Sección de Ingeniería Eléctrica - UNAM

Respuesta en frecuencia

México D.F. a 23 de Octubre de 2006

Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM

La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del tiempo.


Motivación:

Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde más rápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de tal sistema es de 0.25 segundos. Entre otros ejemplos.

Sin embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos (en dimensión, parametrización, identificación, etc), sus comportamientos son más difíciles de determinar analíticamente.

Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia


Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control, proveen un conjunto de análisis y herramientas gráficas que no están limitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.

El análisis de respuesta en frecuencia:

• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.• Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones racionales.• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar. • Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales. • Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y la respuesta transitoria en el tiempo.

Respuesta en frecuenciaLa respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia , su salida seguirá siendo senoidal de la misma frecuencia pero probablemente con otra magnitud C y fase

00

Entrada SalidaSistematsenRtr 0)( )()( 0 tsenCtc

t

tsenRtr 0)( )()( 0 tsenCtc

Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.


La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura 1 es: )()()( sRsGsC

como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por j

)()()( jRjGjC

donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo )()()( jCjCjC

La relación de la salida entre la entrada en el régimen senoidal permanente se llama función de transferencia senoidal:

)( jC )( jR

)()()(

jRjCjG

Respuesta en frecuenciaGráficas polaresEs una representación de la magnitud y ángulo de fase de en coordenadas polares al variar el valor de de cero a infinito.

)( jG

La función de transferencia senoidal puede ser vista:• En su representación de magnitud y fase:

)()()( jGjGjG • En expresarse en términos de sus parte real e imaginaria.

)(Im)(Re)( jGjGjG

Re

Im )(Re jG

)( jG)( jG

0

)( jG )(Im jG

Figura 2. Gráfica polar de .)( jG


575)(

s

sGEjemplos de gráficas polares:Obtener la gráfica polar de

Solución. Como primer paso se cambia a variable compleja s por j

jjjG

575

575)(

El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el cálculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado del denominador de )( jG

22575375

55

575)(

j

jj

jjG y se tiene

22 2575

25375)(Im)(Re)(

jjGjGjG

para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar )( jG

Respuesta en frecuenciaen diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarán solo para algunas de las frecuencias.

0

0Si entonces:

15)0(25)0(75

)0(25375)0(Im)0(Re)0( 22

jjGjGjG

Si

00)(25)(75

)(25375)(Im)(Re)( 22 jjjGjGjG

Si 5

5.75.7)5(25)5(75

)5(25375)5(Im)5(Re)5( 22 jjjGjGjG

88675.2Si

49519.625.11)88675.2(25)88675.2(75

)88675.2(25375)88675.2( 22 jjjG


Si 66025.8

49519.675.3)66025.8(25)66025.8(75

)66025.8(25375)66025.8( 22 jjjG

Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la gráfica polar, se necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.

Re

Im

66025.8

0

588675.2

Figura 2. Gráfica polar de .

575)(

s

sG


Criterio de estabilidad de Nyquist


Fundamentos: Transformación de contornos en el plano sSuponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la función

3-1 1 21-1

Plano s

Plano F(s)

12)( ssF

j

jv

u

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el contorno del plano s, (Transformación conforme).

12)( ssF

Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.


Respuesta en frecuenciaAhora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función de transformación:

1-1

Plano s

Plano F(s)j

jv

u3

)(

s

ssF

a

b

d

c

a

b

d

c

En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido positivo.

Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la función:1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s

Respuesta en frecuencia2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.

1-1

Plano s

Plano F(s)j

jv

u3

)(

s

ssF

a

b

d

c

a

b

d

c

3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario.

-3

Plano s

Plano F(s)j

jv

u3

)(

s

ssF

a

b

d

c

a

b

d

c

Respuesta en frecuencia4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.

-3

Plano s

Plano F(s)j

jv

u3

)(

s

ssF

a

b

d

c

ab

d

c

Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy).

Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno en el plano s rodea Z cero y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s) cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del reloj a lo largo de contorno, el contorno correspondiente en el plano F(s), rodea al origen de dicho plano, veces en la misma dirección.

s

fPZN


0)()()(1)(

1

1

kmk

ini

ssssksPsF

El criterio de NyquistSea la ecuación característica

Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estar localizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un contorno en el plano s que encierre toda la parte derecha del plano y por medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de . Esto se logra graficando en el plano F(s) y observando el número de rodeos al origen.

ss

f

Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente más sencillo, entonces:

)(1)( sPsF )(1)()(' sPsFsF

)01( jCon este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el puntodel plano F(s)


F(s)

-1

Contorno de Nyquist.Gráfica polar de P(s).

Plano s Plano F(s)j

u

jv


Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno . en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero.

P

Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas.

P

Ps

Respuesta en frecuenciaEstabilidad relativa y criterio de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist se define en términos del punto . en la gráfica polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa de un sistema.

)01( j

-1u

jv

d

El margen de ganancia se define como el recíproco de la ganancia . para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza 180°, es decir cuando .

El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar geométrico pase a través del punto .

)( jGH.0v

).01( j

d1

Margen de ganancia =


Otra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se define como el ángulo de fase que se debe girar el lugar geométrico para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto . en el plano

)( jGH1)( jGH

)01( j ).( jGH

-1 u

1)( jGH

jv

fmf

Margen de fase (mf )

Respuesta en frecuenciaEjemplo:Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:

)5)(4()(

sssKsG

SoluciónPara realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:sp

Plano s j

s0

j

0

Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (gráfica polar).0

Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor infinito y es una evaluación angular de 90º a -90º.

j j

je je

Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (espejo de la gráfica polar).

0 jContorno s

1T

2T3T4T

Respuesta en frecuenciaTramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor muy pequeño y es una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se diseña para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la función a evaluar.

0 0

je je

T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar j

2045)5)(4()(

)5)(4()( 223 jj

Kjjj

KjGsss

KsG

se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador

)20(9)20(9

)20(9)( 22

22

22

jj

jKjG


40041)20(

400419)( 35

2

24

KjKjG

Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta

0

0

jKKjKG4009

)0(400)0(41)0())0(20(

400)0(41)0(9)0( 35

2

24

00)(400)(41)(

))(20(400)(41)(

9)0( 35

2

24 jKjKG

Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar cuando

0 .

Respuesta en frecuenciaEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.

0

como a la frecuencia el valor es final es , se tiene que la gráfica polar llega a cero por el cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la parte imaginaria de la ecuación resultante:

00 j

40041)20(0 35

2

Kj

20 2200

y esta frecuencia se evalúa en la parte real

400)20(41)20(9)Re( 24

K

1801)Re( K

Se obtiene otro punto para la gráfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la gráfica polar. (Nota: para una mejor aproximación de la gráfica, se pueden evaluar más frecuencias)

j

180K

Figura. Gráfica polar.

jv

u


T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º

je

)5)(4()(

sssKsG

)5)(4()(

jjj eee

KjG

InfinitoInfinito

pequeño

pequeño

33 0

))(()( j

jjjj eeK

eeeKjG

Plano s j

s0

j

0

Contorno s

2T

El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).

90jeº90)º90(3 00 je


80jeº2400


30 jeº900

Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)

Respuesta en frecuenciatres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria. jv

u

0radio

Plano F(s), tramo 2.

T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1) 0

j

180K

jv

u

Plano F(s), tramo 2.

T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º

je

)5)(4()(

sssKsG

)5)(4()(

jjj

j

eeeKeG

muy muy pequeño relativ, grande


j

jjj e

eK

eKeG

)5)(4()(

Plano s j

s0

j

0

Contorno s

2T


º90e º90e


º45e º45e

P

j

0

j Plano F(s)

Contorno . Tramo 4. P


0

j

180K

Figura. Gráfica de Nyquist.

jv

u

T1

T3T4

T2

1

Criterio de Nyquist:

Como el sistema no tiene polos inestables en lazo abierto, para que sea estable se necesita que no haya rodeos al punto -1. Entonces el rango de estabilidad es

1800 K


Diagramas de Bode


Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación característica

0)()(1 SHsGPor ser estado senoidal permanente, se cambia s por .

)()()( jHjGjP

Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.

)()()()( jHjGjHjG

j

Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia . Para graficar la magnitud de , se hace uso de la norma de magnitud:

)(log20 jGMag

Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.

)( jG

Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar


La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.

La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.

Elementos básicos de una función de transferencia

1. Elementos de valor constante (Ganancia)2. Elementos integrales y derivativos3. Elementos de primer orden4. Elementos cuadráticos


1)( j

dbj

log201log20

dBj log20log20

1. Elementos de valor constante (Ganancia)

KdB log20 Magnitud en decibelios

0 Ángulo de fase

2. Elementos derivativos e integralesDerivadores

90

Integradores

90

Re

Re

Im

Impara todo rango de

para todo rango de

Respuesta en frecuenciaSi existen más de un derivador o integrador:

dbnj n

log20)(

1log20

dBnj n log20)(log20 Derivadores

n90Integradores

n 90 para todo rango de

para todo rango de

-20

0

20

40

60

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

90

135

180

225

270

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

100

101

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Respuesta en frecuencia3. Elementos de primer orden

dBj 221log201log20

Cero de primer orden

1tan

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (d

B)System: sys

Frequency (rad/sec): 1Magnitude (dB): 3.01

jjG 1)( 1

1 cortedefrecuenciac

De la figura:

c


dBj

221log201

1log20

Polo de primer orden

1tan

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysFrequency (rad/sec): 1

Magnitude (dB): -3.01

c

jjG

11)( 1

1 cortedefrecuenciac

De la figura:

Respuesta en frecuencia3. Elementos de segundo orden

2

2

2

22

21log2021log20

nnnjj

Cuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:

2

21

1

2tan

n

n

12

21)(

nnjjjG

Ceros de segundo orden

nc


2

2

2

2

2 21log20

21

1log20

n

nnjj

2

21

1

2tan

n

n

Polos de segundo orden

nc


-20

0

20

40

60

80

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

0

45

90

135

180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ceros de segundo orden

3 nc

6/1

7.0

5.0

3

99)(

2 sssG

993)(

2 sssG

992.4)(

2 sssG


-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Polos de segundo orden

3

3 nc

6/1

7.0

5.0

99)( 2

ss

sG

939)( 2

ss

sG

92.49)( 2

ss

sG


Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema

)136)(5()3(12

22

sssss

Normalizando:

)1136

13)(1

51(

)131(

6536

22

ssss

s

Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5 y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada uno y después se suman.


65/36

131 s

21s

151 s

1136

13

2

ss

Elementos ind.

Aportaciones individuales en magnitud. y ángulo

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


-200

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-360

-315

-270

-225

-180

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Diagrama de Bode (Resultante)

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