π4

= 169π

pies

10. Hallar la masa y el centro de gravedad de masa de una lámina que tiene la forma de una región acotada por la curva r=2cosθ, 0≤ θ ≤ π /2, el eje polar; si la densidad de área, en cualquier punto, varía en forma directamente proporcional a su distancia al polo. La masa se da en slugs y la distancia en pies.

SOLUCIÓN

i) Gráfica de la lámina.



ii) Región de integración:{(r , θ)/0≤ r ≤1,0≤ θ ≤ π /2 }

iii) Masa en coordenadas polares.

dm= ρ ( x , y )dA

m=∬R

❑

ρ (x , y ) dA

ρ ( x , y )=kr=√(x¿¿2+ y2)¿

dA=rdrdθ

Entonces:

m=∫0

π2

∫0

1

kr 2drd θ



m= kπ6

slugs

iv) Centro de masa en coordenadas polares.

a) Con respecto a x.

x=M y

m

M y=∫0

π2

∫0

1

k r3 cosθ drdθ



M y=k4

Luego:

x=M y

m

x=

k4

kπ6

x= 32π

pies

b) Con respecto a y.

y=M x

m

M x=∫0

π2

∫0

1

k r3 senθdrdθ



M x=k4

Luego:

y=M x

m

y=

k4

kπ6

y= 32π

pies



CONCLUSIONES

APRENDIMOS A UTILIZAR LOS SOFTWARES( AUTOCAD, DERIVE6, MATHCAD)

REFORZAMOS NUESTROS CONOCIMIENTOS APRENDIDOS PREVIAMENTE EN CLASE, PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES MULTIPLES UTILIZANDO LOS DIFERENTES MÉTODOS.



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