CLASE 2

SUCESIONES Y SERIESDE NUMEROS REALES

Claudia Rahmann

SUCESIONES

Una sucesión se puede ver como conjunto ordenado de términos, que cumplen una ley determinada

Formalmente, es una aplicación que representaremos por

nxn

N

nx

Números naturales Números reales

SUCESIONES

Ejemplos:

,1,,

6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,1

11

nnxn

,1,,

36

1,

25

1,

16

1,9

1,4

1,1

,1,,

6

1,

5

1,

4

1,

3

1,

2

1,

1

11

2

22222222

n

nnxn

SUCESIONES

En el conjunto de las sucesiones de números reales se definen las operaciones:

- Adición:

- Multiplicación:

- Multiplicación por escalares:

nnnn yxyx

nnnn yxyx

nn xx

SUMATORIAS

Símbolo de la SUMATORIA: Supóngase dada una cantidad finita de números y consideramos la suma

En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión. Esto se logra mediante el símbolo de suma

llamado sumatoria

,,,, 4321 aaaa

naaaaa 4321

SUMATORIAS

Este símbolo se usa …

El elemento se llama término general de la sumaka

n

n

kk aaaaaa

43211

Límite inferior

Límite superior

Ejemplo de sumatorias I

Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:

es decir

En este caso, es fácil ver que el término general es con lo que la suma (expresada con nuestro

“nuevo” símbolo) es

2222222222 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1

2222222222 10987654321

2kak

38510987654321 222222222210

1

2 k

k

Ejemplo de sumatorias I

Si se desea considerar solamente

Entonces se puede escribir

22222222 109876543

380109876543 2222222210

3

2 k

k

Este es el término que cambia

Ejemplo de sumatorias II

4636111.05

1

4

1

3

1

2

112222

5

22

k k

9375.02

1

2

1

2

1

2

1

2

14321

5

21

k

k

Propiedad

Un ejemplo sería

n

ii

n

ii aa

11

7703852109876543212

22

2222222222

10

1

210

1

2

kk

kk

SERIES

¿Qué es una serie? …. Consiste en encontrar funciones polinómicas que se aproximen (que se parezcan) a una cierta función f(x)…. ¿?

Por ejemplo, esta serie se conoce como binomio de Newton

32

!3

)2()1(

2

)1(11 x

nnnx

nnxnx n

0 !!)(

!1

k

kn

k

x

kn

nx

FACTORIAL

¿Pero que significa el símbolo ! ?

Este símbolo se llamaFACTORIAL

!

4321!4

321!3

21!2

1!1

1!0

SERIES

¿Cómo aplicamos esta fórmula?

• Para el caso n=1

xxx

k

x

kk

x

kn

nx

k

k

k

k

1!1!)11(

1

!0!)01(

1

!!)1(

1

!!)(

!1

10

00

1

k=0 k=1

¿Cuántos términos hay?

SERIES

¿Cómo aplicamos esta fórmula?

• Para el caso n=2

2210

0

2

21!2!)22(

12

!1!)12(

12

!0!)02(

12

!!)2(

121

xxxxx

k

x

kx

k

k

k=0 k=1

k=2

SERIES

¿Cómo aplicamos esta fórmula?

• Para el caso n=3

323210

0

3

331!3!)33(

123

!2!)23(

123

!1!)13(

123

!0!)03(

123

!!)3(

1231

xxxxxxx

k

x

kx

k

k

k=1k=0 k=2 k=3

SERIES

El binomio es para cualquier n real (positivo o negativo)

• Para el caso n = -1

32

321

11

1

!3

)21()11()1(

2

)11()1(11

xxxx

xxx

SERIES

Otro ejemplo de serie

Para n=1

yxnn

yxn

xyx nnnn 21

!2

)1(

!1

yxyxxyx 011

SERIES

Algunas series tienen infinitos ( ) términos, pero convergen a un número finito...

¿Cómo vemos esto?

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

13210

0

j

kk

Infinitos términos Se puede demostrar!

SERIES

Existen muchas series conocidas que se usan en Física.Aquí hay más ejemplos

!7!5!3

)(753

1 sen

!6!4!2

1)cos(642

72.2!4!3!2!1

1 14321

exxx

e x

está en RADIANES

Número e de Euler

SERIES

Una serie muy usada en física es

Esta serie está definida si

0

3211

1

k

kxxxxx

1x

Este símbolo significa MODULO

MODULO

Ejemplos de módulo serían.

55

55

22

22

11

11

MODULO

Para el caso en que

Verifíquenlo en el computador!

1x

)1(1

1x

x