Secretaria da Educação do Estado de São Paulo … · Secretaria da Educação do Estado de São...

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.

Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro.

Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextuali-zada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transforma-das em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como pon-to de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e cria-tividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião.

Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso.

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Equipe Técnica de Matemática

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 1

3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES

!?

O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um con-junto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério.

Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se prefe - rir mos, considerando a sua cor. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando co mo equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se e somente se têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.

O mostruário representará, então, o conjunto das cores:

Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, uma fração é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência.

Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e quere-mos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência.

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores

BrancoAzulPretoPrataCinzaVerde

Outros

Leitura e Análise de Texto

PRETO

AZUL

BRANCO

VERDE

CINZA

PRATA

OUTROS


4

Mostruário das frações: Conjunto dos Números Racionais1213172

–2753...

Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações

que representarem a mesma parte da unidade, como, por exemplo, 12

; 36

; 510

;

0,5; 1326

; ––

714

; 232464

; ... (todas representam a metade da unidade), ou então 53

;

106

; 1,666...; 500300

; 300180

; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).

Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.

430215 ; 2; 6

3 17

; 0,142857...; 321 2

5; 4

10; 0,4; –6

–15; 400

1 000

...; ...; ...

73

; 2,333...; –35–15

1,666...; 53 ; –15

–9 ; 159

12

; 36

; 0,5; 1326

; 231462

; –7–14

; 4590

13

; –3–9

; 721

; 1545

;

26

; 111333


5

VOCÊ APRENDEU?

1. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem organizando-os em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência?

b) Qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos?

2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a rela-ção de equivalência seguinte: dois números inteiros são equivalentes se e somente se estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero.

–4 –3 –2 –1 43210

Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência?

b) Qual seria o mostruário?


6

3. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulta sempre no

mesmo número. Por exemplo, 25

estaria na mesma classe de 16

e de 34

; 2413

estaria na mesma

classe de 1

36 e

730

, e assim por diante. Nesse caso:

a) Quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela seguinte, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda:

Soma igual a 2

Soma igual a 3

Soma igual a 4

Soma igual a 5

Soma igual a 6

b) Qual seria o mostruário?

A localização dos números racionais na reta

4. Localize na reta a seguir os números racionais: 1, –2, 13

, 52

, –34

e – 0,5.

20

5. Responda às perguntas:

a) Qual é o número natural sucessor de 15?

b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?


7

c) Qual é o número racional consecutivo de 13

?

d) Quantos números inteiros existem entre – 6 e 0?

e) Quantos números racionais existem entre – 6 e 0?

f ) Quantos números racionais existem entre 0,1 e 0,2?

6. Na atividade anterior você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional, e que sempre entre dois números racionais existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essa proprie-dade são chamados de conjuntos densos. Encontre um número racional que esteja entre:

a) 12

e 34

b) 1 e 54

c) 0,88 e 0,889


8

d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012

LIÇÃO DE CASA

1. Desenhe uma reta e localize nela os números 18

e 1

10. Identifique três números fracionários

que estejam entre ambos.

2. Onde há mais números racionais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?

3. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante que é sucessor das 10 horas? É impossível se definir, assim como percebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos.


9


10

Desafio!

Cada “casa” da tabela abaixo corresponde a uma fração cujo numerador e denominador são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assinalada na

tabela com a letra E corresponde à fração 34

, enquanto a “casa” assinalada com a letra M

corresponde à fração 67

. Assinale com um X as “casas” correspondentes às frações gera trizes

de dízimas periódicas.

Numerador

Den

omin

ador

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4 E

5

6

7 M

8

9

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...

!?


11

VOCÊ APRENDEU?

1. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima se for dividido o numerador pelo denominador.

2. Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima?

3. É verdade que todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Escreva exemplos para justificar sua resposta.

4. Escreva a sequência dos números primos menores do que 30.

5. Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?


12

6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador resultará em uma dízima periódica.

LIÇÃO DE CASA

1. Quando a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica?

2. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica.

Dízimas periódicas e cíclicas

Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão.



13

Observe a divisão de 1 por 7:

1

00

00

005

restos

0,142857...

7

quocientes

46

23

1

Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal certamente ocorrerá a repetição de um resto, e a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, 6 casas decimais, o que efetivamente ocorreu.

Quocientes1

1

32645

142857

Restos

Na tabela construída ao lado da divisão, colocamos na ordem os quocientes decimais e os restos que esses produzem.

Vamos agora observar o desenvolvimento decimal de 27

:

quocientes

2

0206

0405

0103

restos

0,2857147 Quocientes

2

2

64513

285714

Restos


14

Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que possuem os mesmos algarismos, só que dispostos em ordem diferente e respeitando um movimento

cíclico. Observando que a divisão de 27

começa com resto 2, que também aparece como

resto na divisão de 17

, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir em ambas as

divisões, uma vez que o desenvolvimento de 17

tem período de comprimento “máximo”:

27

= 0,285714...

iníciodo ciclo

Quocientes

resto inicial

1

1

32645

142857

Restos1

7

Sem efetuar a divisão e apoiado na tabela da seção anterior, referente à divisão de 17

,

encontre o desenvolvimento decimal de 57

.

Desafio!


15

VOCÊ APRENDEU?

1. Tome agora, para estudo, a seguinte fração:

113

= 0,0769230769

quocientes

1

0 0109012

0304

restos

0,076923...

13 Quocientes

1

1

109

1234

076923

Restos

Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações abaixo na sua forma decimal periódica:

a) 1013

=

b) 913

=

c) 313

=

d) 413

=

2. É possível, observando a tabela de quocientes e restos, encontrarmos o desenvolvimento deci-mal de 2

13? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo.


16

3. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas:

a) 2,7777...

b) 0,454545...

c) 1,2343434...

d) 3,1672867286728...

LIÇÃO DE CASA

1. Escreva o número racional

76

0,33333... na forma

ab

, sendo ab

uma fração irredutível.


17

2. Encontre o valor de x que é solução da equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4.


18

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Pergunta-se:

© N

ASA

A Matemática, como linguagem, é profundamente marcada pelo movimento da hu-manidade de intensificação do trabalho intelectual como forma de tornar mais simples e rápida a execução de operações, procedimentos e cálculos.

O uso de potências é um exemplo dessa simplificação. Ela é um recurso útil para a representação de números muito grandes ou muito pequenos. Contudo, em sua simpli-cidade de registro, ela pode guardar uma dificuldade de estimar a grandeza que nela vem expressa. Por exemplo, dentre os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos?

Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos se utilizam amplamente da linguagem das potências na repre-sentação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é, aproxima da- mente, igual a 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 . 105 km/s ou 3 . 108 m/s.



19

a) Quantos metros tem 1 ano-luz?

b) Qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é, aproxi-madamente, igual a 150 000 000 000 metros?

c) Quanto tempo um feixe de luz leva, aproximadamente, para chegar do Sol até a Terra?

PESQUISA INDIVIDUAL

Nos filmes de ficção, muitas vezes os personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medi - das astronômicas encontrando alguns exemplos de sua aplicação e registre no espaço a seguir.


20

LIÇÃO DE CASA

1. O diâmetro da Via Láctea é de, aproximadamente, 100 000 anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade “tão grande” como o ano-luz para indicar distâncias?

VOCÊ APRENDEU?

Notação científica

1. A tabela a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências:

Número de moléculas em 1 grama de água 3 . 1022 moléculas

Número de átomos do corpo humano 1028 átomos

Raio da Terra 6 . 106 m

Distância entre a Terra e a Lua 4 . 108 m

Distância entre a Terra e o Sol 1,5 . 1011 m

Massa da Terra 6 . 1024 kg

Idade da Terra 4,5 . 109 anos

Idade do Universo 1,5 . 1010 anos

Número de habitantes da Terra (estimativa em 2007) 6,7 bilhões

Expectativa de vida dos brasileiros em 2005 72 anos = 2,3 . 109 segundos

PIB brasileiro em 2005 1,937 trilhão de reais

Número de células do corpo humano 100 bilhões = 1011

Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 50 milhões = 5 . 107


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Analisando-a, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m . 10n, com 1 <– m < 10.

a) número de habitantes da Terra;

b) expectativa de vida dos brasileiros em segundos;

c) PIB brasileiro.

Em certa ocasião, o matemático americano Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pe - queno Milton – qualquer coisa como “guuugol” – não foi muito animadora, mas na mente criativa de Kasner isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100.

Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão gran - de quan to 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. Também o número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo.

Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo in-teiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas (≅ 10110 partículas) em um número maior que 1 googol.

Vencida a barreira do googol, que tal pensarmos agora em um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros do número 1 googolplex? A resposta exige apenas algumas contas. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100 é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1, seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0,5 . 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 . 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 . 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.



22

VOCÊ APRENDEU?

1. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de, aproximadamente, 1 385 984 610 km³ (desse total, 97,5% é de água salgada, e 2,5% de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos 1 g de água (a densidade da água é 1 g/cm³), e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Nessa atividade, desprezamos o fato de a densidade da água salgada ser maior que 1 g/cm³.

Nas calculadoras com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a con-ta 370 000 . 2 100 000; contudo, com o conhecimento de potências e notação científica, essa conta pode ser feita na calculadora. Sabendo que 370 000 = 3,7 . 105 e 2 100 000 = = 2,1 . 106, o produto procurado é 2,1 . 3,7 . 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 . 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 1011 será igual a 777 000 000 000.

Contudo, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente.

Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for-mas, dependendo do fabricante:

7 . 7711 7 . 77 E11 7 . 77 E + 11ou ou

Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três detalhes também devem ser observados.


Usando a calculadora


23

VOCÊ APRENDEU?

1. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados.

Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, no qual a vírgula tem a função do nosso ponto e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38,490.35.

A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.

As calculadoras científi cas possuem uma tecla específi ca para as potências, o que fa-

cilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por yx ou, em alguns casos, uma

tecla indicando o sinal de acento circunfl exo é a que deve ser usada para elevar

uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 35:

3 5 =xyI.

3 5 =II.

O resultado que aparecerá no visor será 243

^

^


24

2. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e necessário, uma calculadora:

Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente

2000 1 30

2001 31

2002 9

2003 33

2004 34

2005 243

2006 729

2007 37

2008 6 561

2009

2010

2015 14 348 907

2000 + n ...

3. O nosso sistema de numeração – Sistema Decimal Posicional – é formado segundo certa regulari-dade com relação às potências de base 10. Interprete esse fato completando a tabela a seguir:

Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos

100 1 0,1 0,01 0,001

103 101 100 10–2


25

PESQUISA INDIVIDUAL

Faça uma pesquisa em jornais e revistas e selecione uma notícia que faz uso de núme-ros muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e escreva os mes mos números em notação científica.

4. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Faça uma pesquisa sobre as unidades relacionadas e faça a conversão entre as unidades, com pletando-a:

1 cm – centímetro _____ metros

1 mm – milímetro _____ metros

1µm – micrômetro _____ metros

1 nanômetro _____ metros

1 angstrom _____ metros

Massa da molécula de água _________ g

Diâmetro de uma célula _____________ metros

Comprimento de onda da luz visível _________ metros


26

LIÇÃO DE CASA

1. O comprimento de um cordão de DNA na célula é de, aproximadamente, 10–7 m, o que cor-responde a, aproximadamente, 1 000 angstrom. Com base nisso, calcule a equivalência entre angstrom e metros.

2. O diâmetro de um fio de cabelo humano é de, aproximadamente, 2,54 . 10–5 m. Quantos fios de cabelo humano teriam que ser colocados lado a lado para formar 1 m?

3. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, aproximadamente, 1,6 . 10–5 m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, 3 . 10–2 m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em 1 hora?


27


28


As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilo-grama para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em disquetes de 1,4 megabyte, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do cotidiano no mundo da in-formática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões.

Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor. Capacitor é um dispositivo eletrônico que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar infor-mação de forma binária em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está ligado (ou car-regado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.

Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 1 000 unidades. Assim, um quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a 1 000 ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, um quilobyte corres-ponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de um quilobyte (2,4%) era pequena, não ocasionando maiores problemas na época.

Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Inter-nacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a 1 000 000 000 ou 109 bytes.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR

!?


29

No sistema binário, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa dis-crepância chega a aproximadamente 10%.

Hoje em dia, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes de memória adotam a base decimal na configuração de suas memórias, devido à facilidade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante e as medidas registradas nos siste-mas operacionais.

O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas refe-rem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnico Internacional (IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram defini-dos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 106 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário.

Na tabela a seguir é possível comparar as unidades do sistema decimal (SI) com o sistema binário.

SIBase

decimalQuantidade de bytes

IECBase

bináriaQuantidade de bytes Diferença

(%)

quilobyte 103 = 1 000 quibibyte 210 = 1 024 2,4%

megabyte 106 = 1 000 000 mebibyte 220 = 1 048 576 4,9%

gigabyte 109 = 1 000 000 000 gibibyte 230 = 1 073 741 824 7,4%

terabyte 1012 = 1 000 000 000 000 tebibyte 240 = 1 099 511 627 776 9,9%


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Bits, bytes e as potências de dois

Uma informação pode ser codificada a partir de uma combinação de bits. A tabela a seguir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 por meio da combinação de três bits. Nas duas primeiras colunas da tabela estão representados os estados dos capacitores, da seguinte forma: o símbolo para desligado (ou não magnetizado) e o símbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e 1 para ligado. Por se tratar de três bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configu-ração dos capacitores e ao número binário.

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado

L – ligado

Número binário(3 bits)

Número correspondente no

sistema decimal

D – D – D 000 0

D – D – L 001 1

D – L – D 010 2

D – L – L 011 3

L – D – D 100 4

L – D – L 101 5

L – L – D 110 6

L – L – L 111 7

Utilizando três bits, foi possível armazenar oito informações diferentes. No exemplo da tabela, foram representados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi represen-tado pelo número 101, enquanto o 7 foi representado pelo número 111. Utilizando apenas os algarismos 0 e 1, e as três casas, não é possível representar nenhuma outra informação. Para repre-sentar mais números, seriam necessários mais bits.


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Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser ar-mazenadas com 3 bits é dado por 2 . 2 . 2 = 23. Portanto, com 4 bits pode-se armazenar 24 ou 16 informações. Com 5 bits, 25 ou 32, e assim por diante. Com n bits é possível armazenar 2n informações. Em uma tabela, essa situação pode ser representada da seguinte forma:

Número de bits 1 2 3 4 5 ... n

Número de informação armazenada 21 22 23 24 25 ... 2n

Total 2 4 8 16 32 ... mn

A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore:

capacitor 3

8 possibilidades

capacitor 2

capacitor 1

L

L

L

LL

L

L

D

D

D

D

D

D

D

Esse tipo de diagrama é um modelo representativo do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, como, por exemplo, de quantos modos diferentes po-demos vestir uma camiseta e uma calça dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calças.


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VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis envolvendo quatro capacitores e depois responda:

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado L – ligado Número binário (4 casas) Letra

0000 A

0001 B

0010 C

D – D – L – L D

0100 E

0101 F

G

H

1000 I

L – D – D – L J

1010 K

L

1100 M

1101 N

L – L – L – D O

P


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a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual é a última letra que pode ser representada com quatro bits (em ordem alfabética)?

b) Qual é a letra associada ao número binário 0111?

2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte?

3. Quantos bits seriam necessários para armazenar 1 000 informações?

Múltiplos de byte

4. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 10. Assim, um quilobyte (KB) equivale a 103 bytes, um megabyte (MB) a 106 bytes, um gigabyte (GB) a 109 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faça as transformações solicitadas e apresente as respostas na forma de potência de 10.

a) 10 megabytes em bytes;

b) 1 gigabyte em quilobytes;

c) 100 quilobytes em gigabytes;

d) 20 terabytes em megabytes;

e) 1 megabyte em terabytes.


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5. Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de 2. Um (1) quibibyte (KiB) equivale a 210 bytes; 1 mebibyte (MiB) a 220 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 230 bytes, e assim por diante. Faça as transformações abaixo e apresente as respostas na forma de potência de 2.

a) 2 mebibytes em quibibytes;

b) 16 gibibytes em bytes;

c) 1 quibibyte em mebibytes;

d) 10 tebibytes em bytes;

e) 32 quibibytes em gibibytes.

Quando um mebibyte é um megabyte?

6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Dife-rentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 10. Ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Com base nessas informações, responda:

a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MB?

b) Qual é a capacidade real em gibibytes (GiB) de um DVD de 4,7 gigabytes?


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LIÇÃO DE CASA

Usando potências para contagem

1. Suponha que você tenha em seu estojo: um lápis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes você poderá selecionar elementos dessa lista?

Repare que para responder a essa questão você pode pensar em tomar conjuntos de um só elemento, dois elementos e três elementos.

Vamos colocar esses objetos em uma tabela com uma fita sob eles:

Lápis Borracha Caneta

Criemos então a seguinte regra: o número 1 colocado na casa abaixo do objeto significará que o objeto foi selecionado; caso contrário, colocaremos o zero.

Assim, a fita numerada com 111 significará que escolhemos os três objetos, enquanto a disposição 101 significa que foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa forma, cada fita em que se escreve 0 ou 1 representará uma única maneira de selecionar os objetos. Agora, tendo por base as ideias desenvolvi-das quando tratamos de bits, tente responder à pergunta feita (1). Atenção: a tira com 000 deve ser excluída, uma vez que mostraria que não foi feita nenhuma escolha.

2. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos.

Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2?

3. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potências de 2, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência. Observe o exemplo e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrônica.


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n 2 elevado a n Número de algarismos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 1 024 4

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26


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4. Construa um gráfico, no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de 2 da atividade anterior com o número de algarismos da escrita do resultado das potências.


38

5. Caso tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica, construa uma tabela, como a apresentada a seguir para potências de 2, com expoentes maiores que 26 e complete os valores que faltam:

n 2 elevado a n Número de algarismos

27 134 217 728 9

28 268 435 456 9

29 536 870 912 9

30 1 073 741 824 10

31 2 147 483 648 10

32 4 294 967 296 10

33 8 589 934 592 10

34 17 179 869 184 11

35 34 359 738 368 11

36 68 719 476 736 11

37 1, 374E + 11 12

38 2, 749E + 11 12

39 5, 498E + 11 ___

40 1, 100E + 12 ___

41 2, 199E + ___ 13

42 4, 398E + 12 ___

43 8, 796E + ___ 13

44 1, 759E + 13 14


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6. A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores permitem-nos observar determi-nado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 100, determine a quantidade de algarismos do número que representa 2100.

PARA SABER MAIS

Você pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de me-didas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são:

bits • ;

angstrom; •

parsec • ;

anos-luz. •


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