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Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole
• Álgebra de BooleDefiniciones y axiomasPropiedades
• Variables y funciones booleanasDefinicionesPropiedadesFormas de representaciónFunciones booleanas y circuitos combiancionales
• Puertas lógicasPuertas lógicas fundamentalesPuertas lógicas derivadas
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Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole
Álgebra de Boole
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Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole
• Definición de Álgebra de Boole
Un conjunto es un álgebra de Boole se verifica:
a) Es un conjunto finito B con al menos dos elementos, N (elemento nulo), U (elemento universal), y tres operaciones: dos binarias y una unaria
b) Cumple los 6 axiomas de HUNTINGTON
( B, *, +, )N BU B
∈∈
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• Axiomas de HUNTINGTON
1. Las operaciones *, + ,⎯ , deben ser cerradas
2. Operaciones con N,U
x * N = N x + N = xx * U = x x + U = U
3. Conmutatividadx * y = y * xx + y = y + x
x*y Bx,y B x y B
x B
∈⎧⎪∀ ∈ + ∈⎨⎪ ∈⎩
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4. Distributiva.x * (y + z) = (x * y) + (x * z )x + (y * z) = (x + y) * (x + z)
5. Complementatividad.
6. Hay por lo menos dos elementos distintos en B.
x * x Nx B, x B /
x x U=⎧
∀ ∈ ∃ ∈ ⎨ + =⎩
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• Propiedades del Álgebra de Boole
1. Propiedad de Idempotencia
x * x = xx + x = x
2. Propiedad Asociativa
x * ( y * z ) = ( x * y ) * z x + ( y + z ) = ( x + y ) + z
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3. Propiedad de Absorción
x + ( x * y ) = xx * ( x + y ) = x
4. Ley del consenso
5. Ley de involución
x + ( x * y ) = x + yx * ( x + y ) = x * y
(x) x=
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Se puede demostrar que B={0,1}, N=0, U=1, junto con las operaciones * , + ,⎯ , definidas por las siguientes tablas de verdad, forman un álgebra de boole.
OR AND NOT
11110010+
10100010*
0110
⎯
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Variables y funciones booleanas
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• Definiciones
Definimos constante sobre B, a todo elemento de B
Definimos variable de B, todo símbolo x que representa a cualquier elemento de B
Definimos literal de B, a toda constante ó variable
Definimos función booleana a la aplicación:
n
n n1 2 n
f : B Bdonde: B = B B .... B / x = (x ,x , .... ,x ) B
→
× × × ∈
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Definimos función constante a la función fa :
Definimos función proyección fp :
Definimos función degenerada a la función fd:
Definimos función parcialmente especificada a la aplicación:
n na 1 2 n a 1 2 nf : B B / (x ,x , .... ,x ) B , f (x ,x , .... ,x ) = a B→ ∀ ∈ ∈
n np 1 2 n p 1 2 n i
i
f : B B / (x ,x , .... ,x ) B , f (x ,x , .... ,x ) = x
donde x es una variable de B
→ ∀ ∈
n nd d df : B B / x,z B , f (x) = f (z)→ ∀ ∈
}{nd 3 3f : B B donde B = 0,1,#→
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Definimos término producto a todo literal o producto de literales, en los que cada variable aparece como máximo una vez.
Definimos mintérmino o producto canónico al término producto de una función, que está formado por las n variables de dicha función, apareciendo éstas una sola vez de forma complementada o sin complementar.
Definimos forma normal disyuntiva de una función, a su representación algebraica, que consta de un sólo término producto o de la suma de varios de ellos.
Definimos término suma a todo literal o suma lógica de literales, en las que cada variable aparece como máximo una vez.
Definimos maxtérmino o suma canónica al término suma de una función, que estáformado por las n variables de dicha función, apareciendo éstas una sola vez de forma complementada o sin complementar.
Definimos forma normal conjuntiva de una función, a su representación algebraica, que consta de un sólo término suma o del producto de varios de ellos.
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Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de BoolePara n variables podemos formar 2n mintérminos y 2n maxtérminos.
Notación para mintérminos y maxtérminos:
Definimos vector asociado a un mintérmino mi de n variables, al obtenido colocando 1 en las posiciones correspondientes a las variables NO complementadas, y colocando 0 en las posiciones correspondientes a las variables complementadas.Ejp:
Definimos vector asociado a un maxtérmino Mi de n variables, al obtenido colocando 0 en las posiciones correspondientes a las variables NO complementadas, y colocando 1 en las posiciones correspondientes a las variables complementadas.Ejp:
1 2 n-1 n 0 1 2 n-1 n 0
1 2 n-1 n 1 1 2 n-1 n 1
1 2 n-1 n 2 1 2 n-1 n 2
1 2 n-1
x * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x * x m x x .... x x Mx * x * .... * x *
= + + + + == + + + + == + + + + =
n n
n 3 1 2 n-1 n 3
1 2 n-1 n 1 2 n-1 n2 1 2 1
x m x x .... x x M............................ ............................
x * x * .... * x * x m x x .... x x M− −
= + + + + =
= + + + + =
5 1 2 3 4m x * x * x * x = → 0101
10 1 2 3 4M x x x x 10= + + + → 10
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• Propiedades
Dadas las funciones booleanas, f, g, las siguientes funciones f*g, f+g, , también son booleanas.
Teorema de Dualidad.
Si a una identidad o teorema de conmutación se sustituyen {+,*,0,1} por {*,+,1,0} respectivamente, se obtiene otra identidad o teorema dual al original.
Teorema de DeMORGAN.
n1 2 n
n1 2 n
n1 2 n
f*g(x) = f(x) * g(x) x = (x ,x , .... ,x ) Bf+g(x) = f(x) + g(x) x = (x ,x , .... ,x ) B
g(x) = g(x) x = (x ,x , .... ,x ) B
∀ ∈∀ ∈
∀ ∈
g
1 2 n 1 2 n
1 2 n 1 2 n
x x .... x x * x * .... * x
x * x * .... * x x x .... x
+ + + =
= + + +
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Teorema de SHANON (Teorema generalizado de DeMorgan).
Teorema de los mintérminos para n variables.
Teorema de los maxtérminos para n variables.
1 2 n 1 2 nf(x ,x , .... , x ,*, ,0,1) f(x ,x , .... , x , ,*,1,0)+ = +
n2 1
i 1 2 ni 0
m (x ,x , .... ,x ) 1−
=
=∑
n2 1
i 1 2 ni 0
M (x ,x , .... ,x ) 0−
=
=∏
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Teorema del desarrollo de Shanon, para mintérminos, para una función f(x) = f(x1,x2, .... ,xn), de n variables.
Teorema del desarrollo de Shanon, para maxtérminos, para una función f(x) = f(x1,x2, .... ,xn), de n variables.
[ ] [ ][ ]
[ ]
1 2 n 1 2 n
1 2 n
0 1
f(x) (x * x * ....* x ) * f(0,0, ... ,0) (x * x * ....* x ) * f(0,0, ... ,1) ............................................ (x * x * ....* x ) * f(1,1, ... ,1)
m * f(0,0, ... ,0) m * f(0,0,
= + ++ + =
= + [ ] n2 -1... ,1) ......... m * f(1,1, ... ,1)⎡ ⎤+ + ⎣ ⎦
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ]
1 2 n 1 2 n
1 2 n
0 1 2
f(x) (x x .... x ) f(0,0, ... ,0) * (x x .... x ) f(0,0, ... ,1) ** ............................................ * (x x .... x ) f(1,1, ... ,1)
M f(0,0, ... ,0) * M f(0,0, ... ,1) * ......... * M
= + + + + + + + ++ + + + =
= + + n -1f(1,1, ... ,1)⎡ ⎤+⎣ ⎦
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Como consecuencia del teorema del desarrollo de Shanon para mintérminos, tenemos que toda función f(x), admite una representación, que denominaremos forma canónica disyuntiva, formada por la suma de los mintérminos cuyos vectores asociados VK verifican que f(VK)=1.
Como consecuencia del teorema del desarrollo de Shanon para maxtérminos, tenemos que toda función f(x), admite una representación, que denominaremos forma canónica conjuntiva, formada por el producto de los maxtérminos cuyos vectores asociados VK verifican que f(VK)=0.
k kf(x) m donde f(V ) 1= =∑
k kf(x) M donde f(V ) 0= =∏
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Tema 2 Teoría de la conmutación. Álgebra de Boole
Teorema para obtener la función complementada de una dada en forma canónica disyuntiva.
Dada una función g(x), expresada en forma canónica disyuntiva, su función complementada , estará dada por la suma de los mintérminos que no aparecen en g(x).
Teorema para obtener la función complementada de una dada en forma canónica conjuntiva.
Dada una función g(x), expresada en forma canónica conjuntiva, su función complementada , estará dada por el producto de los maxtérminos, que no aparecen en g(x).
g(x)
g(x)
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• Formas de representación
a) Esquemas de Circuitos
Un circuito electrónico, descrito a nivel de dispositivos, puede ser considerado como una forma de representar a la función booleana que implementa
b) Diagrama de puertas lógicas
Consiste en representar una función, mediante su implementación utilizando puertas lógicas
c) Expresión algebraica
Permite una representación más compacta, pero la información se presenta más oculta
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d) Métodos de enumeraciónd.1)Tabla de verdad. Listado que de forma explícita representa el
resultado de la función, para cada una y todas las combinaciones de las entradas
d.2) Vector de valores. Vector formado por el resultado de la función, en el orden creciente de las combinaciones en las variables de entrada
d.3) Mintérminos. La función en forma canónica disyuntiva
d.4) Maxtérminos. La función en forma canónica conjuntiva
e) Mapas de KarnaughEs una representación gráfica de la tabla de verdad mediante una matriz bidimensional, donde cada posible combinación de los valores binarios de las variables de entrada, está representada por una celda ó casilla. Las entradas están ordenadas en código Gray, de forma que dos casillas adyacentes (horizontal ó verticalmente), sólo tienen distinto valor en una de las entradas
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• Mapas de Karnaugh de 3 variables y de 4 variables
57311
46200
10110100x1,x2x3
10146210
11157311
9135101
8124000
10110100x1,x2x3,x4
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• Mapa de Karnaugh de 5 variables
x1= 0
10146210
11157311
9135101
8124000
10110100x2,x3x4,x5
x1= 1
2630221810
2731231911
2529211701
2428201600
10110100x2,x3x4,x5
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• Mapa de Karnaugh de 6 variables
x1x2= 10
4246383410
4347393511
4145373301
4044363200
10110100x3,x4x5,x6
x1x2= 11
5862545010
5963555111
5761534901
5660524800
10110100x3,x4x5,x6
x1x2= 00
10146210
11157311
9135101
8124000
10110100x3,x4x5,x6
x1x2= 01
2630221810
2731231911
2529211701
2428201600
10110100x3,x4x5,x6
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• Funciones booleanas y circuitos combinacionales
Para implementar un circuito digital combinacional de m entradas y n salidas, seránecesario implementar n funciones booleanas cada una de ellas dependiente de mvariables.
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1 1 2 m
2 1 2 m
n 1 2 m
f (x , x , ..... , x )f (x , x , ..... , x )
.................f (x , x , ..... , x )
x1
x2
xm
z1
z2
zn
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Puertas lógicas
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• Puertas lógicas fundamentales
z = x y
0110
NOT
10100010AND
11110010OR
z = x
z = x + y
NOT
AND
OR
x
x
y
x
y
z
z
z
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z = x y = x y + x y⊕
z = x y
z = x + y
01111010NAND
00101010NOR
10101010XNOR
01110010XOR
z = x y⊕
• Puertas lógicas derivadasXOR
NAND
NOR
XNOR
x
y
x
y
x
y
x
y
z
z
z
z
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Ejemplo de función booleana
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Diagrama de circuitos
vz
vx3
vx4vx1
vx2
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Diagrama de puertas lógicas
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Expresión algebraica
Tabla de verdad
1 2 3 4 1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) (x * x ) (x * x )= +
1110111011100000
0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
zx1 x2 x3 x4
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Vector de salida f(x1,x2,x3,x4) = (1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0)
Forma canónica disjuntiva
Forma canónica conjuntiva
Mapa de Karnaugh.
1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) = m(0,1,2,4,5,6,8,9,10)∑
1 2 3 4f(x ,x ,x ,x ) = M(3,7,11,12,13,14,15)∏
101110000011101101101100
10110100x1,x2x3,x4