Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos

Seguidor de LneasMarco TericoJorge Alberto Silva Valenzuela; Josu Waldestran Domnguez; Claritza Ordaz Lpez; Luis Enrique Hernndez Ramos; Edgar Alberto; Jairo F. Rueda De Len

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NDICETabla de contenidoTEMA: Construccin de un Robot Autnomo Seguidor de Lnea Blanca. ........................................... 3 PROBLEMA DE INVESTIGACIN: ..................................................................................................... 3 OBJETIVO GENERAL: ........................................................................................................................ 3 OBJETIVOS ESPECFICOS: ................................................................................................................. 3 JUSTIFICACIN: ............................................................................................................................... 4 LIMITACIONES: ................................................................................................................................ 4 FACTIBILIDAD: ................................................................................................................................. 4 HIPTESIS: ....................................................................................................................................... 5 1 INTRODUCCIN: ............................................................................................................................... 6 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 Qu es un Robot?.............................................................................................................. 6 Qu es un Seguidor de Lneas? ......................................................................................... 6 Cmo Funcionan? ............................................................................................................. 7 Partes Bsicas del Seguidor de Lneas................................................................................ 7 Configuraciones Mecnicas Ms Comunes........................................................................ 9

DISEO MECNICO................................................................................................................... 10 2.1 Sistema De Direccin ........................................................................................................ 10

En las curvas necesitamos que: ................................................................................................. 10 2.1.1 Sistema De Direccin........................................................................................................ 10 2.1.1.1 Matemticas en la frenada ........................................................................................... 12 2.1.1.2 Matemticas en la frenada. Recta genrica. ................................................................. 13 2.2 CONTROL DE VOLTAJE .......................................................................................................... 14 2.3 2.4 ACONDICIONAMIENTO DE SEAL .................................................................................... 14 CONTROL DE MOTORES.................................................................................................... 15

2.5 MODELO DINMICO: ESTABILIDAD DIRECCIONAL.................................................................. 16 2.5.1 Posicin de la plataforma. ................................................................................................ 17 2.5.2 Movimiento de la plataforma .......................................................................................... 18 2.6 Equilibrio esttico ................................................................................................................ 23

2.7 Equilibrio de momentos ....................................................................................................... 24

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DISEO ELECTRNICO .............................................................................................................. 25 3.3 Sensores ............................................................................................................................ 25 Seleccin de los Sensores ......................................................................................... 25 Nmero de Sensores y Alineacin ........................................................................... 26

3.3.1 3.3.2

Sistema de Control ........................................................................................................................ 27 3.3.3 3.3.4 3.3.4.1 3.3.5 3.3.1 Metodologa de Control ........................................................................................... 27 Control Proporcional Integral Derivativo ........................................................... 28 Frmulas Principales para el Control PID. ............................................................... 29 Eleccin del Microcontrolador ................................................................................. 29 El uso de PWM en el seguidor de linea .................................................................... 30

3.3.2 Periodo PWM .................................................................................................................... 31 3.3.3 3.3.4 Ciclo de trabajo del PWM ................................................................................................ 31 CONFIGURACIN DEL PWM: ....................................................................................... 32

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TEMA: Construccin de un Robot Autnomo Seguidor de Lnea Blanca. PROBLEMA DE INVESTIGACIN:Hallar la Mejor forma de diseo mecnico, construccin y diseo electrnico de un robot autnomo seguidor de lnea blanca que sea capaz de alcanzar una velocidad mnima de 1.5 adems de ser compatible con futuras actualizaciones tanto de software como de hardware. ,

OBJETIVO GENERAL:Construir un robot seguidor de lnea blanca capaz de alcanzar velocidades mnima de 1.5 m/h y que sea capaz de controlar su velocidad de acuerdo al ngulo de la curva de la cual girar. as como tambin sea compatible con las nuevas versiones de software que vayan emergiendo en el mercado para el control de robots autnomos.

OBJETIVOS ESPECFICOS:Investigar las disciplinas y reas de trabajo que estn involucradas en el desarrollo del robot seguidor de lnea. Disear un prototipo por computadora en un programa como Inventor o Solid Works del robot seguidor de lneas. Realizar pruebas con distintos materiales propuestos con el fin de ajustarnos a un material para el diseo mecnico del robot. Solucionar la problemtica de peso del robot, velocidad y fuente de energa que alimentara los circuitos electrnicos del seguidor. Conseguir el material elctrico, electrnico y mecnico que se ajuste a nuestro diseo y propsitos. Ensamblar el robot mecnicamente. Realizar la parte electrnica del robot seguidor de lneas (placa electrnica). Unir la parte mecnica del robot seguidor de lneas adaptndola a la aparte electrnica del mismo. Hacer un algoritmo que controle el robot seguidor de lneas y que nos sirva de base para la siguiente y ltima fase que es programacin. Programar el robot con un lenguaje de programacin como C, para que el robot realice lo que nosotros esperamos.

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JUSTIFICACIN:Actualmente no hay informacin suficiente y satisfactoria en cuanto a lo que se refiere a la construccin de un robot seguidor de lnea, al anlisis del algoritmo, los desarrollo de los modelos matemticos y fsicos que muestren el correcto desempeo del robot; y por tal motivo hemos decidido investigar los temas que estn relacionados en la construccin de un seguidor de lnea para recolectar los conocimientos adecuados para la construccin de uno y poder llevarlo acabo y que al termino de su realizacin podamos tener una investigacin bien estructurada y confiable sobre los robot seguidores de lnea. Otra razn para hacer un robot seguidor de lnea blanca es que sea capaz de alcanzar una velocidad mnima de 1.5 m/s, que participe en el concurso de robot seguidor de lnea y que tenga un buen desempeo en la competencia y de ser posible obtener el primer lugar en el concurso

LIMITACIONES:Es pertinente precisar los lmites del problema, su alcance, para ello es necesario tener en cuenta la viabilidad. Uno de los lmites en los que podemos tener en el proceso o desarrollo del dicho proyecto velocista seguidor de lneas son: Proveedores de productos El conocimiento amplio Preparacin y Habilidades Uso de los conocimientos Economa Tiempo en realizacin del proyecto Mantener estable la idea Orientacin externa en el trabajo

FACTIBILIDAD:A nivel de factibilidad podemos llenar o abastecer los 3 principales aspectos en el seguidor de lneas que son: Factibilidad tcnica: Si se dispone de los conocimientos y habilidades en el manejo mtodos, procedimientos y funciones requeridas para el desarrollo e implantacin del proyecto. En el aspecto tcnico se tiene la experiencia en haber concursado ya en otra ocasin y el tener ya algunos de los elementos que nos pueden servir de mucha ayuda.

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Factibilidad econmica: se dispone del capital en efectivo o de los crditos de financiamiento necesario para invertir en el desarrollo del proyecto, Se pueden cubrir algunos de los gastos por que la compra del material ya es mnimo, ya gran parte de los materiales ya tenemos.

Factibilidad operacional: Existe el personal requerido para llevar a cabo el proyecto con una estructura funcional de tipo formal o informal que faciliten las relaciones entre el equipo.

HIPTESIS:En primera instancia, el seguidor de lnea cuenta con los sensores pticos y lo cual ayuda a que este obtenga el desplazamiento sobre una superficie totalmente blanca/negra, siendo el resultado un movimiento entrecortado. Este defecto se ha tratado de ir mejorando por pasos; hasta lograr un avance continuo. Los conjuntos de fotodiodos-fototransistores diferencian bien el blanco del negro. Luego, al ensayarse el robot sobre la lnea blanca/negra con diferentes curvas se cree que los resultados sern satisfactorios. Los movimientos de seguimiento que realiza en las curvas para corregir la direccin son buenos, aunque perceptibles, manteniendo la homogeneidad en el recorrido. Esperado que cumpla con el objetivo. Se puede presentan inconvenientes con curvas menores a 10 cm de radio curvatura. En curvas cerradas, el efecto de su inercia es mayor que la velocidad de correccin en el seguimiento, quedando los sensores en la zona negra/blanca. El posible resultado de esta inconsistencia es un avance muy lento y con un avance entrecortado, con un leve giro a la derecha. Para evitar este comportamiento, se ha considerado modificar el programa de control a los efectos registrar en la memoria lo cual enviara la informacin al sensor en abandonar la lnea para lograr un desplazamiento que le permita recuperar su trayectoria. Esta modificacin permitir que el robot se desplace tanto en curvas ms cerradas, curvas poligonales, o en diferentes configuraciones de lneas.

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1 INTRODUCCIN:Dentro de los inventos del siglo XX, los robots pueden considerarse a la cabeza en cuanto a popularidad, por lo que la Robtica es una nueva disciplina, con sus propios problemas, sus fundamentos y sus leyes. Tiene dos vertientes: la terica y la prctica. En el aspecto terico se anan las aportaciones de la automatizacin, la informtica y la inteligencia artificial. Por el lado prctico o tecnolgico encontramos aspectos de construccin (mecnica, electrnica), y de gestin (control, programacin). La robtica, pues, presenta un marcado de carcter multidisciplinario. El fuerte desarrollo experimentado por la robtica se debe ms a las crecientes necesidades de automatizar la industria, y a la inquietud que a lo largo de los tiempos ha existido en el hombre por crear reproducciones de s mismo y de otros seres vivos. Actualmente el robot es una mquina ms que podemos encontrar en cualquier empresa en las lneas de produccin de fabricacin en serie. El objetivo del presente trabajo es mostrar el desarrollo de un robot seguidor de lneas blancas, tanto a nivel mecnico como electrnico, con el fin de participar en el 2 do Concurso de Robtica del Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos, con el fin de tener una documentacin tcnica confiable en caso de requerir cambios tanto mecnicos como electrnicos segn su desempeo durante el concurso.

1.1 Qu es un Robot?Un robot es una entidad virtual o mecnica artificial. En la prctica, esto es por lo general un sistema electromecnico que, por su apariencia o sus movimientos, ofrece la sensacin de tener un propsito propio

1.2 Qu es un Seguidor de Lneas?Estos robots tienen la capacidad de seguir una lnea marcada en el suelo (normalmente una lnea negra sobre un fondo blanco). Son considerados los "Hola mundo" de la robtica.

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Ilustracin 1: Seguidor de Lneas Comercial 3pi

1.3 Cmo Funcionan?Tal como los seres humanos, funcionan gracias a estmulos del medio ambiente, en este caso obtenidos gracias a sensores pticos Reflectivos y de acuerdo a lo que les dice su computador, son capaces de tomar decisiones. En los modelos ms avanzados, incluso cuentan con sistemas de lazo cerrado, es decir toman decisiones en base a ms estmulos, por ejemplo verifican su velocidad gracias a enconders en los motores o incluso con el uso de acelermetros y giroscopios electrnicos. En los seguidores de lneas (en nuestro caso lneas blancas), bsicamente funcionan gracias a 2 motores colocados a cada lado de un chass, 2 sensores pticos reflectivos ubicados boca abajo en la parte central inferior del chass y su sistema electrnico de control, el cul apagar o encender cada motor conforme se requiera, con el objetivo de mantener a los 2 sensores dentro de la lnea a seguir.

1.4 Partes Bsicas del Seguidor de LneasLos seguidores de Lneas, cuentan por lo general con las siguientes partes bsicas identificables: Motores de CD: Usados por lo general para mover al robot en el espacio a desempearse, de estos depender la velocidad lmite del robot. Chass: En muchas configuraciones, el chass del robot puede disearse con diferentes materiales, aunque en la mayora de las ocasiones, se busca que sea lo ms ligero posible. Aqu ir bsicamente todos los dems componentes del robot. Sensores: Esta ser la forma en la que el robot obtendr la informacin de su ambiente, para ser posteriormente procesada por su unidad de procesamiento central y obtener una respuesta a su lectura. Por lo general en un seguidor de lneas se usan los siguientes sensores:

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Sensores pticos Reflectivos Infrarrojos: Son sensores que emiten un haz infrarrojo y si se refleja en la superficie, es captado por su fototransistor. Son los ms comunes y baratos. o Sensores pticos en base a CCDs: Son cmaras de video especialmente diseadas para su uso en robots y existen tanto en versiones monocromticas como a colores. Son de los sensores ms caros y requieren una CPU de muy alta velocidad para obtener la imagen, procesarla y obtener una respuesta en tiempo real. o Sensores a base de Leds y Fototransistores: Son muy parecidos a los sensores pticos Reflectivos infrarrojos, aunque su uso puede no ser muy precisos, ya que cualquier fuente de luz que incida sobre los fototransistores o fotorresistencias (ms usadas en este caso) dar una lectura errnea. Placa de Control Electrnico: Es la parte en la cual se procesarn los datos obtenidos de los sensores y se ejecutar la respuesta correspondiente. Se diferencian los diferentes mtodos: o Electrnica Digital con Microcontroladores: Se usa un Micro controlador (Un C.I. con CPU, RAM, ROM y Puertos de Uso especfico programado comnmente en Ensamblador o Cdigo C) para programarle un algoritmo que cumpla con la funcin de seguir la lnea. Es la forma ms fcil de crear la lgica del robot, adems de aumentar su complejidad con el fin de obtener el menor error posible en el seguimiento de la lnea. o Electrnica Digital con Compuertas Lgicas: Se disea el algoritmo de seguimiento de la lnea en funcin de Lgica Digital (AND, OR, NOTetc.) con los sensores (comnmente en configuracin digital, es decir si el sensor lee es igual a un 1 en su salida, si no, es 0, por decir un ejemplo) y para reducir el uso de compuertas, se procede a reducirlas por la tcnica llamada Mapa de Karnaugh. Dependiendo del diseo del algoritmo, pueden ser muy eficientes, sin embargo, es muy complicado realizar modificaciones futuras. o Electrnica Analgica: Creada por lo general con ayuda de amplificadores Operaciones en Diversas configuraciones, para ejecutar las diversas acciones de respuestas segn la lectura de los sensores. o Electrnica Transistorizada: Su principal forma de controlar el robot es con sensores en configuracin digital y conectados casi directamente a un puente H (controladores de sentido de motores) con transistores. Unidad de Poder: Es la fuente de poder del robot y los motores, por lo general son bateras recargables, aunque los principales factores a revisar son tener una gran cantidad de mAH (Mili Amperes Por Hora) segn los motores a utilizar y tener el menor peso posible.

o

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1.5 Configuraciones Mecnicas Ms ComunesNombre Ventajas No usa rueda loca Eficiente en ngulos rectos Ideales para seguidores transistorizados. Desventajas Debe tener todos los pesos muy bien repartidos para evitar desequilibrarlo.

Solo se usan 2 motores Se usa una rueda loca para poder girar sin problemas De fcil construccin Pueden girar en ngulos Rectos de forma rpida. Aptos para curvas abiertas Pueden alcanzar altas velocidades Su control se base en regulacin de velocidad diferencial

Si la parte mecnica no est bien diseada, es ms fcil que hayan desvos, haciendo que entre en un tipo de zig-zag.

Triciclo Pierden mucha velocidad o incluso pierden la pista en ngulos rectos.

Velocista Rgido Eje de los Sensores Mvil Se dificulta el control pues pueden haber

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Soporta mejor los ngulos a 90 grados

hasta 3 motores funcionando al mismo tiempo.

Velocista con Eje MvilTabla 1: Configuraciones Mecnicas ms comunes

2 DISEO MECNICO 2.1 Sistema De DireccinEl sistema de direccin se construye con un engranaje y un tornillo sin fin acoplado al motor que controla el Puente H, y en el eje del engranaje se fija la rueda de direccin y los sensores. En las curvas necesitamos que: 1. Vaya el robot a la velocidad que vaya en tramo recto, al tocar la zona negra con un sensor rectifique la trayectoria. 2. La rectificacin de la trayectoria se hace disminuyendo la velocidad del motor donde est colocado el sensor (motor freno) respecto del otro motor que provoca el giro (motor giro).

2.1.1 Sistema De DireccinCaben muchas posibilidades:

El motor frenado disminuye su velocidad. El motor que gira contina a la velocidad que llevaba en recta.

El motor de frenado disminuye su velocidad. Aunque menos, tambin frena el que gira. El motor de frenado disminuye su velocidad incluso hasta hacerse negativa. Aunque menos, tambin frena el que gira.

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El motor de frenado disminuye su velocidad. El que gira la aumenta. El motor de frenado disminuye su velocidad e incluso gira hacia atrs. El que gira la aumenta. En todo caso, siempre se debe cumplir que la relacin entre la potencia de frenado y la potencia del motor que gira es menor que 1. Potf / Potg < 1 Y de todas formas, si la frenada es corta y sigue el sensor detectando lnea negra, deberemos hacer que dicha relacin sea an menor, y si tras calcular una relacin menor sigue aun estando en lnea negra, an otra menor... y as recursivamente hasta que gire lo que necesite y se salga de la lnea.

Ejemplo de situacin. Vamos a suponer que nuestro robot se encuentra con una curva a derechas, donde est el sensor 2. Si en la recta desde donde proviene iban los motores a 90 de potencia, la primera vez que detecte y calcule una reduccin de potencia suponemos que el motor que frena lo hace a 80 y el otro sigue igual.

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Y si de nuevo al girar no se ha salido de la zona negra, deber hacer que el motor que frena frene an ms respecto del que gira. Por ejemplo, disminuyendo en 50, 40, etc. Voy a suponer que ya en diez pasos se ha salido de la curva. Si represento en cada paso la potencia de cada uno:

El paso 0 significa que ambos van rectos... El problema es: cmo calculo una reduccin de potencia de ese tipo automticamente en el programa cuando voy contando los pasos.

2.1.1.1 Matemticas en la frenadaObservando el grfico anterior observamos que la potencia de frenado parece ir disminuyendo siguiendo una recta, en la que la X son los pasos y la Y son las potencias. Parte de un valor inicial de 90 y termina en un valor final de -10. Calculo la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuacin de la recta.

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2.1.1.2 Matemticas en la frenada. Recta genrica.Convendra calcular la ecuacin de la recta segn ciertos parmetros genricos; as parto de una potencia a hasta una potencia b (a>b). Calculo pendiente, ordenada en el origen y ecuacin de la recta.

As se consigue una recta genrica.

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2.2 CONTROL DE VOLTAJESi se trabaja con una batera de 12V superior a 5V es necesario utilizar reguladores de voltaje. Los sensores y circuitos integrados que controlan el carro consumen 5V y como se tiene una batera superior a 5V se utiliza un regulador de voltaje puede ser un 7805 con su respectivo disipador. Por el pin 1 entra el voltaje de la batera, el pin 2 va a 0V de la batera y por le pin3 obtenemos 5V.

2.3

ACONDICIONAMIENTO DE SEAL

La finalidad de este proyecto es la de un carro seguidor de lnea negra en fondo blanco si evaluamos la tabla que nos entrega los sensores, estos censan cuando estn en color blanco, la mayora de la pista es de color blanco, sera mejor acondicionar la seal para que los sensores censen en color negro para esto debemos invertir la seal de los sensores con una compuerta veamos:

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Utilizamos el integrado 40106 que adems de ser inversora es un disparador Smith Trigger que mediante la entrada de un voltaje entre el rango de 0V a 5V este nos convierte esta seal en una seal digital pura.

2.4

CONTROL DE MOTORES

Veamos lo siguiente teniendo en cuenta: - 0 No censa lnea negra - 1 Censa lnea negra - SR Sentido manecillas del reloj - IR Inverso sentido manecillas del reloj Sensor de lnea negra Centro Centro Izquierda CI 0 0 1 1 Derecha MI CD 0 1 0 1 IR SR IR SR MD IR IR SR SR Reversa Curva derecha Curva izquierda Adelante Motor Izquierdo Derecho Carro Direccin

Para esto vamos a utilizar el driver para motores L293B que maneja seales de control para nuestro caso son los sensores y a partir de esta se puede controlar hasta 2 motores y su sentido de giro a travs de un puente H. Este integrado en su pin1 y pin9 maneja el Enable (habilitador), si es un 1 lgico habilita el canal para que el motor gire pero si es un 0 lgico inhabilita el canal evitando que el motor gire.

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Recordaran que hicimos un circuito para que el carro pare en el cuadro negro, la seal de salida de ese circuito se lo mandamos tanto al pin1 como al pin9 y con esto logramos que el carro seguidor de lnea pare en el cuadro negro de 120mm x 120mm.

2.5 MODELO DINMICO: ESTABILIDAD DIRECCIONAL

Para localizar un cuerpo rgido en el espacio es necesario contar con una herramienta que permita la localizacin espacial de sus puntos. La forma ms intuitiva y utilizada para especificar la posicin de un punto son las coordenadas cartesianas. En un plano, el posicionamiento tiene dos grados de libertad, y por tanto la posicin de un punto est definida por dos componentes independientes. Para la descripcin del movimiento de una plataforma mvil en un plano bidimensional se requieren varios aspectos: Plantear un sistema de referencia fijo y un sistema de referencia mvil para la plataforma. Formular una expresin con la cual se pueda determinar la posicin del sistema de referencia

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mvil, en funcin de un giro y una traslacin. Especificar las posiciones de los elementos que constituyen la plataforma, referenciados al sistema mvil.

2.5.1 Posicin de la plataforma.El sistema de referencia fijo se escoge como el sistema de coordenadas cartesianas; por otro lado conviene especificar el sistema de referencia mvil como la posicin de un punto representativo en la plataforma, referente a las coordenadas cartesianas y la posicin angular de la plataforma respecto al sistema, como se indica en la figura anterior. Para cualquier tipo de movimiento, existen 4 tipos de fuerzas que se oponen a ste: la fuerza de rozamiento, las fuerzas de inercia, la fuerza aerodinmica y la resistencia a la pendiente. En nuestro caso, al tratarse de robots que se mueven mediante ruedas en pista plana, la resistencia a la pendiente no existe y la fuerza de rozamiento es una resistencia a la rodadura. Para el modelado del robot velocista, la dinmica que ms influye es la lateral. En un primer concepto vemos que en la plataforma de posicin el punto c es fijo en la plataforma y tiene coordenadas (xc,yc) y el ngulo , se toma con referencia al eje vertical y se define positivo el sentido horario. Una nueva posicin del centro c puede ser determinada por un cambio en el ngulo y un desplazamiento endicha direccin, como: = Desplazamiento angular de la plataforma, o giro. l = Longitud recorrida por la plataforma.

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Y la nueva inclinacin se da por:

De esta forma se puede describir la cinemtica de la plataforma, dado que el desplazamiento puede darse directamente, o en trminos de velocidades; con el fin de hallar el giro y el desplazamiento l y evaluar (1). Con las ecuaciones (1) y (2) se puede calcular adems la posicin de cualquier elemento en la plataforma, siguiendo el mtodo de girar y luego avanzar.

2.5.2 Movimiento de la plataformaEn un segundo concepto que hay que introducir para este anlisis es el de deriva en la curva. Esta deriva es un ngulo que mide la diferencia entre la velocidad de la rueda longitudinal y la verdadera trayectoria de sta.

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Aplicando este concepto a un robot diferencial con traccin trasera, como es el caso del Robot Zero, se tiene lo siguiente:

Donde el eje trasero se ha obtenido a partir del efecto que provocan las dos ruedas motrices en la lnea central del robot:

Una primera conclusin que se puede obtener es que el ngulo de giro no slo depende del radio de la curva, sino tambin de los ngulos de deriva, que son funcin de las fuerzas laterales que actan en cada rueda:

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Por esta razn, para que el robot siga la curva marcada por la lnea con ms facilidad, no slo hay que dar distinta velocidad a las ruedas para que ste gire segn la lnea, sino tener en cuenta tambin la deriva real de las ruedas. Para el planteamiento de las ecuaciones dinmicas, se escoger un sistema de referencia en movimiento con el robot:

El equilibrio de fuerzas queda:

Las fuerzas longitudinales (eje x) son la fuerza motriz menos la aerodinmica y el rozamiento y las laterales (eje y) se pueden aproximar por:

A Ca se le denomina rigidez a la deriva de los neumticos, que se puede entender como la resistencia de stos a desplazarse lateralmente en un movimiento longitudinal.

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Para este estudio se ha despreciado efectos como el balanceo (transferencia de carga vertical en las curvas de la rueda interior a la exterior), el cabeceo, etc que se tendrn en cuenta en futuras entradas. La estabilidad direccional del sistema, como en todo sistema dinmico, viene condicionada por los autovalores y autovectores que son el resultado de resolver la parte homognea de este sistema de ecuaciones diferenciales. Para que un sistema sea estable, es decir, tienda a la solucin estacionaria, su autovalor ha de tener parte real negativa. En este sistema, esta condicin se da cuando:

Por esto, dependiendo de las distribuciones del peso del vehculo y de las rigideces de los neumticos, se tienen tres tipos de comportamiento direccional: I. Virador neutro (Ks=0): En este caso, el ngulo que se requiere para tomar la curva es el propio de la curva (L/R), por lo que en la curva puede aumentarse la velocidad sin tener que modificar el ngulo de giro. En este caso, siempre ser estable la solucin de la estabilidad direccional. II. Subvirador (Ks>0): En esta situacin, el ngulo necesario para tomar la curva aumenta con el cuadrado de la velocidad longitudinal: cuando se aumenta la velocidad en la curva es necesario girar ms de lo que indica la lnea de giro o el robot girar menos de lo debido. En este caso, tambin es estable la solucin de la estabilidad direccional. III. Sobrevirador (Ks