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FUNCIONES EXPONENCIALES
Sección 4.2
Expresiones exponenciales
Anteriormente habíamos considerado funciones de potencia que tienen la variable en la base y una potencia constante.
(base variable) (potencia constante) ,
tales como x2 , 4x3 , 8x2/3 , etc.
Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma
(base constante) (potencia variable) ,
tales como 2x , 4x , 1
2
𝑥, etc.
Propiedades de exponentes
Propiedades de exponentes
Propiedades de exponentes
Propiedades de exponentes
Práctica: Simplificar cada una de las
siguientes expresiones
1
2
3
1
2
−4
23
3−2
3(24)
5(2−2)
5 + 2(4−1)
13
23
2
1
4
2 × 2 × 2
1
3
2
3(16)
5(1
2
2)
5 + 2(1
4
1)
1
8
24
13
8
12
32
48
5(1
4)
5 + 2(1
4)
16
1= 16
1
9
5
4
5 + 2
4= 5.5
Funciones Exponenciales
Una función f(x) = ax, donde x es un número real, a > 0
y a 1, se llama una función exponencial con base a.
La base necesita ser positiva para evitar los números
complejos que ocurrirían al tomar raíces pares de un
número negativo.
Los siguientes son ejemplos de funciones
exponenciales.
f (x) 2x f (x) 1
2
x
f (x) (3.57)x
Trazar la gráfica de una función exponencial
Para trazar la gráfica de una función exponential :
1. Identificar el dominio, rango, y asíntota horizontal
de la función.
2. Determinar is la gráfica es creciente o decreciente.
3. Calcular algunos valores de la función y organizar
los pares ordenados en una tabla.
4. Localizar los puntos representados por los pares
ordenados en un plano cartesiano y conectarlos
con una curva suave que se acerca a la asíntota
horizontal y que crece o decrece rápidamente.
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función exponencial f (x) = 2x.
Notamos:
• f(x) es creciente en
todo su dominio.
• Dominio: Todos los
reales
• Campo de valores:
(0,∞) ó y > 0
• y = 0 es una asíntota
horizontal
Trazar la gráfica de la función exponencial f (x) = 2x.
Ejemplo
Trazar la gráfica de
Ejemplo(cont.)
Trazar la gráfica de
Notamos:
• f(x) es decreciente
en todo su dominio.
• Dominio: Todos los
reales
• Campo de valores:
(0,∞) ó y > 0
• y = 0 es una asíntota
horizontal
Gráficas de funciones exponenciales (básicas)
Observar las siguientes gráficas de algunas funciones
exponenciales y trata de identificar patrones .
Nota que si a>1, la gráfica es creciente, mientras que si 0<a<1
(una fracción positiva), la gráfica es decreciente. Además,
nota que todas estás gráficas pasan por el punto (0,1).
Gráficas de Funciones Exponenciales
¿Se mantiene el patrón que notaste?
Aquí se muestran tablas y gráficas
de f(x) = 3x y g(x) = 3
2
𝑥 .
Definición
La función exponencial, f(x) = ax, está definida
cuando a es un número positivo diferente de 1 y
x es cualquier número real :
f(x) es creciente
dominio: R
rango: y>0
f(x) es decreciente
dominio: R
rango: y>0
Otras gráficas (cont.)
Trazar la gráfica de f(x) = 3x-2 y comparar con f(x)= 3x
x 𝑦 = 3𝑥
-3 1
27
-2 19
-1 13
0 1
1 3
2 9
3 27
x 𝑦 = 3𝑥−2
-1 1
27
0 19
1 13
2 1
3 3
4 9
5 27
Observemos tablas de
valores de 3x y 3 x-2:
Otras gráficas (cont.)
Trazar la gráfica de f(x) = 3x-2
Notas:
• La gráfica de g(x) es
idéntica a la gráfica de
f(x) pero se ha trasladada
hacia el lado derecho.
• El dominio de ambas
funciones es R
• El rango de ambas
funciones es y > 0.
• y = 0 es una asíntota
horizontal
Gráficas (cont.)
Trazar la gráfica de q(x) = 3x - 2
x 𝑦 = 3𝑥
-3 1
27
-2 19
-1 13
0 1
1 3
2 9
3 27
x 𝑦 = 3𝑥 − 2
-3 1
27−2
-2 19−2
-1 13−2
0 -1
1 1
2 7
3 25
Observemos tablas de
valores de 3x y 3 x-2:
Gráficas (cont.)
Trazar la gráfica de q(x) = 3x - 2
Notas:
• Las gráficas de q(x) y f(x)
tienen la misma forma pero
q(x) se ha trasladada hacia
abajo.
• El dominio de ambas
funciones es R
• El rango de q(x) es y > -2.
• y = -2 es una asíntota
horizontal
Ejemplo
Trazar la gráfica de 𝑓 𝑥 = 1
2
𝑥
+ 5
1
2
−3
+ 5
1
2
−2
+ 5
1
2
−1
+ 5
1
2
0
+ 5
1
2
1
+ 5
1
2
2
+ 5
= 13
= 9
= 7
= 6
= 5.5
= 5.25