Scelte alla base di un percorso formativo: Aritmetica e ... · generalizzare e risolvere problemi...

SCELTE ALLA BASE DI UN PERCORSO FORMATIVO:

ARITMETICA E ALGEBRA

SECONDO BIENNIO

Pierangela Accomazzo

Sergio Zoccante

XXXII CONVEGNO UMI-CIIM

IL VALORE FORMATIVO DELLA MATEMATICA

NELLA SCUOLA DI OGGI

dedicato a Federigo Enriques Livorno, 16-18 ottobre 2014

• Coerenza con le Indicazioni nazionali e con le Linee guida

• Continuità tra i percorsi Primo Biennio/Secondo biennio e quinto

anno

• Flessibilità delle proposte didattiche per un facile adattamento a

ogni corso di studi della scuola secondaria di secondo grado.

• Materiali scelti prevalentemente tra quelli disponibili in rete di

sicura affidabilità e già sperimentati.

• Esempi e indicazioni per un uso consapevole dello strumento

informatico.

• Modalità per la realizzazione di momenti di Didattica

laboratoriale.

• Indicazioni su pratiche didattiche da evitare.

Il percorso CIIM: quali linee guida

Sia per il primo che per il secondo biennio sono stati prodotti due

documenti:

• Un percorso sintetico per i corsi con un ridotto numero di ore di

Matematica

• Un percorso analitico per le scuole con programma di Matematica „forte‟

I due percorsi sono consultabili sul sito UMI http://www.umi-ciim.it

nella sezione „Materiali UMI CIIM‟

Propongono un esempio di possibile programmazione su conoscenze e

competenze essenziali, validi per le scuole secondarie di secondo grado

- che hanno solo tre/due ore settimanali di matematica (primo percorso)

- che hanno cinque/quattro ore settimanali di matematica (secondo

percorso)

Due proposte di percorso …

http://www.umi-ciim.it



Articolazione del percorso sintetico

Il valore formativo della matematica di oggi

Livorno, 16-17-18/10/2014

Articolazione del percorso analitico


Livorno, 16-17-18/10/2014

Elementi per la costruzione di un percorso

Ogni docente segue, coscientemente o no, un suo percorso

nell'insegnamento della matematica in una classe ben precisa

Esplicitare gli elementi che stanno alla base del percorso permette di

• controllare il processo con maggiore efficacia

• interagire con altri nella costruzione di percorsi comuni


Livorno, 16-17-18/10/2014

Scelte alla base di un percorso

Le scelte disciplinari e didattiche (implicite o esplicite) che

stanno alla base di un percorso:

il caso di Aritmetica e Algebra


Livorno, 16-17-18/10/2014

E‟ un ambito particolarmente sensibile per quanto concerne la

percezione che uno studente si fa della matematica

- fornisce il linguaggio della matematica, oggi

- fornisce alcuni tra gli strumenti fondamentali della

matematica

- fornisce alcuni tra i concetti fondamentali della matematica

Il caso di Aritmetica e Algebra

Illustreremo qui le scelte di base sulle quali il gruppo di lavoro ha

costruito il percorso; ma prima vorremmo che sulle scelte e sulle

pratiche didattiche correnti si aprisse una discussione.


Livorno, 16-17-18/10/2014

• Insiemi numerici e difficoltà degli allievi: su quali punti ritieni che

vada posta particolare attenzione? Che cosa può essere

lasciato ad una preparazione precedente e che cosa va ripreso

ed approfondito?

• Numeri reali, numeri complessi: come equilibrare l'aspetto

concettuale con l'aspetto strumentale?



Livorno, 16-17-18/10/2014

• Come viene introdotto nelle tue classi il linguaggio algebrico?

• Quale peso dai all‟acquisizione di abilità di calcolo?

• Usi l‟algebra per modellizzare una situazione o un problema?

• Usi l‟algebra per dimostrare delle proprietà?


Le risposte alle domande precedenti sono guidate dalle risposte a

queste ulteriori domande:


Livorno, 16-17-18/10/2014

Che cosa significa per te possedere buona padronanza

numerica? In altre parole, che cosa intendi per senso del

numero?

Quali sono i motivi per cui insegni il calcolo letterale?

E più in generale: che cosa è per te l‟Algebra?

Scelte alla base di un percorso: il nodo dell’Algebra

Quando si rappresenta occorre:

- Porre attenzione alla giusta scelta della simbolizzazione

- Usare la formula giusta per ogni contesto

- Rendersi conto che la rappresentazione è l’inizio e la base di ogni

modellizzazione


Livorno, 16-17-18/10/2014

Quando si trova una formula:

- Bisogna saperla leggere

- Bisogna saperne cogliere lo schema (il pattern)

E’ uno strumento per

- rappresentare

- comunicare

- generalizzare

- dimostrare

Un passo indietro: Il primo biennio

Aritmetica e Algebra - le scelte del gruppo di lavoro

Le Indicazioni ministeriali…

Il primo biennio sarà dedicato al passaggio dal calcolo aritmetico a quello algebrico.

La proposta del gruppo:

Il senso del numero

• Gli ordini di grandezza, le stime numeriche, le percentuali, l‟uso dei numeri per misurare, contare, ordinare, ossia tutte quelle conoscenze e attività che contribuiscono a formare negli studenti una buona sensibilità numerica, possono essere conseguite, consolidate e rafforzate trattando argomenti legati all‟elaborazione dei dati e, più in particolare, alla statistica descrittiva.

• Lavorando con i numeri gli studenti impareranno a eseguire operazioni tra i numeri conosciuti a mente oppure utilizzando gli usuali algoritmi scritti, le calcolatrici e i fogli di calcolo e valutando quale strumento può essere più opportuno, a seconda della situazione e degli obiettivi, a confrontare i numeri anche se espressi in vario modo (frazioni, numeri decimali,...)


Livorno, 16-17-18/10/2014


Livorno, 16-17-18/10/2014

Aritmetica e Algebra: le scelte del gruppo di lavoro

Il primo biennio

Il linguaggio dell‟Algebra

L'utilizzo delle lettere precede l'usuale calcolo algebrico, ed è

inizialmente finalizzato a generalizzare proprietà numeriche, ad

esprimerle in modo adeguato, a dimostrarle. Solo in un secondo tempo si

passerà allo studio esplicito delle tecniche di calcolo.

….consolidare gradualmente nel tempo la competenza nel calcolo

numerico, e giungere ad una competenza algebrica adeguata nell'arco

del primo biennio.


n …+12 …5 … - 4… …+40 Cosa ottieni?

7 7+12 (7+12)5 (7+12)5 –

47

[(7+12)5 - 47]+40

Pensa un numero intero

• somma ad esso 12

• moltiplica il risultato per 5

• sottrai 4 volte il numero pensato

• somma al risultato 40

Che numero hai ottenuto?

Prova ora a “generalizzare” l‟espressione scritta, in modo

indipendente dal numero pensato

m@

t.abel

L‟uso delle lettere non

si riduca al solito

calcolo algebrico, ma

anzi lo preceda e

serva ad esprimere le

proprietà dei numeri

Indicazioni del “Percorso Sintetico”

L‟a

ritm

etica a

iuta

l‟a

lgeb

ra e

l‟a

lgeb

ra

aiu

ta l‟a

ritm

etica


Livorno, 16-17-18/10/2014

m@

t.abel

Que

l che

ved

o è

sem

pre

vero

La differenza tra il quadrato di un

numero naturale e il quadrato del

suo precedente è sempre un

numero dispari?

Dalla congettura,

all’argomentazione, alla

dimostrazione:

i simboli per esprimere,

comunicare,

generalizzare e risolvere

problemi

Indicazioni del “Percorso Sintetico”


Livorno, 16-17-18/10/2014

Consigli e sconsigli È importante mantenere forte, soprattutto nelle prime

manipolazioni algebriche, il significato delle formule e far capire

all‟allievo che il calcolo algebrico non è fine a se stesso.

Nell‟affrontare le tecniche di calcolo algebrico sarà

opportuno individuare il giusto equilibrio fra la ricerca

del valore semantico (il „senso‟ di una formula in un

certo contesto) e l‟abilità sintattica (cioè di calcolo

formale) che è in parte legata all‟addestramento.

Gli esercizi dovranno essere scelti per la loro valenza operativa e non

dovranno costituire compito eccessivamente ripetitivo


Livorno, 16-17-18/10/2014

Le indicazioni ministeriali….

I numeri reali

Approfondire la conoscenza dei numeri reali, con riguardo alla

tematica dei numeri trascendenti.

Lo studente studierà la formalizzazione dei numeri reali anche come

introduzione alla problematica dell‟infinito matematico (e alle sue

connessioni con il pensiero filosofico).

Sarà anche affrontato il tema del calcolo approssimato, sia dal punto

di vista teorico sia mediante l‟uso di strumenti di calcolo.


Il secondo biennio

…e la proposta del gruppo:

Coltivare una „manutenzione delle conoscenze acquisite‟ e un

potenziamento delle medesime attraverso la soluzione di problemi via via

più articolati e complessi.

Riprendere e approfondire l‟esperienza degli allievi sui numeri reali,

requisito indispensabile per affrontare l‟Analisi, e sui polinomi, interpretati

sia dal punto di vista algebrico sia dal punto di vista funzionale.


Livorno, 16-17-18/10/2014

Il fog

lio A

4

Il foglio A4

I numeri razionali non bastano

Numeri reali per calcolare e misurare

Che relazione c‟è fra le dimensioni di un foglio comune

di formato A4 in uno più grande di formato A3?

Il formato A3 di un foglio ha superficie doppia rispetto

ad comune foglio A4:

Come devono essere i rapporti fra i lati di ciascun

rettangolo?

m@

t.abel

Perc

hé

è im

po

rta

nte

il nu

mero

e ?

Le indicazioni ministeriali

Metodi numerici per la risoluzione di equazioni ( Relazioni e funzioni)

Un tema fondamentale di studio sarà il concetto di algoritmo e

l‟elaborazione di strategie di risoluzioni algoritmiche nel caso di

problemi semplici e di facile modellizzazione; e, inoltre, il concetto di

funzione calcolabile e di calcolabilità e alcuni semplici esempi relativi.


Il secondo biennio


E‟ opportuno che gli allievi acquisiscano la capacità di affrontare la

soluzione di equazioni utilizzando strumenti non soltanto algebrici, ma

anche grafici e numerici;

…sapranno manipolare e dare un senso non solo alle soluzioni „esatte‟

ottenute attraverso formule algebriche, ma anche ai valori approssimati

ricavati da considerazioni grafiche o procedimenti numerici iterativi.

Ris

olu

zio

ne d

i eq

ua

zio

ni


Livorno, 16-17-18/10/2014


Successioni e principio di induzione

Lo studente acquisirà la conoscenza di semplici esempi di successioni

numeriche, anche definite per ricorrenza, e saprà trattare situazioni in

cui si presentano progressioni aritmetiche e geometriche.

Il principio di induzione.


Il secondo biennio


Attraverso successioni possono essere descritti e modellizzati fenomeni

naturali, e la definizione per ricorrenza “non è un artificio matematico‟‟.

Si potrà arrivare progressivamente alle dimostrazioni per induzione, non

semplici da comprendere per gli allievi, dopo aver molto lavorato sulle

definizioni per ricorrenza; solo quando gli allievi avranno ben compreso la

differenza fra „stato iniziale‟ e „passo induttivo‟ si procederà a lavorare

sulle dimostrazioni.


Livorno, 16-17-18/10/2014

L‟in

du

zio

ne in

mate

ma

tica

Dagli

an

ag

ram

mi alla

torr

e d

i H

an

oi

m@

t.abel


Livorno, 16-17-18/10/2014


I numeri complessi

Definizione e le proprietà delle operazioni dei numeri complessi, nella

forma algebrica, geometrica e trigonometrica.

Numero delle soluzioni delle equazioni polinomiali


Il secondo biennio


I numeri complessi sono utilizzati in modo strumentale in alcune materie

tecniche; tuttavia riteniamo opportuno dare loro significato teorico che ne

favorisce una più profonda comprensione


Livorno, 16-17-18/10/2014

Com

ple

ssi m

a s

em

plic

i m@

t.abel

Dalla forma algebrica alla rappresentazione nel piano

cartesiano.

Con un software di geometria dinamica vengono proposte

le costruzioni che realizzano le operazioni (addizione,

moltiplicazione, reciproco e divisione).


Livorno, 16-17-18/10/2014


Il problema del contare

• Studierà […] gli elementi di base del calcolo combinatorio


Il secondo biennio


Il Calcolo combinatorio è un importante tema di Matematica discreta che

è opportuno sviluppare quanto prima; non va finalizzato unicamente al

calcolo delle probabilità. Può essere, ad es., uno strumento efficace per

risolvere problematiche legate al campionamento da popolazioni finite in

contesti diversi.

Utilizzare i grafi ad albero per gestire i problemi, almeno nei casi semplici:

questi permettono di fare congetture sulle formule, e, volendo, anche

sugli algoritmi che consentono di elencare tutti i casi previsti

Solo dopo queste attività è significativa l‟introduzione della terminologia

specifica e delle formule relative.


Livorno, 16-17-18/10/2014

Ele

men

ti d

i C

alc

olo

Com

bin

ato

rio

di G

. A

nic

hin

i


Livorno, 16-17-18/10/2014

A cosa serve il calcolo combinatorio ?

Serve a contare, possibilmente senza fare troppi conti

Livorno, 16.10.2014

[email protected]

[email protected]


Livorno, 16-17-18/10/2014

La Commissione CIIM sulle indicazioni curricolari

• Pierangela Accomazzo

• Marilina Ajello / Enrica Ferrari

• Gianpaolo Baruzzo

• Silvia Beltramino

• Sebastiano Cappuccio

• Maria Angela Chimetto

• Donata Foà

• Paola Ranzani

• Riccardo Ruganti

• Luigi Tomasi

• Sergio Zoccante


Livorno, 16-17-18/10/2014

Coordinatore: Ercole Castagnola

Il compito:

produrre materiali che possano aiutare gli insegnanti che lavorano

nella scuola secondaria di secondo grado nella costruzione di percorsi

didattici di matematica coerenti con le indicazioni della riforma.

Spunti di riflessione

Questo approccio all‟Algebra è prassi corrente?

Come viene introdotto nelle vostre classi il linguaggio

algebrico?

Quale peso viene dato all‟acquisizione di abilità di calcolo?

Quale all‟uso strumentale dei numeri e dell‟algebra nella

risoluzione di problemi aperti?


Livorno, 16-17-18/10/2014

Non trasferiscono

all‟ambito numerico il

raccoglimento a fattor

comune. Il calcolo

simbolico è un campo di

esperienza recintato e

non comunicante con gli

oggetti numerici. L‟algebra

non è strumento di

pensiero

Non risp A B C D

2,4 35,0 1,9 22,0 38,7

Cla

sse I

I sup. – 2

011

PR

OV

E I

NV

ALS

I

Cla

sse I

I su

p.

– 2

014

PR

OV

E I

NV

ALS

I

Gli studenti possono

rispondere notando che,

per ogni k<0, 5+k è minore

di 5; 5k è un numero

negativo; 5k è un numero

minore di 1, mentre 5 – k

è maggiore di 5.

Un‟esplorazione numerica

può aiutare ad arrivare alla

risposta corretta.

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