1

Edgardo Smerieri PLS - AIF Scuola Estiva di Fisica Genova 2009

Segnali periodiciTeorema di Fourier

Filtri

2

Serie di Fourier( )∑

∞

=

ω+ω+=1

000 sin cos)(n

nn tnbtnaatV

Tπ

=ω2

0∫ ω=T

n dttntVT

a0

0 )( cos)(2

∫ ω=T

n dttntVT

b0

0 )( sin)(2

∫=T

dttVT

a0

0 )(1

∑∞

=

ϕ+ω+=1

0 )( sin)(n

nnCC tnAAtV

2

3

Segnali periodici oggetto di misura

1. Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari)2. Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari)3. Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari)4. Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari)5. Segnale a onda quadra generica (dispari)6. Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari)7. Delta di Dirac

4

Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari)

• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari

Vin(t)

−E

+E

T/4T/2

tT3T/4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ω−ω+ω−ω

π= LLtttt

VtV pp

in 7sen 4915sen

2513sen

91sen

4)( 2

∑∞

=

ω++

−π

=0

022 )12sin()12(

1)1(4

)(n

nppin tn

n

VtV

EVpp 2=

3

5

Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari)

∑∞

=

ω++π

=0

0)12sin(12

12)(

n

ppin tn

nV

tV

T−E

E

T/2 t

Vin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω

π= tttt

VtV pp

in 0000 7sin715sin

513sin

31sin

2)(

• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari

EVpp 2=

6

Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari)

∑∞

=

ω++

−π

=0

0)12cos(12

1)1(2

)(n

nppin tn

nV

tV

T/2−E

E

T/4 t

Vin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω−ω+ω−ω

π= tttt

VtV pp

in 0000 7cos715cos

513cos

31cos

2)(

• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “coseno”• Sono presenti solo armoniche dispari

EVpp 2=

4

7

Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari)

∑∞

=

ω++π

+=0

0)12sin(12

122

)(n

ppppin tn

nVV

tV

T

E

T/2 t

Vin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω

π+= tttt

VVtV pppp

in 0000 7sin715sin

513sin

31sin

22

)(

• Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari

EVpp =

8

Segnale a onda quadra generica(dispari)

∑∞

=

ω++π

−+

+=

00

minmaxminmax )12sin(12

1)(22

)(n

in tnn

EEEEtV

minmax EEVpp −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+ω+ω+ω+ω

π+= tttt

VVtV pp

dcin 0000 7sin715sin

513sin

31sin

2)(

2minmax EE

Vdc+

=

• Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche dispari

T

Emax

T/2 t

Vin

Emin

5

9

Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅++−+−

π= tωtωtωtωtω

VtV pp

in 00000 5sin514sin

413sin

312sin

21sin)(

t

Vin(t)

−E

+E

T/2T

• Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante• Sono presenti solo termini in “seno”• Sono presenti solo armoniche pari e dispari

∑∞

=

ω++

−π

=0

0)1sin(1

1)1()(n

nppin tn

nV

tV

EVpp 2=

10

Segnale a delta di Dirac

[ ]⋅⋅⋅+++++= tωtωtωtωtωT

tVin 00000 5cos4cos3cos2coscos2)(

• Sono presenti solo termini in “coseno”• Sono presenti tutte le armoniche pari e dispari

∑+∞

−∞=

−δ=k

in kTttV )()(

Vin

t

∑+∞

=

ω=0

0cos2)(n

in tnT

tV

6

11

Segnale a delta di Dirac

12

Filtri elettronici

FILTROVin Vout

Modifica l’aspetto del segnale d’ingresso agendo sull’ampiezza esulla fase delle sue componenti spettrali

∑∞

=

ϕ+ω+=1

0 )( sin)(n

nnCCin tnAAtV

∑∞

=

ϑ+ω+=1

0 )( sin)(n

nnCCout tnBBtV

Ad esempio con un segnale d’ingresso periodico descritto dalla serie di Fourier:

in uscita si ha:

7

13

I filtri analogiciSi distinguono in base al :

– Tipo di risposta in frequenza (LPF - HPF - BPF – BSF - APF)– Tipo di circuito con cui si realizzano (Sallen Key - Reazione

multipla – etc.)– Tipo di approssimazione (Butterworth - Chebyshev - Bessel

- etc. )– Numero d’ordine del filtro

Possono inoltre essere:

– Attivi o passivi– Dissipativi e non dissipativi

14

Risposta di un filtro LPF ideale

in

out

VV

f0f

Non si può fisicamente realizzare un filtro con una risposta di questo tipo

Approssimazione della risposta

Un discorso analogo si può fare anche per gli altri tipi di filtro

8

15

Approssimazioni Risposta di filtri passa basso

16

Risposta alla Butterworth

per ω = ω0 si ha

nin

out

VV

2

0

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

=

707.02

1≅=

in

out

VV

qualsiasi sia l’ordine n del filtroIn decibel il valore 0.707 corrisponde a – 3 dB

9

17

Il decibel• Indichiamo con Vout e Vin le ampiezze dei segnali• Il loro rapporto può essere espresso in decibel ovvero

Vout/Vin Vout/Vin in dB100 + 40

10 + 201 0

0.1 - 200.01 - 40

in

out

in

out

VV

VV

log20dB

=

18

Risposta di filtri passa basso (in dB)

decadedB20pendenza ⋅−= n

La pendenza asintotica oltre la frequenza di cut-off è data

10

19

Azione di un filtro LPF su alcuni segnali tipici

• In tutti i casi il filtro ha una frequenza di taglio di 4 KHz• Il tipo di risposta del filtro è alla Butterworth• L’ordine del filtro è 4I segnali sono

– Onda quadra (a) a 217 Hz– Onda quadra (b) a 646 Hz– Dente di sega (a) a 490 Hz– Dente di sega (b) a 1302 Hz– Campioni di Sinusoide a 2315 Hz– Campioni di un segnale a 2315 Hz con prima e terza armonica

Filtro LOW PASSVin Vout

20

Onda quadra (a)• Onda quadra a 217 Hz• Fondamentale a 217 Hz – 17a Armonica 3689 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

11

21

Onda quadra (b)• Onda quadra a 646 Hz• Fondamentale a 646 Hz – 5a Armonica 3230 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

22

Dente di sega (a)• Dente di sega a 490 Hz• Fondamentale a 490 Hz – 8a Armonica 3920 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

12

23

Dente di sega (b)• Dente di sega a 1302 Hz• Fondamentale a 1302 Hz – 3a Armonica 3906 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

24

Segnale sinusoidale campionato • Segnale sinusoidale campionato • Fondamentale a 2315 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

13

25

Segnale campionato con 1a e 3a

armonica• Segnale campionato con due componenti di onda quadra : la

fondamentale e la terza armonica• Fondamentale a 2315 Hz – 3a Armonica 6945 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso Uscita

26

Triangolare• Triangolare a 245 Hz• Fondamentale a 245 Hz – 16a Armonica 3920 Hz• Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio

Ingresso

L’uscita com’è ?

14

27

Schema a blocchi del generatore del singolo segnale

Oscillatore

Sinusoidale

Seno

Coseno

Polarità

±Amplificatore al

sommatore

La frequenza delle diverse armoniche è fissa

28

Schema a blocchi del dispositivo per la generazione di segnali periodici

Som

mat

ore

Generatore di segnalesinusoidale a 100 Hz

Generatore di segnalesinusoidale a 200 Hz

Generatore di segnalesinusoidale a 300 Hz

Generatore di segnalesinusoidale a 800 Hz

Generatore di segnalesinusoidale a 900 Hz

Generatore di segnalesinusoidale a 1000 Hz

Ampiezza e polarità

Ampiezza e polarità

Ampiezza e polarità

Ampiezza e polarità

Ampiezza e polarità

Ampiezza e polarità

15

29

Dispositivo per la generazione di segnali periodici basato sul teorema di Fourier

30

Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare

Frequenza

Polarità

Inserimento armonicae tipo armonica

Regolazioneampiezzadel segnale

Punto diprelievo delsegnale perla misuradell’ampiezza

Tipo di segnale

16

31

Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare

Voltmetro in DC

Sonda per la misura dell’ampiezza

Segnale d’uscitaall’oscilloscopio

Punto a cui connettere la sonda

32

Misurazioni

Generatore di segnaliperiodici

tramite somma di componenti di Fourier

FiltroPassaBasso

Oscilloscopio 2o

Multimetro 2

Oscilloscopio 1o

Multimetro 1

17

33

Filtro LPF 2° ordine alla Linkwitz-Riley

È formato da due filtri identici del primo ordine posti in cascataLa frequenza di taglio di ognuno è di 482 Hz Il filtro complessivo è del secondo ordineL’attenuazione alla frequenza di taglio è di 6 dB

34

Risposta in frequenzadel filtro alla Linkwitz-Riley

18

35

Metodologia di misura• Scegliere il tipo di onda• La frequenza della componente fondamentale è 100 Hz ed è prefissata• Il numero massimo di armoniche con cui si può ricostruire il segnale è prefissato

nel numero di 10 (massima frequenza 1000 Hz)• L’ampiezza massima delle singole componenti è 10 V• Individuare il tipo di armoniche presenti nel segnale• Regolare l’ampiezza e la fase della singola armonica con il multimetro 1 (in DC)

posto all’uscita del generatore di segnale• Alla fine attivare tutte le componenti di Fourier• Osservare con l’oscilloscopio 1 il segnale in uscita dal generatore e fare le misure

relative• Costruire il filtro e collegarlo all’uscita del generatore• Osservare il segnale in uscita dal filtro con l’oscilloscopio 2 e fare le misure

relative