Seance 4 - LORIA · 2016-07-05 · Les coe cients de la DCT sont reels ! quanti cation necessaire....
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Initiation autraitement du
signal - Seance 4
F. Sur - ENSMN
Quelquesproprietes de laTFD
Decroissance descoefficients de Fourier
Effet de Gibbs
La DCT
Application a lacompression
La quantification
Applications
Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
Cours electif CET42
Initiation au traitement du signalet applications
Seance 4: compression avec perte
Frederic SurEcole des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/signal/
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Effet de Gibbs
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Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
4 Conclusion
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Conclusion
Decroissance des coefficients de Fourier
Soit f ∈ L2p(0, a) et cn(f ) =
1
a
∫ a
0f (t)e−2iπnt/adt.
Rappel de la seance 1 :
Decroissance des coefficients de Fourier
Si f ∈ L2p(0, a), alors cn(f )→ 0 quand |n| → +∞.
(en fait vrai pour f ∈ L1p(0, a))
On a meme :
Decroissance des coefficients de Fourier (bis)
Si f ∈ C kp , alors cn(f ) = O
(1|n|k).
preuve : integrations par parties successives.
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Conclusion
Serie de Fourier et regulariteConsequence : plus un signal est regulier, plus sescoefficients decroissent vite.
Exemples :
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000
50
100
150
200
250
300
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000
50
100
150
200
250
300
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Conclusion
Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
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Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
fonction originale reconstruction avec 81 coeff.
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Conclusion
Idee pour la compression ?
→ On garde seulement les coefficients centraux (autres a 0).
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fonction originale reconstruction avec 21 coeff.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
fonction originale reconstruction avec 201 coeff.
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Conclusion
L’effet de Gibbs
Soit f 2π-periodique valant :
{ −π/4 entre − π et 0π/4 entre 0 et π
Sa serie de Fourier est :+∞∑k=0
sin ((2k + 1)x)
2k + 1.
Rappel : en quel sens a lieu la convergence ?
41 termes −3 −2 −1 0 1 2 3
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
On peut montrer que la valeur de l’“oscillation residuelle”est constante et vaut : ∼ 0.14.
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Conclusion
Effet de Gibbs et periodicite
Rappel : TFD d’un signal de N echantillons =approximation des N/2 premiers coefficients de Fourier(cn et c−n) du signal periodise .
Exemple : N = 128, on garde les 21 coefficients centraux.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
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Conclusion
Une solution pour eliminer Gibbs aux bords
On symetrise, puis TFD.
50 100 150 200 250
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
signal symetrise 21 coefficients centraux
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Conclusion
Signal symetrique et TFD
Rappel : TFD d’un signal (yn) de longueur N :
Yn =1
N
N−1∑k=0
ykω−nkN ou n ∈ {0, . . .N − 1} et ωN = e2iπ/N .
On suppose (yn) symetrise (donc de longueur 2N).
Yn =1
2N
2N−1∑k=0
ykω−nk2N
=1
2N
N−1∑k=0
yk
(ω−nk
2N + ω−n(2N−1−k)2N
)=
1
Ne iπn/(2N)
N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
car ω−nk2N + ω
−n(2N−1−k)2N = 2e
2iπ2N
n2
(e
2iπ2N (−nk−n/2) + e
2iπ2N (nk+n/2)
)10/26
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Conclusion
Transformee discrete en cosinus (1)
Yn =1
Ne iπn/(2N)
N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
Definition - Discrete Cosine Transform (DCT)
Yn =N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}
est la transformee discrete en cosinus du signal (yn)
Proposition - DCT inverse
yn =1
NY0 +
2
N
N−1∑k=1
Yk cos
(πk(n + 1/2)
N
)pour n ∈ {0, . . . ,N − 1}
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Conclusion
Transformee discrete en cosinus (2)
Yn =N−1∑k=0
yk cos
(πn(k + 1/2)
N
)
yn =1
NY0 +
2
N
N−1∑k=1
Yk cos
(πk(n + 1/2)
N
)
Remarque 1 : si (yn) est reel, alors (Yn) aussi.
Remarque 2 : Yn = Y 2N−n ete iπn/(2N) = −e−iπ(2N−n)/(2N), donc Y2N−n = −Yn.
Remarque 3 : plusieurs manieres de symetriser un signaldiscret, donc plusieurs definitions de la DCT.(ici DCT-II et inverse= DCT-III.)
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Conclusion
Compression perceptuelle
Avantages de la DCT par rapport a la TFD :
pas d’effet de Gibbs aux bords si discontinuite ;
decroissance plus rapide des coefficients (car symetriseecontinue).
→ idee de compression : on garde seulement les coefficientssignificativement non nuls (|Yn| 6 Sn).
Seuils Sn fixe sur des criteres perceptuels :difference signal reconstruction / signal original aussi peuvisible (ou audible) que possible.
Attention : va de pair avec etape de quantification. . .
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Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
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Conclusion
Quantification des coefficients
Les coefficients de la DCT sont reels→ quantification necessaire.(representation informatique finie)
Exemple : coefficients dans un intervalle [a, b], constructionde boıtes de quantification.
Quantification uniforme,
suivant la densite de probabilite,
et / ou argument perceptuel.
Remarque : apres quantification, le signal est une suite desymboles sur un alphabet fini !→ codage sans perte (Huffman : cf seance 3).
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Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
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Compression desvideos : MPEG
Conclusion
MP3 : sons
Mpeg 1 Layer 3 (normalisation ∼ 1994).
Compression (par rapport a PCM) a un taux ' 1/10sans defauts audibles (debit 128 kbit/s).(CD : 44.1 kHz × 16 bits × 2 = 1378 kbit/s).
Etapes de la compression d’un signal sonore :
decoupage temporel du signal ;
(modified) DCT + modele psycho-acoustique +quantification→ compression (la qualite depend de l’encodeur) ;
Huffman ;
formatage.
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Conclusion
JPEG : imagesJoint Photographics Experts Group (normalise en 1993).
Compression (par rapport a image 24 bits RGB) a un taux' 20 sans perte de qualite visible.
Preliminaires :
DCT 2D :
Yn,m =N−1∑k=0
N−1∑l=0
yk,l cos
(πn(k + 1/2)
N
)cos
(πm(l + 1/2)
N
)
RVB → YCbCr (credit image : Wikipedia.org)
original Y Cb Cr
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Conclusion
JPEG : schema de l’algorithme (1)
Etapes de la compression d’une image couleur :
RVB → YCbCr ;
definition de Cb-Cr divisee par 2 (argumentpsycho-visuel) ;
decoupage des canaux en blocs 8x8 ;
puis. . .
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JPEG : schema de l’algorithme (2)DCT sur les blocs (DCT = comb. lineaire de “blocs 8x8”) :
niveaux de gris :
0BBBBBBBBB@
52 55 61 66 70 61 64 7363 59 55 90 109 85 69 7262 59 68 113 144 104 66 7363 58 71 122 154 106 70 6967 61 68 104 126 88 68 7079 65 60 70 77 68 58 7585 71 64 59 55 61 65 8387 79 69 68 65 76 78 94
1CCCCCCCCCA
coefficients DCT Yn,m :
0BBBBBBBBB@
−415 −30 −61 27 56 −20 −2 04 −22 −61 10 13 −7 −9 5−47 7 77 −25 −29 10 5 −6−49 12 34 −15 −10 6 2 212 −7 −13 −4 −2 2 −3 3−8 3 2 −6 −2 1 4 2−1 0 0 −2 −1 −3 4 −10 0 −1 −4 −1 0 1 2
1CCCCCCCCCA20/26
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Compression desvideos : MPEG
Conclusion
JPEG : schema de l’algorithme (3)
quantification / mise a zero de coefficients de la DCT :
Q =
0BBBBBBBBB@
16 11 10 16 24 40 51 6112 12 14 19 26 58 60 5514 13 16 24 40 57 69 5614 17 22 29 51 87 80 6218 22 37 56 68 109 103 7724 35 55 64 81 104 113 9249 64 78 87 103 121 120 10172 92 95 98 112 100 103 99
1CCCCCCCCCA
Bn,m = E
(Yn,m
Qn,m
)
bB =
0BBBBBBBBB@
−26 −3 −6 2 2 −1 0 00 −2 −4 1 1 0 0 0−3 1 5 −1 −1 0 0 0−4 1 2 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
1CCCCCCCCCA
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Conclusion
JPEG : schema de l’algorithme (4)
Run-Length Encoding (Zig-zag ordering) :
Huffman ;
formatage.
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Compression desvideos : MPEG
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JPEG : exemple de DCT sur un bloc 16x16
image originale dct
58% des coefs a zero reconstruction
95% des coefs a zero reconstruction
Possibilite de JPEG progressif.23/26
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Application a lacompression
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Compression dessons : MP3
Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
MPEG : contenus multimedia
MPEG (∼1992) : VCD, MP3. . .
MPEG2 (∼1996) : DVD, TNT SD. . .
MPEG4 (∼1998) : Blu-Ray, TNT HD, streaming HD,visioconference. . .
Tres grossierement :
certaines images du flux videos sont codees par DCTpar blocs ;
les autres sont obtenues en exploitant les correlationstemporelles (prediction par compensation dumouvement par blocs).
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La DCT
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Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
Seance 4
1 Quelques proprietes de la TFDDecroissance des coefficients de FourierEffet de GibbsLa DCTApplication a la compression
2 La quantification
3 ApplicationsCompression des sons : MP3Compression des images : JPEGCompression des videos : MPEG
4 Conclusion
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Application a lacompression
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Compression desimages : JPEG
Compression desvideos : MPEG
Conclusion
Conclusion
La compression avec perte d’information parJPEG/MP3 est basee sur la decroissance descoefficients de DCT.
Plus un signal est regulier, plus la decroissance estrapide.
Mise a zero des coefficients de la DCT : argumentspsycho-perceptuels.
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