OLEHOLEH

Sejarah Persamaan SchrodingerSejarah Persamaan Schrodinger

Ditemukan oleh Ditemukan oleh Erwin Rudolf Josef Alexander Erwin Rudolf Josef Alexander

SchrödingerSchrödinger ( (1887--1961))

Persamaan SchrodingerPersamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum – seperti halnya mekanika kuantum – seperti halnya

hukum gerak kedua yang merupakan hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika persamaan pokok dalam mekanika

Newton – dan seperti persamaan fisika Newton – dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan Schrodinger umumnya persamaan Schrodinger berbentuk persamaan diferensialberbentuk persamaan diferensial

Schrodinger menggunakan asumsi Schrodinger menggunakan asumsi untuk menurunkan persamaannya untuk menurunkan persamaannya

antara lain:antara lain:1.Persamaan nya harus konsisten dengan 1.Persamaan nya harus konsisten dengan

postulat de-broglie enstein yaitu;postulat de-broglie enstein yaitu;

λλ=h/p dan v=E/h=h/p dan v=E/h2.Persamaannya harus konsisten dengan 2.Persamaannya harus konsisten dengan

hukum kekekalan energihukum kekekalan energi

E=pE=p22/2m +v/2m +v

3. Solusi persamaan nya harus linier,bersifat 3. Solusi persamaan nya harus linier,bersifat kontinue,memiliki nilai tunggal dan kontinue,memiliki nilai tunggal dan berharga tertentuberharga tertentu

Fungsi HamiltonFungsi Hamilton

Sebagai partikel satu elektron mempunyai Sebagai partikel satu elektron mempunyai energi total yang terdiri dari ;energi energi total yang terdiri dari ;energi potensial dan energi kinetikpotensial dan energi kinetik

Ep=Ep(x)Ep=Ep(x)

Ek=1/2mvEk=1/2mv22

Jadi Jadi E total= Ep+EkE total= Ep+Ek

= Ep(x)+1/2mv= Ep(x)+1/2mv22

= = Ep(x)+pEp(x)+p22/2m/2m ………(1) ………(1)

Dilihat dari pers.(1) sbg pers matematis Dilihat dari pers.(1) sbg pers matematis biasa,dapat dlukiskan sebagai:biasa,dapat dlukiskan sebagai:

E=H(p,x)= Ep(x)+pE=H(p,x)= Ep(x)+p22/2m /2m

dimana dimana H(p,x)H(p,x) disebut fungsi disebut fungsi Hamilton,denganHamilton,dengan p p dan dan xx sebagai peubah sebagai peubah bebas.bebas.

Turunan parsial dr fungsi diatas terhadap p Turunan parsial dr fungsi diatas terhadap p dan x adalahdan x adalah∂H(p,x)/∂p =p/m∂H(p,x)/∂p =p/m dan dan ∂H(p,x)/∂x= dEp(x)/d(x)∂H(p,x)/∂x= dEp(x)/d(x)

Persamaan Schrödinger Persamaan Schrödinger bersandar kepada massabersandar kepada massa

E=iE=iħ ∂/∂tħ ∂/∂tUntuk perwakilan kedudukan atau posisiUntuk perwakilan kedudukan atau posisi

iiħ ∂/∂t ħ ∂/∂t ψψ(x.t)= -ħ(x.t)= -ħ22/2m ∂/2m ∂22/∂x/∂x22 ψψ(x.t) + v(x) (x.t) + v(x) ψψ(x.t)(x.t)

Untuk perwakilan momentumUntuk perwakilan momentum

iiħ ∂/∂t ħ ∂/∂t ψψ(p.t)= -ħ(p.t)= -ħ22 K K 2 2 /2m /2m ψψ(p.t) + v(i ∂/∂p ) (p.t) + v(i ∂/∂p ) ψψ(p.t) (p.t)

Persamaan Schrödinger tak Persamaan Schrödinger tak bersandar kepada massabersandar kepada massa

-ħ-ħ22/2m d/2m d2 2 ψψ /dx/dx22 ψψ+ v(x) + v(x) ψψ=E =E ψψ(x)(x) Sifat penyelesaian persamaan Schrödinger: Sifat penyelesaian persamaan Schrödinger:

ψψ dan d dan dψψ/dx/dx mesti selanjar supaya persamaan mesti selanjar supaya persamaan Schrodinger tertakrif rapi; Schrodinger tertakrif rapi; ψψ dan d dan dψψ/dx/dx masing-masing mesti terhingga masing-masing mesti terhingga untuk membolehkan postulat kebarangkalian untuk membolehkan postulat kebarangkalian berlaku dan tertakrif rapinya persamaan berlaku dan tertakrif rapinya persamaan Schrodinger; Schrodinger; ψψ dan d dan dψψ/dx/dx mesti bernilai tunggal supaya tidak mesti bernilai tunggal supaya tidak berlaku ketaksaan dalam memilih nilai fungsi berlaku ketaksaan dalam memilih nilai fungsi masing-masing (yang ada kaitan dengan kuantiti masing-masing (yang ada kaitan dengan kuantiti fizikal. fizikal.

Persamaan schrodinger bebas Persamaan schrodinger bebas waktuwaktu

Ditinjau dari persamaan ini Ditinjau dari persamaan ini

-ħ-ħ22/2m ∂/2m ∂22ψψ/∂x/∂x22 + Ep(x) =E + Ep(x) =Eψψkedua ruas dibagi dgkedua ruas dibagi dg ψψ(x)T(t)(x)T(t)

Maka Maka -ħ-ħ22/2m 1/ /2m 1/ ψψ(x) ∂(x) ∂2 2 ψψ(x)/∂x(x)/∂x22 + Ep(x) =-jħ1/T(t) ∂T(t)/ ∂t + Ep(x) =-jħ1/T(t) ∂T(t)/ ∂t

Sehingga dperoleh persamaan schrodinger Sehingga dperoleh persamaan schrodinger bebas waktubebas waktu

-ħ-ħ22/2m /2m 1/ 1/ ψψ(x) (x) ∂∂22 ψψ(x)(x)/∂x/∂x22 + Ep(x) =E + Ep(x) =EAtauAtauħħ22/2m /2m ∂∂22 ψψ(x)(x)/∂x/∂x22 + (E-Ep(x) ) + (E-Ep(x) ) ψψ(x)(x)=0=0

Wassalam…Wassalam…