6 Trigonometría Analítica

Sección 6.4 Fórmulas para múltiplos de

ángulos

Fórmulas para ángulos dobles

• Las siguientes identidades dan fórmulas

para calcular razones trigonométricas

para ángulos dobles ya que el

argumento contiene la expresión 2u:

Ejemplo Evaluar sin15ocos15o usando una

fórmula de ángulo doble.

Solución

Sabemos que 2sin 𝜃 c𝑜𝑠 𝜃 = sin 2𝜃

• sin 𝜃 cos 𝜃 =1

2sin 2𝜃

• sin 15° cos 15° =

• sin 15° cos 15° =1

2

1

2

=1

2sin 30°

=1

4

1

2sin 2 15°

Ejemplo • Expresar cos 3θ en términos de

cos θ.

Ejemplo Determinar el sin 2𝜃 si sin 𝜃 =

𝑥

2 .

Solución

• Usaremos la fórmula sin 2𝜃 = 2sin 𝜃 c𝑜𝑠 𝜃

• Para aplicar la fórmula necesitamos cos 𝜃,

• Usaremos un triángulo rectángulo.

Solución 𝑻𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 sin 𝜽 =

𝒙

𝟐,

Calculamos cos 𝜽.

Por pitágoras, el lado adyacente = 𝟒 − 𝒙𝟐

Y el cos 𝜽 = 𝟒 − 𝒙𝟐

𝟐

Solución (cont)

sin 𝜽 = 𝒙

𝟐 , cos 𝛉 =

𝟒−𝒙𝟐

𝟐

sin 2𝜃 = 2sin 𝜃 c𝑜𝑠 𝜃

sin 2𝜃 =𝟐𝒙

𝟐

𝟒 − 𝒙𝟐

𝟐

sin 2𝜃 =𝒙 𝟒 − 𝒙𝟐

𝟐

Identidades para reducir la potencia

• El autor del texto llama estas fórmulas las de medio

ángulo porque el número u es la mitad del número

2u.

• Otros autores se refieren a éstas como fórmulas

para reducir o bajar la potencia.

Ejemplo • Verificar la identidad

sin2 𝑥

2 =

sec 𝑥 −1

2 sec 𝑥

• Solución

• Usaremos la identidad sin2x = 1−cos 2𝑥

2

• sin2 𝑥

2 =

𝟏−cos 𝟐𝒙

𝟐

2 =

𝟏−cos 𝑥

2 =

1− 1

sec 𝑥

2

= sec 𝑥−1

sec 𝑥

2 =

sec 𝑥−1

2sec 𝑥

Ejemplo • Expresar sin4 t en términos de

valores de la función de coseno

con exponente de 1.

• Solución:

Fórmulas para medio-ángulo

• Si se sustituye 𝑣

2 por u en las 3

identidades que se mencionaron para

bajar la potencia tenemos:

• Y si a éstas le tomamos la raíz en cada lado

tenemos

Fórmulas para medio ángulo(cont’d)

Cuando usamos una fórmula para medio ángulo…

• Escogemos + ó –, dependiendo del cuadrante que contiene el ángulo

𝑣

2

con medida en radianes.

• El sin (𝑣

2) es + si

𝑣

2 es un ángulo en

cuadrante I o II, y – si 𝑣

2 está en el

cuadrante III o IV.

• El cos (𝑣

2) es + si

𝑣

2 está en el cuadrante

I ó IV, – si está en el cuadrante II ó III

Ejemplo Hallar el valor exacto de

a) sin 22.5°

b) cos 5𝜋

8

Solución: Como 22.5 es la mitad de 45 y está en

cuadrante I, elegimos el signo positivo de

=1 −

22

2 =

2 − 222

=2 − 2

4

Solución (cont) b) cos

5𝜋

8

Solución:

Como 5𝜋

8 es la mitad de

5𝜋

4 y está en

cuadrante II, elegimos el signo negativo para

la fórmula de ángulo medio.

cos𝟓𝝅

𝟖= −

𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟓𝝅𝟒

𝟐 = −

𝟏 −𝟐𝟐

𝟐 = −

𝟐 − 𝟐𝟐𝟐

= −𝟐 − 𝟐

𝟒 = −

𝟐 − 𝟐

𝟐

Formas alternas para el tangente • Existen dos formas alternas para la fórmula

de medio ángulo para tan (𝑣

2):

• Demostrar que

1−cos 𝑣

sin 𝑣=

1 − cos 𝑣

sin 𝑣∙1 + cos 𝑣

1 + cos 𝑣 =

1−𝑐𝑜𝑠2𝑣

sin 𝑣 1+cos 𝑣

= 𝑠𝑖𝑛2𝑣

sin 𝑣 1+cos 𝑣 =

sin 𝑣

1+cos 𝑣

Ejemplo Dado que tan 𝛼 = –

4

3 y 𝛼 está en el cuadrante

IV, hallar tan 𝛼

2:

Solución:

Si tan 𝛼 = – 4

3 y 𝛼 está en el cuadrante IV, el sin

𝛼 = −4

5 y cos 𝛼 =

3

5 . Entonces,

Ejemplo • Hallar los

valores exactos de los interceptos en x de la gráfica que se muestra, para

0 ≤ x ≤ 2π .

Solución

Fórmula para ángulo doble

Factorizar

Igualar factores a cero.

Resolver ecuaciones Ejemplo: Determinar todas las soluciones de

cos 2𝑥 = 1

2

Solución: Usaremos la identidad

cos 2x = 2cos2x – 1

Entonces, 2cos2x – 1 = ½

Resolver ecuaciones Solución: (cont.)

2cos2x – 1 = ½

2cos2x = ½ + 1

2cos2x = 3

2

cos2x = 3

4

cos 𝑥 = ±3

4

cos 𝑥 = ±3

2

En 0,2𝜋] , 𝑥 = 5𝜋

6, 7𝜋

6, 11𝜋

6

𝜋

6,

Como 𝜋

6+ 𝜋 =

7𝜋

6 𝑦

5𝜋

6+ 𝜋 =

11𝜋

6

Las soluciones generales son:

𝑥 =

𝜋

6+ 𝑛𝜋, n entero

5𝜋

6+ 𝑛𝜋, n entero

Resolver ecuaciones Ejemplo: Resolver sin 2𝑥 = sin 𝑥

en 0,2𝜋 .

Solución: Usaremos la identidad

sin 2x = 2 sin x cos x

Entonces, sin 2𝑥 = sin 𝑥

2 sin x cos x = sin x (reemplazar la identidad)

2 sin x cos x – sin x = 0 (recoger todos los términos)

sin x ( 2 cos x – 1) = 0 (factorizar)

Resolver ecuaciones Solución (cont.):

sin x ( 2 cos x – 1) = 0 (factorizar)

sin x = 0 2 cos x – 1 = 0

sin x = 0 cos x = 1

2

(igualar cada factor a 0 y resolver para x.)

Si sin x = 0, entonces en [0, 2π) x = 0, π

Si cos x = 𝟏

𝟐, entonces en [0, 2π) x =

𝝅

𝟑,𝟓𝝅

𝟑.

Las soluciones de 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 en [0, 2π) son

x = 0, 𝝅

𝟑, π y

𝟓𝝅

𝟑.