Schemi S chemi di di

moltiplicazionemoltiplicazione

……e qualche trucchetto per e qualche trucchetto per le tabellinele tabelline

I ndice S chemi … con le dita

a gelosia

a castelluccioEgizi

del contadino russo

per scapezzo a crocetta

N epero :

Moltiplicazione

ad una cifra Moltiplicazione

a più cifre

medioevale

A ll’indietro

Moltiplicazione con le Moltiplicazione con le ditadita

Un vecchio sistema usato per le “tabelline”

con numeri maggiori di 5

5 6 7 8 9 10

indice

Per moltiplicare 8 x 7 si procedeva in questo modo:

1- Si indicava con una mano l’8 e con l’altra il 7

2- Si sommavano le dita alzate che indicavano le decine:

3 da + 2 da = 5 da3- Si moltiplicavano tra loro le dita chiuse:

2 x 3 = 64- Si sommavano i risultati:

50 + 6 = 56

Gli <<Ossi>> diGli <<Ossi>> di N eperoN epero

Così scrive N epero stesso: Eseguire dei calcoli è operazione difficile e lenta e spesso la noia che ne deriva e la causa principale della disaffezione che la m aggioranza della gente prova nei confronti della matematica.

Ho cercato sempre - usando tutti i m ezzi che avevo a disposizione e con le forze che il m io intelletto m i ha dato - di rendere più agevole e spedito questo processo. È con questo scopo ben fisso nella mente che ho elaborato il metodo dei logaritm i, a cu i ho dedicato molti anni di studio... Nello stesso tem po, a beneficio di chi volesse far uso solo dei numeri naturali, ho predisposto altri tre brevi metodi di semplificazione dei calcoli. I l primo dei quali e stato battezzato R abdologia e si basa su ll'uso di alcune asticelle su cu i sono scritti i numeri... Rabdologia, p. 1http://www.sibiwin.it/matematica/mouseCALC2.htm

indice

L’uso dei regoli rinascimentali di Nepero sono dovuti a Lord John Napier barone di Murchiston (1550-1617), ricco proprietario terriero scozzese che si interessava di argomenti di varia natura. Per la matematica si applicò a questioni di calcolo e di trigonometria e fu l’inventore dei logaritmi. Nella sua Rhabdologia del 1617 presentò alcuni ingegnosi artefici per eseguire le moltiplicazioni e le estrazioni di radici quadrate (e cubiche) attraverso una tavola numerica formata da bastoncini mobili.

Queste strisce risultavano intestate ciascuna ad una cifra della numerazione decimale, da 1 a 9.

Queste informazioni le ho tratte dal libro di Barbanera e De Luca, “Progetto Pitagora”, classe quinta, Giunti Lisciani Editori, 1993

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0 1

2

30

0

7

6

04

0

0

5

08

09

0

1

0 6

2

81

2

2

6

34

3

4

0

48

54

1

6

0 3

6

90

1

1

8

12

1

2

5

24

27

0

3

0 5

0

51

2

5

0

20

3

3

5

40

45

1

5

0 8

6

42

3

6

8

42

4

5

0

64

72

1

8

0 9

8

72

3

3

4

46

5

6

5

72

81

1

9

i i ‘‘’’bastoncinibastoncini ’’

I ndex fisso

0 2

4

60

0

4

2

18

1

1

0

16

18

0

2

0 4

8

21

1

8

4

26

2

2

0

32

36

0

4

0 7

4

12

2

9

2

38

4

4

5

56

63

1

701

2

3

5

7

6

4

89

indice

Moltiplicazione ad una cifraMoltiplicazione ad una cifra::

Es. 385 x 8

si avvicinano all’indice fisso del moltiplicatore i regoli 3, 8, 5

Facendo scorrere il visore sulla riga 8, appariranno nelle finestrelle i numeri:

2 4+ 6 4 + 4 0

Sommiamo cominciando da destra

La cifra delle unità è 0 (si guarda l’unità del regolo 5)

La seconda cifra, quella delle decine, è 8 (4+4)

La terza cifra, quella delle centinaia, è 0 (4+6) col riporto di 1

La quarta cifra, delle unità di migliaia, è 3 (2+1 di riporto)

Il prodotto è 3.080

0 3

6

90

1

1

8

12

1

2

5

24

27

0

30 5

0

51

2

5

0

20

3

3

5

40

45

1

50 8

6

42

3

6

8

42

4

5

0

64

72

1

801

2

3

5

7

6

4

89

indice

Moltiplicazione a piMoltiplicazione a più ù cifrecifre:

Es. 742 x 463

0 2

4

60

0

4

2

18

1

1

0

16

18

0

2

0 4

8

21

1

8

4

26

2

2

0

32

36

0

4

0 7

4

12

2

9

2

38

4

4

5

56

63

1

701

2

3

5

7

6

4

89

1- Si inseriscono i bastoncini contrassegnati con i numeri 7, 4 e 2, vicino all’Index fisso del moltiplicatore

2- Facciamo scorrere prima il visore sulla riga quattro: appariranno nelle finestrelle i numeri: 2 8+1 6+0 8

Sommando come nell’esempio precedente, si ottiene 2.968

3- Facciamo ora scorrere il visore sulla riga 6; appariranno nelle finestrelle:

4 2+2 4+1 2. Sommando, si ottiene 4.452

4- Infine, poniamo il visore sulla linea 3; appariranno: 2 1+1 2+0 6. Sommando si ottiene 2.226

5- Sommiamo i risultati ottenuti, aggiungendo uno zero al secondo numero, due zeri al terzo, e così via:

2.968 + 44.520 + 222.600= 270.088

indice

Schema a Schema a reticoloreticolo, <<dei , <<dei musulmani>>, <<a gelosia>>musulmani>>, <<a gelosia>>

324 x 433 2 443

32

4 43

1. S i scrive il moltiplicando e il moltiplicatore ai lati di un rettangolo o di un quadrato (quando i due fattori hanno un numero uguale di cif re)

indice

Lo schema a reticolo era in uso nei paesi arabi; per questo veniva chiamato <<schema dei musulmani>>.

I n I talia era conosciuto come <<schema a gelosia>> ( gelosia, in questo caso, è sinonimo di persiane che, messe alla finestra, proteggevano da sguardi indiscreti)

3 2 4

4

3

16

08

12

3

2

4 4

31 60 8

1 2

2. R icordando che 324 x 43= 324 x (40 +3), si applica la proprietà distributiva, si comincia a moltiplicare 324 x 4 decine

e si scrivono i risu ltati come indicato negli schemi

3

2

4 4

31 6

0 8

1 21 260

0 9

3 2 4

4

3

16

08

12

21

600

9

3. S i moltiplica 324 x 3 e si scrivono i risu ltati , come indicato negli schemi

4. S i addiziona in diagonale a cominciare dalle unità ( 2) , tenendo conto di eventuali riporti

32

4 431 6

0 8

1 2

1 2

60

0 9

23931

324 x 43= 13 932

3 2 443

16

08

12

21

600

9

2393

1

(6+6+1)(9+8+1)

+ 1 di riporto

(2+1 di riporto)

indice A schema gelosia

Schema <<a castelluccio>>Schema <<a castelluccio>>742 x 463742 x 463

1- Si moltiplicava 7 x 463.

7 x 3=21. Si scriveva 1 sotto il 3 e si riportava 2.

A destra dell’1 si scrivevano due zeri in quanto si era moltiplicato per 7 centinaia.

742 X 463 _______ 100

2- Si moltiplicava 7 x 6= 42 più 2 di riporto=44.

Si scriveva 4 e si riportava 4.

Si moltiplicava 7 x 4= 28 più 4 di riporto: 32

742 X 463 _______ 324100

3- Si moltiplicavano le 4 decine per 463, mettendo uno zero per indicare che moltiplicavano le 4 decine.

742 X 463 _______ 324100 18520

4- Si moltiplicava 2 x 463 e si addizionavano i prodotti parziali

742 X 463 ________ 324100 18520

926

_________

343.546

indice

Schema <<all S chema <<all ’’indietro>>indietro>>La stessa moltiplicazione - La stessa moltiplicazione - 742 x 463 -742 x 463 -

eseguita con questo schema, simile al eseguita con questo schema, simile al ‘castelluccio’. In questo caso, però, si ‘castelluccio’. In questo caso, però, si

cominciava a moltiplicare:cominciava a moltiplicare:

1- 742 x 400= 296.800

2- 742 x 60= 44.520

3- 742 x 3= 2.226

742

x 463

___________

296800

44520

2226

____________

343 546indice

Gli Egizi Gli Egizi

e la moltiplicazionee la moltiplicazionePer eseguire la moltiplicazione, gli antichi Egizi non avevano bisogno delle tabelline.

A loro bastava saper moltiplicare e dividere per 2 e saper sommare.

S i conoscono due m odi:

Primo m odo

Secondo modo

indice

Questo modo di eseguire la m oltiplicazione è di origine antichissima e viene descritto nel ‘papiro papiro di R hinddi R hind’’Per moltiplicare 25 x 11 si scrivevano i due numeri in colonna

Si calcolava la metà di 25 (1/2 di 25=12 r.1). Non si teneva conto del resto e si scriveva 12

Si calcolava la metà di 12 e si scriveva

Si calcolava il doppio di 11e si scriveva.

Si calcolava il doppio di 22 e si scriveva

Si calcolava la metà di 6 e si scriveva

Si calcolava il doppio di 44 e si scriveva

Si calcolava la metà di 3 e,non tenendo conto del resto, si scriveva 1.

Si calcolava il doppio di 88 e si scriveva

25 11

12 22

6 44

3 88

1 176

25 11

12 22

6 44

3 88

1 176

Dopo che si raggiungeva l’1 (nella colonna dove si era diviso il numero di partenza a metà), si cancellavano le righe in cui la metà trovata era un numero pari.

Si sommavano, infine, i raddoppi rimasti:

11 + 88 + 176 = 275

275 Torna

Per eseguire questa moltiplicazione

26 x 1726 x 17

gli Egizi si comportavano in questo modo:

Partendo da 26, si eseguivano i successivi raddoppiamenti

Partendo da 1, si raddoppiava fino a trovare il 17. Si fermavano a 16 perché, fra i numeri scritti, ci sono 16 e 1 che, sommati tra loro, danno 17

26 1

52 2

104 4

208 8

16416

X 2 X 2

442Si sommavano, infine,i numeri che nella colonna dei raddoppiamenti

corrispondevano a 16 e a 1, cioè:

416 + 26 = 442

Moltiplicazione del <<contadino Moltiplicazione del <<contadino russo>>russo>>

Così denom inato per il fatto che fino a poco tempo fa era ancora in uso presso i contadini

russi. Questo m etodo è sim ile a quello egiziano. 1- S i formano due colonne di numeri: nella prima colonna, ogni numero successivo al primo è il doppio del precedente; nella seconda colonna la metà ( approssimata all’unità inferiore) del precedente.2- S i prosegue in tal modo fino a che nella seconda colonna si ottiene 1.

5

24032

126 42

252 21504 10

10082016

1

3- S i evidenziano i numeri dispari presenti nella seconda colonna e si addizionano i numeri che a essi corrispondono nella prima colonna.

La somma è il prodotto richiesto.

4032

126 42

252 21504 10

1008 52016 2

1

126 x 42= 252 + 1 008 + 4 032= 5 292

126 x 42

indice

Procedimento per <<scapezzo>> o per Procedimento per <<scapezzo>> o per spezzatospezzato

S i scompongono entram bi i fattori nella somma di due o più addendi, a piacere.

Es. 56 x 34

56= 30+20+6 34= 20+10+4

Il prodotto si ottiene applicando alla moltiplicazione

(30+20+6) x (20+10+4)

la proprietà distributiva rispetto all’addizione.

Usare uno schema facilita:30 20 6

20

10

4

600 400

300 200

120 80 24

60

120

56x34= 600+400+120+300+200+60+120+80+24= 1 904

indice

Lo schem a <<a crocetta>>Lo schem a <<a crocetta>>esposto da Fibonacci nel ‘Liber abaci ‘,

e noto agli indiani come ‘m oltiplicazione fu lm inea’, permette di risolvere la moltiplicazione senza eseguire i prodotti parziali.

Es: 153 x 42153 x 42= (100+50+3) x (40+2)

1- 40 x 100= 4.000

2- 4.000+ (40 x 50)= 6.000

3- 6.000+ (40 x 3)= 6.120

4- 6.120+ (2 x 100)= 6.320

5- 6.320+ (2 x 50)= 6.420

6- 6.420+ (2 x 3)= 6.426

100+50+3

40+2

indice

Lo schema Lo schema MedioevaleMedioevale,,

progenitore di quello attuale

9 3 4

4

1

3

6373

439

2082

2 9 3 2 7 6

Questo schema è stato tratto da ‘larte de labbacho’‘larte de labbacho’, di autore ignoto, opera stampata a Treviso nel 1478.

Op. cit. Barbanera, De Luca.