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Vorwort
Schach ist eines der ältesten Spiele der Welt. Bis heute begeistert es Millionen von Menschen
und ist eine Mischung aus Sport, Wissenschaft und Kunst.
Dass Schach ein Sport ist, merkt man spätestens dann, wenn man mehrere Stunden lang
hochkonzentriert auf einem Stuhl sitzend, die Stellung analysiert und probiert, den Gegner zu
überspielen.
Dabei wird der physikalische Faktor des Spiels sehr oft unterschätzt. Während die meisten
Menschen sich Schach als ein Taschenspiel vorstellen, das ältere Herren mit sich herumtragen
und in öffentlichen Parks zur Belustigung spielen, ist eine Turnierpartie mit einer Bedenkzeit
von mehr als sechs Stunden, bei der es zu zahlreichen Zeitnotsituationen kommt und auch
noch um den Turniersieg geht, alles andere als eine entspannte Runde unter Freunden. Nicht
umsonst sind die meisten Top-Schachspieler körperlich fit und haben eine sehr starke Aus-
dauer.
In dieser Arbeit wird es um den Aspekt der Wissenschaft gehen. Es werden Verbindungen zur
Mathematik hergestellt, jedoch nicht die typischen Schachaufgaben gelöst. Dennoch lässt sich
der wissenschaftliche Aspekt mit der vielfältigen Literatur und den vielen Meistern und
Großmeistern auf der einen Seite und den Schachcomputern auf der anderen Seite belegen.
Die Schachcomputer sind heutzutage dem Menschen überlegen und besitzen ausgeklügelte
Algorithmen zur Berechnung der Varianten. Es gibt auch Schachcomputer, die gegeneinander
antreten. Einzelne Personen – meist sehr starke Schachspieler, wenn nicht Meister – pro-
grammieren ihre eigenen Engines1 oder modifizieren schon vorprogrammierte, um ein opti-
males Ergebnis zu erzielen. Es sei erwähnt, dass viele Schachgroß- und Weltmeister auch
außerhalb des Brettes eine überdurchschnittliche Intelligenz aufweisen. Dr. Emanuel Lasker
war Mathematiker und Philosoph sowie bis heute der am längsten amtierende Schachwelt-
meister der Geschichte mit insgesamt 27 Jahren. José Raúl Capablanca war Diplomat. Ale-
xander Aljechin war Jurist.2
Schach als Kunst ist schon etwas schwieriger vorstellbar, jedoch nicht ganz so abwegig, wie
es auf dem ersten Blick scheint. Schach ist an sich ein kompliziertes Spiel und es bedarf lang-
jähriger Erfahrung und Übung, um die Kunst, von der die Rede ist, nachzuvollziehen und
möglicherweise das eine oder andere Manöver auf seinem Brett zu vollführen. Mit Kunst
meine ich die Schönheit mancher Stellungen, oder genauer die Züge und Ideen, die zu diesen
schönen Manövern führen.
1 Teil des Schachprogramms, das die Varianten und Züge berechnet. 2 Gik, J., „Schach und Mathematik“, 1983, S.10f.
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INHALT
1. Einleitung………………………………………………….4
a. Einführung in die Problematik………………………………...4
b. Einführung in die Schachprobleme……………………………6
2. Graphentheorie…………………………………………...13
a. Grundlagen…………………………………………………...13
b. Kantenzüge.………………………………….....………….....16
c. Eulersche Graphen…………………………………………...17
d. Hamiltonsche Graphen……………………………………….22
3. Schachprobleme………………………………………….24
a. Turmprobleme………………………………………………..25
b. Springerproblem……………………………………………...31
4. Fazit……………………………………………………....33
5. Anhang………………………………………………...…35
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1. Einleitung
a. Einführung in die Problematik
Schach ist mit der Mathematik - historisch betrachtet - von Beginn an verknüpft. Der Ur-
sprung des Schachspiels ist stark umstritten, doch eine Legende - egal wie unrealistisch sie
auch sein mag - hat sich bis heute verbreitet und ist eine schöne Geschichte über die Verbin-
dung beider Gebiete. Die Rede ist von der Weizenkornlegende.
Im vierten Jahrhundert nach Christus hat ein Herrscher in Indien, um von den Problemen des
Landes abzulenken, einem Bediensteten befohlen, ein Spiel für ihn zu erfinden. Dieser würde
im Gegenzug eine Belohnung erhalten. Der Bedienstete erfand das Schachspiel, jedoch wur-
den viele Regeln im Laufe der Zeit geändert. Die Forderung des Bediensteten, nach der Erfin-
dung des Schachspiels war, auf jedes der 64 Felder die doppelte Anzahl an Körnern zu legen
wie auf das vorherige, wobei auf das erste eins gelegt werden sollte. Dabei kommt man auf
die riesige Anzahl von 18.446.744.073.709.551.615 (264
-1) Körnern, was den Vorrat des ge-
samten Landes übersteigen würde.
Dies ist eine schöne Einführung in das Gebiet der Schachmathematik doch bei weitem kein
komplexes Problem, um die es in dieser Arbeit gehen soll. Es gab nicht nur Mathematiker, die
sich für Schach stark interessiert hatten, sondern auch sehr viele professionelle Schachspieler
und Weltmeister, die ein großes mathematisches Interesse hatten oder sogar ein Studium bzw.
eine Ausbildung in diese Richtung abgeschlossen hatten. Der erste Schachweltmeister Wil-
helm Steinitz war ambitionierter Mathematiker. Dr. Emanuel Lasker war professioneller Ma-
thematiker und hat eine Dissertation über unendliche Reihen verfasst. Max Euwe war Leiter
eines Rechenzentrums in den Niederlanden und Anatoli Karpow ist Goldmedaillenträger an
einer mathematischen Schule und Gewinner zahlreicher Matheolympiaden. Auch Gauß hat
sich mit dem Problem der acht Damen beschäftigt.3
Es gibt viele Fragen, die man sich im Zusammenhang mit Schach und Mathematik stellen
kann. Angefangen mit der Anzahl aller möglichen Stellungen bis hin zu Zugmöglichkeiten
von Fantasiefiguren auf vergrößerten oder verkleinerten Brettern. Die Vielfalt von mathemati-
schen Problemen im Schach ist groß. Man kann z. B. überlegen, wie man acht Damen auf
dem Schachbrett so positioniert, dass keine Dame die andere bedroht. Diese Aufgabenstellung
3 Gik, J., „Schach und Mathematik“, 1983, S.10f.
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kann man auch auf größeren oder kleineren Brettern durchführen. Eine weitere Möglichkeit
wäre es, ein rechteckiges Brett (bspw. 6x4 Brett) für diese Aufgabenstellung zu nehmen und
diese zu wiederholen. Noch ein Beispiel wäre das Springerproblem, welches auch in Variati-
onen in dieser Arbeit behandelt wird. Bei diesem Problem wird ein Springer auf ein irgendein
Feld (bei der bekanntesten Variante in die Ecke) gestellt und die Aufgabe ist es, jedes der 64
Felder einmal zu begehen, ohne dabei auf einem zweimal aufzutauchen. Wenn man dies an
einem Schachbrett ausprobiert, merkt man schnell, dass das gar nicht so einfach ist, wie es
anfangs zu sein scheint. Eine erweiterte Aufgabenstellung dieses Problems ist es, genau auf
das Feld zurückzukehren, von welchem man gestartet ist. Auch hier gibt es Varianten mit
anderen Brettern und Fantasiefiguren.
Klar ist, dass viele dieser Probleme keineswegs trivial sind und einige sind bis heute ungelöst.
In dieser Arbeit soll es speziell um Probleme gehen, die mit einem Teilgebiet der Mathematik
gelöst werden: der Graphentheorie. Dabei ist es nicht zwangsläufig ersichtlich, ob ein Prob-
lem mit der Graphentheorie als Modell gelöst werden kann. Während der genauen Betrach-
tung des Aufgabenkontextes kommt man möglicherweise zu dem Schluss, dass sich die Gra-
phentheorie für diese Aufgabe nicht eignet. Grob kann man immer dann, wenn es um Wege
von Figuren geht, versuchen, das Problem als Graph darzustellen und zu lösen.
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1. Dh6+ 1… Kg8 2. Dg7#
b. Einführung in die Schachprobleme
Das Kernthema der Arbeit sind die Schachprobleme, die mit Hilfe von einem Modell gelöst
werden. Doch letztlich sollen Fragestellungen bezüglich Schachproblemen beantwortet wer-
den. Es handelt sich hierbei um ganz spezielle Schachprobleme, die im Folgenden näher er-
läutert werden.
Man kann Schachaufgaben in zwei grundlegende Segmente unterteilen. Die herkömmlichen
Schachaufgaben, die zur Stärkung und Verbesserung der Spielstärke dienen, und den wissen-
schaftlichen bzw. mathematischen Aufgaben, die mit dem Spiel wenig zu tun haben und meist
schöne und komplexe Probleme als Fragestellung haben (z. B. Anzahl aller möglichen Stel-
lungen4).
Aufgaben, die rein auf das Schachspiel bezogen sind, haben oft eine ähnliche Form. Es wird
aus verschiedenen Partien, meist Großmeisterpartien, da diese taktisch nahezu einwandfrei
spielen, in einer bestimmten Stellung angehalten bzw. abfotografiert und es wird die Aufgabe
gestellt, ein Matt in einem Zug zu suchen. Dabei muss es sich nicht zwangsläufig um ein Matt
handeln, es kann sich auch um Gabeln, Fesselungen, Spieße, Abzugsschachs, Hinlenkungen
und Ablenkungen5 handeln. Ebenfalls muss die Lösung nicht einzügig sein. Es kann auch ein
Matt in fünf Zügen gefragt sein. Die schwereren Aufgabenstellungen sind allgemeiner ge-
stellt, in denen wird nur nach einem Gewinn für Weiß oder Schwarz in einer unbekannten
Anzahl von Zügen gefragt. Dies wäre ein Beispiel für solch eine Aufgabe.
Die Aufgaben zur Verbesserung der Spielstärke kann man ebenfalls in taktische, strategische,
Studien etc. unterteilen, jedoch werde ich
hier nicht weiter darauf eingehen, sondern
die mathematischen Probleme behandeln,
die für einen Schachspieler außer ihrer
Schönheit nicht sonderlich relevant sind.
Die Lösung dieser Aufgabe ist rein schach-
lich und wird höchstwahrscheinlich umso
schneller gelöst, je besser die jeweilige
Person Schach spielen kann.
4 Diese Fragestellung ist bis heute ungeklärt, jedoch sind sich nahezu alle Wissenschaftler einig, dass die Anzahl
der möglichen Stellungen, durch die Beschaffenheit des Spiels, endlich ist. 5 Bei diesen Fachbegriffen handelt es sich um taktische Manöver, die zur Stellungsverbesserung dienen.
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Die Probleme, mit denen ich mich beschäftige, sind reiner Neugier entsprungen. Die Intention
dieser ist nicht, das Schachspiel an sich, sondern die mathematischen Strukturen im Schach-
spiel wiederzuentdecken, die es der Mathematik erst ermöglichen, scheinbar ferne Aufgaben-
stellungen mit ihren charakteristischen Mitteln zu lösen.
Acht-Damen-Problem
Aufgabenstellung:
Stellen Sie die acht Damen so auf
das Brett, dass sie sich nicht ge-
genseitig bedrohen. Hierbei sei
nicht zu beachten, dass alle Damen
dieselbe Farbe haben. Es kann
theoretisch eine jede Dame eine
jede andere bedrohen. Man beach-
te nur, dass die Zugmöglichkeiten
der Damen sich nicht überschnei-
den. Es gibt mehrere Lösungen.
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Lösung:
Diese Aufgabe ist keine rein mathematischen Ursprungs, jedoch auch keine, die das Schach-
spiel betrifft und aus einer Stellung entsprungen ist wie die vorherige. Selbst Laien ist klar,
dass es auf einem Brett nicht acht Damen einer Farbe ohne Könige geben kann. Demnach
spricht man in diesem Fall von Fantasieaufgaben. Damit ist gemeint, dass diese nicht zwangs-
läufig mit den Schachregeln konform sein müssen. Eine Aufgabe, die ein wenig mehr mit
Mathematik zu tun hätte, wäre die Frage, wie viele es von diesen Stellungen gibt, sodass acht
Damen auf dem Brett stehen und sich nicht gegenseitig bedrohen.
Nun haben wir Beispiele für Schachaufgaben im direkten Sinne gesehen. Nämlich all jene, die
das Spiel ausmachen und für den Spieler gedacht sind, dementsprechend von stärkeren Spie-
lern schneller gelöst werden als von Schwächeren. Des Weiteren gibt es Aufgaben, wie das
„Acht-Damen-Problem“, das nicht zur Verbesserung der Spielstärke dient, jedoch auch nicht
auf ein mathematisches reduziert wird oder zumindest so einfach ist, dass es nicht auf ein ma-
thematisches reduziert werden muss. Im Folgenden wird die dritte - und für diese Arbeit
wichtigste - Art von Problemen beschrieben. Diese Probleme sind, ähnlich dem „Acht-Da-
men-Problem“, jedoch so komplex, dass man zwangsläufig – bzw. aus zeitlichen Gründen –
andere Modelle zur Lösung dieser Probleme zu Rate zieht. Wenn man bspw. die Anzahl aller
möglichen Stellungen herausfinden möchte, wäre es sehr müßig, sich jede einzelne Stellung
auf dem Brett anzugucken, daher werden mathematische Schätzungen basierend auf Compu-
terprogrammen durchgeführt und bis heute ist die Zahl ungeklärt. Eines der bekanntesten
Probleme, wie oben beschrieben, ist das Springerproblem, um das es nun gehen soll.
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Das Springerproblem hat mit dem Schachspiel ebenso wenig zu tun wie das Acht-Damen-
Problem. Bei diesem geht es in der klassischen Variante darum, einen, wie wir später sehen
werden, speziellen Kantenzug zu finden, wenn man es auf ein Problem der Graphentheorie
reduziert. Schachlich geht es um den Springer. Dieser wird auf eines der 64 Felder des Brettes
gestellt, meist jedoch auf ein Eckfeld. Die Aufgabe besteht nun darin, mit dem Springer jedes
Feld einmal zu durchkreuzen, ohne dabei auf ein Feld zweimal zu ziehen.
Die Kreuze zeigen in diesem Fall die Felder, auf die der Springer im nächsten Zug ziehen
darf. Obwohl es üblicherweise mit dem Springer in der Ecke dargestellt wird, ist es auch mög-
lich eine Lösung von dieser Stellung zu finden. Wenn man das einmal selber auf dem
Schachbrett probiert, merkt man schnell, dass es nicht so einfach ist, wie man anfangs viel-
leicht vermutet. Man muss immer schon das nächste, wenn nicht das übernächste oder über-
übernächste Feld im Auge behalten. Da das ein sehr bekanntes Problem ist, gibt es demnach
auch viele Lösungen. Nochmals zur Erinnerung: Die Grundaufgabenstellung, mit welcher
sich die nächsten Seiten auseinandersetzten, lautet, den Springer von einem Eckfeld über das
gesamte Schachbrett zu ziehen, d. h. jedes Feld einmal zu bespringen, ohne auf ein Feld
zweimal zu gelangen. Dabei ist es nicht wichtig, auf einem bestimmten Feld oder gar dem
Anfangsfeld anzukommen.
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Aufgabenstellung:
Die Aufgabe besteht darin, den
Springer über alle 64 Felder zu
ziehen, ohne dabei auf ein Feld
zweimal zu gelangen.
Lösung:
Bei dieser Lösung soll nicht der Punkt,
sondern der Pfeil als Startfeld gesehen
werden und dementsprechend der Punkt
als Zielfeld. Der Springer startet von d4
und bewegt sich über e2, …, nach d1.
Die Bedingung, dass kein Feld zweimal
besucht werden darf, wurde ebenfalls
erfüllt. Jedoch ist diese nicht die einzige
Lösung für das Problem und auch nicht
für diese Stellung. Es sind viele andere
denkbar.
11
Eine andere Aufgabe ist es, mit dem Turm ebenfalls über jedes Feld zu ziehen, ohne auf eines
doppelt zu gelangen. Hierbei zieht der Turm – falls es unbekannt sein sollte – ausschließlich
horizontal oder vertikal.
Auf diesem Bild wird angezeigt,
wohin der schwarze Turm auf a8
ziehen kann. Der Turm kann sich
demnach entlang der gesamten
Linie a oder aber entlang der ge-
samten Reihe 8 bewegen.
Man muss kein Schachexperte sein, um die Lösung des Turmproblems vorauszuahnen. Allein
wegen der Art der Zugmöglichkeiten eines Turms ist die Aufgabe deutlich leichter auf einem
Schachbrett zu lösen, aber mathematisch gesehen keineswegs eindeutig. Wie unschwer zu
erkennen, ist die Lösung dieses Problems wie folgt.
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Genauso könnte man hier die Aufgabenstellung erweitern und herausfinden, ob es einen Weg
gibt, mit dem Turm über alle Felder genau einmal zu ziehen und auf das Ausgangsfeld zu-
rückzukehren. Wieder gibt es hier ebenso wie in den vorausgegangenen Aufgabenstellungen
mehrere Lösungen.
Diese Art von Aufgaben kann man auf verschiedenste Weisen variieren. Eine Möglichkeit
besteht darin, das Brett zu modifizieren. Beispielsweise kann man ein größeres oder kleineres
nxn Brett verwenden und möglicherweise zwischen n (wobei ∀ 𝑛 ∈ ℕ) gerade und ungerade
unterscheiden. Des Weiteren ist es möglich ein rechteckiges mxn (wobei ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ) Brett zu
verwenden. Eine andere Möglichkeit ist es, das Brett durch „Abschneiden“ von Feldern zu
verkleinern (bspw. zwei jeweils gegenüberliegende Eckfelder). Neben dem Brett können auch
die Gangarten der Figuren verändert oder komplett neue Figuren hinzugedacht werden.
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2. Graphentheorie
In diesem Bereich wird die Einarbeitung in das mathematische Thema dokumentiert und zu-
sammengefasst.
Graphen sind ein Modell zur Beschreibung abstrakter oder realer Strukturen. Dabei geht es
um die Verknüpfung von einzelnen Objekten und den Strukturen, die dabei entstehen. Ob-
wohl es für Schüler ein sehr unbekanntes Teilgebiet der Mathematik ist, ist sie aus unserer
heutigen Welt nicht mehr wegzudenken. Beispielsweise basieren nahezu alle Navigationssys-
teme auf der Graphentheorie.
a. Grundlagen
Graphen sind Objekte, die zur Modellierung abstrakter oder realer Sachverhalte dienen. Sie
bestehen aus zwei verschiedenen Grundbausteinen: Ecken und Kanten. Im Folgenden ist solch
ein Graph dargestellt.
Das Viereck mit den Diagonalen und – man könnte meinen – zu großen Eckpunkten ist kein
geometrisches Quadrat in dem Sinne, sondern ein Graph. Dieser Graph hat 4 Ecken (auch
Kanten), wobei hier die Ecken nicht als geometrische Ecken eines Quadrats, sondern als die
Ecken eines Graphen zu sehen sind, und 6 Kanten. Bei einem Graph müssen die Kanten nicht
gerade sein. Die Verbindungslinie zwischen zwei Ecken kann auch kurvenförmig sein, hierbei
ist lediglich wichtig, dass deutlich wird, dass eine Verbindung besteht. Man könnte diesen
Graphen als ein 2x2 Schachbrett sehen, wobei in diesem Fall die Zugmöglichkeiten der Dame
von jedem der vier Felder betrachtet werden.
Die Dame könnte demnach von einem beliebigen Feld aus auf jedes andere Feld, da sie hori-
zontal, vertikal und diagonal ziehen kann. Der obige Graph verdeutlicht genau dies. Hierbei
sind die einzelnen Ecken als die Felder des Brettes und die Kanten als Züge der Dame zu se-
hen.
Ecke
Kante
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Ein Graph kann noch andere Eigenschaften haben. Die wichtigste Eigenschaft zur schnellen
Orientierung bei Graphen ist der „Grad“ einer Ecke. Der Grad gibt an, wie viele Kanten von
dieser Ecke weg- bzw. zu dieser Ecke hinführen. Im Folgenden ist ein Graph mit den jeweili-
gen Graden abgebildet.
In diesem Fall hat jede Ecke denselben Grad, jedoch ist das keineswegs die Regel. Für das
2x2 Schachbrett mit der Dame bedeutet das, dass die Dame von jedem Feld aus genau drei
Zugmöglichkeiten hat.
Dieser Graph mag auf den ersten Blick recht ungewöhnlich aussehen, ist jedoch eine umge-
wandelte Variante des vorherigen Graphen. Bei genauem Betrachten fällt auf, dass der Graph
die gleiche Anzahl an Ecken und Kanten hat. Der Unterschied besteht darin, dass die Kanten
dieses Graphen nicht geradlinig verlaufen. Trotzdem hat jede Ecke den Grad drei und jede
Ecke ist mit jeder verbunden. Man bezeichnet diese zwei Graphen als isomorph. Die beiden
vorgestellten Graphen können auf dieselbe Problemstellung mit dem verkleinerten Schach-
brett und der Dame angewandt werden, lediglich die Darstellung des zweiten Graphen ist
komplizierter. Es können demnach sehr komplexe Graphen, die auf dem ersten Blick nichts
miteinander gemeinsam haben, isomorph zueinander sein. Ein Beispiel hierfür sind die ver-
schiedenen Variationen vom Petersen-Graph6.
6 Das ist ein Graph mit 15 Kanten und zehn Ecken, wobei jede Ecke den Grad drei hat.
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3 3
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Graphen können auch verschiedene Sondereigenschaften haben. Eine davon ist die Schlinge.
Eine Schlinge ist eine Kante, die eine Ecke mit sich selbst verbindet.
Dieser Graph hat zwei Ecken und zwei Kanten, von denen eine eine Schlinge ist, da sie die
rechte Ecke mit sich selbst verbindet; da dies von beiden Richtungen aus gesehen werden
kann, erhöht sich der Grad einer Ecke durch eine Schlinge um zwei.
Die nächste Besonderheit sind die Mehrfachkanten (oder parallele Kanten). Parallele Kanten
sind vorhanden, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, von einer Ecke A zu einer anderen
Ecke B zu gelangen.
Es fällt auf, dass der Graph zwei Ecken mit den Graden drei hat, wobei von jeder Ecke aus
drei Kanten zur anderen führen (Mehrfachkanten).
Weitere Arten von Graphen sind bspw. nicht zusammenhängende Graphen.
Graphen, die nicht zusammenhängend sind, bestehen aus mehreren Graphen, die durch keine
Kanten miteinander verbunden sind und daher in keiner Beziehung zueinander stehen.
Der unspektakulärste Teil von Graphen sind die isolierten Ecken. Bei solchen Graphen gibt es
eine Ecke, an die keine Kanten angrenzen.
1 3
3 3
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b. Kantenzüge
„In der Graphentheorie bezeichnet Weg, Pfad, Kantenzug oder Kantenfolge eine Folge von
Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinander folgende Knoten durch eine Kante verbunden
sind.“7
Einfach ausgedrückt ist ein Kantenzug eine „Folge von aneinanderstoßenden Kanten“8.
Beim Graphen (s.o.) sehen wir einen Kantenzug (grün). Dieser geht über die Ecken A, B, C,
D, E und endet wieder in A. Man kann diesen Kantenzug zeichnen ohne den Stift abzusetzen
und in diesem Fall stimmen Anfangs- und Endknoten überein. Diese Kantenzüge nennt man
geschlossen.
Kantenzüge sind ein wichtiger Bestandteil der Graphentheorie und werden auch in dieser Ar-
beit des Öfteren vorkommen. Man kann sich diese Kantenzüge in vielen praktischen Zusam-
menhängen vorstellen. Es könnte eine Karte von fünf Städten A, B, C, D und E sein und der
Kantenzug AB → BC → CD → DE → EA eine Reise durch diese fünf Städte mit den jewei-
ligen Zugverbindungen. Es gäbe auch die Fahrtmöglichkeiten BD, BE, CE, DB, EB, EC, je-
doch wurden diese nicht für den gegebenen Kantenzug verwendet. Ein Kantenzug muss nicht
alle Kanten eines Graphen enthalten. Es gibt auch spezielle Kantenzüge, die eben diese Ei-
genschaften des Durchlaufens aller Kanten haben.
7„Weg (Graphentheorie) Bearbeitungsstand: 26. Januar 2015, 15:40 UTC.
URL:http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Weg_(Graphentheorie)&oldid=138187383 (Abgerufen: 10.
März 2015, 10:48 UTC) 8 Vgl. Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3.Auflage, 2009, S.21
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c. Eulersche Graphen
Es gibt in der Graphentheorie prominente Mathematiker, die sich mit diesem Bereich der
Wissenschaft intensiv befasst haben. Ganz prägend für die Graphentheorie – besonders was
ihren Anfang betrifft – war Leonhard Euler.
Ihm gelang es im Jahre 1736 eine damals, so dachte man, von der Mathematik nicht sonder-
lich betroffene Aufgabe, durch die Graphentheorie zu lösen9. Die Rede ist vom Königsberger
Brückenproblem. Bei dieser Aufgabe handelt es sich um ein alltägliches Problem der Bürger
von Königsberg. Hierzu muss man sich einen alten Stadtplan von Königsberg mit dem Fluss
und den sieben Brücken anschauen.
Oben ist ein vereinfachter Stadtplan der Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert dargestellt.
Hierbei stellen die mit den Buchstaben markierten Gebiete A, B, C und D die einzelnen Stadt-
teile von Königsberg dar, während die schwarzen Striche die sieben Brücken symbolisieren.
Die Idee von manchen Bürgern war es, einen Spaziergang durch die Stadt zu machen und
dabei über jede der sieben Brücken genau einmal zu gehen. Eine Erweiterung der Frage war:
Ist es möglich, über jede Brücke genau einmal zu gehen und wieder an den Anfangspunkt
(Stadtteil) zurückzukehren?
Durch die Reduktion dieses Problems auf einen Graphen, den man schon aus dem Stadtplan
fast erahnen kann, gelang es Euler, diese Frage zu beantworten. Durch seine Arbeiten zur
Graphentheorie wurde eine bestimmte Art von Graphen nach ihm benannt.
Da dieses Problem mithilfe der Graphentheorie gelöst werden soll und es sich hierbei um ei-
nen Spaziergang über alle Brücken handelt, wird schnell klar, dass in diesem Fall ein beson-
derer Kantenzug gesucht ist. Bei dem Kantenzug müssen alle Kanten (Brücken) des Graphen
enthalten sein und keine Kante darf doppelt auftauchen. Bei erweiterter Problemstellung müs-
sen Anfang und Ende des Kantenzuges (Spaziergang) übereinstimmen.
9 Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.19
18
Im Folgenden ist der Stadtplan von Königsberg als Graph mit dem jeweiligen Grad jeder
Ecke dargestellt.
Die Ecken des Graphen stehen für die jeweiligen Stadtteile, während die Kanten die Brücken
zu dem entsprechenden Stadtteil symbolisieren. Beispielsweise gibt es von Stadtteil C aus drei
Brücken zu den Stadteilen A bzw. D. Zum Stadtteil A führen zwei Brücken – im Graph durch
parallele Kanten dargestellt – und zum Stadtteil D führt eine Brücke. Wichtig ist hierbei, dass
jede Ecke einen ungeraden Grad hat. Das mag zu Beginn etwas unschlüssig klingen, wenn
man sich jedoch überlegt, wie ein Kantenzug entstehen kann, bei dem jede Kante durchlaufen
wird und wieder der Anfangspunkt erreicht wird, wird deutlich, dass es für den Knoten zu
Beginn und damit auch das Ende einen geraden Grad geben muss, da sonst eine Kante nicht
durchlaufen, oder der Anfangsknoten nicht erreicht wird. Das ist eine grundlegende Proble-
matik bei Kantenzügen, die dort enden sollen, wo sie anfangen. Sobald man vom Knoten B
die erste Kante durchläuft, bspw. zu A, dann von A zu D und wieder zu B, bleibt einem nur
noch eine Kante, nämlich die parallel zur ersten verlaufenden Kante BA. Durchläuft man die-
se Kante, hat man alle Kanten, die zu B führen können, schon durchlaufen und es gibt keine
Möglichkeit mehr zum Knoten B zu gelangen, ohne eine Kante zweimal zu durchlaufen, und
dies widerspricht der Aufgabenstellung.
C
A
B
D
19
Zur Verdeutlichung ist hier noch einmal die Problematik der ungeraden Grade der Ecken mit
den jeweiligen Kantenzügen dargestellt.
Man starte vom Knoten B und gehe eine Kante zu A, dabei spielt es keine Rolle, welche man
wählt. Von A aus gehe man eine Kante zu D. Nun gibt es zwei Wege. Entweder man setzt den
Weg, wie oben gezeigt, fort, oder man geht von D aus nach C. Man wird schnell merken, dass
es keinen Unterschied machen wird. Geht man von D aus weiter zu B, hat man von B nur
noch eine Möglichkeit weiterzugehen, nämlich über die zweite Kante (Brücke) nach A und
damit sind alle Kanten, die zu B führen bzw. zurückführen konnten schon durchlaufen und
man kommt nicht mehr zum Startknoten. Zusammengefasst bedeutet dies, dass bei einem
ungeraden Grad einer Ecke niemals die Situation auftreten kann, dass bei einem Kantenzug
über alle Kanten (genau einmal) der Anfangsknoten erreicht wird. Wenn man von B startet,
muss man irgendwie wieder zu B zurück, da es mehr als eine Kante zu B hin bzw. von B weg
gibt. Ist man jedoch wieder bei B, muss man durch die dritte Kante wieder von B weg, da man
alle Kanten durchlaufen muss. Demnach ist es nicht möglich, einen Spaziergang in Königs-
berg zu machen, bei dem man von einem Stadtteil startet, über alle Brücken genau einmal
läuft und wieder im selben Stadtteil ankommt. Für den Fall, dass man von A startet, gilt genau
dasselbe, da von A fünf Brücken wegführen. Hier ist nur ein Teil eines möglichen Weges ge-
zeigt, jedoch wird deutlich, dass es nicht möglich ist (1) jede Kante genau einmal zu durchlau-
fen, (2) alle Kanten des Graphen zu durchlaufen und (3) genau am Anfangsknoten anzukom-
men.
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Diese Art von Kantenzügen, nach denen wir beim Königsberger Brückenproblem gesucht
haben, sind nach Euler benannt. Ein Kantenzug mit folgenden Eigenschaften:
(1) Der Kantenzug enthält keine Kante doppelt.
(2) Der Kantenzug enthält sämtliche Kanten des Graphen.
(3) Anfang und Ende des Kantenzugs stimmen überein.
nennt man eine eulersche Tour. Von einer Tour spricht man, wenn der Kantenzug die erste
Eigenschaft hat. Graphen, die eine eulersche Tour haben, nennt man eulersche Graphen.10
Wichtig ist ebenfalls zu fordern, dass der Graph zusammenhängend sein muss, da sonst keine
geschlossenen Kantenzüge entstehen können.11
Da wir gesehen haben, dass Graphen mit Ecken ungeraden Grades keine eulerschen Touren
haben, ist es naheliegend zu fragen, welche Eigenschaften ein Graph haben muss, um eulersch
zu sein. In diesem Zusammenhang hilft die Eigenschaft (3). Wenn Anfang und Ende des Kan-
tenzuges übereinstimmen müssen und man theoretisch von jeder Ecke aus anfangen kann,
muss jede Ecke einen geraden Grad haben, da man sonst in die Problematik des Nicht-
geschlossenen-Weges kommt.12
Um von jedem möglichen Startpunkt aus eine eulersche Tour
zu finden, müssen alle Ecken einen geraden Grad haben.
Das ist ein Beispiel für einen eulerschen Graphen. Die eulersche Tour kann man ebenfalls
schnell finden, indem man probiert, von einer Ecke aus das gesamte Gebilde zu zeichnen.
10
Vgl. Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.21 11
Ebd. S.23 12
Vgl. S.22
2
2
4
4
4
4
21
Eine Möglichkeit, eine eulersche Tour einzuzeichnen, sieht wie folgt aus.
Der Startknoten ist in diesem Fall das grüne Viereck. Von dort aus wird der komplette Graph
bzw. jede Kante durchlaufen, ohne dass dabei eine Kante doppelt oder gar nicht durchlaufen
wird. Demnach sind alle Bedingungen für eine eulersche Tour erfüllt und da der Graph eine
eulersche Tour hat und zusammenhängend ist, ist dieser ein eulerscher Graph.
2
3 4
5
1 10
6
7
8
9
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d. Hamiltonsche Graphen
William Rowan Hamilton (1805-1865) war ein irischer Mathematiker und gilt neben Euler als
einer der Wegweiser der Graphentheorie. Er befasste sich während seiner Forschung mit Al-
gebra, aber auch Physik, und stellte in beiden Disziplinen fundamentale Neuerungen auf.13
Hamiltonsche Graphen sind laut ihrer Definition den eulerschen Graphen sehr ähnlich und
deshalb – so scheint es zu Beginn – auch nicht wesentlich schwerer als diese zu verstehen
oder zu berechnen bzw. zu finden. Dem ist aber nicht so, da Hamiltonsche Graphen nicht ein-
deutig mit einfachen Kriterien, wie das bei den eulerschen Graphen der Fall war, nachzuwei-
sen sind.
„Im Gegensatz zum leicht lösbaren Eulerkreisproblem, bei dem alle Kanten genau einmal
durchlaufen werden, ist das Hamiltonkreisproblem NP-vollständig.“14
Mit NP-Vollständigkeit ist gemeint, dass selbst Computer das Problem nicht effizient lösen
können.15
Die Zeit, die Computer benötigen, um ein NP-vollständiges Problem zu lösen, lässt
sich mit einer Polynomfunktion darstellen. Es lässt sich also – anders als bei eulerschen Gra-
phen – keine Bedingung für hamiltonsche Graphen aufstellen.
Bei einem Hamiltonkreis ist erneut ein spezieller Kantenzug gesucht. Diesmal sollen jedoch
nicht alle Kanten genau einmal durchlaufen werden, sondern alle Ecken. Dabei spielt es keine
Rolle, ob eine Kante mehrmals oder auch gar nicht durchlaufen wird, wichtig ist nur, dass
jede Ecke genau einmal durchlaufen wird und Startecke und Zielecke übereinstimmen. Ein
Hamiltonkreis ist demnach ein geschlossener Kantenzug bei dem jede Ecke genau einmal
durchlaufen wird.
Dieser Graph wäre – wie man anhand der Grade feststellen kann – nicht eulersch, jedoch ha-
miltonsch.
13
Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.40 14
„Hamiltonkreisproblem“. Bearbeitungsstand: 6. Dezember 2014, 18:14 UTC.
URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hamiltonkreisproblem&oldid=136527279 (Abgerufen: 10.
März 2015, 18:36 UTC) 15
„NP-Vollständigkeit“. Bearbeitungsstand: 8. Oktober 2014, 17:12 UTC.
URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=NP-Vollst%C3%A4ndigkeit&oldid=134715296 (Abgerufen:
10. März 2015, 18:40 UTC)
23
Der hamiltonsche Kreis ist im Folgenden eingezeichnet. Hierbei ist das Viereck wieder der
Startknoten und, da es sich um einen hamiltonschen Kreis handelt, ist es auch der Endknoten,
weil ein derartiger Kantenzug immer geschlossen ist.
Es fällt hierbei auf, dass obwohl alle Ecken durchlaufen werden, einige Kanten ungeachtet
bleiben. Dies wäre nur für eulersche Touren wichtig, jedoch nicht für hamiltonsche Kreise.
Man kann bei diesem Graph probieren, eine eulersche Tour zu finden. Wie wir aus b) wissen,
brauchen wir dazu den Grad jeder Ecke und müssen überprüfen, ob es gerade oder ungerade
Zahlen sind. Des Weiteren muss gewährleistet sein, dass der Graph zusammenhängend ist.
Man kann schnell sehen, dass es sich hierbei um einen zusammenhängenden Graphen handelt.
Anhand der Grade können wir nun feststellen, ob es in diesem Graphen eine eulersche Tour
gibt oder nicht. Da für eine eulersche Tour der Grad jeder Ecke gerade sein muss, existiert für
diesen Graphen keine eulersche Tour und demnach ist der Graph auch nicht eulersch.
Da bei einem hamiltonschen Graphen die Ecken im Vordergrund stehen, werden solche Gra-
phen oftmals für Navigationssysteme oder Reisen etc. verwendet, um von einem Ort, der
demnach durch eine Ecke symbolisiert wird, zum nächsten zu kommen.
24
3. Schachprobleme
Die schachmathematischen Probleme in diesem Abschnitt werden verschiedenster Art sein.
Es werden Wege bzw. kürzeste Wege gesucht, Anzahlen von Möglichkeiten bestimmt etc.
Manche der Probleme sind schon gelöst bzw. bekannt, jedoch wird oftmals entweder ein an-
derer Lösungsweg oder eine variierte Version des Problems dargestellt. Dies können verän-
derte Bretter sein, die größer bzw. kleiner sind, andere Figuren usw.
Viele Schachprobleme sind ungelöst und an vielen wird noch geforscht und versucht mit
Computern und Algorithmen eine Lösung zu finden. Das Springerproblem wird heutzutage
von vielen Wissenschaftlern durch selbstgeschriebene Programme gelöst, erweitert und er-
forscht. Die Verbindung zur Informatik ist bei der Graphentheorie – vor allem in Verbindung
mit Schach – sehr stark, da Graphen sich sehr dazu eignen, in Computerprogramme einge-
bunden zu werden. Ganz klassisches Beispiel für Graphen in Computern sind Routenplaner
oder Navigationssysteme. Wobei oftmals die Knoten als Städte bzw. Ziele und die Kanten als
die Strecken zwischen den Städten gesehen werden.
Man kann sich ebenfalls sehr gut ein Schachbrett als Graph vorstellen. Dort wären die Ecken
des Graphen die Felder des Brettes und die Kanten würden die Zugmöglichkeiten von einem
zum nächsten Feld verdeutlichen.
25
a. Turmprobleme
Das erste Problem, das ich vorstellen möchte, ist das Turmproblem. Es handelt sich hierbei
um ein anderes Problem als das Turmproblem aus der Einleitung. Es wird im Folgenden auch
erweitert und eine möglichst allgemeine Lösung vorgeschlagen.
Zur Erinnerung ist rechts die
Gangart des Turms vom Feld
d4 aus dargestellt. Der Turm
kann beliebig viele Felder,
solange keine eigene bzw.
gegnerische Figur dazwischen
ist, vertikal und horizontal
ziehen.
Grundgedanke: Positionieren Sie acht Türme derart auf dem Schachbrett, dass sie sich nicht
gegenseitig bedrohen.
26
Eine Lösung dieses Problems ist relativ einfach und schnell zu finden.
Im Folgenden ist noch eine Lösungsmöglichkeit aufgezeigt.
Diese beiden Lösungen lassen einige neue Aspekte aufkommen. Es leuchtet schnell ein, dass
dieses Problem auf jedem beliebigen nxn-Brett eine Lösung hat. Selbstverständlich muss auch
die Anzahl der Türme jeweils auf n reduziert bzw. erhöht werden. In der gesamten Problema-
tik wurden ausschließlich weißfarbige Türme verwendet. Dies sollte in diesem Zusammen-
hang keine Auswirkungen auf das gegenseitige Bedrohen haben. Man geht davon aus, dass
jeder Turm jeden bedrohen kann, obwohl im Schachspiel sich diese Türme schützen.
Die Türme werden auf der großen Dia-
gonale a1 – h8 aufgestellt und jeder
Turm bedroht somit eine Linie und eine
Reihe. Linien werden beim Schach mit
Buchstaben, Reihen mit Zahlen ge-
kennzeichnet. Im Grunde ist es eine
vereinfachte Variante des „Acht-
Damen-Problems“.
Hier werden die Türme ebenfalls in
Diagonalen aufgestellt und im Grunde
auf zwei kleinere Bretter mit 5x5 und
3x3 reduziert.
27
Aufgabenstellung: Wie viele Möglichkeiten gibt es, acht Türme auf einem Schachbrett (8x8)
so zu positionieren, dass sie sich nicht gegenseitig bedrohen?
Um dieses Problem zu betrachten, sind einige Erklärungen bzw. Definitionen notwendig. Es
gilt hierbei, dass (1) sich gleichfarbige Türme, anders als beim Schachspiel, auch bedrohen
können. (2) Des Weiteren ist es irrelevant, welcher der Türme nun auf welchem Feld steht.
Die Türme sind also nicht nummeriert. Das kann man sich am einfachsten klar machen, wenn
man ein kleineres quadratisches 2x2-Brett zur Hilfe nimmt.
Wenn man dieselbe Aufgabe auf dieses Brett überträgt, dann wird verständlich, warum (2) in
diesem Fall gefordert wird.
Bei dieser Betrachtung gibt es vier Möglichkeiten die Türme auf dem Schachbrett aufzustel-
len, ohne dass sie sich gegenseitig bedrohen. Jedoch sieht man hier sehr gut, dass es zweimal
zu derselben Aufstellung kommt und lediglich die Türme 1 und 2 vertauscht sind. So hätte der
Turm 1 2² = 4 Felder und der Turm 2 nur noch 1² = 1 Felder, auf die man ihn positionieren
kann, da aber die Stellungen A und C sowie B und D von ihre Konstellation her gleich sind,
betrachtet man in diesem Fall nur die 2! = 2 * 1 = 2 Möglichkeiten.
Demnach kann man für diese Betrachtung davon ausgehen, dass jeder Turm auf einer Hori-
zontalen steht und das Problem auf die Betrachtung der Vertikalen reduzieren (siehe (2)). Es
gibt acht Möglichkeiten den ersten Turm hinzustellen und demnach bleibt für den nächsten
Turm nur noch ein 7x7 Brett übrig. Auf diesem gibt es nur noch sieben Möglichkeiten einen
Turm auf der Horizontalen zu positionieren. So kann man das fortführen, bis nur noch eine
Position für den letzten Turm übrig bleibt. Es gibt demnach
8 ∗ 7 ∗ 6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 8! = 40320
Möglichkeiten, acht Türme auf einem 8x8-Brett aufzustellen.
1
2
A B C D
28
Das nächste Turmproblem ist eines, das sich mithilfe der Graphentheorie und den eingeführ-
ten Begrifflichkeiten, wie Kantenzügen, Kreisen und hamiltonschen Graphen, lösen lässt.
Hierbei werden die Zugmöglichkeiten bzw. die Abfolge von Zügen des Turms betrachtet. Die
Fragestellung lautet:
Kann man mit einem Turm so über ein Schachbrett ziehen, dass man über jedes Feld genau
einmal zieht und wieder am Anfangsfeld endet?
Betrachten wir hierfür das Schachbrett als einen Graphen, wobei die Ecken des Graphen die
Felder des Brettes symbolisieren und die Kanten die Zugmöglichkeiten von jedem Feld.
Da der Turm theoretisch vom Knoten unten rechts (Feld a1) direkt zum Knoten oben rechts
(a8) ziehen kann, ohne auf den Knoten davor zu sein, gehen wir hier der Einfachheit halber
davon aus, dass der Turm in Ein-Feld-Schritten zieht, damit er auf jedem Feld einmal steht
und nicht über die Felder hinwegzieht. Wie wir aus der Einleitung schon wissen, hat dieses
Problem eine Lösung. Im Folgenden wird versucht, die Fragestellung mit Hilfe der Graphen-
theorie zu beantworten. Da nach einer Abfolge von Zügen gefragt ist, suchen wir im Graphen
einen Kantenzug, der jedoch einige Besonderheiten aufweisen muss. Der Kantenzug muss, da
der Turm über jedes Feld genau einmal ziehen soll, jede Ecke genau einmal enthalten. Zusätz-
lich muss der Kantenzug dort enden, wo er anfängt. Das bedeutet, dass nach einem hamilto-
nschen Kreis16
gesucht ist.
16
Vgl. S.23
29
Einen dieser hamiltonschen Kreise findet man auch recht schnell.
Es fallen jedoch einige Sachen bei diesem Graphen und dem Kantenzug auf. Zunächst einmal
sind nicht alle Kanten für den Weg verwendet worden. Das bedeutet, dass es keine eulersche
Tour war. Wenn man wieder die Ecken und die dazugehörigen Grade betrachtet, fällt auf,
dass die Randfelder – alle Eckfelder ausgenommen – einen ungeraden Grad (3) haben und
damit ist der Graph nicht eulersch. Durch den hamiltonschen Kreis hingegen hat man gezeigt,
dass der Graph hamiltonsch ist.
Des Weiteren erkennt man durch diesen Lösungsweg, dass die Lösung ausschließlich bei nxn-
Brettern funktioniert, wobei 𝑛 = 2 ∗ 𝑚, ∀𝑚 ∈ ℕ. Da bei ungeraden n der letzte Teil des Kan-
tenzugs in die zum Startpunkt entgegengesetzte Richtung verlaufen würde.
Hier sieht man, dass ein 3x3-Schachbrett kein Hamiltonkreis für den entsprechenden Graphen
zu finden ist. Wenn man dem Turm wieder ermöglicht, seine ursprüngliche Gangart anzu-
nehmen (in den vorherigen Betrachtungen durfte der Turm nur in 1er-Schritten gehen), näm-
lich beliebig viele Schritte auf der Horizontalen oder Vertikalen, auf der er sich zum Zeit-
punkt des Zuges befindet, dann gäbe es einen Hamiltonkreis. Eine weitere Erklärung für die
Existenz von Hamiltonkreisen bei Graphen, die Bretter mit geradem n beschreiben, ist die
Anzahl der Züge, die ein Turm macht, wenn er über das gesamte Brett zieht.
30
Bei einem gewöhnlichem Brett mit 64 Feldern, zieht der Turm bei unserem Problem über alle
64 Felder. Durch die Beschaffenheit des Schachbretts und die Gangart des Turms wechselt er
bei jedem Zug die Farbe des Feldes, auf das er zieht. Wenn man nun ein Brett mit geradem n
hat, so ist auch die Anzahl der Felder gerade. Hierzu ein kleiner Beweis.
z. z. 𝑛 gerade ⇒ 𝑛2 gerade, ∀ n ∈ ℕ
𝑛 = 2𝑘, ∀ 𝑘 ∈ ℕ
𝑛2 = (2𝑘)2 = 4 ∗ 𝑘2 = 2 ∗ 2 ∗ 𝑘2
q.e.d.
Da jede Zahl mit zwei oder auch mit vier multipliziert eine gerade Zahl ergibt, ist gezeigt,
dass das Quadrat jeder geraden natürlichen Zahl n ebenfalls gerade ist. Im Gegensatz dazu
steht das Quadrat für ungerade n.
z. z. 𝑛 ungerade ⇒ 𝑛2ungerade, ∀ n ∈ ℕ
𝑛 = 2𝑘 + 1, ∀ 𝑘 ∈ ℕ
𝑛2 = (2𝑘 + 1)2 = 4𝑘2 + 4𝑘 + 1
Jede gerade Zahl, zu der eins addiert wird, ist ungerade. ⇒ n² ist ungerade,
wenn n ungerade ist.
q.e.d.
Aus dieser Tatsache kann man wieder einiges folgern. Bei Brettern mit einem geraden n ist
die Anzahl der Felder auch gerade. Bei ungeraden entsprechend ungerade. In Verbindung mit
den Zugmöglichkeiten des Turms und den damit verbundenen Farbwechseln der Felder kann
man sagen, dass der Turm bei einem geraden n nach n² Zügen wieder auf dem Ursprungsfeld
sein kann. Auf einem herkömmlichen Brett zieht der Turm genau 64 Mal. Das bedeutet, er
wechselt die Farbe so oft, dass er beim letzten Zug wieder auf einem Feld der Ursprungsfarbe
landen kann. Hat ein Turm bspw. nur neun Felder, so steht er nach Ausführen des letzten Zu-
ges auf einem Feld einer anderen Farbe. Bei einer ungeraden Anzahl von Zügen, die bei Bret-
tern mit einer ungeraden Anzahl von Feldern auftauchen, die wiederum bei Brettern mit unge-
radem n vorhanden sind, kann der Turm nicht auf das Startfeld zurück.17
17
Nitzsche, M., „Graphen für Einsteiger“, 3. Auflage, 2009, S.49
gerade
31
b. Springerproblem
Das nächste und auch über die Schachwelt hinaus bekannteste Problem ist das Springerprob-
lem. Dieses ist eine Aufgabe, die dem Turmproblem sehr ähnelt. Es geht wieder darum, einen
Weg über das Brett zu finden und wieder muss jedes Feld genau einmal erreicht und zum
Ausgangsfeld zurückgekehrt werden. Da es, entsprechend der Bekanntheit dieses Problems,
zahlreiche Erklärungen, Arbeiten und Lösungen gibt, wurde das Problem erweitert, indem
statt eines herkömmlichen Brettes ein 6x6-Brett verwendet wird.
Schon nach kurzer Betrachtung mancher Lösungen leuchtet ein, dass es viele Möglichkeiten
gibt, einen sogenannten Rösselsprung zu finden - und bis heute ist die Zahl der möglichen
Varianten ungeklärt.18
Durch die Komplexität dieses Problems wird mit Hilfe einer Lösungsidee für die Springerwe-
ge versucht, die Aufgabe auf ein größeres Brett zu übertragen und zu lösen. Durch folgende
Methode soll es stets gelingen, einen geschlossenen Weg, wie die Aufgabenstellung vermuten
lässt, zu finden. Diese Idee besagt, dass man stets den Zug mit dem Springer ausführen soll,
nachdem man die geringste Anzahl an Fortsetzungen hat.19
Übertragen auf die Graphentheo-
rie heißt das, dass man den Kantenzug so fortsetzt, dass man zu der Ecke gelangt, die den
kleinsten Grad hat.
18
Ahrens, W., „Mathematische Spiele“, Anaconda Verlag, 2008, S.74 19
Ebd. S.75
32
Nun gilt es einen Weg zu finden, der durch alle Ecken des Graphen genau einmal führt und
dort endet, wo er anfängt. Das sind die Eigenschaften eines hamiltonschen Weges und daher
gilt zu überprüfen, ob es sich hierbei um einen hamiltonschen Graphen handelt. Es gilt hierbei
die Idee für einen solchen Weg20
zu belegen. Da es den Rahmen übersteigen würde, jeden
Schritt grafisch zu dokumentieren, wie man das nächste Feld, auf das man springt, aussucht,
wird gleich die Endgrafik mit dem Hamiltonkreis dargestellt.
Da der Weg geschlossen ist, kann man von jedem Knoten bzw. Feld beginnen und eine Rich-
tung, in die man ziehen sollte, gibt es nicht, da es sich hierbei um einen hamiltonschen Kan-
tenzug handelt. Der Springer ändert, genau wie der Turm21
, nach jedem Zug die Farbe des
Feldes, auf dem er steht. Das bedeutet, dass man auf einem Brett mit gerader Feldanzahl ge-
nauso viel Züge braucht, wie es Felder auf dem Brett gibt und durch die eben beschriebene
Eigenschaft kann man folgern, dass Hamiltonwege22
beim Springerproblem überhaupt nur bei
Brettern mit geradem n möglich sein können.
20
Vgl. S.32 21
Vgl. S.31 22
Es sei daran erinnert, dass hierbei Anfang und Ende übereinstimmen müssen.
33
4. Fazit
Zwei interessante Gebiete zu vereinen, ist den Schachmathematikern gelungen, und bis heute
birgt eines der ältesten Spiele der Welt viele Rätsel. Vieles im Schach wäre ohne Mathematik
überhaupt nicht möglich. Die Graphentheorie ist ein Gebiet der Mathematik, das auf Schach
angewandt werden kann, jedoch ist Kombinatorik keineswegs weniger wichtig. Von der Stär-
ke der Figuren bis zu den Regeln für einzelne Turniermodi ist alles mathematisch durchdacht.
Dass Mathematik ohne Schach existieren kann, ist nicht von der Hand zu weisen, da die Ma-
thematik noch viele andere große Dinge, neben der Schachmathematik, leistet. Ebenso wenig
zu leugnen ist, dass beide Gebiete eine Sprache zu sprechen im Stande sind, die so schön und
gleichzeitig kompliziert ist, dass nur Experten und Meister diese verstehen können. Wenn
man die Schachregeln nicht kennt und taktisch nicht stark ist, kann man die Schönheit von
Kombinationen, Ideen und Manövern nicht nachvollziehen. In der Mathematik sind es die
Formeln, Algorithmen23
und Beweise, die diese Geisteswissenschaft zu der Schönheit verhel-
fen, die ihr gebührt.
Die Probleme, die mit Hilfe der Mathematik oder auf dieser basierenden Methoden gelöst
werden, sind nahezu unbegrenzt. Viele sind der menschlichen Fantasie entsprungen. Es ist
klar, dass nicht alle Probleme24
lösbar oder gelöst sind und dass es bei manchen noch eine
ganze Menge zu erforschen gibt.
Neben den vielen – teilweise bis heute noch – ungelösten Problemen, die sich aus einer Kom-
bination von Schach und Mathematik ergeben, gibt es eine große Reihe an bearbeiteten und
gelösten Fragestellungen. Ein zentrales Beispiel hierfür ist das Acht-Damen-Problem25
, wobei
man in diesem Fall die erweiterte Fragestellung mitbetrachten sollte, bei der es wichtig ist,
eine Anzahl an Möglichkeiten für die gefragte Aufstellung zu finden. Wichtig ist, dass neben
der Graphentheorie in der Schachmathematik auch die Kombinatorik26
eine große Rolle spielt
und bei Simulationen und Schachprogrammen27
verwendet wird.
Die Graphentheorie ist ein in der Schule eher unbekanntes, jedoch umso interessanteres Teil-
gebiet der Mathematik mit vielen Anwendungsbeispielen, wie Reiserouten und die daraus
entstandenen Navigationssysteme. Es finden sich auch immer wieder Verbindungen zwischen
Graphentheorie und Kombinatorik. Bei der Suche nach bestimmten Kantenzügen kann es
immer wieder mal sinnvoll sein, nach der Anzahl dieser zu fragen, und sobald eine Anzahl
von Möglichkeiten gefragt ist, trifft man zwangsläufig auf die Kombinatorik.
23
Das bezeichnet eine Abfolge von bestimmten Rechenoperationen zur Lösung eines Problems. 24
Beispiele hierfür sind die Anzahl aller möglichen Stellungen etc. 25
Vgl. S.7f. 26
Vgl. S.28 27
Vgl. S.2
34
Wie man am Beispiel des Springerproblems28
gesehen hat, sind die Schachprobleme sehr
kompliziert und allein schon auf eine mögliche Lösung zu kommen, erscheint schwierig, je-
doch kann man auch nach allen möglichen Lösungen fragen und das Problem auf eine voll-
kommen neue, wesentlich komplexere und zeitlich aufwändigere Ebene bringen. Zu dem bis
heute noch unvollständigen Springerproblem sei noch erwähnt, dass die Anzahl aller mögli-
chen Kantenzüge, die die Aufgabenstellung29
erfüllen, noch nicht bestimmt ist.
Das Turmproblem ist im Gegensatz zum Springerproblem deutlich einfacher und überschau-
barer. Die Wege des Turms können auch in absehbarer Zeit auf dem Brett gefunden werden,
während man dasselbe beim Springerproblem nicht behaupten kann. Jedoch bleibt auch hier
die Frage nach allen Möglichkeiten für solche Kantenzüge ungeklärt.
Ein weiterer nennenswerter Aspekt ist die Implementierung30
von solchen Problemen in
Computerprogramme bzw. die Programmierung von diesen. Wenn man einem Computer das
Springerproblem als Aufgabenstellung gäbe, wäre dieser in kürzester Zeit fertig, zumal Gra-
phen und die für Kantenzüge notwendige Algorithmen sehr geeignet für die Einbindung in
Programme sind. Die Verbindung zur Informatik ist klar gegeben und bei den komplizierten
Aufgabenstellungen unausweichlich. Für viele der aufgezählten Schachprobleme werden die
dazugehörigen Programme geschrieben, um diese zu lösen.
Die Perspektiven liegen nicht nur bei den Mathematikern, sondern auch bei Informatikern,
weil Computer um einiges effizienter derartige Probleme bewältigen, sofern es gelingt, die
Aufgaben in eine für Computer verständliche Sprache zu verwandeln und derart in ein Pro-
gramm einzubauen, dass es sich möglichst zeitnah lösen lässt.
Man kann demnach festhalten, dass es noch viel Ungeklärtes in diesem Fachbereich gibt, je-
doch ist der Vielfalt an Problemen keine Grenze gesetzt. Sowohl in der Mathematik als auch
in der Informatik kann es in der Zukunft zu zahlreichen interessanten Durchbrüchen kommen
und möglicherweise werden die zurzeit noch ungelösten Fragestellungen eines Tages beant-
wortet.
28
Vgl. S.32 29
Vgl. S.10 30
Dieser Begriff bezeichnet die Einbindung einer Operation(folge) in ein Computerprogramm.
35
Abkürzungsverzeichnis
bspw. – beispielsweise
bzw. – beziehungsweise
d.h. – das heißt
ebd. – ebenda
etc. – et cetera (lat. für „und weitere“)
f. – folgende
ff. – fortfolgende
lat. – lateinisch
o.Ä. – oder Ähnliches
q.e.d. – quod erat demonstrandum (lat. für „was zu zeigen war“)
S. – Seite
s.o. – siehe oben
usw. – und so weiter
vgl. – vergleiche
z.B. – zum Beispiel
36
Literaturverzeichnis
Graphen für Einsteiger, Manfred Nitzsche, 3. Auflage, 2009
Schach und Mathematik, Gik J., 1983
Mathematische Spiele, Wilhelm Ahrens, Anaconda Verlag, 2008
„Hamiltonkreisproblem“. Bearbeitungsstand: 6. Dezember 2014, 18:14 UTC.
URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Hamiltonkreisproblem&oldid=13652
7279 (Abgerufen: 10. März 2015, 18:36 UTC) „NP-Vollständigkeit“. Bearbeitungsstand: 8. Oktober 2014, 17:12 UTC.
URL: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=NP-
Vollst%C3%A4ndigkeit&oldid=134715296 (Abgerufen: 10. März 2015, 18:40 UTC) „Weg (Graphentheorie) Bearbeitungsstand: 26. Januar 2015, 15:40 UTC.
URL:http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Weg_(Graphentheorie)&oldid=13818
7383 (Abgerufen: 10. März 2015, 10:48 UTC)