Sayısal Kontrol -...
173
Sayısal Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT
Transcript of Sayısal Kontrol -...
Sayısal Kontrol
Sistemleri
Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT
Referans
giriş
r(k)
Sistem
çıkışı
y(t)
Algılayıcı
+
-
YükselticiSayısal
Denetleyici
Hata
e(k)
Denetim
sinyali
v(t)
Sistem
girişi
u(t)
Sistem
ADC
DAC
Sayısal kontrol sistemlerinde genellikle denetlenen sistem analog (sürekli zaman)
bir sistem iken denetleyici sayısal (ayrık zaman) bir birimdir.
Tutma
Örnekleme
1.1 Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemi
1.2 Sürekli Zaman ve Ayrık Zaman Sinyaller
Basamak / birim basamak sinyaller:
Sürekli Zaman / Ayrık zaman
Rampa / birim rampa sinyaller:
Sürekli Zaman / Ayrık zaman
İmpuls / birim impulse sinyaller:
Sürekli Zaman / Ayrık zaman
Örnek: Bilgisayar programlama dillerinde, MATLAB gibi,buradaki temel test sinyalleri nasıl tanımlanır.?
0k
A
x(k)x(k)
k
A
0
x(k)
k0 12 10
10
t
x(t)
0
t
x(t)
0
A
1
t
x(t)
0
A
1.3 Sürekli Zaman Sinyallerin Ayrıklaştırılması / Örnekleme
Örnekleme Yuvarlatma Kodlama
Analog sinyal
Sayısal sinyal
Ayrık zaman sinyal
Yuvarlatılmış sinyal
Analog-dijital dönüştürücü (ADC)
0 0 0
111110101100011010001000
t2e)t(f
Üstel fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.
ka)k(f
Analog ya da sürekli zaman sinyallerin örneklenerek ayrıklaştırılması: t=kT
Örnekleme peryodu seçimi?
)25.0(10)( 1.0 kSinekf k
0 0.5 1 1.5 2-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
)5(10)( 2 tSinetf t
Sönümlü sinüsoidal bir fonksiyonun ayrıklaştırılması.
Sönümlü sinüsoidal fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.
T=?
t10te)t(f
1-) Verilen sinyali ayrıklaştırarak grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız. T=?
1.4 Sayısal (Ayrık zaman) Sistemler
• Statik / Dinamik sistem ya da bellekli /belleksiz sistem
• Doğrusal / doğrusal olmayan sistem
• Zamanla değişen / zamanla değişmeyen sistem
• Ayrık zaman sistem, ayrık zaman u(k) giriş sinyalini alarak
ayrık zamanda tanımlı bir giriş-çıkış ilişkisi verir.
• Ayrık zaman sistemlerde, sinyallerin o anki, önceki ve
sonraki değerleri kullanılabilir.
)k(ue)k(y k2.0
1)k(u2)k(y
)k(u)1k(y8.0)k(y
)k(u2.0ke)k(y
)1k(u)k10(Sin)k(y
y(k)
k0 kk-1 k+2
1
2
Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma
a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.
b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa
cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.
c-) Cevapları bulan MATLAB programı yazınız.
)1k(u5.0)k(u)k(y
)k(u)1k(y8.0)k(y
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı
)k(u2.0ke)k(y 1-)
2-)
3-)
Kararlılık: Sınırlı girişe karşı sınırlı çıkış veren sistemler SGSÇ kararlıdır.
Ayrık zaman Sistemlerde Kararlılık
)1k(u5.0)k(u)k(y
)k(u)1k(y2)k(y
kararlıisebkyiçinaku )()(
Örnekler: Kararlı olup olmadıklarını gösteriniz.
)k(u2.0ke)k(y
• Sayısal Türev: Bir sinyalin herhangi bir noktadaki türevi sinyalin o noktadakieğimidir.
Bir f(t) sinyalinin türevi y(t) ile gösterilirse bu sinyalin herhangi bir t (yada k, kT)noktasındaki eğimi, sinyalin zaman ekseni ile yaptığı açı kullanılarak aşağıdaki gibiyazılabilir.
tan)()( tfdt
dty
k
f(k)
t
f(t)
1.4 Sürekli zaman sistemlerin ayrıklaştırılması
Fonksiyonun eğimi farklı yaklaşımlarla bulunabilir.
Bunlardan ileri fark, geri fark ve merkezi fark olarak bilinen yöntemler yaygın
olarak kullanılmaktadır.
İleri Fark Yöntemi
• İleri fark yönteminde fonksiyonun bir gelecekteki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir.
k
f(k)
t
f(t)
k+1
f(k+1)
• Geri fark yönteminde fonksiyonun bir önceki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir.
k
f(k)
t
f(t)
k-1
f(k-1)
Geri Fark Yöntemi
Merkezi Fark Yöntemi (Bilineer Dönüşüm-Tustin Algoritması)
Merkezi fark yönteminde ise fonksiyonun bir önceki ve bir gelecekteki
örneklenmiş değerleri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak
hesaplanabilir.
k
f(k)
t
f(t)
k-1
f(k-1)
k+1
f(k+1)
Sayısal İntegral
• Bir sinyalin herhangi bir andaki integrali (belirli-sınırlı integrali) bu sinyalin o ana kadar taradığı alanın toplamıdır. Bir f(t) fonksiyonun integrali y(t) ile gösterilirse t anındaki integral,
• Bir fonksiyonun herhangi bir t anındaki taradığı alanı bulmak için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Burada en çok kullanılan sol kenar, sağ kenar ve yamuk yöntemleri verilmiştir.
t
0t
)0t(ydt)t(f)t(y
Sayısal İntegral
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
t
f(t)
k
.
k-1
f(k-1)
f(k)
y(k-1)
Alan
y(k)integrali
Sol Kenar kuralı
Sağ kenar kuralı
Yamuk Kuralı:
Örnekler
2-) Endüktansı L=0.2 H olan bir bobine uygulanan gerilim aşağıda verilmiştir. Değişik
yöntemlerle bobinin akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB program yazınız.
)t(vdt
dC)t(i
t
0
dt)t(vL
1)t(i
t10e5)t(v
1-) Kapasitansı C=0.1 F olan bir kondansatöre birim rampa gerilim uygulanmıştır. Değişik
yöntemlerle kondansatörün akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız.
• Sürekli zamanda doğrusal-zamanla değişmeyen-dinamik sistemlerin matematikselmodelleri diferansiyel denklemlerle tanımlanırken,
• Ayrık zaman doğrusal-zamanla değişmeyen-bellekli sistemlerin modelleri ise farkdenklemleri ile tanımlanır.
)mk(ub)1k(ub...)k(u)nk(ya)1k(ya...)k(y m1n1
1.5 Fark Denklemleri
Burada, k=0 için y(-1), y(-2),……y(-n) başlangıç koşullarıdır.
)k(ub)1k(ub...)mk(u)k(ya)1k(ya...)nk(y 0101
Burada, k=0 için y(n-1), y(n-2),……,y(1), y(0) başlangıç koşullarıdır.
İleri farklar şeklinde yazılan fark denklemi:
Geriye farklar şeklinde yazılan fark denklemi:
Örnek:
Örnek:
2)0(y,)1k(u)k(y5.0)1k(y
2)2(y,4)1(y,)1k(u3)k(u)2k(y)1k(y2)k(y
Fark denklemleri, başlangıç koşulları hesaplanmak koşuluyla
ileri ya da geri yönde ötelenebilir.
Birim basamak giriş için 2 örnek ileriye öteleyiniz.
Birim rampa giriş için bir örnek geriye öteleyiniz.
)1k(u2)k(u)2k(y4.0)1k(y5.0)k(y
Fark Denklemlerinin Blok Şema ile Gösterimi.
Fark Denklemlerinin Ardışıl (iteratif) ya da Bilgisayarla Çözümü: Yukarıda verilen fark denklemini birim basamak giriş için ardışıl çözünüz. Başlangıç değerlerini sıfır alınız. MATLAB programını yazınız.
Verilen fark denkleminin blok şemasını çiziniz.
u(k)T
u(k-1)
Bellek elemanı
0)0(y)t(u3)t(y2dt
)t(dy
Örnek: Verilen diferansiyel denklemi,
a-) Geri fark yöntemi ile ayrıklaştırınız. T=0.1 alınabilir.
b-) Fark denkleminin blok şemasını çiziniz.
Diferansiyel denklemlerin ayrıklaştırılması Fark denklemleri, diferansiyel denklemlerin ileri, geri ya da merkezi fark yöntemi kullanılarak ayrıklaştırılması ile de elde edilebilir.
c-) Fark denkleminin birim basamak cevabını k=0,1,2 örnek için hesaplayınız.
d-) Birim basamak cevabını bulan MATLAB programı yazınız ve analog ve
sayısal çözümleri karşılaştırınız.
)t(u3)t(y2dt
)t(dy
Örnekler: İleri fark yöntemi ayrıklaştırarak blok şemasını çiziniz. T=0.1s
dt
)t(du4)t(y2
dt
)t(yd2
2
Seri RLC devresinin birim basamak cevabını (akımını) sayısal olarak bulan bir MATLABprogramı yazınız. R=2, L=0.1 H, C=0.2 F, T=0.1 saniye alınız.
Fark Denklemlerinin Analitik Çözümü
Homojen çözüm ve özel çözümün toplamından meydana gelir.
n21 r...rr
0arardaya0ra...ra1 n1n
1nn
n1
1
Homojen çözüm yh(k):
Karakteristik denklem
KD’ in kökleri reel ve ayrık ise
KD’ in kökler reel ve katlı ise
KD’in kökleri kompleks ise
knn
k22
k11 rA...rArA)k(yh
jbar,jbar 21
n21 r,...r,r
k1
1nn
k12
k11 rkA...krArA)k(yh
)a/b(tan,ba),k(SinA)k(CosA)k(yh 122k
2
k
1
)k(u)nk(ya...)1k(ya)k(y n1
Diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kaynak fonksiyonunun türüne bağlı olan, bir de
özel çözüm vardır.
)k(Cosdaya)k(Sin
k
)a(
1.K
n
k
k
özel çözümKaynak
)k(CosC)k(SinC)k(yö
k.Ck.C)k(yö
)a.(C)k(yö
1.C)k(yö
21
1n2
n1
k
k
• Özel çözümün aynısı, homojen çözümde de varsa her defasında özel çözüm k ile
çarpılmalıdır.
• Özel çözüm yö(k), fark denkleminde yerine yazılarak C katsayıları bulunmalıdır.
• Toplam çözüm olduğundan başlangıç koşulları uygulanarak homojen
çözümün A katsayıları bulunmalıdır.
)k(yö)k(yh)k(y
Özel çözümü
0)2(y,1)1(y,)1()k(u,)k(u)2k(y04.0)1k(y4.0)k(y k
Örnek: Verilen fark denklemini, analitik olarak çözünüz.
Çözüm:
0)1(y,0)0(y,)5.0()1k(y2.0)k(y9.0)1k(y k
Örnek: Verilen fark denklemini, analitik olarak çözünüz.
Çözüm:
Örnek: Verilen durum denkleminin ayrık zaman karşılığını bulunuz. (İleri Fark yöntemi ile)
u(t) 0
1
)t(x
)t(x
20
21
)t(x
)t(x
2
1
2
1
)t(u5)t(x
)t(x 01)t(y
2
1
Analog Durum Denklemlerin Ayrıklaştırılması ve
Ayrık Zaman Durum Denklemleri
Analog durum denklemleri ayrıklaştırılırsa ayrık zaman durum denklemleri elde edilebilir.
)k(Du)k(Cx)k(y
)k(uB)k(xA)1k(x dd
Ayrık zaman durum denklemleri
)t(Du)t(Cx)t(y
)t(Bu)t(Ax)t(x
Analog durum denklemleri
İleri Fark
k
0k
z)k(y)z(Y)k(yZ
Örneklenmiş bir sinyalin Z dönüşümü de aşağıdaki gibi alınabilir.
k
0k
z)kT(y)z(Y)kT(yZ
Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde Laplace
dönüşümünden yararlanıldığı gibi, doğrusal fark
denklemlerinin çözümünde de z dönüşümünden yararlanılır. Z
dönüşümü fark denklemlerini cebirsel hale getirir. Tek yönlü Z
Dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır.
Bölüm 2
Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri
2.1 z -Dönüşümü
Z-dönüşümüne dikkat edilirse sonsuza giden bir seridir ve seriler
belirli koşullarda belirli bir değere yakınsar. Bu nedenle z-dönüşümü
bulunurken serilerin yakınsaklığını da belirlemek gerekir. Çoğu
seriler, aşağıdaki açılıma uygundur ve bu serilerin in yakınsaklığı
aşağıdaki ifade ile belirlenebilir.
1q,q1
1q...qqq1q
0n
n32n
Serilerin Yakınsaklığı
0n
1nn
q1
q1q
k
0k
z)k(y)z(Y)k(yZ
0 1 2 3 4….
1
f(k)
k
0 T 2T 3T 4T….
1
f(kT)
t=kT
0k
kz).k(f)z(F
1z
z
z1
1)z(F
1
k)1()k(f
1|z| 1
Örnek: Birim basamak fonksiyonunun Z dönüşümü
. . . .
k
1 2 3 . . .
f(k)
Örnek: Ayrık zaman üstel fonksiyonun z dönüşümünü alınız.
az
z
z.a1
1)z(F
1
k)a()k(f
0k
kz).k(f)z(F
Örnek: Ayrık zaman birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.
0
10 1...01...).1()0().()(k
k zzzkzF
0
4321 ...4320).()(k
k zzzzzkfzF
k)k(f
0 1 2 3 4….
f(k)
k
Önceki seriden farklıdır
(1)
ve sağ taraf parantezine alınırsa,
221
1
)1()1()(
z
z
z
zzF
1
11
1
1)()1(
zzzFz
Örnek: Birim rampa fonksiyonunun z dönüşümü
1z
1z İle çarptıktan sonra (1) den çıkarılır
j
eekfwkSinkf
jwkjwk
2)()()(
Örnek: Sinüsoidal fonksiyonunun z dönüşümü
jwjw ez
z
ez
z
j2
1)z(F
Seriye açılarak da Z dönüşümü bulunabilir ancak üstel ifadelerin
Z dönüşümü bilindiğine göre,
1)w(zCos2z
)w(zSin)z(F
2
Fonksiyon f(k) Z Dönüşümü F(z)
)wk(Cos
)wk(Sin
)a(
k
k
)k(u
)k(
k
2
1zCoswa2z
)wCosz(z
1wzCos2z
wzSin
az
z
)1z(
)1z(z
)1z(
z
1z
z
1
2
2
3
2
Bazı Ayrık Fonksiyonların z- Dönüşümleri
Analog Fonksiyon
f(t)
z- Dönüşümü
F(z)
)wkT(Cos
)wkT(Sin
e
kT
bkT
1wTzCos2z
)wTCosz(z
1wTzCos2z
wTzSin
ez
z
)1z(
zT
2
2
bT
2
)wt(Cos
)wt(Sin
e
t
bt
Bazı Örneklenmiş Fonksiyonların z- Dönüşümleri
Örneklenmiş Fonksiyon
f(kT)
1-) Toplama-Çıkarma ve sabit çarpan
)z(bY)z(aY)k(by)k(ay 2121
Bazı Önemli z – Dönüşüm Teoremleri
2) İlk Değer Teoremi 3) Son Değer Teoremi
)z(YLim)k(yLim)0(yz0k
)z(Y)1z(Lim)k(yLim)(y1zk
)5.0z/(z)z(F
Örnek: İlk ve son değerlerini bulunuz.
16.04zCos6.1z
4zSin4.0)z(F
2
4) Karmaşık Dönüşüm (üstel ile çarpma)
a
zF)z(F)k(fa)k(f 11
k
5) Rampa ile çarpma
)z(F)dz
dz()z(F)k(fk)k(f n
1n
k)8.0(k5)k(f
Örnek:Verilen fonksiyonun z dönüşümünü bulunuz.
2
k
)az(
za)z(Fise)a(k)k(f
Genel hali
n
1k
knn z)k(yz)z(Yz)nk(y
6) Geciktirme:
)z(Yz)nk(y n
7) Öngörme:
)z(Yz)nk(y n
1n
0k
knn z)k(yz)z(Yz)nk(y
İki yönlü dönüşüm
Bir yönlü dönüşüm
İki yönlü dönüşüm
Bir yönlü dönüşüm
Z{y(k-2)} ?
Z{y(k+2)} ?
y(-1)=1, y(-2)=-4 olsun.
y(0)=-2, y(1)=3 olsun.
Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi
çözümünü bulunuz.
k)5.0()k(uve0)2(y,1)1(y
)k(u)2k(y64.0)1k(y6.1)k(y
Fark denklemlerinin z-dönüşümü: z bölgesi çözümü
2
2
2
3
)8.0z(
z64.0z6.1
)8.0z)(5.0z(
z)z(Y
)z(U)}2(y)1(yz)z(Yz{64.0)}1(y)z(Yz{6.1)z(Y 121
NOT: Denkleme dikkat edilirse önceki örnekte verilen fark denkleminin
k=k+2 yazılarak 2 ileri ötelenmiş halidir.
Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi
çözümünü bulunuz.
02.4)1(y,6.2)0(y
)2k(u)k(y64.0)1k(y6.1)2k(y
)1(zu)0(uz)z(Uz)z(Y64.0)]0(zy)z(zY[6.1)1(zy)0(yz)z(Yz 2222
2
2
2
3
)8.0z(
z64.0z6.1
)8.0z)(5.0z(
z)z(Y
k)5.0()k(u
2.2 Ters z – Dönüşümü
Ters z-dönüşümünde genellikle kısmi kesirlere ayırma yöntemikullanılır.
Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Verilen karmaşık ifade basit
kesirlerine ayrılarak her bir basit kesrin ters z-dönüşümü
bulunur.
Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse basit terimlerin z-
dönüşümlerinin payında her zaman z çarpanı vardır. Bu
nedenle, Z bölgesinde verilen bir F(z) ifadesi, öncelikle
F(z)/z
haline getirilerek basit kesirlerine ayrılmalıdır.
1-) Kökler reel ve ayrık ise
)5.0z).(1z(
z)z(F
Örnek
)2).(1(
1)(
zzzEÖrnek
)1.()2(
2)(
2
3
zz
zzzX
)k(u322k2
9)k(x kk
Örnek
Kökler reel ve çakışık ise,
Karmaşık Kök DurumuKarmaşık kök durumunda da basit kesirlere ayırma yöntem
kullanılabilir. Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse
karmaşık kökler sinüsoidal fonksiyonlarda ortaya çıkmaktadır. Bu
nedenle, karmaşık kökü olan z-bölgesindeki fonksiyonlar saf
sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal fonksiyonlara benzetilebilir.
Bu amaçla aşağıdaki z-dönüşümleri tekrar hatırlanabilir.
22
k
22
k
2
2
awazCos2z
)waCosz(z)z(Fise)wk(Cosa)k(f
awazCos2z
wazSin)z(Fise)wk(Sina)k(f
1wzCos2z
)wCosz(z)z(Fise)wk(Cos)k(f
1wzCos2z
wzSin)z(Fise)wk(Sin)k(f
)k2
sin()k(fise1z
z)z(F)1
2
Örnekler: sin(wk) ve cos(wk) dönüşümlerini hatırla:
)k2
cos()k(fise1z
z)z(F)2
2
2
?)k(fise1zz
z)z(F)3
2
2
)k3
(Sin577.0)k3
(Cos)k(f
?)k(f4z2z
z)z(F)4
2
2
kSinkCoskf kk
3
2)2(
3
1
3
2)2()(
2)0(y,0)k(y)1k(y
Örnek: Verilen fark denklemini z dönüşümü ile çözünüz.
,...2,1,0k,12)k(y k
2.3 Fark Denklemlerinin z–Dönüşümü ile Çözümü
)0)z(Y)]0(zy)z(zY Çözüm
Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki farkdenklemini z dönüşümü ile çözünüz.
1)1(x,0)0(x,0)k(x2)1k(x3)2k(x
kk )2()1()k(x
Çözüm
0)z(X2)]0(zx)z(zX[3)1(zx)0(xz)z(Xz 22
0k0)k(x,1)2k(x)1k(x2)k(x2
Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki farkdenklemini z dönüşümü ile çözünüz.
502
1
1 2
2
.zz
zz
z
z)z(X
,...,,k)k(Sin)k(Cos)k(x
kk
21042
1
2
1
42
1
2
11
)z(U)z(Xz)z(Xz2)z(X2 21
Çözüm
• Başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla z-bölgesinde çıkışın girişe oranıdır.
)mk(ub..)k(ub)nk(ya)1k(ya)k(y m0n1
2.4 Transfer Fonksiyonu
nn
11
mm
110
za...za1
zb...zbb
)z(U
)z(Y)z(G
G(z)Y(z)U(z)
)k(ub..)mk(ub)k(ya)1nk(ya)nk(y m0n1
n1n
1n
m1m
1m
0
a......zaz
b......zbzb
)z(U
)z(Y)z(G
?G(z) )1k(u2)k(u)1k(y3)k(y4)1k(y
Örnek: Fark denklemi verilen sistemin transfer fonksiyonunu
bulunuz.
Örnek: Transfer fonksiyonu verilen sistemin fark denklemini çıkarınız.
5z4z
3z
)z(U
)z(Y)z(G
2
)z(U)z(G)z(Y
)3.0z)(2.0z(
1z)z(G
Örnek: TF verilen sistemin z-dönüşümünü kullanarak birim basamak
cevabını bularak cevap eğrisini çiziniz. Kalıcı durumdaki kazancı belirleyiniz.
2.4.1 Transfer Fonksiyonunun Verilen Sistemin verilen bir giriş için
Cevabını Bulma ve kalıcı durum kazancı
Kalıcı durum kazancı:
)z(GK Lim1z
dc
G(z)
Y(z)U(z)
)2.0z()5.0z(
5.0z)z(G
2
Örnek:TF verilen sistemin birim impulse cevabını bularak grafiğini
çiziniz. G(z)
Y(z)U(z)
)2.0z(
z)z(G
Örnek: TF verilen sistemin birim rampa cevabını bularak grafiğini çiziniz.
2.4.2 Transfer Fonksiyonunun kutupları, sıfırları, z-düzlemi, birim çember ve kararlılık
Örnekler
az
z)z(G
)09.0z6.0z)(1z(
)2z(z)z(G
2
Örnek: TF verilen sistemin kutup ve sıfırlarını z-düzleminde
göstererek kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz.
89.0zz
z2.0z)z(G
2
2
Örnek: TF verilen sistemin kutup ve sıfırlarını z-düzleminde
göstererek kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz.
z-düzleminin sağ yarı ve sol yarı birim çember içerisindeki
kutupların cevaba etkileri
)4.0z)(5.0z(
z)z(G
Örnek: Verilen sistemini birim impulse cevabını bularak sağ yarı ve sol yarı
birim çember içerisindeki kutupların cevaba etkisini belirleyiniz. Uygun olan
birim yarı çember hangisidir?
G(z)Y(z)U(z)
Birinci dereceden ayrık zaman sistemler ve
sürekli zaman sistemlerle benzerliği
5.0z
z2)z(G
5.0s
2)s(G
Örnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer, son değer
teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak çiziniz. Zaman sabitesi ?
İkinci dereceden ayrık zaman sistemler ve
sürekli zaman sistemlerle benzerliğiÖrnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer, son değer
teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak yaklaşık olarak çiziniz.
Aşırı, kritik, düşük sönümlü sistem ?
49.0z8.0z
4.0z)z(G
2
5s2s
10)s(G
2
2.5 Blok Şemalar ve Sadeleştirilmesi
Kontrol sistemlerinde birden fazla sistem (transfer fonksiyonu ) geri
beslemeli bir yapı içerisinde değişik şekillerde bağlanabilir.
Dolayısıyla indirnerek (sadeleştirilerek) tek bir blok haline getirilerek
incelenmesi gerekir.
Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan blok şema
indirgeme kuralları, ayrık zamanda da geçerlidir.
Örnekler: Seri, paralel ve geri beslemeli bloklar.
4.0z
1)z(H,
6.0z
z)z(G
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin birim impulse cevabını z-
dönüşümü yardımıyla bularak cevap eğrisini çiziniz.
NOT: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sistemi, çeşitli G(z) ve H(z) ler ve çeşitli
referans girişler (impulse, basamak ve rampa gibi) için cevapları incelenebilir.
1)z(H,)8.0z(z
1z)z(G
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer teoremi,
kalıcı durum kazancı ve sistemin kutuplarının yeri gibi bilgileri hesaplayarak
birim basamak cevabını yaklaşık olarak çiziniz.
G2
R YG1
+-
G3
H2
H1
+
-
Karmaşık blok şemaların sadeleştirilmesi: Blok şemayı
sadeleştiriniz. a-) ara sinyallerini yazıp yok ederek b-) Sinyal
taşıyarak.
2.6 Sinyal Akış Şemaları ve Sadeleştirilmesi
Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan sinyal akış
şeması kuralları, sinyalleri ve sistemleri ayrık zamanda tanımlamak
koşuluyla ayrık zamanda da geçerlidir.
Örnekler: Sinyal akış şemasının blok şema karşılığını çiziniz.
R 1 Yo oo oo oo oo o
G1 G2 G3 G4
-H1 -H2
G5
-H3
X
Örnekler: Sinyal akış şemasının blok şema karşılığını çiziniz.
Örnek: Verilen sinyal akış şemasını, ara sinyallerini yazıp yok
ederek indirgeyiniz (sadeleştiriniz.)
R 1 Y
X2
o oo oo oo oo oX1 X3 X4
G1 G2 G3 G4
-H1 -H3
-H2
Örnekler: Sinyal akış şemalarını sadeleştiriniz.
R 1 Yo oo oo oo oo o
G1 G2 G3 G4
-H1 -H2
G5
-H3
X
Kazanç formülü
Ayrık zaman sinyal akış şemaları da kazanç formülü ile sadeleştirilebilir.
2.7 Ayrık Zaman Durum Denklemleri:İteratif ya da bilgisayarlı Çözümü
)k(u1.0
0
)k(x
)k(x
2.02.0
1.01
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
k
21
1)k(u
,5)0(x,2)0(x
Örnek: Verilen durum denklemini iteratif olarak çözünüz.
0k için
Çözüm:
1k için
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
)z(BU)AzI())0(x)AzI(z)z(X 11
Durum denklemlerinin z-dönüşümü ile çözümü: Durum
değişkenlerinin başlangıç değeri x(0) vektörü olsun.
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
u(k) 0
5
)k(x
)k(x
01
23
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
0
2x(0)
)2()k(u k
)2z(
z5)2z(
z5
z2
z2
)z(X
22
Örnek: Verilen durum denklemini z-dönüşümü yardımıyla çözünüz.
2.7.3 Durum Denkleminden
Transfer Fonksiyonuna Dönüşüm
)()()(
)()()1(
kDukCxky
kBukAxkx
DB)AzI(C)z(U
)z(Y)z(G
)z(UDB)AzI(C)z(Y
1
1
4u(k)(k)x
(k)x 32)k(y
)k(u1
2
)k(x
)k(x
04
23
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
2
1
8z3z
5z19z4
)z(U
)z(Y)z(G
2
2
Örnek
G(z)=?
)(2)(5)1()2(2)3(3 kukykykyky
)k(u
3
20
0
)k(x
)k(x
)k(x
3
2
3
1
3
5100
010
)1k(x
)1k(x
)1k(x
3
2
1
3
2
1
)k(x
)k(x
)k(x
001)k(y
3
2
1
2.7.4 Fark Denkleminden Durum Denklemine Dönüşüm
Aşağıdaki fark denkleminin durum denklemini çıkarınız.
NOT: giriş sadece u(k) olursa
)k(u4)k(y3)1k(y2)2k(y
)k(x
)k(x 01)k(y),k(u
4
0
)k(x
)k(x
23
10
)1k(x
)1k(x
2
1
2
1
2
1
Örnek:Aşağıdaki fark denkleminin durum denklemini çıkarınız.
5.02
12)(
23
2
zzz
zzzG
Kanonik Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum
diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
2.7.5 Transfer Fonksiyonundan Durum Denklemlerini Elde Etme
)k(x
)k(x
)k(x
121)k(y),k(u
0
0
1
)k(x
)k(x
)k(x
010
001
5.012
)1k(x
)1k(x
)1k(x
3
2
1
3
2
1
3
2
1
)1z)(8.0z)(5.0z(
2z)z(G
Seri Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum
diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
)1z(
2z
)8.0z(
2
)5.0z(
z)z(G
Paralel Yöntem
Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını
(durum diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.
-6
T
2
5
T
3
T
4
-2
2.7.6 Blok Diyagramından Durum Denklemi
Durum Denkleminin yazınız.
T T T
-2
-3
-1
1
Örnek Durum Denkleminin yazınız.
3.1 Ayrıklaştırma Yöntemlerinin Laplace Karşılığı ve Kararlılığı
T
)k(x)1k(x)t(x
T
zs
1 sTz 1
İleri Fark Yöntemi ya da Sol Kenar Kuralı
Ya da
Bölüm 3Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Analizi
0)Re( s 01
Re
T
z
jyxz
101
xT
x
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Kararlı bölge
Re(z) 1
Im(z)
İleri fark yönteminin kararlılığı:
İçin
Örnek: Verilen sistemleri ileri fark yöntemi ile dönüştürünüz.
a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.
b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim
basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.
2s
1)s(G
1zz
z5.0)z(G
2
Geri Fark Yöntemi ya da Sağ Kenar Kuralı
T
)1k(x)k(x)t(x
Tz
1zs
0Tz
1zRe
22
2
2
1
2
1
yx
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Re(z)
Im(z)
Geri Fark Yönteminin kararlılığı
Ts1
1z
Merkezi Fark Yöntemi ya da Yamuk Kuralı (Bilineer Dönüşüm)
)1k(x)k(x2
T)1k(y)k(y,dt)t(x)t(y
s2
T1
s2
T1
z
Yamuk kuralı (bilineer dönüşüm) ile ayrıklaştırmanın kararlılığı;
Im(s)
Re(s)
Kararlı bölge
Re(z)
Im(z) 01z
1z.
T
2Re
122 yx
s ve z dönüşümleri karşılaştırılarak
1z
1z
T
2s
Örnek: Verilen sistemleri farklı yöntemlerle dönüştürünüz.
a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.
b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim
basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.
4s2s
1)s(G
2
5.0z
z)z(G
100s16s
100)s(G
2
Örnek: İkinci dereceden bir sistemin çeşitli yöntemlerle ayrıklaştırılmış
karşılıkları.
.s05.0T
0 0.5 10
0.5
1
1.5
t
0 0.5 10
0.5
1
1.5
0 0.5 10
0.5
1
1.5
t
t
İleri fark
Geri fark
Merkezi fark
45.0z2.1z
25.0)z(G
21
1z8.2z05.2
z25.0)z(G
2
2
2
453.0z282.1z
0427.0z085.0z0427.0)z(G
2
2
3
3.2 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinde
Kararlılık Analizi
• Ayrık zaman sistemlerin kararlı olabilmesi için karakteristik
denkleminin köklerinin birim çember içinde olması gerektiği
bilinmektedir.
• Birim çember dışında bulunan herhangi bir kutup sistemi
kararsız yapar.
• Yüksek dereceden sistemlerin köklerini bulma zorluğu
nedeniyle bunun yerine Routh-Hurwitz ya da Jury kriteri ile
ayrık zaman sistemlerin kararlılığı belirlenebilir.
• Routh-Hurwitz kriteri ayrık zaman sistemlerin kararlılık
analizine doğrudan uygulanamaz. Ancak, bilineer dönüşüm
kullanılarak verilen ayrık zaman sistemin sürekli zaman
karşılığı yaklaşık olarak bulunabilir ve bulunan analog
sisteme Routh-Hurwitz kriteri uygulanabilir.
• Burada Jury kriterini açıklamak yeterli olacaktır.
JURY Kriteri ile Kararlılık Analizi
0...)( 11
10
nnnn azazazazP
Sistemin karakteristik denklemi P(z) elde edilirse aşağıdaki Jury
tablosu oluşturulabilir.
Jury tablosundaki katsayılar, aşağıdaki determinantlarla bulunur.
10
1nn0 aa
aab
10
2n1n0 bb
bbc
20
2nn1 aa
aab
JURY Kararlılık Kriteri
a0>0 olmak koşuluyla n. dereceden bir sistemin kararlı
olabilmesi için aşağıdakilerden sıra ile n+1 adet koşulun
sağlanması gerekir.
NOT: Şartlardan biri sağlanmazsa sistem kararsızdır. P(-1)=0 ya
da P(1)=0 olduğunda diğer şartlar sağlanıyorsa marjinal
kararlıdır (yani z=1 de kutbu vardır), aksi halde kararsızdır.
008.03.007.02.1)( 234 zzzzzP
Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını
JURY kriteri ile inceleyiniz.
02.01.01.1)( 23 zzzzP
Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını
JURY kriteri ile inceleyiniz.
3679.0z3679.1z
)2642.0z3679.0(K)z(G
2p
Örnek: Kapalı çevrim kontrol sisteminin kararlı olabilmesi için
K’ nın alabileceği değer aralığını JURY kriteri ile belirleyiniz
03925.2 K
R(z) E(z) Y(z)+
-
U(z)K Gp(z)
3.3 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tipi
ve Kalıcı Durum Hataları
Şekildeki birim geri beslemeli kontrol sisteminde açık çevrim transfer
fonksiyonu G(z)H(z), kutup ve sıfırları cinsinden aşağıdaki gibi
yazılabilir.
)pz()1z(
)zz(K
)z(H)z(G
ir
j
Burada, zj- açık çevrim sistemin sıfırları, pi-açık çevrim sistemin
kutuplarıdır ve r ise sistemin tipini gösterir. Analog sistemlerde olduğu
gibi sayısal kontrol sistemlerinde de kalıcı durum hataları, sistemin
tipine göre değerlendirilebilir.
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
Konum hata katsayısı ve basamak hatası
)z(R)z(H)z(G1
1)1z()z(E)1z(lime
1zss
)z(R)z(H)z(G1
1)z(E
Hata fonksiyonu,
Sistem tipine göre basamak hatası yorumları?
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
Son değer teoremi:
kK sse
Hız hata katsayısı ve rampa hatası:
Sistem tipine göre rampa hatası yorumları?
)z(R)z(H)z(G1
1)1z()z(E)1z(lime
1zss
Son değer teoremi:
vK sse
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminde her bir G(z) için
sistemin tipini ve ilgili kalıcı durum hatalarını bulunuz.
1)z(H,2.0z2.1z
1.0z)z(G
1z
1z)z(H,
5.0z
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer teoremi,
sistem tipi ve kalıcı durum hatası, kutuplarının yeri gibi bilgileri hesaplayarak
birim basamak cevabını yaklaşık olarak çiziniz.
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
E(z)
1)z(H,1z5.1z
)5.0z(z)z(G
2
Ayrık zaman transfer fonksiyonu verilen ya da sürekli zamandaki transfer
fonksiyondan ayrıklaştırılarak elde edilen bir sisteme sayısal PI, PD ya da
PID bağlanarak çeşitli referans girişler için cevapları analog kontrol
sistemlerdekine benzer şekilde bulunabilir.
4.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tasarım Esasları
R(s) Y(s)+
-G(s)
E(s)
Örnek: Sürekli zaman sistemlerden hatırlatma:
Verilen ikinci dereceden sürekli zaman kontrol sisteminin birim basamak cevabını
inceleyiniz. İlk değer ve son değer teoremi, kalıcı durum kazancı, aşırı, kritik, düşük
sönüm durumu ve kalıcı durum hatası, yükselme, yerleşme süresi, maksimum aşma
vs. belirleyiniz.
1s2s
4)s(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
81.0z8.1z
04.0)z(G
2
Örnek: Önceki örnekte verilen sürekli zaman sistemin T=0.1 s örnekleme
peryodu ile ve ileri fark yöntemi ile ayrıklaştırılmış karşılığı aşağıda
verilmiştir. Kontrol sisteminin birim basamak cevabını inceleyiniz.
Sönüm oranı ve doğal frekans ve dolayısıyla yükselme ve yerleşme süresi ile
maksimum aşmayı ayrık zaman sistemin transfer fonksiyonundan tanımlamak
mümkün mü?
0 1 2 3 4 5 6 70
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1
)()(
z
azKzGc
PI kontrolörlerin, genel olarak sistemin tipini artırarak kalıcı durum hatalarını
iyileştirdiği bilinmektedir.
Sayısal PI kontrolörler, analog PI kontrolörler ayrıklaştırılarak elde edilebilir.
Örnek: a-) zaman bölgesinden PI kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PI kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz.
Sayısal PI Kontrolörler
4.2 Ayrık Zaman PID Kontrolörler
)az(K)z(Gc
PD Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerinden özellikle
maksimum aşmayı düzelttiği bilinmektedir.
Sayısal PD kontrolörler, analog PD kontrolörler ayrıklaştırılarak elde
edilebilir.
z
)az(K)z(Gc
Sayısal PD Kontrolörler
Örnek: a-) zaman bölgesinden PD kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PD kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz.
PID Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici+kalıcı rejim kriterlerini (aşma-
yerleşme-yükselme zamanı) + kalıcı durum hatası düzeltir.
Sayısal PID kontrolörler, analog PID kontrolörler ayrıklaştırılarak elde
edilebilir.
)1z(
)az)(az(K)z(G 21c
c
Sayısal PID Kontrolörler
Örnek: a-) zaman bölgesinden PID kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman
denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.
b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PID kontrolörü
ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz.
• Kontrol edilecek sistemler genellikle sürekli zaman (analog)
sistemlerdir. Günümüzde kontrolörler ise bilgisayar ya da
mikrokontrolörler vs. gibi genellikle sayısal birimlerdir.
4.3 Sayısal Kontrol Sistemi Tasarımı
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)PID
programıTutma
T Örnekleme
Buna göre Sayısal kontrolörlerin tasarımında iki yaklaşım izlenebilir.
1. Kontrolör, önce analog olarak tasarlanır ve sonra ayrıklaştırılarak bilgisayarprogramları ile gerçekleştirilir. Kontrolörü ayrıklaştırmak için merkezi farkyöntemi tercih edilir. Kısaca,
|)(
)()(
zFs
cc sGzG
2. Önce sistem ayrıklaştırılır ve sonra kontrolör ayrık zamanda
tasarlanabilir. Sistemi ayrıklaştırmak için ileri, geri ve merkezi farktan
başka çeşitli yöntemler kullanılabilir.
Bu tasarım yaklaşımı ile diğer ayrıklaştırma yöntemlerinden bazıları
sonraki bölümlerde açıklanacaktır.
Analog sistem
Fark Denklemi
Program
Analog PID tasarla
Ayrıklaştır
Sistemi ayrıklaştır
Ayrık kontrolör tasarla
Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı
ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PI kontrolörü
tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.
NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PI tasarlayabilirsiniz.
10wn
2s
1)s(Gp
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
8.0
4.3.1 Analog Sisteme Analog Kontrolörü Tasarlayıp
Sonra Ayrıklaştırma Yöntemi
Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı
ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PD kontrolörü
tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.
NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PD tasarlayabilirsiniz.
10wn
)2s(s
25)s(Gp
R(z) Y(s)+
-Gp(s)
E(z)Gc(z)
DAC
ADC
8.0
R(z) Y(z)+
-Gp(z)
E(z)Gc(z)
100s16s
100)s(T
2ref
Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının sönüm oranı
ve doğal frekansı olacak şekilde bir sayısal PI kontrolör
tasarlayınız. Analog referans transfer fonksiyonunu, sayısala
dönüştürerek sayısal kontrolörü tasarlayabilirsiniz.
4.0z
6.0)z(Gp
8.0 10wn
45.0z2.1z
25.0)z(T
2ref
İleri fark ile T=0.05
4.3.2 Analog Sistemi Ayrıklaştırarak Sayısal Bölgede
Kontrolör Tasarımı
12s
12)s(Gp
İleri fark ile T=0.05
1z
)25.0z(334.0)z(Gc
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
R(z) Y(z)+
-Gp(z)
E(z)Gc(z)
100s16s
100)s(T
2ref
Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının
sönüm oranı ve doğal frekansı olacak şekilde bir
sayısal PD kontrolör tasarlayınız.
8.0 10wn
45.0z2.1z
25.0)z(T
2ref
İleri fark ile T=0.05
9126.0z9.1z
05.0)z(G
2p
5s2s
20)s(G
2p
İleri fark ile T=0.05
0 50
0.5
1
1.5
)66.0z(14)z(Gc
Referans
giriş
r(k)
Sistem
çıkışı
y(t)
Algılayıcı
+
-
YükselticiSayısal
Denetleyici
Hata
e(k)
Denetim
sinyali
v(t)
Sistem
girişi
u(t)
Sistem
ADC
DAC
Tutma
Örnekleme
5.1 Örnekleme ve Tutma
Bölüm 1 de blok şeması verilen aşağıdaki kapalı çevrim sayısal kontrol
sistemlerinin analiz ve tasarımında Örnekleme ve Tutma işlemleri önemli
bir yer tutar.
Bölüm 5
Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri
Şekildeki gibi sürekli zaman bir sinyalin T örnekleme peryodu ile
örneklendiğini ve sıfırıncı dereceden bir tutma devresi ile sürekli
zamana geri dönüştürüldüğünü yani orijinal analog sinyalin geri elde
edilmeye çalışıldığını kabul edelim. Tutma devreleri yüksek dereceden
olabilir ancak burada sadece sıfırıncı dereceden tutma ele alınacaktır.
Örnekleme ve Tutma
Sıfırıncı dereceden tutucu ile tutulmuş sinyal, darbe zincirleridir.
Bu sinyal, ötelenmiş basamaklarla tanımlanır ve LD alınırsa,
0k
kTsTs e)kT(xes
1
s
1)s(X
Buna göre ikinci terim ayrılarak X*(s) ile gösterilirse,
0
)()(*
k
kTsekTxsX
Örneklenmiş sinyalin Laplace Dönüşümü ortaya çıkar. Diğer taraftan
örneklenmiş sinyallerin Z-dönüşümü,
0k
kTsTs e)kT(xes
1
s
1)s(X
sTez
0k
kz)kT(x)z(X
olduğu görülür ve standart z- dönüşümü olarak bilinir.
Olduğundan örneklenmiş sinyalin LD (yıldızlanmış sinyal) ile z-
dönüşümü alınmış sinyal arasındaki ilişkinin
)s(Gs
e1
)s(X
)s(Xh
Ts
*
Birinci terim ayrılırsa tutma devresinin transfer fonksiyonu elde edilir.
Sonuç olarak örnekleme ve sıfırıncı dereceden tutma devresi
aşağıdaki blok şema ile gösterilebilir.
Buna göre bir analog sistemin önüne örnekleme ve sıfırıncı dereceden
tutma (zoh) yerleştirilirse artık sistem sayısaldır ve bu sistemi zoh
yöntemi ile sayısal karşılığı,
)(1
)( sGps
eZzG
sT
Dönüşümü ile bulunur ve bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma yöntemi
denir. İleride açıklanacaktır.
Buradan, zoh yöntemi ile ayrıklaştırmada, zaman bölgesinde ya da s-
bölgesinde verilen bir fonksiyonun yıldızlı dönüşümü ve sonra da z-
dönüşümü alınabilir.
te)t(f
TT1ze
*
ez
z
ez1
1)s(F)z(F sT
Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve z
dönüşümünü bulunuz.
0
)()(*
k
kTsekTxsX
Zaman bölgesinde verilen sinyal örneklenerek yıldızlı dönüşümü oradan da
z- dönüşümünü almak için aşağıdaki eşitlik elde edilmişti.
Zaman Bölgesinden Yıldızlı Dönüşüm ve z-dönüşümü
Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak
yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.
t)t(x Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü
ve z dönüşümünü bulunuz.
2)1(
1)(
Ts
Ts
eTesG
2)1(
)(
z
zTzG
Not: örnekleyerek z- dönüşümü doğrudan yazılabilir ancak yıldızlı dönüşüm alarak z-
dönüşümüne geçiniz.
)wt(Cos)t(x
Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü
ve z dönüşümünü bulunuz.
Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak
yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.
Örnek: Şekildeki gibi bir analog sistemini girişine ADC ve DAC
bağlanırsa sistemin blok şeması nasıl çizilebilir ?
2s
1)s(Gp
Olur ve buradan G(z) bulunursa bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma
yöntemi denir.
Dolayısıyla öncelikle Laplace bölgesinde verilen sürekli zaman
bir fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümünün bulunuşu bilinmelidir.
2s
1
s
e1Z)z(G)s(Gp
s
e1Z)z(G
sTsT
Bu durumda
5.2 Laplace Bölgesinden Yıldızlı ve z- DönüşümüYukarıda, zaman bölgesindeki ifadesi bilinen sürekli zaman bir sinyalin
örneklenmişinin Laplace dönüşümü (yıldızlı dönüşümü) alınabilmekte ve
yıldızlı dönüşümden de z dönüşümüne geçilebilmektedir.
Laplace dönüşümü verilen bir sürekli zaman sinyalin, yıldızlı dönüşümü
rezidü teoremi kullanılarak aşağıdaki gibi alınabilir.
)(1
1)(Rezidü )(
sTeEsE
Burada, Rezidü katsayısı, basit kesirlere ayırma işlemindeki katsayılara
karşılık gelmektedir. İse fonksiyonun kutuplarıdır. Buna göre basit bir
fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümü,
Sonuç olarak, zaman bölgesinde veya Laplace bölgesinde verilen sürekli
zaman bir sinyalin örneklenmişinin Laplace dönüşümü ve oradan z-
dönüşümü, hem zaman bölgesinden hem de s- bölgesinden alınabilir.
T21T2)2s(T ez
z
ze1
1)z(E
e1
1)s(Eise
2s
1)s(E
ez
z
2
1
ez
z
1z
z
2
1)z(E
T2T
Örnek:Laplace dönüşümü verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve
z dönüşümünü bulunuz.
)2s)(1s(s
1)s(E
?)z(Eve?)s(E
Reel ve ayrık kök durumu
2
1)(
ssG
Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı
dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz.
m katlı kökler için ve katlı kökler olmak üzere yıldızlı ve z-dönüşümü,
i
sTm emsG
)(1
1-m
1
1
d
d
)!1(
1)(
i
Tm ezmzG
11
1-m
1
1
d
d
)!1(
1)(
Reel ve katlı kök durumu
221
1
2 )1()1()(
)1()(
z
Tz
z
TzzG
e
TesG
Ts
Ts
i
Karmaşık kök durumu
4s
2)s(G
2
Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı
dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz. Euler bağıntısı:
Karmaşık basit kesirlerine ayrılarak reel ayrık köklerdeki gibi elde edilebilir.
)x(jSin)x(Cose
)x(jSin)x(Cosejx
jx
5.3 s ve z- Düzlemleri Arasındaki İlişki js 2,1
T)jw(sT eez
s-düzleminde olarak verilen karmaşık bir noktanın z-düzlemindeki
yeri,
jw
x
jy
z-düzleminde jbaz olarak verilen karmaşık bir noktanın
s-düzlemindeki yeri,
rz
T1ww
,T
rlnw
2n
n
jw
x
jy
Örnek: Verilen analog transfer fonksiyonunu zpm ile analogdan sayısala
dönüştürünüz. T=0.1
Sıfır-Kutup Eşleştirme Yöntemi (zpm)
sTez bağıntısından yararlanarak bir sistemin kutup ve sıfırları ayrı
ayrı dönüştürülürse sıfır-kutup eşleştirme zpm yöntemi ile dönüşüm
denir.
NOT: zpm yönteminde kalıcı durum kazançları da eşitlenmelidir vs. ancak
burada ayrıntısına girilmeyecektir.
)5s2s(s
1s)s(G
2a
9.0z6.0z
2.0z)z(G
2d
Örnek: Verilen sayısal transfer fonksiyonunu zpm ile sayısaldan analoğa
dönüştürünüz. T=0.1
Şekilde s-düzlemindeki çeşitli noktaların z-düzlemindeki
karşılıkları verilmiştir. Buradan, s-düzlemindeki sanal eksenin
yani kritik kararlılık sınırının, z-düzleminde birim çembere
karşılık geldiği görülmektedir. Dolayısıyla z düzleminde birim
çemberin içi kararlılık bölgesidir. S-düzleminde kutuplar sola
doğru uzaklaştıkça bağıl kararlılık artarken z-düzleminde
kutuplar merkeze (orjine) yaklaştıkça kararlılık artar.
632.0zz
264.0z368.0)z(G,
1ss
1)s(G
22
Örnek: verilen sistemlerin ζ, wn ve τ değerlerini karşılaştırınız.
Sayısal sistem, analog sistemin T=1 saniye ile örneklenmiş karşılığıdır.
Bu karşılığın bulunuşu ileride açıklanacaktır.
• Ayrık zaman kontrol sistemlerinin zaman bölgesi analizi,
sürekli zaman sistemleri ayrık zamana dönüştürme
yöntemleri (geri, ileri ya da merkezi fark yöntemi ile
örnekleme-tutma yöntemi gibi) kullanılarak yapılabilir.
• Örnekleme-tutma yöntemi ile ayrıklaştırma yapılırken
(örneklenmiş veri kontrol sistemleri de denir) önceki
bölümde incelenen örnekleme ve tutma devrelerinin
modellerine dikkat etmek gerekir.
• Bu amaçla, yıldızlı dönüşüm alınırken dikkat edilmesi
gereken bazı özellikleri aşağıda verilmiştir.
*A**A) 1
*B.*AAB*B.A)3*
**C.AB**C.B.A)4
*C.*B.*A**C.*B.A)5
*B.*A*)*B.A()2
5.4 Açık çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri
Örnek: Şekilde verilen açık çevrim sürekli zaman sistemin,
a-) Sürekli zamanda,
b-) İleri fark yöntemi ile ayrıklaştırarak,
T=0.1 s 1
1
s)s(Gp
U(s) Y(s)
1
1
s)s(Gp
U(s) Y(s)
s
e)s(G
sT
h
1T
U*(s) )s(U
c-) Örnekleme ve tutma yöntemi (zoh) ile ayrıklaştırarak, birim basamak
cevabını bulunuz.
kTe)k(y 1
Önceki örnekte bir analog sistemin örnekleme tutma yöntemi ile
ayrıklaştırma şekli verilmiştir. Aşağıda, seri bağlı iki sistemin farklı
örnekleme noktaları için ayrıklaştırma esasları incelenmiştir.
)z(G)z(G)z(U
)z(Y)z(GT 21
Örnek: Şekilde seri bağlı iki analog sistemin her ikisi de girişlerinden
örnekleme-tutma devreleri ile ayrıklaştırılmıştır. Varsa eşdeğer i
bulunuz.
Çeşitli Açık Çevrim Kontrol Sistemlerinin Analizi
)z(GT
Örnek: Seri bağlı iki analog sistem sadece girişinden örneklenirse,
)z(GG)z(U
)z(Y)z(GT 21
?)z(GT
Örnek: Seri bağlı iki analog sistem ara sinyalden örneklenirse,
)z(UG).z(G)z(Y 12
?)z(GT
4s
2)s(2Gp,
1s
1)s(1Gp
Örnek: Verilen analog sistemlerin sadece girişinden örneklendiğini ve
tutulduğunu dikkate alarak ayrıklaştırınız ve birim basamak cevabını
bulunuz. T=0.1 s
Örnek Şekilde verilen açık çevrim sistemin birim basamak cevabını bulunuz.
Denetleyicinin modeli aşağıdaki fark denklemi ile tanımlanmıştır.
)k(e)k(e)k(u 12
1
1)(
ssG p
,...,,k,ee
)e()k(u)k(
e
e)k(y kT
T
T
T
T
321121
Kapalı çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri incelenirken bazı
kurallara dikkat edilerek varsa transfer fonksiyonları, transfer
fonksiyonları yoksa çıkış ifadeleri elde edilebilir.
Aksi halde bu sistemlerin analizinde zorluklarla karşılaşılabilir.
1-) Her bir örnekleyicinin giriş ve çıkışına sinyal isimleri verilir.
Örneğin giriş u ise çıkışı u* olur.
2) Her bir örnekleyicinin girişi ve sistemin çıkışı örnekleyici
çıkışları ve sistem girişi cinsinden yazılır.
3-) Bu denklemlerden “*”’ lı dönüşümü alınarak transfer
fonksiyonu ya da çıkış ifadesi elde edilebilir.
5.5 Kapalı Çevrim Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri
Kurallar
)z(GH
)z(G
)z(R
)z(Y)z(T
)s(*GH
)s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
11
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminde hata sinyali E(s)
örneklenmiştir (örnekleme-tutma). Varsa eşdeğer transfer fonksiyonunu yoksa
çıkış ifadesini bulunuz.
R(s) Y(z)+
-Gp(s)
E(s)Gh(s)
H(s)
T
E*(s)
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s)
H(s)
])4562.0(1[667.0)k(y k
Örnek: Verilen kapalı çevrim sisteminde hata sinyali E(s) örneklenmiştir
(örnekleme-tutma). Birim basamak cevabını bulunuz ve analog sistemin birim
basamak cevabı ile karşılaştırınız. T=0.1 s.
6s
4)s(Gp
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s)Gh(s)
T
E*(s)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim
transfer fonksiyonunu bulunuz.)
)s(*G)s(*GH
)s(*G)s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
c
c
1 )z(G)z(GH1
)z(G)z(G
)z(R
)z(Y)z(T
c
c
R(s) Y(s)+
-Gp(s)
E(s) Sayısal kontrolörADC DAC
H(s)
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim
transfer fonksiyonunu bulunuz.)
R(z)Y(s)
+
-Gp(s)
E(z) Sayısal kontrolör
ADC
DAC
H(s)
Örnekler: Aşağıdaki kapalı çevrim kontrol sistemlerinin varsa transfer
fonksiyonlarını yoksa çıkış ifadelerini bulunuz.
R(s)Y(s)
+
-Gp(s)
E(s)ADC DAC
H(s)
Gc(s)
R(s) +
-
E1(s) E1*(s) G1(s)
+
- T
E2(s) E2*(s) G2(s)
Y(s)
H(s)
T
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı
çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.)
)s(*HG)s(*G).s(*G
)s(*G).s(*G
)s(*R
)s(*Y)s(*T
221
21
1
)z(HG)z(G).z(G
)z(G).z(G
)z(R
)z(Y)z(T
221
21
1
Ayrık zaman kontrol sistemlerin köklerin yer eğrisinin çiziminde, analog
sistemlerdeki kurallar geçerlidir. Bunlar tekrarlanırsa,
• Bilindiği gibi KYE, kontrol sisteminin AÇTF’ undan yararlanarak
çizilir. KYE, açık çevrim transfer fonksiyonundaki K kazancının
değişimine göre kapalı çevrim kutuplarının değişimini gösteren
eğrilerdir.
6.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin KYE
R(z) Y(z)+
-G(z)
H(z)
K
5.0z
1)z(H
,1z
z)z(G
Örnek: Verilen sistemin KYE çiziniz.
)z(H)z(G
1K
için0K)1k2()z(H)z(G
Açı ve Genlik Koşulu
KYE çiziminde ve kontrolör tasarımında açı ve genlik koşulu
son derece önemlidir.
Açı Koşulu
Genlik Koşulu
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
Örnek: z=0.5+j0.5 noktası, verilen sistemin KYE üzerinde midir?
Üzerinde ise KYE’ ni bu noktadan geçirecek olan K kazanç değeri
nedir?
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
2-) K>0 için; seçilen sx test noktasının sağ tarafında gerçek eksen üzerinde
tek sayıda kutup ve sıfır varsa o nokta KYE üzerindedir. Bu sonuç açı
koşulu uygulanarak kolayca görülebilir.
1-) Bir sistemin KYE’ nin dal sayısı, AÇTF’ nun kutuplarının sayısı kadardır ve
KYE,
• K=0 için AÇTF’ nun kutuplarında başlar, K=sonsuz için sıfırlarında sona erer.
Örnek: Verilen sistem için iki kuralı uygulayınız.
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
KYE Çizim kuralları
0dz/dKve)z(H)z(G
1K
3-) Gerçek eksenden ayrılış ve gerçek eksene varış noktaları
aşağıdaki denklemin kökleri arasındadır.
Örnek: Verilen sistem için 3. kuralı uygulayınız.
1z
1)z(H,
4.0z
7.0z)z(G
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
4-) KYE dallarının yaklaştığı asimptotlar varsa bu asimptotların
açıları,
mn
k
)12(
mn
zipjn
j
m
i
1 1
)Re()Re(
ve asimptotların
gerçek ekseni kestiği noktalar,
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
5-) KYE dallarının karmaşık kutuplardan ayrılış ve karmaşık sıfırlara
varış açıları,
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
Açısı bulunacak kutba (ya da sıfıra) açı koşulu uygulanarak bulunur.
6-) KYE’ nin birim çemberi kesme noktaları Jury kriterinden
bulunabilir. Jury kriterinin marjinal kararlılık koşulu uygulanır.
Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.
8.0z
1)z(H,
5.0zz
z)z(G
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminin KYE çiziniz
25.0z
)4z(K)z(H)z(KG)2
)5.0z)(1z(
K)z(H)z(KG)1
2
2
R(z) Y(z)+
-G(z)
E(z)
H(z)
K
6.2 Tasarım Yaklaşımları
Önceki bölümlerde sayısal kontrol sistemlerinin tasarımında
aşağıdaki iki yaklaşımın izlenebileceği belirtilmiş ve ilk yaklaşımla
kontrolör tasarımı Bölüm 4’ ün sonunda açıklanmıştı.
1-) Analog bölgede analog olarak kontrolör tasarlanır ve sonra
analog kontrolör ayrık zamana çevrilerek sayısal ortamda
programlanır.
2-) Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı: Kontrolör, ayrık
zamanda tasarlanır. Yani kontrol edilecek sistem ve kontrol talepleri
ayrık zamana dönüştürülür. Ayrık zaman kontrolörün parametreleri
ayrık zamanda hesaplanır.
Burada ilk yaklaşım, Bölüm 4 de açıklandığından ikinci yaklaşımla
tasarım açıklanacak ve ayrıca KYE ile tasarım örnekleri verilecektir.
Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı
• Kontrol edilecek sistem ayrıklaştırılır. Uygun bir örnekleme
peryodu seçilmelidir. Uygun örnekleme frekansı, sistemin
sönümlü doğal frekansının 20 katından az olursa istenen
performans elde edilemeyebilir.
• Sisteme bağlanacak sayısal kontrolörün transfer fonksiyonu
belirlenir.
• Ayrık zamandaki kontrol sisteminin karakteristik denklemi
bulunur.
• Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-
doğal frekans ya da yükselme süresi, yerleşme süresi,
maksimum aşma gibi ) z bölgesine dönüştürülür. Dolayısıyla
referans sistemin karakteristik denklemi elde edilir.
• Kontrol kriterlerini karşılayacak şekilde kontrolör parametreleri
hesaplanır. Burada, referans sisteme benzetilerek ya da KYE
ile kontrolör parametreleri hesaplanabilir.
• Tasarlanan sayısal kontrolör programlanır.
ns w20w
Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PI tasarlayınız.
2s
1)s(Gp
R(s) Y(s)Gp(s)Gc(s)
8010 .,sn/radwn
1
)()(
z
azKzGc
R(z) +
-
Gc(z) G(z) Y(z)
1-) Önce sistem ayrıklaştırılır. T=?
2-) Sisteme bağlanacak sayısal PI.
8187.0z
09.0)z(G
T=0.1 için
01994.074.02 zz
5-) Karakteristik denklemler eşitlenirse,
1
2775028
z
).z()z(Gc
3-) Sayısal kontrol sisteminin karakteristik denklemi:
4-) Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-doğal
frekans) z bölgesine dönüştürülür.
)4s)(1s(
2)s(Gp
Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PI tasarlayınız.
R(s) Y(s)Gp(s)Gc(s)
8010 .,sn/radwn
6.0z58.1z
0072.0z0085.0)z(G
2
T=0.1 için
R(z) +
-
Gc(z) G(z) Y(z)
6.3 Köklerin Yer Eğrisi (KYE) ile Sayısal Kontrolör Tasarımı
Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerini karşılamak amacıyla KYE ile
kontrolör tasarlamak için aşağıdaki kurallar uygulanabilir.
1-) Analog sistem ayrıklaştırılır.
2-) Ayrık zaman kontrolörün transfer fonksiyonu ile birlikte kontrol
sisteminin AÇTF bulunur.
3-) Verilen kontrol isteklerinden (en büyük aşma, yükselme, yerleşme
zamanı ya da sönüm katsayısı ve doğal frekans gibi) yararlanarak
arzu edilen baskın kutupların z-düzlemindeki yeri belirlenir.
4-) Kontrolörlü sistemin KYE’ nin, arzu edilen baskın kutuplardan
geçmesi için açı koşulu kullanılarak denetleyicinin sisteme eklemesi
gereken faz açısı belirlenir.
5-) Bu faz açısını karşılayacak şekilde kontrolör sıfırının değeri
hesaplanır.
6-) Kontrollü sistemin KYE’ nin arzu edilen baskın kutuplardan
geçmesini sağlayacak şekilde genlik koşulundan yararlanarak
kontrolör kazancı belirlenir.
R(z) +
- Gc(z)
Gh(s)
s
e Ts1
)s(s 1
1
Y(s)
T = 0.1sn
Örnek: Verilen sistemde yerleşme süresini 0.5 saniyeden küçük ve
maksimum aşmayı % 10 dan küçük yapacak şekilde KYE ile PD
kontrolörü tasarlayınız.
9.0z9.1z
0047.0z0048.0)z(G
2
R(z) +
-
1
z
a)K(z
Gh(s)
s
e Ts1
5s2s
12
Y(s)
T = ?
Denetleyici
Örnek: Verilen sistemde sönüm oranı 0.8 ve sönümsüz doğal frekans 10
olacak şekilde KYE ile PI kontrolörü tasarlayınız. Uygun örnekleme
frekansını seçiniz.
82.0z77.1z
0044.0z0047.0)z(G
2
T=0.1 için
