4.1 Cismin Arl 714.2 Dzlemsel Alanda Arlk Merkezi - ntegrasyon Yntemi 72

rnekler 754.3 Dzlemsel Eride Arlk Merkezi - ntegrasyon Yntemi 78

rnekler 804.4 Bileik Plak ve Teller 82

rnekler 834.5 PappusGuldinus Teoremleri 84

rnekler 874.6 Boyutlu Cisimlerde Arlk Merkezi 89

rnekler 93 PROBLEMLER 94

nl Fransz matematikisidir. Gne sisteminin kararll stne aratrmalaryla bilinir. 1773 de yrngelerin dmerkezlik ve eikliklerinin kplerinden yararlanarak gezegenlerin Gneten uzaklklarnn ortalamasnn deimediini kantlad. 1787 de Ayn ivmesinin yer yrngesinin dmerkezliine bal olduunu belirledi. Doada karlalan belirli fiziksel olaylarn gerekleme olaslklarnn matematiksel olarak hesaplanmasna ilikin eitli yntemler ortaya att. Ktle ekimi yasasn uygula-yarak ve matematiksel olarak gelitirerek gezegenlerle uydularn devinimlerinin ve bu devinimleri etkileyen gel-gitlerin hesaplanmasn salad. Metre sisteminin oluturul-mas almalarna katld. Esnek grleri nedeniyle, politikayla da ilgilendi, Napolon dneminde iileri bakanl, senato bakan yardmcl yapt. 1806 da imparatorluk kontu unvann ald. 1814 de Napolonun drlmesi ynnde oy kulland ve XVIII. Louisyi destekledi, kral da onu marki unvan ile dllendirdi.

Pierre-Simon LAPLACE (1749-1827)

4.1. CSMN AIRLII

Gerek anlamda tek bir noktaya etkiyen bir tekil kuvvete uygulamada rastlamak pek mmkn deildir. O nedenle zm aratrlan bir prob-lemde eer tekil kuvvet kullanlyorsa bu ya bir idealletirme ya da bir yaklaklktr. Biz mhendisler bazen bir fizik probleme etkiyen yayl kuvvetlere ait toplam etkiyi bir btn olarak grmek isteyebiliriz. O zaman yayl kuvvetleri tek bir bileke altnda toplar ve bunlar kuvvet merkezi dediimiz tek bir noktaya indirgeriz. Tabii bu srada cevaplan-mas gereken en nemli soru Paralel kuvvetlerin bilekesinin etki nok-tas olan kuvvet merkezi nasl hesaplanr?. Yayl kuvvetlere en basit rnek cismin arldr. Byle bir durumda kuvvet merkezinden anlal-mas gereken cismin arlk merkezidir. imdi konuya girmeden nce baz nemli tanmlar verelim.

yle ki, cismin boyutlar yannda ok kk olacak biimde seilen bir hacme etkiyen yayl kuvvetlerin toplam, o hacmin arlk merkezinde tek bir tekil kuvvetle tanmlanabilir. Bu durumda genel olarak ykler yayl kuvvetlerdir ve etkidikleri blge iindeki deiimlerine baklarak iddetleri hesaplanrlar. Younluk: Genellikle ile gsterilen younluk, ktlesi m , hacmi V bir cisimde, tanm gerei, m

V = (4.1)

birim hacmin ktlesidir ve SI birim sistemi iinde birimi 3[kg/m ] dr. Younluk her bir malzemenin kendisine zg bir fiziksel zellii olup, belli bir scaklk iin sabit bir deerdir.

72 STATK

zgl Arlk: Genellikle ile gsterilir ve tanm gerei, g = (4.2) birim hacmin arldr ve SI birim sistemi iinde birimi 3[N/m ] dr. Burada 29.81 m/sng @ yer ekimi ivmesidir. Cismin Arl: Dnyann bir cisme uygulad yer ekimi kuvvetine o cismin arl denir. Bu kuvvet, ekil (4.1) de grld gibi cismin zerine yaylm ok saydaki paralel diferansiyel kuvvet d dW=-W k nn bilekesi olacandan, cismin toplam arl W=-W k da, cismin arlnn iddetini ifade eden byklk, d

VW W= (4.3)

biiminde hesaplanr. Eer cismin hacmi V ve zgl arl belli ise, o zaman homojen bir cismin arl, d

VW V= (4.4)

biiminde de hesaplanabilir. Homojen bir cisimde sabit = olacan-dan, zgl arlk (4.4) de integral dna kartlmtr. Arlk Merkezi: Arlk kuvveti W nin cisim iindeki etki noktas M ye verilen addr ve bu noktann koordinatlar kitapta ),,( MMM zyx biimin-de tanmlanacaktr (Baknz ekil 4.1). 4.2. DZLEMSEL ALANLARDA AIRLIK MERKEZ

(NTEGRASYON YNTEM) ki boyutlu cisimler plaklar ve teller diye iki snfa ayrlabilir. imdi nce plaklar ele alalm. Kalnl t sabit= ve zgl arl sabit = olan ekil (4.2) deki homojen dzlem plaktaki hacim eleman dV nin dife-ransiyel arl d dW=-W k integre edilirse, ( , )x y dzlemindeki pla-n toplam arl dW=-W k elde edilir. u halde, plak arlk mer-kezi ),(M MM yx nin koordinatlar,

d

dV

M

V

x Wx

W= ve

d

dV

M

V

y Wy

W= (4.5)

biiminde hesaplanr. ekil (4.2) deki dzlemsel homojen plakta:

Plan alan : dA

A A= (4.6)

4. AIRLIK MERKEZ 73

Diferansiyel hacim eleman : d dV t A= (4.7) Diferansiyel hacmin arl : d dW t A= (4.8)

(4.5) ifadeleri daha da sadeletirilebilir. yle ki, (4.5) de (4.8) yerle-tirilip, pay ve paydadaki sabitt = sadeletirilirse,

d

d

d

d

AM

A

AM

A

x Ax

A

y Ay

A

=

=

(4.9)

elde edilir. (4.9) da alann eksenlere gre birinci dereceden momentleri,

dxA

S y A= ve dy AS x A=

sras ile x ve y eksenlerine gre alann statik momenti olarak adlandrlr.

ALANIN AIRLIK MERKEZ: Keyfi bir erinin evreledii alann arlk merkezi hesabnda integrasyon kanlmazdr. ekil (4.3a) daki Kartezyen koordinatlarda diferansiyel alan eleman,

d d dA x y= (4.10)

olurken, ekil (4.3b) deki kutupsal koordinatlar kullanldnda diferan-siyel alan eleman,

d d dA r r = (4.11)

olur. Bunlar (4.9) de yerletirilirse, ifadeler ift katl integrallere dnr. u bir gerek ki, ift katl integrasyon yerine uygun bir tek katl integras-yon kullanlabilirse, bu ilemlerde bir sadelik salayacaktr. Bu amala ou kez dA eleman ince bir erit eklinde alnarak ift katl intergralden tek katl integrale geilebilir. Problemin yapsna bal olarak farkl mate-matik admlar izlenerek genellikle uygun bir tek katl integrale gei yaplabilir. imdi srayla bu matematik admlar grelim.

Kartezyen Koordinat Takm: ekil (4.4a) da ( )y y x= erisi ve bu eri ile x ekseni arasnda dey konumda yerletirilmi diferansiyel erit ele-man Ad grlyor. erit eleman eriye keyfi P ( , )x y noktasnda temas etmektedir. Burada,

74 STATK

ZELGE (4.1): Baz geometrik ekillerin arlk merkezi ile alanlar. GEOMETR xM yM Alan

gen 13 h 12 bh

1/4 daire 43

r

43

r

214 r

1/2 daire 0 43

r

212 r

1/4 elips 43

a

43

b

14 ab

1/2 elips 0 43

b

12 ab

Parabol paras

( )( )12

na

n++

( )( )

14 2n

hn++ ( )1

ahn+

( )( )1

2 4n

an++

( )( )

12 1n

hn++ ( )( )1

n ahn+

Daire dilimi

2 sin3

r 0

2r