Secretaria de Estado da Educação · 5.12 Construção de Caça-Palavras e Palavras Cruzadas........
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Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação Departamento de Políticas e Programas Educacionais Coordenação Estadual do PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
REFLEXÕES E AÇÕES ACERCA DO USO DE MATERIAL MANIPULÁVEL NO ENSINO DE
NÚMEROS E OPERAÇÕES
PROF.ª PDE: FLÁVIA CHERONI DA SILVA ORIENTADOR: JOÃO CESAR GUIRADO
MARINGÁ – PR
2012
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIDADE DIDÁTICA
FLÁVIA CHERONI DA SILVA
Produção Didático Pedagógica apresentada à
Secretaria de Estado da Educação – SEED,
na disciplina de Matemática, como parte dos
requisitos do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE 2012/2013, em convênio
com a Universidade Estadual de Maringá.
Orientador: Prof. Ms. João Cesar Guirado.
MARINGÁ – PR
2012
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
SUMÁRIO
1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO........................................................................... 3
2 APRESENTAÇÃO........................................................................................... 5
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................... 6
4 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO .................................................... 10
5 MATERIAL DIDÁTICO .................................................................................. 21
5.1 Testes Piagetianos ..................................................................................... 21
5.2 Diagnóstico sobre o Sistema Numérico Decimal ........................................ 24
5.3 Teatro de Fantoches................................................................................... 26
5.4 Jogo do Nunca Dez .................................................................................... 29
5.5 Registrar para Aprender ............................................................................. 31
5.6 Jogo da Decomposição .............................................................................. 32
5.7 Jogo das Parcelas ..................................................................................... 35
5.8 Jogo "Destroca Uma" ................................................................................. 37
5.9 Jogo das Cores .......................................................................................... 39
5.10 Jogo do Número Surpresa ....................................................................... 41
5.11 Dramatizando a Divisão ............................................................................ 43
5.12 Construção de Caça-Palavras e Palavras Cruzadas ................................ 45
5.13 Jogo dos Atributos ................................................................................... 49
5.10 Jogo da Peça Oculta ............................................................................... 51
5.11 Torre de Hanói ........................................................................................ 52
6 REFERÊNCIAS ........................................................................................... 53
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1 FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: Reflexões e ações acerca do uso de material manipulável no ensino
de números e operações.
Autor Flávia Cheroni da Silva
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação
do Projeto e sua
localização
Colégio Estadual Pedro Viriato Parigot de
Souza
Município da escola Marialva
Núcleo Regional de
Educação
Maringá
Professor Orientador João Cesar Guirado
Instituição de Ensino
Superior
UEM
Relação Interdisciplinar Lingua Portuguesa, História e Artes.
Resumo
Esta produção didático-pedagógica prevê uma sequencia de atividades próprias para a Sala de Apoio Pedagógico (SAA) de Matemática. Os alunos que frequentam o programa apresentam problemas no entendimento do sistema de numeração decimal e, consequentemente, nas operações fundamentais. Os materiais manipuláveis contribuem, positivamente, favorecendo a aprendizagem destes conteúdos. Trata-se de uma forma de iniciar o estudo dos conceitos, que a princípio assume caráter manipulativo, de auxílio à compreensão e, gradativamente, vai se transformando em
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2 APRESENTAÇÃO
A produção desta Unidade Didática é fruto dos estudos desenvolvidos pela
autora enquanto participante do Programa de Desenvolvimento Educacional –
PDE/ 2012, que se constitui em um dos programas de formação continuada
ofertados pela Secretaria de Estado e Educação do Estado do Paraná.
Esta Unidade Didática é destinada a professores do ensino fundamental do
Núcleo Regional de Educação de Maringá, em especial àqueles que atuam com
alunos do 6º ano, em Sala de Apoio à Aprendizagem de Matemática e que
abstrações. Vários autores apontam o material dourado como um ótimo recurso didático para resolver dificuldades de aprendizagem referentes ao sistema de numeração decimal e as operações fundamentais. A intenção não é criar panaceia, mas mostrar que o material manipulável pode motivar e, consequentemente, estimular a aprendizagem dos conteúdos matemáticos, revendo as dificuldades de aprendizagem e tornando-as um caminho alternativo para superação do fracasso escolar. Estudos da neurociência mostram que os estados mentais são provenientes de padrões de atividade neural, então a aprendizagem é alcançada através da estimulação das conexões neurais, podendo ser fortalecida ou não, dependendo da qualidade da intervenção pedagógica.
Palavras-chave (3 a 5
palavras)
Materiais manipuláveis; Sistema Numérico
Decimal; Operações fundamentais.
Formato do Material
Didático
Unidade Didática
Público Alvo
Professores do Núcleo Regional de Maringá
que atuam na Sala de Apoio Pedagógico de
Matemática
5
pretendem desenvolver os conteúdos a partir da manipulação de materiais. Dessa
forma, alguns materiais serão estudados do ponto de vista pedagógico,
oportunidade em que serão comentados alguns problemas/vícios de linguagem,
bem como de representação.
A proposta baseia-se em um rol de sugestões a serem compartilhadas com
os professores interessados, a partir da implementação do trabalho por meio de
curso de extensão, oportunidade em que os encaminhamentos metodológicos
serão amplamente discutidos, a fim de que a aprendizagem de conceitos se
efetive.
Inicialmente, será apresentada uma fundamentação teórica, a fim de
subsidiar o professor do aparato conceitual e metodológico relativo aos conceitos
abordados, que se constituem imprescindíveis para o real aprendizado da
matemática.
Na sequência, serão apresentadas algumas atividades, que visam
desenvolver, nos alunos, as noções e conceitos matemáticos relativos ao Sistema
de Numeração Decimal e as Operações Fundamentais, procurando a melhor
forma de motivá-los aos estudos, tendo em vista que a clientela de Salas de
Apoio apresenta, em geral, acentuada dificuldade na compreensão de tais
conteúdos.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A falta de interesse, a desmotivação, o descaso com a escola, a
aprendizagem fragmentada, as dificuldades e a falta de prerrequisitos de uma
série para a outra, tem sido algumas das causas de preocupação de
pesquisadores da Educação Matemática. Há necessidade de reunir os elementos
da didática de forma mais estratégica e mais metodológica para amenizar o
problema da falta de entusiasmo pedagógico que leva ao fracasso escolar. Os
transtornos de atenção estão cada vez mais frequentes nas escolas e os alunos
estão cada vez menos predispostos a estudar, a ir para a escola para aprender.
Essa falta de atenção tem comprometido o processo de ensino e aprendizagem,
em consonância com a falta de estratégias inovadoras e de recursos didáticos
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significativos que motivem e deem significado concreto ao que se está ensinando.
De acordo com Moran:
Um dos grandes desafios para o educador é ajudar a tornar a informação significativa, a escolher as informações verdadeiramente importantes entre tantas possibilidades, a compreendê-las de forma cada vez mais abrangente e profunda e a torná-las parte do nosso referencial (MORAN, 2012, p.23).
A Matemática tem sido considerada a disciplina que mais reprova alunos.
As avaliações externas também mostram índices alarmantes quanto à
aprendizagem, interpretação e aplicação de conceitos matemáticos. Diante dessa
premissa, é importante ter um olhar mais atento para este problema e tentar
buscar soluções que colaborem para uma escola pública de qualidade. Há uma
série de fatores que sustentam esta problemática, inclusive o que mostra que o
progressivo avanço da ciência também interfere diretamente na escola, pois a
compreensão do mundo vem assumindo caráter globalizante e o saber tem
transformado a informação em complexidade. Vivemos na sociedade do
conhecimento e a expansão rápida das informações, compromete a capacidade
de abrangência. Nesse sentido, os conteúdos, como produto social são
abrangentes e complexos. Dessa forma, a matemática também é complexa, é
abstrata e os entes matemáticos são apenas ideias. À luz desse fato, se
desenvolvem as pesquisas na área da Educação Matemática, que tentam tornar o
ensino desta disciplina acessível a todos.
A aprendizagem matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios (Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná, 2008, p.45).
Numa perspectiva dialética, na tentativa de superar as pedagogias
tradicionais, há necessidade que a escola busque a sua identidade, garantindo o
respeito pela interculturalidade e o reconhecimento de que as relações sociais
interconectadas favorecem a inovação educacional.
Partindo dessas premissas, articuladas à necessidade, de pensar em
encaminhamentos metodológicos significativos, que superem as defasagens
pedagógicas diagnosticadas, na vivência escolar, surge a real necessidade de
estudar e entender os problemas decorrentes do não entendimento do Sistema de
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Numeração Decimal (SND), que é a base de toda aprendizagem matemática e
que está estreitamente ligada na dificuldade em usar os algoritmos e resolver
situações problema relacionadas às operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão. Lorenzato (2009) aponta o material dourado1 como um
material didático adequado para resolver essa dificuldade relacionada ao SND e
às operações fundamentais. Da mesma forma, Toledo (1997) afirma que as
crianças que não sabem resolver adequadamente os algoritmos, não entenderam
as regras do SND.
Com base nesses dados, pretende-se, com este trabalho propor uma
sequência de aprendizagem deste conteúdo a fim de estimular áreas cerebrais e
concretizar conceitos matemáticos. Nesse sentido, o uso de materiais
manipuláveis favorece e motiva a estruturação do pensamento e,
consequentemente, encaminha à abstração. Lorenzato faz considerações
importantes sobre essa aprendizagem:
Com o objetivo de proporcionar um ensino partindo do momento em que o aluno está, precisamos considerar os pré-requisitos cognitivos matemáticos referentes ao assunto a ser aprendido pelo aluno [...]. Afinal, a matemática é um corpo de conhecimentos ordenados logicamente (LORENZATO, 2006, p.20).
No bojo destas discussões, há uma crescente preocupação com o
processo de ensino e aprendizagem, principalmente com a formação do
professor, que traz consigo uma excelência conteudista tradicional que está
engendrada de tal forma que impede ou limita a busca de metodologias
diversificadas para o ato de aprender. Ter coragem é a primeira postura para a
mudança do quadro atual. No entanto, faltam capacitações que supram essas
necessidades, encorajem, quebrem paradigmas e promovam a mudança de
postura do paradoxo de ensinar a não ensinar. Sócrates e Aristóteles já diziam
que “o conhecimento está na humildade e não na arrogância”. Conforme Damázio
(2010), no processo educativo, saber usar diferentes recursos didáticos, faz parte
de um processo que agrega tarefas docentes intencionais.
A Secretaria de Estado da Educação, comungando com esta
problemática e na tentativa de superar este obstáculo pedagógico, criou o
programa “Sala de Apoio à Aprendizagem”, ofertado para as disciplinas de
1 Recurso didático matemático, conhecido como material de base dez, criado pela médica e educadora
italiana Maria Montessori, que nasceu em 1870 e faleceu em 1952.
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Matemática e de Língua Portuguesa. Porém, pela experiência própria e pelos
relatos de professores que atuam nas SAA, esse tem sido considerado um ótimo
programa e atende às necessidades da escola, mas está faltando apoio aos
professores que trabalham com estes alunos, no sentido de ajudá-los a
compreender melhor os objetivos específicos deste programa. Há necessidade de
uma real conscientização sobre a ação docente, e que todo processo de
aprendizagem está calcado no desenvolvimento mental, onde cada aluno constrói
sua rota sináptica, que deve ser estimulada por diferentes registros e
representações de cada conteúdo. Para Duval (2011) “o ensino da matemática
lembra brutalmente aos professores que a distinção entre os objetos matemáticos
e suas múltiplas representações constitui uma das principais dificuldades de
compreensão na aprendizagem”.
São os estímulos bem planejados que desencadeiam a riqueza da
plasticidade neural, pois o que torna uma pessoa mais capaz não é a quantidade
de neurônios que ela nasce e sim as oportunidades de sinapses que ela realiza,
nos diversos e frequentes estímulos de aprendizagem. A política da SAA precisa
ser acompanhada de um esforço sistemático que ajude o professor a repensar
sua prática pedagógica, no sentido de traçar metas para despertar no aluno o
desejo de aprender e, dessa forma, abrir os canais neurais para que a
assimilação aconteça. É nesse sentido que Duval (2011) afirma que a natureza
do trabalho matemático tem cunho cognitivo e metodológico.
O foco deste programa deve ser o de resgatar, no educando, conceitos
que se perderam no decorrer do processo de ensino aprendizagem, em
detrimento da dificuldade diagnosticada que é apenas um sintoma de que algo
errado aconteceu anteriormente e precisa ser corrigido. As lacunas existentes se
estabelecem em dúvidas, que se desencadeiam em dificuldade de aprendizagem.
As estratégias devem evidenciar planejamento e precisão, pois é muito mais fácil
ensinar da forma correta no início, do que desfazer todo um circuito de
informações e construir um novo. Contudo, nesta fase da vida, em que se
encontram os pré-adolescentes que frequentam a SAA, é possível (re)modelar a
aprendizagem, em virtude de possibilidade maior de plasticidade neural. Após
esta faixa etária, quando os hormônios da adolescência aparecem, esta
possibilidade de sinapses fica comprometida. O trabalho com menos alunos
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(atendimento é para, no máximo, 15 alunos) permite o atendimento
individualizado. Daí a necessidade de o educador, consciente de seu papel de
interventor, e responsável pela mediação da informação, buscar estruturar o
ensino de modo que os alunos possam construir adequadamente os
conhecimentos a partir de suas habilidades mentais. Toda aprendizagem tem
início na motivação e se consolida com o sono, especificamente o sono REM. De
acordo com Moran:
Aprendemos melhor quando vivenciamos, experimentamos, sentimos. Aprendemos quando relacionamos, estabelecemos vínculos, laços, entre o que estava solto, caótico, disperso, integrando-o em um novo contexto, dando-lhe significado, encontrando um novo sentido (MORAN, 2012, p.23).
Assim sendo, discutir e estudar o uso de materiais manipuláveis como uma
forma de registro de representação, não única, mas relevante, é colaborar para
que as representações preencham funções cognitivas que auxiliam na
compreensão dos entes matemáticos.
Duval apresenta contribuições para o ensino da matemática, pois aponta a
restrição de se usar um único registro para representar um mesmo objeto
matemático e colabora com esta sequência didática, que entende que os
materiais manipuláveis possibilitam o desenvolvimento geral das capacidades de
raciocínio, de análise e de visualização.
Nesse sentido, trabalhar este assunto e propor uma sequência didática do
conteúdo de maior queixa de aprendizado, com os professores da SAA do Núcleo
Regional de Maringá, é falar de diferentes tipos de estímulos, que geram
sinapses, que evoluem para aprendizagem e que contribuem na qualidade de
ensino do Estado do Paraná. Concomitantemente, potencializa a formação
continuada de professores, disseminando experiências que permitem a superação
do fracasso escolar.
4 ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS E ALGUMAS REFLEXÕES
CONCEITUAIS
As atividades propostas nesta unidade didática, vem contemplar uma
necessidade vivenciada pelos professores de 6.˚ ano do Ensino Fundamental e,
mais especificamente, os que trabalham com SAA de matemática. A maior queixa
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é que os alunos chegam no 6.˚ ano com muitas dificuldades nas operações
fundamentais. Este fato desencadeia uma discussão que leva a crer que existem
lacunas no entendimento do Sistema de Numeração Decimal e, ainda, observa-se
que nestas salas os alunos podem ter defasagens que antecedem a
compreensão do SND. Pesquisas indicam que podem existir problemas de ordem
primária, originários da falta de estímulos relacionados à estrutura da ação
mental. Por premissas piagetianas, essa estrutura é verificada por testes. Nesse
sentido, iniciar as atividades desta unidade didática, com o que Piaget chama de
provas piagetianas, é fazer uma tentativa de resgate a estes estímulos, é buscar
alternativas para defasagens que interferem no entendimento das operações
fundamentais. De acordo com os pressupostos piagetianos, a criança passa por
estágios de desenvolvimento cognitivo e muitas crianças não compreendem
alguns conteúdos porque não conseguem desfazer em pensamento alguma ação
realizada concretamente. E a situação é ainda mais agravante quando se ensina
um conteúdo que é abstrato demais, sem recursos concretos. Dessa forma, para
diagnosticar problemas ocorridos nos estágios pré-operatório e de operações
concretas, essa teoria ressalta a importância de perceber a defasagem de
estímulos, na tentativa de compreender o processo mental da criança e fazer as
intervenções necessárias e pontuais.
As crianças que frequentam a SAA apresentam dificuldades de
aprendizagem matemática, que apresentam urgência de superação. Caso
contrário, esta dificuldade se perde no meio de tantas outras que vão surgindo no
decorrer das séries, todas advindas da não compreensão do SND. Para isso, há
necessidade de metodologias que atendam tais defasagens e motivem os alunos
ao entendimento. É neste cenário que se justifica a utilização de materiais
manipuláveis, para estimular e dar sentido ao que se está aprendendo.
Toda ação parte do princípio de que o homem é quem criou o SND
existente. Trabalhar com o Sistema de Numeração Decimal (SND) implica em
conhecer não apenas o que o caracteriza, mas saber que na história da
matemática muitos outros sistemas foram utilizados, pois admite-se que a
quantidade de sistemas de numeração antes da era cristã era a mesma que a
quantidade de linguagens escritas. No entanto, o SND não só possibilita uma
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maneira simples e concisa de registrar números, mas traz em sua própria notação
a facilidade na realização dos cálculos.
O SND surgiu a partir de nove símbolos criados pelos indianos, hoje
representados por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Contudo, eles tinham problemas para
representar um signo que ocupasse o lugar de uma “casa” vazia. Depois de
duzentos anos, no século X, com a ajuda dos árabes, que passaram a utilizar a
numeração indiana, é que descobriram o sistema decimal posicional, conhecido
até hoje como sistema de numeração indo-arábico. É este sistema, cheio de
regras que necessita de maior cuidado para ser ensinado, para que seja
compreendido pelas crianças, na escola.
A ideia é utilizar o Material Dourado (MD), criado por Maria Montessori,
uma médica e educadora italiana que se preocupava com o processo de ensino e
aprendizagem, principalmente de crianças com necessidades especiais. Segundo
Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro
de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com
experiências e materiais. Esta é a descrição do primeiro material dourado, pelas
palavras de Maria Montessori:
Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do excelente material denominado material das contas. As unidades são representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida 10 vezes em dez outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o cubo de 10", isto é, 1000. Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa, puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal entusiasmo pelo trabalho com os números, particularmente com o sistema decimal, que se pôde afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes. As crianças foram compondo números até 1000. O desenvolvimento ulterior foi maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que fizeram as quatro operações com números de milhares de unidades (Disponível em: <www.educar.sc.usp.br/matemática/mod2.htm>. Acesso em: 06 nov. 2012).
Essas contas douradas acabaram se transformando neste material em
madeira que hoje é conhecido e comercializado por Material Dourado.
Ele tem a seguinte representação:
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Cubo Placa Barra Cubinho
1 milhar ou 1 centena ou 1 dezena 1 unidade
10 centenas ou 10 dezenas ou 10 unidades
100 dezenas ou 100 unidades
1000 unidades
Conforme a ilustração, observa-se a semelhança com o SND, que funciona
com agrupamentos de dez, ou seja, a cada dez, troca-se pela “casa” posicional,
imediatamente superior. Esse número dez é chamado base do sistema. É
posicional, isto é, o valor de um algarismo é determinado pela posição que ocupa
no numeral.
Para o sucesso da sua utilização, e de acordo com experiências de sala de
aula, sugere-se um modelo de ábaco que facilita o encaminhamento das
atividades com este material manipulável. Para isso, é necessário construir um
ábaco pedagógico feito com placa retangular de metal e material dourado com
imã. É um recurso excelente para o trabalho em sala de aula, pois as peças ficam
visíveis e as atividades mais compreensíveis. Eis o MD preparado com imã em
uma das faces e o Ábaco Pedagógico de Metal de dimensões 60cm x 50cm. Os
contornos são de durex colorido preto e o metal é de calha, por ser de baixo
custo. Para evitar o transporte de uma escola para outra, faz-se necessário ter
uma em cada local de trabalho e quem sabe, uma em cada sala de apoio à
aprendizagem de matemática. O imã colado atrás das peças do material dourado
são de folha imantada auto colante comprada em grandes livrarias.
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Figura 1: Material Dourado com imã (Fonte Própria)
Figura 2: Ábaco Pedagógico de Metal (Fonte Própria)
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Também é um encaminhamento metodológico necessário para esta prática, a
construção, pelo aluno, de um ábaco feito com sulfite, para que possam
manusear as peças e organizá-las melhor.
Com o sulfite na horizontal, dobrar ao meio, obtendo um eixo de simetria.
Em seguida, dobrar novamente, dividindo a folha em quatro partes iguais.
Usar canetinhas e régua para que o ábaco fique com a seguinte
configuração:
CUBO
Unidade de milhar
PLACA
Centena
BARRA
Dezena
CUBINHO
Unidade
No entanto, esse não é o único, pois existem outros tipos de ábaco, entre
eles o ábaco aberto que também é indicado para ensinar o SND.
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É válido e oportuno lembrar que existe uma sequência didática que valoriza
o trabalho com o SND e materiais manipuláveis. Após utilização do material
dourado, é necessário oportunizar maiores abstrações pelas crianças, mostrando
no ábaco aberto que os números não são diferentes, porém dependendo do lugar
em que está, assume valores distintos. É importante ressaltar que para o trabalho
com ábaco aberto, os canudinhos ou varetas devem ser da mesma cor. Não faz
sentido usar cores diferentes, uma vez que o sistema é posicional e não é a cor
que define a ordem na representação numérica.
O ábaco aberto pode ser confeccionado pelo professor, com baixo custo,
quando se utiliza caixa de sapato, cilindros de papelão (obtidos de rolos de papel
higiênico, papel toalha e outros) e palitos de churrasco ou canudinhos de mesma
cor.
Veja um exemplo:
Figura 3: Ábaco aberto (Fonte Própria)
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Figura 4: Ábaco Aberto com a utilização de varetas de mesma cor (Fonte Própria)
No decorrer desta sequência didática, outros materiais manipuláveis serão
utilizados, como forma de exercitar o raciocínio lógico. Na dimensão psicológica
do conhecimento matemático, estudado por Piaget, este é o conhecimento lógico-
matemático que aparece juntamente com o conhecimento físico e o social. É
importante conhecer a natureza do conhecimento matemático, para conseguir
usar estratégias metodológicas que possam auxiliar o processo de assimilação.
Dentre muitos materiais desta natureza, destacam-se a Torre de Hanói e os
Blocos Lógicos de Dienes.
A Torre de Hanói é um quebra-cabeça criado por Édouard Lucas,
composto por uma base com três pinos. Em um desses pinos são dispostos
discos sobrepostos em ordem crescente de diâmetro. Sua origem está associada
a uma lenda para construir o jogo das Torres de Hanói, em 1883, e seu nome foi
inspirado na torre símbolo da cidade de Hanói, no Vietnã. De acordo com a
Wikipédia:
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Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo Hindu, situado no centro do universo. Diz-se que Fuças supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Fuças ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Dessa forma criaria-se um novo mundo, o mundo de Hanói. (Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C3%B3i> Acesso em: 16
nov. 2012).
Trata-se de um desafio que consiste em passar todos os discos de um pino
para outro, de forma que não saia da ordem crescente de diâmetro. O número de
discos pode variar, dependendo da idade e do grau de habilidade com o quebra-
cabeça. É um recurso didático usado para desenvolver o raciocínio lógico e para
otimizar a resolução de problemas. Dessa forma, pode contribuir com a prática
pedagógica na SAA, proporcionando uma ação docente lúdica, atraente,
motivadora e com objetivos educacionais voltados para a atenção, concentração,
iniciativa, tomada de decisões, visão estratégica, entre outras ações necessárias
para a formação do educando, enquanto ser participativo e atuante na realidade
em que está inserido.
Segundo estudos realizados por Shine (Disponível em:
<http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/hanoi.pdf>
Acesso em: 16 nov. 2012), para solucionar um quebra-cabeça contendo sessenta
e quatro discos, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.
Para entender a lógica da Torre de Hanói é necessário analisar a construção de diferentes níveis da torre com o número mínimo de movimentos, tendo o nível anterior já formado, sendo que esses níveis são o número de peças desintegradas da torre original que irão formar outra torre com os menores discos. Para mover o primeiro disco da torre original, 1 movimento é gasto. Para mover o segundo da torre original, sendo que o primeiro já foi movido e será construída uma torre com os 2 menores discos, são gastos 2 movimentos. Para deslocar o terceiro disco formando nova torre com os três menores discos, tendo a torre com os dois menores já formada, são gastos 4 movimentos. Assim se sucede com os próximos discos até que o enésimo disco (o último) seja deslocado compondo uma torre com os outros discos tendo uma torre com o penúltimo disco e os demais juntos já formada. A sucessão formada pela soma dos movimentos é uma sucessão (1, 2, 4, 8, 2
n)
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C3%B3i>.
Acesso em: 16 nov. 2012).
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Figura 5: Torre de Hanói em madeira (Fonte Própria)
Os Blocos Lógicos foram divulgados pelo professor Zoltan Paul Dienes. Ele
defende o uso de materiais manipuláveis para auxiliar no processo de abstração.
Toledo & Toledo (1997) afirmam que “na maioria das vezes, os blocos lógicos não
são aproveitados em toda a sua potencialidade”. Em geral, são usados apenas
por professores da Educação Infantil, no entanto é um excelente recurso didático
para trabalhar o raciocínio lógico em qualquer série. Sua prática constante
melhora a atenção, a concentração, a agilidade, a discriminação visual e auditiva,
a percepção, entre outras atitudes pedagógicas necessárias à assimilação dos
conteúdos e ao bom desempenho escolar.
São coleções de peças, geralmente em madeira, com quatro atributos
diferentes: cor, forma, tamanho e espessura. Esses atributos variam em três
cores (vermelho, amarelo e azul), em quatro formas (quadrada, retangular,
triangular, circular), em dois tamanhos (grande e pequena) e em duas espessuras
(grossa e fina). Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de peças
é 3 x 4 x 2 x 2 = 48 peças.
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Figura 6: Blocos Lógicos (Fonte Própria)
Figura 7: Fichas dos atributos dos Blocos Lógicos (Fonte Própria)
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Para a realização de atividades com blocos lógicos, é necessária a
confecção de fichas ou dados contemplando os atributos do material. Em
praticamente todas as atividades, o encaminhamento é realizado por meio deste
material de apoio.
As abordagens metodológicas utilizadas estão de acordo com as novas
tendências para o ensino da matemática e superam as estratégias tradicionais.
Os jogos propiciam o desenvolvimento da autonomia, da linguagem, da
criatividade, da interação social, além de outras habilidades. Jogar desperta o
interesse, pois não é uma imposição, é um desejo. No que se refere ao
desenvolvimento cognitivo, os jogos de regras são ações que levam à resolução
de problemas. Articulado aos jogos, estão os materiais manipuláveis
(“concretos”), que facilitam a compreensão dos conteúdos envolvidos nos jogos,
neste caso, o SND e as Operações Fundamentais. São estratégias que facilitam a
ação pedagógica, estimulam as conjecturas e levam à abstração. O professor
precisa ter o cuidado de proporcionar a passagem das ações concretas para a
abstração dos conceitos. Essa ação docente precisa ser cuidadosamente
planejada e não pode deixar de ser efetivada. Os jogos e os materiais
manipuláveis, por si mesmos, colaboram para que este processo aconteça com
naturalidade.
3 MATERIAL DIDÁTICO
Atividade 1 – Testes Piagetianos
Na teoria de Piaget todo conhecimento é físico, social ou lógico-
matemático. Esses conhecimentos são de grande importância na construção da
inteligência da criança. Geralmente, o diagnóstico desses conhecimentos são
feitos por meio de jogos pedagógicos ou atividades específicas para este fim. Os
testes piagetianos são atividades deste tipo e, embora mais utilizados por
psicopedagogos, também podem fazer parte do rol de atividades diagnósticas
planejadas pelos professores. Trata-se de estímulos necessários à compreensão
dos conteúdos matemáticos e que, muitas vezes, passam despercebidos e
deixam de ser explorados e interiorizados pelas crianças. Problemas de
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aprendizagem matemática estão relacionados, na maioria das vezes, à falta de
estímulos. As crianças que frequentam as SAA, em geral, não apresentam
sucesso quando submetidas a esses testes.
Dentre as várias provas piagetinas, existem três que são imprescindíveis
para a assimilação dos conteúdos matemáticos. São elas:
A) Conservação de quantidade
O professor coloca algumas fichas circulares, feitas em EVA
sobre uma mesa, tendo o cuidado de não usar quantidades
perceptuais. Neste caso, pode utilizar, por exemplo, oito fichas
vermelhas:
Em seguida, coloca sobre a mesa uma quantidade de fichas,
maior que a utilizada pelo professor, e pede para que seja
organizada da mesma maneira.
Aguarda, sem intervenções, a atitude da criança, que pode ser:
Ou:
22
As crianças que conservam quantidade estão em um nível mais elevado de
abstração. As fichas são concretas e observáveis (conhecimento físico), mas o
número oito (conhecimento lógico matemático) não é concreto e não é
observável. Uma criança que frequenta a SAA e não conserva quantidade, não
conseguirá entender o SND, mesmo com recursos diversificados e manipuláveis.
B) Inclusão de classe
Escolher uma categoria de objetos, neste caso, formas
geométricas, e construir as suas representações em EVA,
usando novamente quantidades não perceptuais. Dispor em
fileiras:
Fazer a seguinte pergunta: Tem mais triângulos ou formas
geométricas?
Muitas crianças que frequentam a SAA não conseguirão responder que há
mais formas geométricas do que triângulos, porque ficam presas à maior
quantidade de figuras de mesma forma, neste caso, os triângulos e, desta forma,
não conseguem incluir no conjunto de figuras, os retângulos. Não consideram a
parte e o todo ao mesmo tempo, então não conseguem incluir classes.
Alunos com esta dificuldade, não conseguem entender as regras do SND,
que se fundamentam em agrupamentos e trocas.
23
C) Conservação de massa
Com massinha de modelar, construir duas representações de
cilindro de mesmo volume.
Pedir para que a criança verifique se estão iguais, ou seja, se
têm a mesma quantidade de massinha. Somente prosseguir com
o teste, após a criança confirmar que em ambos os cilindros há a
mesma quantidade de massinha, mesmo que para isso a criança
tenha que retirar massinha de um deles.
Mudar a forma de uma das representações de cilindro para
esfera.
Perguntar qual das duas formas tem mais massinha.
Para Piaget, na idade em que estão as crianças que frequentam a SAA (11
anos), essas já deveriam ter assimilado este conceito de conservação de massa,
no entanto, muitas crianças dizem que tem mais massinha no cilindro, porque é
mais comprido, enquanto outras dizem que tem mais massinha na esfera, porque
é mais “gordinha”.
Esses são alguns estímulos, necessários de se trabalhar e muito
importante de se diagnosticar, pois muitas vezes a dificuldade em resolver uma
24
operação matemática, é apenas um sintoma. A raiz do problema pode estar em
noções primárias, que muitas vezes não são sequer imaginadas pelo professor.
Realizado este diagnóstico superficial, caso sejam constatadas muitas
dificuldades, pode-se encaminhar o aluno para avaliação na Sala de Recursos
Multifuncionais, que é outro programa existente na escola, mas que trabalha com
os distúrbios de aprendizagem.
Atividade 2 – Diagnóstico sobre o SND
A pesquisadora Constance Kamii, da Faculdade de Educação da
Universidade do Alabama, discute questões relacionadas à compreensão do
SND, às quais associamos com a forma de registrar quantidades.
Esta atividade é uma avaliação diagnóstica para verificação do
entendimento das regras do SND.
A seguir apresentamos o desenvolvimento da atividade, a qual foi inspirada
em sugestão apresentada por KAMII (2002). A atividade será realizada,
individualmente, pelos alunos, sem interferência do professor.
Desenhe uma coleção com dezesseis objetos.
Escreva o número que representa a quantidade de objetos
desenhados.
No desenho feito, grife o(s) objeto(s) que representa(m) o 1 do
número 16.
Circule o(s) objeto(s) que representa(m) o 6 do número 16.
25
Espera-se que os alunos apresentem, por exemplo, a seguinte
configuração para o primeiro item e que respondam que a quantidade de objetos
é 16 (segundo item).
Em relação ao segundo e ao terceiro itens, observa-se que, quando da
aplicação dessa atividade, inclusive para muitos adultos, as respostas mais
comuns são as retratadas na configuração a seguir:
Note que aqueles que não dominam o SND respondem que o 1 do
número 16 é o primeiro elemento do conjunto e o 6 do número 16 é o sexto
elemento.
Em turmas em que tal situação ocorre, é salutar que o professor retome a
construção do SND, evitando assim que tal erro não volte a ocorrer.
26
Atividade 3 – Teatro de Fantoches
Esta atividade é destinada ao conhecimento histórico do sistema de
numeração decimal e do material dourado. O objetivo é conhecer a história de
maneira lúdica e atrativa. Nada muito aprofundado, apenas o suficiente para a
idade em que os alunos se encontram. Para isso, o professor da turma (narrador)
utilizará quatro fantoches (Mariana, mãe de Mariana, professora de Mariana e
Carlinhos), que dialogam, conforme sugestão a seguir:
Narrador: Mariana chega da escola muito feliz e conta para sua mãe tudo o que
aprendeu.
Mariana: - Mamãe, nós estamos estudando sobre o sistema de numeração
decimal! Você sabia que antigamente os homens não sabiam escrever números e
também não sabiam dizer quantos objetos ou animais eles possuíam, quando a
quantidade era muito grande? Minha professora falou que para a contagem eles,
provavelmente, utilizavam pedrinhas. Para isso, a cada ovelha que saía para
pastar, o dono colocava uma pedrinha dentro de um saquinho. No fim do dia, a
cada ovelha que entrava no abrigo, ele retirava do saquinho, uma pedrinha.
Dessa forma, ele coseguia saber se todas as ovelhas retornaram ao abrigo ou se
ainda havia alguma fora.
Narrador: A mãe encantada diz:
Mãe de Mariana: - Que bom minha filha! Vejo que você é uma aluna atenciosa,
porque aprendeu muita coisa referente à história dos números.
Narrador: E Mariana continua:
Mariana: - Ah, e eu também aprendi que quem criou este nosso conjunto de
símbolos e regras, que são os números que usamos hoje para contar e fazer os
cálculos, foram os indianos, há mais de 1 400 anos.
Narrador: E a mãe de Mariana acrescenta:
Mãe de Mariana: - Agora eu vou te ensinar uma coisa, minha filha! Pedrinha em
latim quer dizer cálculo e até hoje usamos essa palavra com significado de pedra.
Por exemplo, quando dizemos que alguém está com cálculo renal, isso quer dizer
que ela está com pedra no rim.
27
Narrador: Mariana sorri e diz empolgada:
Mariana: - Nossa! Que legal mamãe! Amanhã vou contar isso para minha
professora.
Narrador: No outro dia, Mariana vai para a escola entusiasmada para contar o que
sua mãe falou sobre o cálculo renal. Chegando lá contou para sua professora
Marta que adorou a história e contou para as outras crianças. A professora
continuou a aula falando:
Professora de Mariana: - Como estamos estudando o Sistema de Numeração
Decimal, vamos usar o Material Dourado (e o exibiu aos alunos).
Mariana: - Professora, eu acho que a senhora não conhece as cores, pois esse
material não tem nada de dourado!
Narrador: Mas a professora foi logo explicando:
Professora de Mariana: - Crianças! Este material foi criado por uma médica e
educadora italiana chamada Maria Montessori. Ela se preocupava muito com a
aprendizagem das crianças na escola, principalmente aqueles com necessidades
especiais.
Narrador: Um grito no fundo da sala revela uma inquietação de Carlinhos.
Carlinhos: - Professora, o que é necessidade especial?
Narrador: E a professora atenciosamente responde:
Professora de Mariana: - Muito boa sua pergunta Carlinhos! Isso quer dizer que
uma determinada criança pode precisar de mais ajuda do que outra, de um
atendimento especial e diferenciado, por causa de alguma limitação. São as
pessoas portadoras de deficiência física ou intelectual, mas que hoje em dia não
são chamadas de deficientes e sim pessoas com necessidades especiais.
Narrador: E continua a professora:
Professora de Mariana: - Então...essa médica fez o Material Dourado para
trabalhar com crianças com necessidades especiais. Quando ela o criou, ele era
feito de contas douradas, daí o seu nome. Observando que o material deu certo
para o ensino do sistema de numeração decimal, as escolas regulares passaram
a utilizá-lo e daí passou a ser industrializado em madeira.
Carlinhos: - O que isso tem a ver com os números, professora?
Narrador: E a professora explica:
28
Professora de Mariana: - Tem tudo a ver Carlinhos, pois este material apresenta
as peças de acordo com as regras do sistema de numeração decimal. Por
exemplo, o cubinho representa a unidade; a barrinha representa a dezena; a
placa representa a centena e o cubo grande representa a unidade de milhar. Que
tal vocês brincarem um pouquinho com o material dourado para perceber e sentir
as propriedades?
Narrador: Neste momento cria-se um espaço para o jogo livre e os personagens
do teatro se despedem.
Figura 8: Sugestão de "casinha de fantoches" para a atividade 3 (Fonte Própria)
29
Atividade 4 – Jogo do Nunca Dez
Nesta atividade, a criança consegue entender as regras do sistema de
numeração decimal e também o famoso “vai um” no algoritmo da adição. Trata-se
de um jogo, que instiga a competição saudável e torna a aula atraente e lúdica. O
nome é dado, exatamente para atender uma regra do sistema numérico decimal –
nunca pode ficar dez em uma casa posicional. Para a realização desta atividade,
pode-se utilizar o ábaco pedagógico de metal com as peças de imã, o ábaco de
sulfite, o material dourado e dados.
Compõe-se equipes de três alunos, cada um com seu ábaco de
sulfite, peças do material dourado e um dado convencional.
Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira
para si tantos cubinhos quanto for a quantidade registrada na face
superior do dado e o(s) coloca no ábaco de papel.
Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, deve trocá-los por
uma barra e joga novamente.
Da mesma maneira, quando tiver 10 barrinhas, deve trocá-las por
uma placa e então jogar novamente.
O jogo termina, de acordo com o combinado feito entre professor e
aluno, que normalmente depende do tempo que é dedicado à
atividade. Um exemplo é dizer: “Vai ganhar o jogo, o aluno da
equipe que conseguir fazer as trocas e ter duas placas (duas
centenas) em seu ábaco”.
Pode-se variar o jogo, usando dois ou mais dados, para estimular o
cálculo mental e, neste caso, elimina-se a regra de que após a troca
joga-se novamente.
30
Figura 9: Alunos brincando com o Jogo do Nunca Dez (Fonte Própria)
Após término do jogo, é oportuno aproveitar o resultado de cada aluno,
para diferentes atividades. Entre elas: ordem crescente e decrescente de todos os
resultados obtidos, escala ascendente e descendente desses números, situações-
problema e outros conceitos. Deve-se insistir com o jogo até que não se perceba
mais a dificuldade de compreensão quanto às regras do SND. A princípio, são
utilizados termos informais como cubinho, barra, placa e, posteriormente, esses
termos são substituídos por unidade, dezena, centena, unidade de milhar,
respectivamente.
Cabe ressaltar que ao fazer a trocar, o aluno deve interiorizar dez peças de
uma ordem corresponde a uma peça da ordem imediatamente superior e isso
será fundamental para a compreensão de que ao realizar a adição por meio do
algoritmo, dez unidades são trocadas por uma dezena, dez dezenas são trocadas
por uma centena, dez centenas são trocadas por uma unidade de milhar e assim
sucessivamente, dando origem à terminologia “vai uma dezena”, “vai uma
centena”, “vai uma unidade de milhar”, ou seja, “vai uma” e não “vai um”, como
em geral é ensinado nas escolas.
31
Atividade 5 – Registrar para aprender
Esta atividade é uma espécie de ditado mudo, com as peças do material
dourado com imã e ábaco pedagógico de metal. Nela explora-se os diferentes
tipos de representação dos números. Também viabiliza relacionar cada grupo de
peças com o valor numérico e facilita a visualização da decomposição de um
número (valor absoluto e valor posicional).
Coloca-se as peças do material dourado com imã, no ábaco pedagógico,
com o propósito de formar números, um de cada vez.
As crianças devem visualizar o que o professor fez, pegar as peças
correspondentes do seu material e fazer a mesma coisa no seu ábaco.
Em seguida, registra, no caderno, o número formado em quatro registros
diferentes: símbolo numérico; escrita por extenso; forma decomposta, de
acordo com a quantidade de unidades, dezenas e centenas; decomposição
do número por adição, respeitando a ordem posicional.
O professor apresenta, por exemplo, a representação do número 334, no
ábaco, sem falar esse número:
Figura 10: Peças do Material Dourado fixadas no Ábaco Pedagógico ( Fonte Própria)
32
Os alunos observam o registro e apresentam, no caderno, as diferentes
formas de representá-lo:
334;
Trezentos e trinta e quatro;
3 centenas, 3 dezenas e quatro unidades;
300+30+4.
Espera-se que com essa atividade os alunos compreendam que o SND é
importante por vários aspectos e, principalmente, por ser posicional, o que
confere significado a cada algarismo apresentado em um número. Por exemplo,
deve ficar claro ao aluno que no número 203, embora na ordem das dezenas o
algarismo seja o zero, isso não significa que nesse número não haja dezenas,
pois ele apresenta vinte dezenas. Essas conclusões são extremamente facilitadas
ao possibilitar ao aluno a manipulação de materiais.
Atividade 6 – Jogo da Decomposição
Esta atividade é lúdica, pois proporciona a competição entre as equipes ao
mesmo tempo em que colabora para o entendimento do valor posicional dos
algarismos.
Coloca-se três carteiras na frente da sala, perto do quadro de giz. Na
primeira, distribuem-se placas do material dourado (centenas), na segunda,
barras (dezenas) e, na terceira, cubinhos (unidades).
Em cada carteira, coloca-se, também, um dado grande, que pode ser construído
em origami, espuma, madeira ou utilizando moldes de hexaedro regular
“planificado”, contendo o registro dos números de 1 a 6, respectivamente, em
suas faces.
Aqui está um exemplo de construção do cubo feito em origami. Este pode ser
montado em qualquer tamanho.
6 faces quadradas
33
Para construir um cubo com dobraduras, inicia-se pelas faces, que ao todo, são seis. Utilizaremos papel quadrado.
A face está pronta.
Para montar o cubo, será necessário fazer 6 partes exatamente iguais e depois é só unir essas peças umas nas outras e numerar as faces.
A atividade é realizada com grupos de três crianças e cada uma fica atrás
de uma carteira, sendo responsável por lançar seu dado.
Após o lançamento dos dados, a equipe registra o número obtido, no
ábaco fixado no quadro de giz, utilizando as peças do material dourado
com imã. As outras crianças anotam, em seus respectivos cadernos, o
número sorteado, em suas diferentes representações.
Dobre e desdobre, marcando o vinco.
Abra aqui
vire
1 2 3
4
5 6
Este quadrado será
uma face do cubo
Este triângulo servirá de encaixe para unir as faces
34
Figura 11: Cubos em Origami (Fonte Própria)
Exemplo: os números das faces superiores dos dados foram: 6, 6 e 5, ou
seja, 6 placas, 6 barras e 5 cubinhos. Nesse caso, os alunos registram:
665
Seiscentos e sessenta e cinco
6 centenas, 6 dezenas e cinco unidades
600+60+5
Após todas as equipes realizarem a atividade, será vencedora aquela que
apresentar o registro do maior número.
Embora essa atividade tenha o fator sorte influenciando no resultado, ela
não perde seu valor do ponto de vista pedagógico, pois enquanto a última equipe
não conclui a atividade, não se sabe qual a vencedora. Caso o professor perceba
o desestímulo dos alunos, pode-se alterar as regras, estabelecendo outras
variações surpresa, mantidas em envelope fechado, como por exemplo: Será
vencedora a equipe que apresentar em seu número a maior dezena ou a menor
unidade e assim por diante.
35
Atividade 7 – Jogo das Parcelas
A adição é a operação mais natural na vida da criança, porque está
presente nas experiências infantis desde muito cedo. Envolve duas ideias
totalmente prazerosas para a criança, a de juntar e a de acrescentar. Quem não
gosta de juntar, ganhar ou acrescentar coisas? Essa familiaridade com a adição
facilita muito o trabalho pedagógico, que consistirá basicamente em planejar
situações adequadas ao estágio em que se encontram.
Nesta atividade lúdica, a criança com dificuldade de aprendizagem
matemática será levada a compreender as ideias da adição (juntar e acrescentar)
e com o auxilio do material dourado, compreender o mecanismo do famoso "vai
um", ou seja, do “vai uma”, além de exercitar o cálculo mental.
Divide-se a sala em duplas, no entanto, todas as duplas irão compor
um grande círculo. Todos os alunos deverão ter em suas carteiras o
ábaco de sulfite, pecas do material dourado, caderno, lápis e
borracha;
No quadro de giz, deverá estar fixado o ábaco de metal e ter à
disposição dos alunos, peças do material dourado com imã;
O professor coloca uma carteira no centro do grupo, com os cartões,
previamente preparados, e com os registros não à vista. Nesses
cartões, cuja quantidade deve ser a mesma do número de alunos
presentes na sala, estarão escritos diferentes números (sugere-se
números de dois e de três algarismos e que possibilitem aos alunos
fazerem as trocas para ordens superiores).
Inicia-se o jogo, no sentido horário. A primeira criança da dupla,
pega, aleatoriamente, um cartão e diz: “Eu sou a primeira parcela”.
Em seguida, registra no ábaco de metal, com as peças do material
dourado, o número de seu cartão”. A segunda criança da dupla,
pega, aleatoriamente, um outro cartão e diz: “Eu sou a segunda
parcela” e registra o seu número com peças do material dourado no
ábaco de metal.
36
Os demais alunos devem pegar as peças do material dourado
correspondentes aos números sorteados e colocar no seu ábaco de
sulfite.
A dupla coloca no ábaco de metal as peças correspondentes aos
números registrados nos cartões, com a estrutura de algoritmo (1ª
parcela em cima e 2ª parcela embaixo). Por exemplo, se o primeiro
cartão tiver o número 157 e o segundo cartão tiver o número 135,
eles deverão organizar as peças da seguinte forma:
Na sequência, registram o algoritmo no quadro de giz, juntam as
quantidades, fazem as trocas necessárias no ábaco e chegam no
resultado da adição, compreendendo o mecanismo do “ vai um” que
depois da realização desta atividade, passam a compreender que é
“ vai uma” dezena ou “vai uma” centena ou “vai uma” unidade de
milhar, e assim por diante.
Todas as duplas realizam as mesmas ações da primeira e, enquanto
a dupla está na frente manuseando e registrando o seu algoritmo, as
demais realizam os mesmos registros no caderno.
Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido um
determinado total que contenha uma característica contida em um
envelope lacrado e que será divulgado apenas no final de uma ou
mais rodadas. É o que está dentro do envelope que determinará os
vencedores do jogo. Pode estar escrito: “A dupla vencedora é a que
1ª Parcela
2ª Parcela
37
tem no seu total o algarismo 6 ocupando a posição de dezena” ou “A
dupla vencedora é a que tem no seu total o algarismo 7 na posição
de unidade” ou “A dupla vencedora é a que tem no seu total o
algarismo 1 na posição de centena” ou “A dupla vencedora é a que
tem no seu total 20 dezenas”, além de outras frases estabelecidas
pelo professor.
É bom ter várias opções, pois se nenhuma equipe tiver a primeira opção,
passa-se para a segunda e assim por diante, até aparecer uma ou mais equipes
vencedoras. Este jogo proporciona contato com material manipulável,
exercitando o algoritmo de adição de forma lúdica e viabilizando meios para que a
criança entenda a famosa historia do “vai um”. Faz parte de uma sequência de
atividades que contribui para a assimilação do SND. Após terminado o jogo, as
duplas terão que usar os números dos cartões sorteados e, com muita
criatividade, inventar duas situações problema envolvendo as ideias da adição
(uma com a ideia de juntar e outra com a ideia de acrescentar), cujos enunciados
serão avaliados pela professora, que escolherá as duas melhores da sala. Todas
as situações problema produzidas serão expostas na sala para apreciação de
todos.
Atividade 8 – Jogo “Destroca Uma”
Se a adição é uma operação bastante simples de se trabalhar, o mesmo
não ocorre com a subtração – e isso por diversos motivos. Em primeiro lugar
porque, como comprovam as pesquisas de Piaget, o raciocínio da criança se
concentra em aspectos positivos da ação, percepção e cognição. Em segundo
lugar, porque a subtração, embora presente desde muito cedo no dia a dia das
crianças, tem um aspecto afetivo adverso, muitas vezes ligado a situações de
perda. Por último, porque a subtração envolve ideias bastante diferentes entre si,
como tirar, comparar e completar. As ideias da subtração serão abordadas na
atividade 11.
Com esta atividade é possível entender o processo da destroca na
subtração e garantir a assimilação do “empresta um”. Na verdade, essa
38
terminologia também não é adequada, pois pede-se “emprestado”, mas não se
paga o que foi “emprestado”! O termo adequado é fazer a destroca.
Os alunos são divididos em grupos de 4 alunos.
Cada grupo de alunos recebe vários cubinhos (a unidade do material
dourado), um hexaedro regular com as faces numeradas,
respectivamente, de 4 a 9 e quatro placas (a centena do material
dourado), sendo uma placa para cada aluno.
Cada criança, na sua vez de jogar, lança o dado e retira de sua
centena (a placa) a quantidade de cubinhos correspondente ao
número obtido na face superior do dado. Isso a obrigará a fazer as
destrocas, pois não é possível retirar da placa os cubinhos.
Ao término do tempo estabelecido pela professora, vence quem ficar
com as peças que representam o menor número.
Exemplo: Suponha que um aluno tenha tirado 9 no dado. Primeiro ele troca
uma placa por 10 barras e uma barra por 10 cubinhos:
Depois, retira 9 cubinhos:
E fica com:
39
Nesta atividade, a sugestão é usar apenas o material manipulável, que
permitirá o entendimento do processo da destroca e subsidiará o famoso
“empresta um”, do algoritmo de subtração.
Atividade 9 – Jogo das Cores
Muitas são as dificuldades, provenientes da falta de entendimento do SND.
Uma delas é a compreensão do "empresta um" nas subtrações. Em geral, as
crianças praticam esta ação de maneira mecânica, pois decoram uma regra, mas
se questionadas, o que significa o “empresta um” não conseguem responder.
Com este jogo, o professor pode permitir esta compreensão e transformar uma
dúvida em um aprendizado. Muitas vezes, o aluno não sabe, porque ninguém
falou sobre isso com ele, foi apenas memorizado como uma técnica pronta que
eles tinham que decorar.
Esta atividade pode ser realizada como um jogo de várias rodadas.
Em cada rodada, as duplas sorteiam, simultaneamente, dois cartões
de cores diferentes, sendo um para representar o minuendo (verde)
e, o outro, para representar o subtraendo (vermelho).
Em seguida, a criança que possui o cartão verde registra no ábaco
de sulfite, com as peças do material dourado, o respectivo número e,
a outra criança, que possui o cartão vermelho, retira do minuendo a
quantidade corresponde ao número de seu cartão. Por exemplo, se
o cartão verde tiver o número 81 e o cartão vermelho tiver o número
28, as representações e as ações são as seguintes:
81 28
40
No ábaco fica assim:
CUBO
Unidade de milhar
PLACA
Centena
BARRA
Dezena
CUBINHO
Unidade
Após a destroca, o minuendo 28 já pode ser retirado.
A dupla informa resultado, ou melhor, a diferença para a sala toda,
confirmando ou corrigindo a resolução efetuada pelos demais.
Vence a rodada a dupla que ficar com as peças que representam o
menor número.
Vence o jogo a dupla que ganhar mais rodadas.
É importante que, primeiro, a criança faça várias atividades do tipo: "retire
um tanto", só com o material (jogo “destroca uma”). Depois que ela dominar o
processo de "destroca", o entendimento do famoso “empresta um” fica claro e
deixa de ser um entrave no algoritmo de subtração. O "empresta um" também
pode indicar a "destroca" de uma centena por 10 dezenas ou uma unidade de
milhar por 10 centenas, e assim por diante. Dessa forma, mais uma vez a criança
pode entender que o correto é falar “destroca uma”.
Quando terminar o jogo a professora passa distribuindo uma situação
problema para cada dupla, conforme o sorteio dos cartões do início do jogo. Estas
Destroca 1
dezena por
10 unidades
41
atividades (situações problema) são previamente preparadas, conforme os
números colocados nos cartões verdes e vermelhos. Nas diversas situações
problema são abordadas as ideias da subtração (tirar, comparar e completar).
Cada equipe resolve a sua situação problema e indica qual ideia da subtração
está por trás daquele cálculo. Quando todos os grupos terminarem, seguem as
apresentações orais, com argumentações sobre aquela ideia, tentando relacionar
com as demais.
Atividade 10 – Jogo do Número Surpresa
Na maioria das vezes a multiplicação é vista apenas sob o seu aspecto de
adição de parcelas iguais. É necessário, no entanto que o professor tenha em
mente que a multiplicação é também uma ferramenta para resolver problemas.
Para isso, a criança desde cedo precisa perceber também as ideias de
proporcionalidade e raciocínio combinatório.
Proporcionalidade: Dona Marta gasta 4 ovos para fazer um bolo. Ela
precisa fazer 5 bolos. Quantos ovos irá usar?
Raciocínio Combinatório: Com 3 tipos e 5 tipos de chapéus, quantos
palhacinhos diferentes poderemos fazer?
A partir desta atividade, é possível entender o processo de soma de
parcelas iguais e o algoritmo da multiplicação de forma concreta, usando para
isso, material manipulável, neste caso, o material dourado.
Os alunos são divididos em cinco grupos. Cada aluno inicia a atividade
com o ábaco de papel e peças do material dourado.
O professor pede para que todos da sala peguem, por exemplo, o número
15 com as peças do material dourado e coloquem no ábaco. Esse número
é o multiplicando.
Em seguida, o professor passa entregando, aleatoriamente, uma ficha para
cada grupo com um dos registros: x2; x3; x4; x5; x6. Esse número é o
multiplicador.
42
Cada grupo fará os devidos agrupamentos e as possíveis trocas, para
obter o produto.
Um representante de cada grupo apresenta o resultado na forma
decomposta. Por exemplo, se o produto for 45, o aluno dirá “meu produto é
4 dezenas e 5 unidades”. Isso quer dizer que para chegar neste resultado,
ele passou pelas seguintes etapas:
CUBO
Unidade de milhar
PLACA
Centena
BARRA
Dezena
CUBINHO
Unidade
multiplicador
X3
43
Faz-se as trocas:
CUBO
Unidade de milhar
PLACA
Centena
BARRA
Dezena
CUBINHO
Unidade
Ganhará ponto o grupo cujo resultado estiver dentro da caixa surpresa,
previamente preparada pelo professor. No caso do exemplo, os números
surpresa serão: 30, 45, 60, 75 e 90.
Dependendo do tempo disponível, pode-se propor várias rodadas, no
entanto, deve-se ter o cuidado de trocar o resultado da caixa surpresa antes de
iniciar cada uma. E ainda, quando muda-se o número inicial, muda-se, também,
as possíveis respostas que serão colocadas dentro da caixa surpresa.
Atividade 11 – Dramatizando a Divisão
A divisão está relacionada com a subtração. Na verdade, ela é uma
subtração reiterada de parcelas iguais. O primeiro ponto a ser destacado é que a
divisão está ligada a duas ideias diferentes: repartir igualmente e medir, sendo a
primeira bem mais enfatizada que a segunda.
Repartir igualmente: Inês tem 48 lápis de cor e quer reparti-los igualmente
entre suas 6 amigas. Como poderá fazer isso?
44
Nesse caso, sabe-se que a distribuição deve ser feita entre 6 crianças, mas
não se sabe quantos lápis cada uma receberá.
Medir: Uma doceira tem 230 brigadeiros para colocar em pratinhos de
doces. Como quer colocar 5 brigadeiros em cada pratinho, quantos pratinhos
serão necessários?
Temos aqui uma situação contrária à anterior, pois sabe-se quantos
elementos há em cada grupo, mas não se sabe quantos grupos serão formados.
No entanto, os alunos se confundem, pois não conseguem acreditar que
situações resolvidas por ações diferentes possam ser solucionadas da mesma
maneira.
Depois de entender as ideias da divisão em situações problema, ela
precisa entender o algoritmo, para que este funcione como mais uma ferramenta
para a resolução de problemas.
Assim, ensinar o algoritmo de divisão com o material dourado é contribuir para
amenizar as defasagens de aprendizagem matemática que rodeiam as SAA.
Exemplo: Dividir 256 por 3.
1º) Escolhe uma criança para representar a centena e a mesma pega a
quantidade que corresponde às centenas desse número, ou seja, duas (2
placas);
2º) Outra criança irá representar a dezena e pega as peças que lhe
compete (5 barras).
3º) E mais uma criança irá representar a unidade e pega 6 cubinhos.
4º) A criança centena começa a dividir, mas só tem 2 centenas que não
podem ser divididas para outras três crianças, então dá as suas centenas
para a criança dezena que já tem 5 e recebe mais 20, ficando com 24
dezenas.
5º) A criança dezena distribui as 24 dezenas para as 3 crianças e ao
terminar, sobra 1 dezena. Como não tem condições de repartir 1 dezena
para três crianças, ela dá esta dezena (10 unidades) para a criança
unidade, que já tem 6 e, portanto, fica com 16 unidades.
45
6º) A criança unidade distribui os seus cubinhos para as três crianças, ou
seja 5 cubinhos a cada uma e sobra 1cubinho. Como a unidade é o menor
valor, não tem para quem doar; então, termina o cálculo e sobra o resto.
Caso o professor julgue conveniente, poderá ser trabalhado os termos da
divisão. Dessa forma, as crianças que dividiram representam o dividendo, a
quantidade de crianças que receberam representam o divisor e a quantidade que
cada uma recebeu é o quociente e, caso tenha sobrado unidades, essas serão o
resto. Da mesma forma, pode-se proporcionar entendimento de diversas
situações do algoritmo de divisão. Por exemplo, quando se divide 309 por 3, como
na ordem das dezenas o número é zero, no quociente, na ordem das dezenas
também aparecerá o número zero.
Atividade 12 – Construção de caça-palavras e palavras cruzadas referente
ao SND e operações fundamentais no puzzlemaker
Caça-palavras
Puzzlemaker é um software educacional gratuito, uma ferramenta de
geração de quebra-cabeça que auxilia o professor a preparar alguns tipos de
atividades voltadas para um conteúdo específico, com rapidez e eficiência. Para
isso, basta digitar no Google a palavra puzzlemaker e entrar neste site e escolher
a opção desejada, neste caso caça-palavras:
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Depois, é só seguir os passos, conforme a indicação, digitando a palavra
que será procurada no caça-palavras, seguida de um espaço e da pista que
deseja dar para se chegar à palavra.
Para finalizar, é só clicar em criar enigma. Depois de pronto é só copiar e colar no
Word.
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Palavras cruzadas
As palavras cruzadas seguem a mesma estrutura de montagem do caça-
palavras, o que muda é a opção inicial que deve ser palavras cruzadas.
Para finalizar as palavras cruzadas, basta clicar em criar meu enigma. Em
seguida, seleciona e copia e cola no word, fazendo as adequacoes que se
fizerem necassarias.
Veja um exemplo de palavras cruzadas criada no puzzlemaker:
CRUZADINHA DA DECOMPOSIÇÃO
Observe as dicas e preencha as palavras cruzadas referentes ao SND.
Horizontal:
1. Quantas dezenas tem o número 402?
4. No material dourado a centena é representada por qual peça?
6. O termo correto do empresta um é:.....
9. O que representa o cubinho do material dourado?
Vertical:
2. Três barras e seis cubinhos representa qual número?
3. O que representa a barra do material dourado?
5. Uma centena e uma unidade representa qual número?
7. Qual é o valor posicional do 5 no número 1 547?
8. Duas dezenas representam qual número?
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Atividade 13: Jogo dos atributos
Os blocos lógicos são materiais manipuláveis que deveriam ser muito
usados na Educação Infantil, contudo faltam capacitações que preparem os
professores para usá-los em todas as suas potencialidades. Normalmente, é
usado apenas para ensinar formas geométricas. Segundo Dienes, seu
idealizador, é um recurso didático que contribui para a evolução do conhecimento
lógico matemático e ainda permite explorar o conhecimento físico e social. É de
abordagens piagetianas que surge a importância de se trabalhar estes tipos de
conhecimento na escola. Piaget mostra em suas pesquisas que o conhecimento
matemático tem origem nestes três tipos de conhecimento: físico, social e lógico
matemático. No entanto, os blocos lógicos não são adequados apenas para
crianças pequenas, pois dependem do planejamento estratégico e do grau de
dificuldade que ele pode ter. É ideal para trabalhar o conceito de classificação, na
Educação Infantil, e é necessário para o desenvolvimento do raciocínio lógico em
todas as séries.
A seguir, apresentamos uma aplicação deste material manipulável, dentre
muitas outras existentes no livro do Kote, que apresenta diversas sugestões de
atividades e jogos com blocos lógicos.
Para este jogo, é necessário se ter quatro dados no formato de hexaedro
regular de 10 cm de aresta, cada qual com um dos atributos dos blocos (formas
geométricas, cores, tamanhos e espessuras). Caso o professor julgue
conveniente, pode-se substituir os dados por fichas, conforme exposto no item
“Metodologia”.
Para marcar o atributo tamanho, combina-se com as crianças um registro
qualquer, por exemplo, um coração desenhado nas faces em tamanhos pequenos
e grandes. Com a espessura, pode-se utilizar riscos finos e riscos grossos nas
faces do dado.
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Figura 12: Dados com os atributos dos blocos lógicos (Fonte Própria)
Os alunos sentam-se em círculo na sala de aula ou no pátio da escola.
No centro deste círculo, coloca-se uma caixa completa (48 peças) de
blocos lógicos.
O professor faz um combinado com os alunos, sobre o valor de cada peça:
Círculo = 1 ponto
Quadrado = 2 pontos
Triângulo = 3 pontos
Retângulo = 4 pontos
No centro do círculo, o professor joga os quatro dados simultaneamente.
Os alunos observam as faces voltadas para cima, com quatro atributos dos
blocos lógicos e, rapidamente, tentam localizar a peça.
Aquele que primeiro entregar, corretamente, a peça na mão do professor,
será vencedor daquela rodada.
Repetem-se várias rodadas e o professor vai marcando, no quadro de giz
ou em um cartaz, os pontos acumulados de cada criança.
Vence o jogo, a criança que tiver maior pontuação.
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Este é um jogo que envolve atenção, concentração, memória visual e
agilidade. Algumas regras podem ser criadas juntamente com as crianças para o
bom andamento da atividade. Por exemplo, se a atividade for no pátio, pode-se
desenhar círculos para que as crianças permaneçam dentro deles até o
lançamento dos dados, ou combinar com eles que ficarão com as mãos na
cabeça até lançamento dos dados de cada rodada, entre outras ações
necessárias para atender a especificidade de cada turma.
Como são atividades próprias para a sala de apoio e nela frequentam
crianças com muita dificuldade de aprendizagem, pode-se variar este jogo
dividindo a sala em equipes, para que todos, mesmo que indiretamente, possam
ganhar algumas rodadas.
Atividade 14 – Peça Oculta
Ainda com os blocos lógicos, visando o desenvolvimento do raciocínio
lógico e também a atenção e a concentração que são ações altamente debilitadas
na SAA, a sugestão é o trabalho com dicas sob negação.
Divide-se a sala em equipes de três ou quatro crianças.
Para cada equipe entrega uma caixa de blocos lógicos.
O professor esconde uma peça do conjunto de blocos dentro de uma caixa
e instiga as crianças a descobrirem qual é a peça oculta.
Para isso, o professor vai dando pistas por negação do atributo. Por
exemplo, esconde um círculo grande, vermelho e grosso. E vai dando uma
pista de cada vez, como por exemplo: não é quadrado; não é fino; não é
azul; não é triângulo; não é pequeno;
As crianças vão excluindo as características negadas, até encontrarem a
peça oculta.
Antes de iniciar o jogo, o professor explica que se “chutar”o nome da peça
sem ter certeza e errar, a equipe perde aquela rodada.
Esconde novamente outra peça e inicia-se outra rodada. O professor,
dependendo do tempo que tem para o desenvolvimento desta atividade,
decide quantas serão as rodadas.
Vence o jogo, a equipe que ganhou mais rodadas.
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Figura 13: Peça escondida na caixa (Fonte Própria)
Com esta atividade, espera-se desenvolver habilidades que são
extremamente necessárias para a aprendizagem de conceitos matemáticos.
Também é um momento oportuno para se perceber algumas dificuldades
relacionadas à atenção, concentração, organização, entre outras, que na rotina de
atividades são dificilmente percebidas.
Atividade 15 - Torre de Hanói
A Torre de Hanói pode ser trabalhada como uma ferramenta para o
desenvolvimento intelectual. Não tem indicação de idade, pois pode ser usada
com menos discos ou mais discos, dependendo da faixa etária que se tem
intenção de trabalhar. Também é um recurso didático que desenvolve o raciocínio
lógico e tem o poder de despertar visão estratégica, iniciativa, concentração, além
de motivar a resolução de problemas. Pode ser confeccionada com diversos tipos
de material como EVA, papel machê, com massa de biscuit e em madeira, como
normalmente é comercializada.
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O objetivo do jogo, conforme já exposto, é transferir uma pilha de discos
que está em ordem crescente de diâmetro, de um pino para outro, respeitando a
regra de que só pode deslocar um disco de cada vez e cada disco nunca poderá
ser colocado sobre outro de diâmetro menor. O jogo torna-se mais interessante à
medida que o contato com ele é maior e o desafio é trocar a pilha de discos de
um pino para outro, com o menor número de movimentos.
Pode ser usado entre uma atividade e outra para uma descontração com
objetivos pedagógicos e, intencionalmente, como aprendizagem e oportunidade
de experimentar mais uma das formas de raciocínio matemático.
REFERÊNCIAS
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Campinas: Papirus, 2001.
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KOTHE, Siegfried. Pensar é divertido. Tradução de Tomás Johann Burchard. 8.
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(Coleção formação de professores). MORAN, José Manoel; MASETO, Marcos T.; BEHRENS, Marilda Aparecida. Novas tecnologias e mediação pedagógica. 19. ed. Campinas: Papirus, 2012. PANIZZA, Mabel. Ensinar matemática na educação infantil e nas séries iniciais: análise e propostas. Tradução de Antonio Feltrin. Porto Alegre: Artmed,
2006. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática, 2008. PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da matemática: reflexões
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