Web viewT APITNYA Y. ANG SAMA, MAKA. SISI KETIGANYA ADALAH SAMA. ... ( karna BE ǁCF dimana CI...

DI SUSUN OLEH ROMY NOVIYANTI ( 11321401 ) MUNICA MERLINDA ( 11321407 ) NOVI SULASTRI ( 11321428 ) RW. EKA S. ( 11321429 )

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO

JL. BUDI UTOMO NO. 10 Telp. (0352) 481124PONOROGO

GEOMETRI

Geometri berasal dari kata Yunani geo dan metrie. Geo berarti tanah, dan metrie

berarti pengukuran.

Geometri cabang matematika yang mempelajari titik, garis,bidang,dan benda

benda ruang tentang sifat dan ukuran- ukurannya serta hubungannya.

POSTULAT/AKSIOMA

DALIL

DALIL

PENGERTIAN PANGKAL

DEFINISI

Euclides dari Aleksandria kira kira 300 SM dalam bukunya pertama dimulai

dengan 23 definisi ,5 postulat, 10 aksioma dan 48 dalil.

DEFINISI- DEFINISI:1. Titik ialah yang tidak mempunyai bagian

2. Garis ialah panjang tanpa lebar

3. Ujung ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik titik padanya.

4. Suatu garis lurus ialah garis yang terletak rata dengan titik titik padanya

5. Suatu bidang ialah hanya mempunyai panjang dan lebar

6. Ujung ujung suatu bidang adalah garis

7. Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak ratta dengan garis garis

padanya

8. Suatu sudut datar ialah inklinasi ( kemiringan) sesamanya dari dua garis

dalam satu bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus

9. Dan jika garis garis yang memuat sudut itu lurus , maka sudut itu disebut

sudut garis lurus

10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang

besisian sama, masing- masing sudut ini disebut siku- siku dan garis yang

berdiri pada garis lainnya tadi di segbut tegak lurus pada garis lain.

11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dari suatu sudut siku-siku.

12. Suatu sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku

13. Suatu batas ialah ujungnya(akhirnya) sesuatu.

14. Suatu bangun ialah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberapa

batas.

15. Suatu lingkaran ialah suatu bangun datar yang termuat dalam satu garis

sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui satu titik dalam bangun itu

dan mengenai garis tadi sama panjangnya.

16. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran.

17. Suatu garis tengah dari lingkaran ialah sembarang garis lurus yang melalui

titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dn garis

semacam itu membagi dua sama lingkaran itu.

18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis

tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu. Titik pusat

setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran.

19. Bangun-bangun garis lurus ialah bangun bangun-bangun yang termuat dalam

(dibatasi oleh) garis-garis lurus. Bangun-bangun trilateral ialah yang dibatasi

oleh tiga, quatwral dibatasi oleh empat dan multilateral dibatasi oleh lebih

dari empat garis.

20. Dari bangun-bangun trilateral (sisi tiga), suatu segitiga sama sisi ialah yang

mepunyai tiga sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya dua

sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sama.

21. Selanjutnya dari bangun- bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku ialah yang

mempunyai suatu sudut siku-siku, suatu segitiga tumpul yang mempunyai

suatu sudut tumpul dan suatu segitiga lancip yang ketiga sudutnya lancip.

22. Dari bangun-bangun sisi empat , suatu bujur sangkar ialah yang sama sisi dan

bersudut siku-siku, suatu empat persegi panjang ialah yang bersudut siku-siku

tetapi tidak sama sisi,suatu belah ketipat ialah yang sama sisi, tetapi tidak

bersudut silu-siku, suatu jajaran genjang ialah nyang sisinya dan sudut-

sudutnya yang berhadapan sama , tetapi tiak dama sisindan tidak bersudut

siku-siku. Sisi empat yang lain dari ini semua disebit trapezium.

23. Garis garis lurus parallel (sejajar) ialah garis-garis lurus yang terletak dalam

suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada kedua arahnya

tidak akan bertemu pada arah yang manapun.

POSTULAT-POSTULAT1. Menarik garis lurus dari sembarang titik ke sembarang titik yang lain.

2. Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus.

3. Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak.

4. Bahwa semua sudut siku-siku adalah sama.

5. Bahwa, jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-

sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku-siku, kedua garis itu jika

diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam

sepihak kurang dari dua sudut siku-siku.

AKSIOMA-AKSIOMA (“COMON NOTIONS”)1. Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu sama lain juga

sama.

2. Jika sesuatu yang sama di tambah dengan sesuatu yang sama ,jumlahnya

sama.

3. Jika sesuatu yang sama di kurangi dengan sesuatu yang sama , sisanya sama.

4. Benda-benda yang berimpit satu sama lain , satu sama lain sama.

5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya.

6. Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya.

7. Setiap sudut mempunyai garis bagi.

8. Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan .

9. Setiap garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan ruas garis yang

diketahui.

10. Semua sudut siku-siku adalah sama(semua sudut lurus adalah sama).

TEOREMA - TEOREMATEOREMA 1

SUDUT-SUDUT BERTOLAK BELAKANG SAMA BESAR

Diketahui : dua garis A,B berpotongan di O

Buktikan : ∠O1 =∠ O3

∠O2 =∠ O4

Bukti :

definisi 9 : garis – garis yang memuat sudut itu lurus, maka sudut itu disebut

sudut lurus

∠ O1 + O2 = sudut garis lurus

∠O2 +∠ O3 = sudut garis lurus

∠O3 + ∠ O4 = sudut garis lurus

∠O4 +∠ O1 = sudut garis lurus

aksioma 1 : Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu

sama lain juga sama.

∠O1 + ∠O2 =∠ O2 +∠ O3

aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama ,

sisinya sama

Kedua ruas dikurangi dengan ∠O2

∠O1 =∠ O3 (Terbukti)

aksioma 1 : Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama , satu

sama lain juga sama.

∠O4 +∠O1 =∠ O1 + ∠O2

aksioma 3 : Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama ,

sisinya sama.

Kedua ruas di kurangi dengan ∠O1

∠O4 =∠ O2 (Terbukti)

TEOREMA 2MELUKIS SEBUAH SEGITIGA SAMA SISI PADA SEBUAH GARIS

TERBATAS YANG DIKETAHUI.

Diketahui : garis AB

Buktikan : Buatlah segitiga sama sisi

Buktikan bahwa sisi sisinya sama

Bukti : Postulat 3. Membuat lingkaran yang berpusat di A berjari-jari di B

Postulat 3. membuat lingkaran yang berpusat di B dan berjari – jari di A

Postulat 1. Tarik garis dari titik A ke titik B

Postulat 1. Tarik garis dari titik B ke titik C

Postulat 1. Tarik garis dari titik A ke titik C

Berdasarkan lingkaran tersebut di peroleh :

AB adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di A

AC adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di A

Jadi AB = AC ( aksioma I)

BA adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di B

BC adalah jari – jari lingkaran yang berpusat di B

Jadi BA = BC ( aksioma I)

Dapat disimpulkan AB = AC = BC ( aksioma I )

Maka terbukti ABC adalah segitiga sama sisi

TEOREMA 3DUA BUAH SEGITIGA MEMPUNYAI DUA SISI DAN SUDUT APITNYA

YANG SAMA, MAKA SISI KETIGANYA ADALAH SAMA

Diketahui : dua buah segitiga yaitu ∆ ABC dan ∆≝¿

AC = PR

AB = PQ∠ A=∠P

Buktikan BC = QR ?

Bukti : menggunakan kontradiksi

Andai BC ≠ QR maka kemungkinannya BC > QR atau BC < QR

Andai BC > QR

Aksioma 6. suatu gambar geometri dapat di pindah tanpa mengubah bentuk dan

besarnya

Aksioma 4. benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama

∆ PQR di pindah berimpit dengan ∆ ABC

Titik R terletak di garis BC

Akibatnya ∠ A > ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)

Pengandaian salah, karena ∠A = ∠P . Jadi BC = QR

Andai AB < PQ


besarnya


∆ ABC di pindah berimpit dengan ∆ PQR

Titik C terletak di garis QR

Akibatnya ∠ A ¿ ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)


Terbukti

TEOREMA 4DUA BUAH SEGITIGA MEMPUNYAI DUA SUDUT DAN SATU SISI

APITNYA YANG SAMA MAKA SISI-SISI YANG LAIN ADALAH SAMA.

Diketahui : ΔABC dan ΔPQR

∠A = ∠P

∠C = ∠R

AC = PR

Buktikan : AB = PQ dan BC = QR

Bukti :

Andai AB ≠ PQ maka kemungkinannya AB > PQ atau AB < PQ

Andai AB > PQ


besarnya



Titik B terletak di perpanjangan garis PQ

Akibatnya ∠ R ¿ ∠C (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)

Pengandaian salah, karena ∠R = ∠C . Jadi AB = PQ

Andai AB ¿ PQ


besarnya



Titik Q terletak di perpanjangan garis AB

Akibatnya ∠C ¿ ∠R (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)

Pengandaian salah, karena ∠C = ∠R . Jadi AB = PQ

Andai BC ≠ QR maka kemungkinannya BC > QR atau BC < QR

Andai BC > QR


besarnya



Titik C terletak di perpanjangan garis QR

Akibatnya ∠ P ¿ ∠A (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)

Pengandaian salah, karena ∠P = ∠A . Jadi BC = QR

Andai AB > PQ


besarnya



Titik R terletak di perpanjangan garis BC

Akibatnya ∠ A ¿ ∠P (Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari baagiannya)


Terbukti AB = PQ dan BC = QR

DUA BUAH SEGITIGA DIKATAKAN KONGRUEN JIKA:

SISI-SISINYA SAMA (SISI, SISI, SISI)

DUA SISI DAN SATU SUDUT APITNYA SAMA (SISI, SUDUT, SISI)

DUA SUDUT DAN SISI APITNYA SAMA (SUDUT, SISI, SUDUT)

TEOREMA 5MELALUI SUATU TITIK PADA SUATU GARIS ADA TEPAT SATU

GARIS YANG TEGAK LURUS PADA GARIS TERSEBUT.

Diketahui : satu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut

Buktikan : pada titik O hanya ada satu garis yang tegak lurus dengan garis AB

Bukti :

Postulat 1. tarik garis tinggi dari titik O

∠O1 = ∠O2 = siku siku karena garis tinggi

definisi 10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut

yang besisian sama, masing- masing sudut ini disebut siku- siku dan

garis yang berdiri pada garis lainnya tadi di sebut tegak lurus pada

garis lain.

TEOREMA 6

MELALUI SUATU TITIK DILUAR SUATU GARIS ADA TEPAT SATU

GARIS YANG TEGAK LURUS PADA GARIS TERSEBUT.

Diketahui: sebuah garis AB, dengan titik O di luar garis AB

Buktikan : hanya ada satu tempat dimana garis itu tegak lurus dengan titik O

Bukti: Postulat 1. Tarik garis dari titikO ke garis AB

Sehingga hanya ada tepat 1 garis dari titik O yang melalui titik P pada garis AB ,

yang tegak lurus dengan garis AB (definisi 10).

TEOREMA 7SEBUAH SUDUT DILUAR SUATU SEGITIGA LEBIH BESAR DARI

SALAH SATU SUDUT DALAM YANG TIDAK BERSISIAN DENGAN

SUDUT LUAR TERSEBUT.

Diketahui : sebuah segitiga ABC dengan titik D terletak pada

perpanjangan AB

Buktikan : ∠B2 > ∠ C

Bukti :

Postulat 1. menarik garis lurus dari titik B hingga titik C

Aksioma 8. setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E di letakkan

di pertengahan garis BC sehingga BE = CE

Postulat 1. menarik garis dari titik A ke titik E

Aksioma 9. memperpanjang garis AE hingga titik F sehingga AE = EF

Postulat 1. Tarik garis dari titik C ke titik F

Tarik garis dari titik B ke titik F

Perhatikan ΔBFE dan ΔACE :

Di ketahui BE = EC

AE = EF

∠E1 = ∠E2 ( bertolak belakang )

ΔACE ≅ ΔBFE karena terpenuhi sisi, sudut, sisi

akibat kongruensi:

∠C = ∠Bi

Aksioma 5. Seluruhnya lebih besar dari bagiannya

∠C ¿∠Bi + ∠Bj

Terbukti ∠C ¿ ∠B2

TEOREMA 7.1DUA BUAH GARIS SEJAJAR DIPOTONG OLEH GARIS TRANSVERSAL

MAKA SUDUT-SUDUT YANG SEHADAP BESARNYA SAMA SUDUT

DALAM BERSEBERANGAN BESARNYA SAMA

Diketahui : garis k sejajar garis l dan dipotong oleh garis transversal m

Buktikan : 1. ∠P1 = ∠Q1, ∠P2 = ∠Q2, ∠P3 = ∠Q3, ∠P4 = ∠Q4

2. ∠P3 = ∠Q1 , ∠P4 = ∠Q2

Bukti :

i. Sudut – sudut sehadap :

masal ∠Q4 > ∠ P4 , maka garis k dan l berpotongan dan akan membentuk

segitiga.padahal di ketahui garis k ∥ l . Pengandaian salah, jadi ∠P4 = ∠Q4

∠P1 + ∠P4 = sudut lurus

∠Q1 + ∠Q4 = sudut lurus

Aksioma 1.

∠P1 + ∠P4 = ∠Q1 + ∠Q4

∠P1 + ∠Q4 = ∠Q1 + ∠Q4

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠Q4

∠P1 + ∠Q4 - ∠Q4 = ∠Q1 + ∠Q4 - ∠Q4

∠P1 = ∠Q1

∠P1 + ∠ P2 = sudut lurus


Aksioma 1.

∠P1 + ∠P2 = ∠Q1 + ∠Q2

∠P1 + ∠P2 = ∠P1 + ∠Q2

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠P1

∠P1 + ∠P2 - ∠P1 = ∠P1 + ∠Q2 - ∠P1

∠P2 = ∠Q2

∠P3 + ∠P4 = sudut lurus


Aksioma 1.

∠P3 + ∠P4 = ∠Q3 + ∠Q4

∠P3 + ∠Q4 = ∠Q3 + ∠Q4

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠Q4

∠P3 + ∠Q4 - ∠Q4 = ∠Q3 + ∠Q4 - ∠Q4

∠P3 = ∠Q3

ii. Sudut dalam berseberangan :

∠Q1 = ∠ P1 (sudut sehadap) ∠ P4 = ∠Q4 ( sudut sehadap)

∠ P3 = ∠ P1 (sudut bertolak belakang) ∠ Q4 = ∠Q2 (bertolak belakang)

∠P3 = ∠ Q1 (Aksioma 1) ∠ P4 = ∠Q2 (Aksioma 1)

Terbukti. . .

DEFINISI:Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada

korespondensi dan korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama.

DEFINISI:Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruen jika sudut – sudut

yang berkorespondensi dan sisi- sisi yang berkorespondensi kongruen.

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID:Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah

sudut dalam sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua

garis tersebut akan berpotongan pada pihak dari transversal yang jumlah

sudutnya kurang dari 180

TEOREMA 8

JIKA DUA GARIS DIPOTONG OLEH SUATU TRANSVERSAL

SEDEMIKIAN HINGGA SUDUT – SUDUT DALAM BERSEBERANGAN

SAMA, MAKA KEDUA GARIS ITU ADALAH SEJAJAR.

Diketahui : 2 garis k dan l yang dipotong garis transversal m di titik P

dan Q sedemikian hingga :

∠P3 = ∠Q1

∠P4 = ∠Q2

Buktikan : k ∥ l ?

Bukti :

Andai k tidak sejajar dengan l , k dan l akan berpotongan di titik n.

Dari gambar diatas diperoleh:

titik P, Q dan N membentuk suatu segitiga PQN

Teorema 7. sudut di luar segitiga lebih besar dari sudut di daalam segitiga

yang tidak bersisian dengan sudut luar.

∠P1 > ∠Q1 dan ∠Q4 > ∠P4

∠P1 = ∠P3 ( bertolak belakang )

Teorema 1. Sudut yang bertolak belakang besarnya sama

∠P3 = ∠P1

∠P4 = ∠P2

∠Q3 = ∠Q1

∠Q4 = ∠Q2

Teorema 1.

∠P1 > ∠Q1 ∠Q4 > ∠P4

∠P3 > ∠Q1 ∠Q2 > ∠P4

Terjadi kontradiksi karena telah diketahui bahwa ∠P3 = ∠Q1 dan

∠P4 = ∠Q2, maka terbukti bahwa k ∥ l

TEOREMA 9DUA GARIS YANG TEGAK LURUS PADA SIATU GARIS ADALAH

SEJAJAR

Diketahui : satu garis lurus yang padanya terdapat dua garis yang tegak lurus

Buktikan : A ∥ B ?

Bukti :Definisi 10. suatu garis yang tegak lurus pada garis lainnya maka sudutnya adalah

siku siku

Sehingga diperoleh ∠ A1 =∠ B1 = ∠A2 = ∠B2 = siku siku

A⊥B ;B ⊥M

Andai A∦B maka garis AB akan berpotongan pada satu titik tertentu sebut titik C

Berdasar teorema 7 maka,

∠A1¿∠B1

∠A2¿ ∠B2

Maka terjadi kontradiksi karena di ketahui ∠ A1 =∠ B1 = ∠A2 = ∠B2

jadi terbukti bahwa A ∥ B

TEOREMA 10JUMLAH SEMBARANG DUA SUDUT DALAM SUATU SEGITIGA

KURANG DARI 180 O

Diketahui: sebuah segitiga ABC

Buktikan : ∠A +∠ B¿180O ?

Bukti :Aksioma 9. memperpanjang ruas garis AB

Postulat 1. menarik suatu garis lurus yang sejajar garis AB melalui titik C

∠C1 =∠A2 (sudut dalam bersebrangan)

∠C3 =∠B1 ( sudut sehadap )

∠C1 +∠C2 +∠C3 = sudut lurus = 180o

∠A2 +∠C2 +∠B1 = 180o

∠A2 +∠B1 = 180o - ∠C2

∠A2 +∠B1 ¿ 180o

∠A +∠B ¿ 180o

jadi terbukti bahwa ∠A +∠B ¿ 180o

TEOREMA 11

JUMLAH SUDUT DALAM SEGITIGA ADALAH 1800

Diketahui : Sebuah segitiga ABC

Buktikan: ∠ A+∠B+∠C=1800

Bukti :a. Aksioma 9 : Memperpanjang ruas garis AB

b. Postulat 1 : Menarik garis lurus yang sejajar garis AB melalui titik C

c. Teorema 7.1(ii) : Sudut dalam bersebrangan besarnya sama∠C1=¿∠ A5¿ dan ∠C3=¿∠B6¿

d. ∠C1+C2+C3=sudut lurus=1800

e. Aksioma 1 : ∠ A+∠B+∠ A=1800

TEOREMA 12 SEBUAH SEGITIGA JIKA DUA SUDUTNYA SAMA MAKA SISI-SISI DI

DEPAN SUDUT SAMA

Diketahui : Sebuah segitiga

∠ A=∠B

Buktikan : BC = AC ?

Bukti :a. Aksioma 7 : Setiap sudut mempunyai garis bagi, ∠Cmempunyai garis bagi

sehingga ∠C1=∠C2

b. CD = CD ( Berhimpit )

c. Membuktikan ∠D1=∠D2

∠D1=1800−(∠A+∠C1)

∠D1=1800−(∠B+∠C2 )

Aksioma 1 : ∠ A=∠B dan ∠C1 = ∠C2maka ∠D1=∠D2

Sudut , sisi ,sudut ( kongruen )

Dua buah segitiga kongruen , maka sisi-sisi yang berkorespondensi sama.

Jadi AC = BC

TEOREMA 13SEBUAH SEGITIGA JIKA DUA SISINYA SAMA MAKA SUDUT DI

DEPAN SISI TERSEBUT SAMA

Diketahui : Sebuah segitiga ABC

AC = BC

Buktikan :∠ A=∠B ?

Bukti :a. Aksioma 7 : setiap sudut mempunyai garis bagi, ∠Cmempunyai

garis bagi sehingga ∠C1=∠B

Membentuk dua buah segitiga yaitu ∆ ADC dan ∆ BDC

b. CD = CD ( Berhimpit)

c. Teorema 3 : Dua buah segitiga tersebut kongruen, karena dua sisi

dan satu sudut apitnya sama ( sisi, sudut, sisi)

d. ∴ ∠ A=∠B

TEOREMA 14JIKA TIGA SUDUT DALAM SUATU SEGITIGA SAMA, MAKA KETIGA

SISINYA SAMA.

Diketahui : sebuah segitiga

∠ A=∠B=∠C

Buktikan BC=AC=AB ?

Bukti : a. Teorema 12 : jika ∠ A=∠B, maka BC=AC

b. Teorema 12 : jika ∠ A=∠C, maka BC=AB

c. Aksioma 1 : BC = AC

BC = AB

Maka, AC = AB

d. ∴BC=AC=AB

CONTOH CONTOH

CONTOH 1SEBUAH SEGITIGA DENGAN DUA SISINYA KONGRUEN MAKA

GARIS BAGINYA TEGAK LURUS PADA SISI YANG TIDAK

KONGRUEN

Diketahui : Dua buah segitiga ADC dan BDC yang kongruen

AC = BC, ∠ A=∠B, ∠C1=¿∠C2¿

CD=CD ( Berhimpit)

BuktikanCD⊥ AB?

Bukti : a. Teorema 12 : ∠D1=∠D2

b. Definisi 10 : jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus yang

membuat sudut yang bersisian sama. Masing-masing sudut ini disebut

siku-siku, dan garis yang berdiri pada garis yang lain disebut tegak lurus.

c. ∴CD⊥ AB

CONTOH 2

∠E1=∠D2

Buktikan: ∠ A=∠B ?

Bukti : ∠D2= 1800- (∠ A+∠C ¿

∠E1=¿ 1800- (∠B+∠C ¿

a. ∠D2=∠E1

1800−¿(∠ A+∠C ¿= 1800- (∠B+∠C ¿

b. Aksioma 3 : Kedua ruas dikurangi dengan 1800

−¿(∠ A+∠C ¿= −¿(∠B+∠C ¿

c. Aksioma 2 : Kedua ruas ditgambahkan dengan ∠C

−∠ A= −∠B

d. Azksioma 1 : kedua ruas dikali dengan –

∠ A= ∠B

CONTOH 3JUMLAH SUDUT DALAM SEGI EMPAT ADALAH 3600

Diketahui : sebuah segi empat ABCD

Buktikan : Jumlah sudut dalam segiempat = 3600?

Bukti :a. Postulat 1 : Menarik suatu garis lurus dari titik B ke D

b. Terbentuk 2 buah segitiga yaitu segitiga ABD dan segitiga CBD dimana sisi

BD dari segitiga ABC = sisi BD dari segitiga CBD ( berhimpit)

c. Teorema 11 : Jumlah sudut dalam segitiga adalah1800

d. ⊿ ABD+⊿CBC=ABCD

1800+1800=ABCD

3600=ABCD

SEGI EMPAT

Segi empat adalah bangun datar yang mempunyai empat sisi dan empat

sudut

Macam – macam segiempat1. Trapesium adalah segi empat yang mempunyai sepasang sisi yang

berhadapan sama atau sejajar.

Contoh : persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat,

dan trapezium.

2. Jajar genjang adalah segi empat yang mempunyai dua pasang sisi

yang sejajar .

Contoh : persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan belah

ketupat.

3. Persegi panjang adalah jajar genjang dengan empat sudutnya siku-siku

4. Belah ketupat adalah jajar genjang dengan empat sisinya kongruen

5. Persegi adalah persegi panjang dengan empat sisinya kongruen

TEOREMA 15DIAGONAL JAJARAN GENJANG MEMBENTUK DUA SEGITIGA YANG

KONGRUEN

Diketahui : sebuah jajargenjang ABCD

AB∥CD

AD∥BC

Buktikan: membentuk 2 segitiga kongruen

Bukti :a. Postulat 1 : Tarik garis lurus dari A ke C sehingga membentuk∠ A1 dan

∠ A2 serta ∠C1 dan∠ C2

b. Teorema 7.1 (ii) :sudut dalam berseberangan sama∠ A1=∠C2

∠ A2=∠C1

c. Aksioma 4 : AC = AC ( berhimpit)

d. Karena membentuk sudut sisi sudut maka dua segitiga tersebut kongruen.

TEOREMA 16

SISI-SISI YANG BERHADAPAN PADA JAJAR GENJANG KONGRUEN

Diketahui : sebuah jajaran genjang ABCD

Buktikan: AB=CD dan AD = BC ?

Bukti : a. Definisi : jajar genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar AB∥CD

b. Postulat 1 : tarik garis dari titik A ke titik C sehingga membentuk ∠ A1 ,∠ A2dan∠C1,∠C2

∠ A1=∠C2( dalam bersebrangan)

∠ A2=∠C1(dalam bersebrangan)

c. AC = AC ( Behimpit : Aksioma 4)

d. ⊿ ACD≅ ⊿ ACB¿sudut, sisi sudut)

e. Akibat kongruensi AD = BC dan AB = CD

TEOREMA 17

SUDUT –SUDUT YANG BERHADAPAN PADA JAJARAN

GENJANG ADALAH KONGRUEN

Diketahui : sebuah jajaran genjang ABCD

Buktikan: ∠ A=∠C dan∠B=∠D

Bukti : a. Definisi : jajar genjang mempunyai dua pasang sisi sejajar AB∥CD

b. Postulat1: tarik garis dari titik A ke titik C sehingga terbentuk ∠ A1 ,∠ A2dan∠C1 ,∠C2

∠ A1=∠C2( dalam bersebrangan)

∠ A2=∠C1(dalam bersebrangan)

c. Aksioma 1 : ∠ A1+∠ A2=∠C1+∠C2

∠ A=∠C

d. Teorfema 15 : ⊿ ACD≅ ⊿ ACB¿sudut, sisi sudut)

e. Akibar kongruensi : ∠B=∠D

f. Terbukti

TEOREMA 18JIKA DUA GARIS SEJAJAR MAKA DUA TITIK PADA SUATU GARIS

BERJARAK SAMA TERHADAP GARIS LAIN.

Diketahui : l ∥m

PQ : Jarak dari titik P ke garis m

AB : Jarak dari titik A ke garis m

A dan P terletak P

l dan B dan Q terletak Pm

Buktikan: AB∥PQ

AP∥BQ

Bukti: AP⊥m→∠P=900

BQ⊥m→∠Q=900

∠P=∠Q (se hadap )

maka , AP ∥BQ dan AB ∥PQ

Sehingga terbentuk jajaran genjang ABQP

Teorema 6 : AP=BQ dan AB=PQ

TEOREMA 19DIAGONAL-DIAGONAL JAJARAN GENJANG SALING MEMBAGIDUA

SAMA PANJANG

Diketahui : ABCD jajaran genjang

AC dan BD diagonal

Buktikan : AD = CD

BO = DO

Bukti :∠ ABO=∠CDO

∠OAB=∠OCD

∆ ABO≅ ∆ CDO ( Sudut , sisi , sudut )

∴ AO=CO Dan BO=DO

TEOREMA 20TIAP DUA SUDUT YANG BERURUTAN PADA JAJARAN GENJANG

SALING BERSUMPLEMEN

Diketahui : Sebuah jajaran genjang ABCD

AB∥CD dan AD ∥BC

Buktikan: ∠ A+∠B=180o

∠B+∠C=180o

∠C+∠D=180o

∠D+∠ A=180o

Bukti :a. Postulat 2 : Memperpanjang ruas garis AB

Memperpanjang ruas garis DC

b. Terbentuk ∠ A1 ,∠ A2 ,∠B1 ,∠B2 ,∠C1 ,∠C2 ,∠D1dan∠D2

c. ∠ A1+∠ A2=1800 sudut lurus

∠B1+∠B2=1800 sudut lurus

∠C1+∠C 2=1800 sudut lurus

∠D1+∠D2=1800 sudut lurus

d. ∠ A2+∠B2 ( sehadap )

∠ A1+∠B1(sehadap)

∠B1+∠C2(dalam bersebrangan)

∠B2+∠C1(dalam bersebrangan)

∠D2+∠C2(sehadap)

∠D1+∠C1(sehadap)

∠ A1+∠D2(dalam bersebrangan)

∠ A2+∠D1(dalam bersebrangan)

e. ∠ A2+∠B1=∠ A2+∠ A1=1800

∠B1+∠C1=∠B1+∠B2=1800

∠C1+∠D2=∠C 1+∠C2=1800

∠D2+∠A2=∠D2+∠D1=1800

f. Terbukti

TEOREMA 21DIAGONAL PERSEGI PANJANG KONGRUEN

Di ketahui : ABCD adalah persegi panjang

AB = DC , AD = BC

∠ A=∠B=∠C=∠D = 90o

Buktikan : AC = BD

Bukti :Perhatikan ∆ABC dan ∆ABD

∠A = ∠B = 90ᵒ ( siku siku )

AB = AB ( berhimpit )

AD = BC ( definisi jajaran genjang )

∆DAB ≅ ∆CBA ( sisi, sudut, sisi )

Karena ∆DAB ≅ ∆CBA maka AC = DB

TEOREMA 22JIKA KEDUA PANJANG SISI YANG BERHADAPAN DAN SUATU SEGI

EMPAT SEJAJAR, MAKA SEGI EMPAT ITU JAJARGENJANG

Di ketahui : segi empat ABCD

AD ǁ BC , AB ǁ CD

Buktikan : ABCD jajargenjang ?

Bukti : Postulat 1. tarik garis dari titik B ke titik D

Akibatnya terbentuk 2 segitiga, yaitu ∆ABC dan ∆ADC

BD = BD ( berhimpit )

∠D₁ = ∠B₂ ( sudut dalam berseberangan )

∠D₂ = ∠B1 ( sudut dalam berseberangan )

∆ABC ≅ ∆ADC ( sudut, sisi, sudut )

ABCD adalah jajargenjang karena membentuk 2 segitiga yang kongruen (

teorema 15 )

TEOREMA 23DIAGONAL BELAH KETUPAT SALING TEGAK LURUS

Di ketahui : ABCD Belah ketupat.

Buktikan : AC ⊥ BD ?

Bukti :AC dan BD adalah diagonal belah ketupat

Definisi : AB = BC = CD = AD

AB ǁ CD , BC ǁ AD

1. Membuktikan bahwa ∆AOD ≅ ∆COD

AD = CD ( definisi )

OD = OD ( berhimpit )

AO = CO (teorema 19. diagonal diagonal jajaran genjang membagi

dua sama panjang )

Terbukti bahwa ∆AOD ≅ ∆COD ( sisi, sisi, sisi )

akibat kongruensi : ∠AOD = ∠COD

2. ∠AOD + ∠COD = 180ᵒ ( berpelurus )

∠AOD + ∠AOD = 180ᵒ ( aksioma 1 )

2 ∠AOD = 180ᵒ

∠AOD = 90ᵒ = siku siku

Maka , AC tegak lurus BD ( berdasar definisi 10 )

TEOREMA 24DIAGONAL BELAH KETUPAT MERUPAKAN GARIS BAGI SUDUT-

SUDUTNYA

Di ketahui : sebuah belah ketupat ABCD dengan AC dan BD sebagai diagonal belah ketupat.

Buktikan : ∠A₁ = <∠A₂ , ∠B₁ = ∠B₂ , ∠C₁ = ∠C₂ , ∠D₁ = ∠D₂

Bukti :Definisi : belah ketupat merupakan salah satu bentuk jajaran genjang

ABCD jajargenjang

AB =BC =CD = DA

AB ǁ DC , BC ǁ AD

AB = AD = BC = DC ( definisi jajaran genjang )

AC =AC ( berhimpit )

∆ABC ≅ ∆ADC ( sisi, sisi, sisi )

Akibat kongruensi :

∠A₁ = ∠A₂ dan ∠C₁ = ∠C₂

AB = BC = AD = DC ( Definisi jajaran genjang )


∆DAB ≅ ∆DCB ( sisi, sisi, sisi )

Akibat kongruensi :

∠B₁ = ∠B₂ dan ∠D₁ = ∠D₂

Terbukti . . .

TEOREMA 25JIKA 2 SISI DARI SUATU SEGIEMPAT SEJAJAR DAN KONGRUEN

MAKA SEGIEMPAT TERSEBUT JAJARGENJANG

Di ketahui : Segiempat ABDC

AB ǁ CD dan AB = CD

Buktikan : ABCD Jajargenjang ?

Bukti :Postulat 1. Tarik garis dari B ke titik D, sehingga BD diagonal dari ABCD


∠B₁ = ∠D₂ ( dalam berseberangan )

∠B₁ = ∠D₂ (dalam berseberangan )

∆ABC ≅ ∆ADC ( sisi, sudut, sisi )

terbukti ABCD adalah Jajargenjang karena membagi dua segitiga yang

kongruen ( teorema 15 )

TEOREMA 26JIKA SUATU SEGMEN DITARIK DARI TITIK TENGAH DUA SISI

SEGITIGA MAKA SEGMEN TERSEBUT SEJAJAR DENGAN SISI YANG

KETIGA DAN PANJANGNYA SETENGAH DARI SISI SEGITIGA

Di ketahui : Segitiga ABC

D titik tengah AC →AD = DC

E titik tengah BC→ BE = CE

Buktikan :1. DE ǁ AB

2. DE = ½ AB

Bukti : aksioma 9. memperpanjang ruas garis DE hingga titik F, sedemikian hingga

DE = EF

postulat 1. Tarik garis dari B ke F

BE = EC ( di ketahui )

DE = EF ( diketahui )

∠E₁ = ∠E₂ ( bertolak belakang )

∆BEF ≅ ∆CED

akibat kongruensi :

∠D4 = ∠F3

BF ǁ CD karena BF = AD

CD = AD ( diketahui )

BF = AD ( karena BF = AD dimana AD = CD. aksioma 1)

ABFD jajar genjang ( dari teorema 25 )

DF ǁ AB ( karena jajar genjang )

DE ǁ AB ( karena DE ǁ DF ) Terbukti

AB = DF ( karena DF ǁ AB )

AB = DE + EF

AB = 2 DE ( karena DE = EF )

DE = ½AB Terbukti

TEOREMA 27 MEDIAN SUATU TRAPESIUM SEJAJAR DENGAN SISI-SISI YANG

SEJAJAR DAN PANJANGNYA ½ DARI JUMLAH SISI-SISI YANG

SEJAJAR

Di ketahui : Trapesium ABCD

AB ǁ CD , DE = AE , CF = FB

Buktikan :1. EF ǁ CD ǁ AB

2. EF = ½ ( CD + AB )

Bukti : Postulat 1. Tarik garis dari titik D ke titik G melalui titik F

Postulat 2. Perpanjang garis AB sampai titik G

Perhatikan ∆BGF dan ∆CDF

a. ∠F₁ = ∠F₂ ( bertolak belakang )

b. ∠B₃ = <C ( dalam berseberangan )

c. CF = FB ( diketahui )

d. ∆BGF ≅ ∆CDF ( sudut, sisi, sudut )

Perhatikan ∆ADG

e. DF =FG ( akibat kongruensi )

f. DE =EA ( diketahui )

g. EF ǁ AG ( teroema 26 )

h. EF ǁ AB ( AB bagian AG )

i. EF ǁ CD ( karena menurut definisi trapesium AB ǁ CD )

j. EF = ½AG ( teorema 26 )

k. AG = AB + BG

l. EF =½ ( AB + BG )

m. BG = CD ( akibat kongruensi )

n. EF = ½ ( AB + CD )

Terbukti...

TEOREMA 28

JIKA KEDUA GARIS SEJAJAR TERHADAP SUATU SISI SEGITIGA

DAN MEMBAGI DUA SISI SAMA PANJANG SISI KEDUA, MAKA

MEMBAGI DUA JUGA SISI YANG KETIGA

Diketahui : sebuah segitiga yaitu ∆ABC

DE ǁAB , AD = CD

Buktikan : BE = CE ?

Bukti :1. Postulat 1. Tarik garis dari titik E ke titik F dan G sehingga FG ǁ AC

2. Postulat 1. Tarik garis dari titik C ke titik F sehingga CF ǁ DE

a. DC ǁ EF ( karena AC ǁ FG )

b. CF ǁ DE ( diketahui )

c. DEFC adalah suatu Jajargenjang

d. AD ǁ EG ( karena AC ǁ EG di mana GE adalah bagian dari FG )

e. DE ǁ AG ( karena DE ǁAB di mana AG adalah bagian dari AB )

f. AGED adalah suatu Jajargenjang

g. DC = EF ( dari c )

h. DA = EG ( dari f )

i. CD = AD ( diketahui )

j. GE = EF ( aksioma 1 dari pernyataan g, h, dan i )

k. ∠E₁ = ∠E₂ ( bertolak belakang )

l. ∠F = ∠G₄ ( dalam berseberangan )

m. ∆GBE ≅ ∆CEF ( sudut, sisi, sudut )

n. BE = CE ( akibat kongruensi ) terbukti

TEOREMA 29JIKA SUATU GARIS SEJAJAR TERHADAP SISI YANG SEJAJAR PADA

SUATU TRAPESIUM DAN MEMBAGI SAMA PANJANG SALAH SATU

SISI YANG TIDAK SEJAJAR MAKA AKAN MEMBAGI DUA SAMA

PANJANG SISI YANG TIDAK SEJAJAR LAINNYA

Di ketahui : sebuah Trapesium ABCD

AE = DE

EF ǁ CD ǁ AB

Buktikan : CF = FB ?

Bukti :1. Postulat 1. Tarik garis dari C ke G sehingga DE ǁ CG

2. Postulat 1. Tarik garis dari F ke H sehingga FH ǁ AE

a. CD ǁ EG ( CD ǁ EF dimana GE bagian dari EF )

b. DE ǁ CG ( di ketahui )

c. DCEG adalah suatu Jajargenjang

d. EF ǁ AH ( karena EF ǁ AB di mana AH bagian dari AB)

e. AE ǁ FH ( di ketahui )

f. AHFE adalah suatu Jajargenjang

g. ∠H₁ = ∠G₂ ( sehadap )

h. ∠F₃ = ∠C₄ ( sehadap )

i. CG ǁ FH ( karena CG ǁ ED dan FH ǁ AE, sementara ED dan AE berada

dalam satu garis lurus, jadi AE ǁ ED )

j. CG = FH ( karena AE = DE )

k. ∆CGF ≅ ∆FHB ( sudut, sisi, sudut )

l. Sehingga terbukti CF = FB ( akibat kongruensi )

TEOREMA 30 ADA TIGA GARIS SEJAJAR DIPOTONG DENGAN SEBUAH GARIS

TRANSVERSAL SEDEMIKIAN HINGGA MEMBUAT PERBANDINGAN

YANG SAMA MAKA ADA GARIS TRANSVERSAL LAIN YANG

MEMOTONG GARIS SEJAJAR ITU DENGAN PERBANDINGAN YANG

SAMA PULA

Di ketahui : k ǁ l ǁ m

AB = BC

Buktikan : DE = EF ?

Bukti :1. Postulat 1. Tarik garis dari D ke G sehingga AB ǁ DG

2. Postulat 1. Tarik garis dari E ke I sehingga BC ǁ GI

a. AB ǁ DG ( di ketahui )

b. AD ǁ BG ( karena AD ǁ BE di mana BG bagian dari BE )

c. ABCD adalah suatu Jajargenjang

d. BC ǁ GI ( di ketahui )

e. BE ǁCI ( karna BE ǁCF dimana CI bagian dari CF )

f. BCIG adalah suatu Jajargenjang

g. ∠G₂ = ∠I₁ ( sehadap )

h. ∠D₄ = ∠E₃ ( sehadap )

i. DG = EI ( karna AB = BI )

∆DGE ≅ ∆EIF ( sudut, sisi, sudut )

Akibat kongruensi : DE = EF Terbukti

TEOREMA 31JIKA DUA SISI SUATU SEGITIGA TIDAK KONGRUEN, MAKA SUDUT-

SUDUT DIHADAPAN SISI ITU TIDAK KONGRUEN DAN SUDUT YANG

LEBIH KECIL BERHADAPAN DENGAN SISI YANG LEBIH PENDEK

Di ketahui : Segitiga ABC

AC ≠ BC

Buktikan : ∠A ≠ ∠B atau AC < BC

∠B menghadap AC

Bukti :1. Aksioma 9 : tarik garis lurus dari C ke titik D yang sehingga AC = CD

2. Terbentuk segitiga sama kaki yaitu ∆ACD

∠A = ∠D₁ ( Teorema 13 )

3. perhatikan ∆CDB

∠D₁ > ∠B ( Teorema 7 )

Maka, ∠A > ∠B (aksioma 1 )

BC > AC ( Teorema 13 )

BC menghadap ∠A

AC menghadap ∠B

Jadi sudut yang lebih pendek menghadap sisi yang lebih pendek.

KESEBANGUNAN1.

segi empat I sebangun dengan segi empat II karena segi empat tersebut memiliki

perbandingan sisi yang sebanding ( beraturan )

AB : EF = BC : FG

CD : HG = AD : EH

Sedangkan segi empat I tidak sebangun dengan segi empat III karena :

AB : KL ≠ BC : LM

4 : 12 ≠ 4 : 8

13 ≠ 1

2

2.

∠D1 = sudut siku siku = 90o

∠D1 + ∠D2 = sudut lurus

∠D1 + ∠D2 = 180o

90o + ∠D2 = 180o → ∠D2 = 90o

∴ ∠C = ∠D2

∠B = ∠B ( berhimpit )

Perhatikan ilustrasi 2 segitiga berikut :

∆ ABC , 180o = ∠ A+∠B+∠C

∆ EBD , 180o = ∠E+∠B+∠D2

= ∠E+∠B+∠C

Aksioma 3. ∠ A = 180o - ( ∠B+∠C )

∠E = 180o - ( ∠B+∠C )∠ A=∠E

Dua segitiga di katakan sebangun jika sudut sudut yang berkorespondensi sama,

sehingga

AB : EB = AC : ED = BC : BD

DEFINISI

Dua poligon di katakan sebangun jika dan hanya jika sudut sudut yang

berkorespondensi dari dua poligon itu kongruen dan sisi sisi yang

berkorespondensi merupakan proporsional.

dua segitiga di katakan sebangun jika sudut sudut yang berkorespondensi

sama.

proporsional adalah jika ada dua atau lebih perbandingan bernilai sama.

TEOREMA 1

JIKA SUDUT SUDUT SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN SUDUT

SUDUT SEGITIGA MAKA DUA SEGITIGA TERSEBUT SEBANGUN

Di ketahui : dua buah segitiga yaitu ∆ ABC dan ∆≝¿

∠ A=∠D

∠B=∠E

∠C=∠F

Buktikan ∆ ABC ∆≝¿ ?

Bukti :Aksioma 6. ∆≝¿ di pindah ke dalam ∆ ABC

∠C=∠F ( berhimpit )

∠ A=∠D ( sehadap )

∠B=∠E ( sehadap )

karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka AB ∥ DE

Teorema 30. ACDF = BC

EF

Aksioma 6. ∆≝¿ di pindah ke dalam ∆ ABC

∠B=∠E ( berhimpit )

∠C=∠F ( sehadap )


karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka AC ∥ DF

Teorema 30. ABDE = BC

EF

Aksioma 6. ∆≝¿ di pindah ke dalam ∆ ABC

∠ A=∠D ( berhimpit )


∠C=∠F ( sehadap )

karena ada dua sudut yang kongruen karena sehadap maka BC ∥ EF

Teorema 30. ABDE = AC

DF

Jadi, ABDE = BC

EF = ACDF , sesuai dengan definisi kesebangunan maka terbukti

∆ ABC ∆≝¿

TEOREMA 2JIKA DUA SUDUT SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN DUA

SUDUT SEGITIGA LAIN MAKA KEDUA SEGITIGA TERSEBUT

SEBANGUN


∠ A=∠D

∠B=∠E


Bukti :Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o

∠ A+∠B+∠C=180o

∠D+∠E+∠F=180o

Di ketahui ∠ A=∠D dan ∠B=∠E

∠ A+∠B+∠C=180o

∠ A+∠B+∠F=180o

Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lain

juga sama∠ A+∠B+∠C=∠A+∠B+∠F

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠ A dan ∠B

∠C=∠F

ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen∠ A=∠D

∠B=∠E

∠C=∠F

Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆ ABC ∆≝¿

TEOREMA 3JIKA DUA SEGITIGA SIKU SIKU MEMPUNYAI SUDUT LANCIP YANG

KONGRUEN SUDUT LANCIP SEGITIGA SIKU SIKU YANG KEDUA

MAKA KEDUA SIKU SIKU TERSEBUT SEBANGUN

Di ketahui : dua buah segitiga siku siku yaitu ∆ ABC dan ∆≝¿

∠ A=∠D = siku siku ∠C=∠F


Bukti :Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o

∠ A+∠B+∠C=180o

∠D+∠E+∠F=180o

Di ketahui ∠ A=∠D = siku siku dan ∠C=∠F

∠ A+∠B+∠C=180o

∠ A+∠E+∠C=180o


juga sama∠ A+∠B+∠C=∠A+∠E+∠C

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan ∠ A dan ∠C

∠B=∠E


∠B=∠E

∠C=∠F


TEOREMA 4JIKA SUATU GARIS SEJAJAR DENGAN SALAH SATU SISI DARI

SUATU SEGITIGA DAN MENENTUKAN SEGITIGA KEDUA MAKA

SEGITIGA KEDUA SEBANGUN DENGAN DENGAN SEGITIGA

ASALNYA

Di ketahui :

AB ∥ DE

Terbentuk dua buah segitiga yaitu ∆ ABC dan ∆ DEC


Bukti :Di ketahui AB ∥ DE

Akibat sejajar :



∠C=∠C ( berhimpit )


∠B=∠E

∠C=∠F

Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆ ABC ∆ DEC

TEOREMA 5JIKA SATU SUDUT DARI SUATU SEGITIGA KONGRUEN DENGAN

SATU SUDUT DARI SEGITIGA LAIN DAN SISI SISI YANG MENGAPIT

KEDUA SEGITIGA TERSEBUT PROPORSIONAL MAKA KEDUA

SEGITIGA ITU SEBANGUN


∠C=∠F

BCEF = AC

DF



Di ketahui BCEF = AC

DF

Berdasar teorema 30, maka AB ∥ DE

Karena AB ∥ DE , maka



∠C=∠F ( berhimpit )


∠B=∠E

∠C=∠F

Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆ ABC ∆ DEC

TEOREMA 6JIKA SISI SISI YANG BERKORESPONDEN DARI DUA SEGITIGA

PROPORSIONAL MAKA KEDUA SEGITIGA ITU SEBANGUN


ABDE = BC

EF , BCEF = CA

FD , CAFD = AB

DE



Akibat di ketahui , maka :

AB ∥ DE

AC ∥ DF

BC ∥ EF

Postulat 2. memperpanjang ruas garis DE

Terbentuk ∠D'1 dan ∠E '1

∠D'1 terletak di perpanjangan ruas garis AC

∠E '1 terletak di perpanjangan ruas garis BC

D’E’ ∥ AB karena AB ∥ DE

∠ A=∠D'1 ( sehadap )

∠B=∠E '1 ( sehadap )

D’C ∥ DF karena AC ∥ DF

∠D'1 = ∠D ( sehadap )

E’C ∥ EF karena BC ∥ EF

∠E '1 = ∠E ( sehadap )

Dari pernyataan ∠ A=∠D'1 dan ∠D'1 = ∠D maka menurut aksioma 1 di peroleh

∠ A=∠D

Dari pernyataan ∠B=∠E '1 dan ∠E '1 = ∠E maka menurit aksioma 1 di peroleh

∠B = ∠E

Teorema 11. jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o

∠ A+∠B+∠C=180o

∠D+∠E+∠F=180o

Di ketahui ∠ A=∠D dan ∠B=∠E

∠ A+∠B+∠C=180o

∠ A+∠B+∠F=180o


juga sama∠ A+∠B+∠C=∠A+∠B+∠F


∠C=∠F


∠B=∠E

∠C=∠F


TEOREMA 7

KELILING DUA SEGITIGA KONGRUEN PROPORSIONAL DENGAN

SISI YANG BERKORESPONDENSI


ABDE = BC

EF = CAFD = m

n

Buktikan keliling ∆ ABCkeliling ∆≝¿¿ = m

n ?

Bukti :

Di ketahui ABDE = BC

EF = CAFD = m

n

n AB = m DE → AB = mn DE

n BC = m EF → BC = mn EF

n CA = m FD → CA = mn FD

Keliling ∆ ABC = AB + BC + CA

= mn DE + m

n EF + mn FD

= mn ( DE + EF + FD )

= mn ( Keliling ∆≝¿

Terbukti keliling ∆ ABCkeliling ∆≝¿¿ = m

n = ABDE = BC

EF = CAFD

TEOREMA 8GARIS TINGGI DUA SEGITIGA KONGRUEN PROPORSIONAL

DENGAN PASANGAN SISI YANG BERKORESPONDEN


ABDE = BC

EF = CAFD = m

n

Buktikan CHFG = m

n ?

Bukti :CH dan FG adalah garis tinggi dari ∆ ABC dan ∆≝¿

∠H2 = ∠G2 ( 90o karena garis tinggi )

Teorema 6. karena ABDE = BC

EF = CAFD maka ∆ ABC ∆≝¿

Akibat kesebangunan , ∠B = ∠E


∠H2 + ∠B + ∠C2 = 180o

∠G2 + ∠B + ∠F2 = 180o


juga sama

∠H2 + ∠B + ∠C2 = ∠G2 + ∠B + ∠F2

∠H2 + ∠B + ∠C2 = ∠H 2 + ∠B + ∠F2


∠C2 = ∠F2

ketiga sudut dalam dua segitiga tersebut kongruen

∠H2 = ∠G2

∠B=∠E

∠C2 = ∠F2

Sesuai dengan teorema 1, maka terbukti ∆ HBC ∆≝¿

Akibat kesebangunan HB¿ = HC

GF = ABDE = CA

FD = mn

Dari pernyataan di atas terbukti bahwa CHFG = m

n = ABDE = BC

EF = CAFD

PHYTAGORAS

DEFINISIKUADRAT SISI MIRING = JUMLAH KUADRAT SISI LAINNYA

Di ketahui : segitiga siku siku ABC

Buktikan : a2 = b2 + c2 ?

Bukti :1. Aksioma 9. Perpanjang ruas garis AB hingga titik D sehingga BD = AC

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari D ke titik E sehingga DE = AB

Postulat 1. tarik garis dari titik E ke titik B

Postulat 1. tarik garis dari titik E ke titik C

Terbentuk trapesium ADEC

∠ A=∠D = 90o

Di ketahui AB = DE

AC = BD

∆ ABC ≅ ∆ BDE karena terpenuhi sisi sudut sisi

Akibat konruensi :

∠C1 = ∠B3

Membuktikan ∆ CBE adalah segitiga siku siku :


∠ A + ∠B1 + ∠C1 = 180o

∠D + ∠E2 + ∠B3 = 180o

Aksioma 1. benda benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama

lain juga sama

∠ A + ∠B1 + ∠B3 = 180o

90o + ∠B1 + ∠B3 = 180o

∠B1 + ∠B3 = 90o

∠B1 + ∠B2 + ∠B3 = sudut lurus = 180o

90o + ∠B2 = 180o

∠B2 = 90o = siku siku

L. ADEC = 12

(b+c ) (b+c )

= 12 ( b2 + 2ab + c2 )

L. ∆ ABC = 12

bc

L. ∆ BEC = 12

bc

L. ∆ BDE = 12 a2

L. ∆ total = 12

bc + 12

bc + 12 a2

= bc + 12 a2

L. ADEC = L. ∆ total 12 ( b2 + 2ab + c2 ) = bc + 1

2 a2

12 ( b2 + c2 - a2 ) = 0

b2 + c2 - a2 = 0

a2 = b2 + c2 terbukti

2. Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik B ke titik D sehingga BD = AC

Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik B ke titik E sehingga BE = BC

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik D ke titik E sehingga DE = AB

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik E ke titik F sehingga EF = AC

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik F ke titik G sehingga FG = AB

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik G ke titik H sehingga GH = AC

Postulat 1. tarik garis tegak lurus dari titik H ke titik C sehingga HC = AB

Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik E ke titik G sehingga EG = BC

Aksioma 9. tarik garis lurus dari titik G ke titik C sehingga GC = BC

Terbentuk persegi ADFH

L. ADFH = ( b + c )2

= b2 + 2bc + c2

L. ∆ ABC = 12

bc

L. ∆ BDE = 12

bc

L. ∆ EFG = 12

bc

L. ∆ GHC = 12

bc

L. ∆ total = 12

bc + 12

bc + 12

bc + 12

bc

= 2bc

L. persegi BEGC = a2

L. ADFH = L. ∆ total + L. BEGC

b2 + 2bc + c2 = 2bc + a2

b2 + 2bc + c2 – 2bc – a2 = o

b2 + c2 – a2 = o

a2 = b2 + c2 Terbukti

3. Postulat 1. tarik garis tinggi dari titik A ke titik D sehingga membagi BC.

Misalkan BD = a’ dan CD = a”

∠ A = 90o = siku siku

∠D1 = ∠D2 = 90o ( karena garis tinggi )

Lihat ∆ ABC dan ∆ ABD


∠ A + ∠B + ∠C = 180o

∠ A2 + ∠B + ∠D2 = 180o


lain juga sama

∠ A+∠B+∠C=∠A2 + ∠B + ∠D2

90o + ∠B+∠C=∠A2 + ∠B + 90o

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan 90o dan∠B

∠C=∠ A2

∠ A=∠D2 ( siku siku )

∠B=∠B ( berhimpit )

maka menurut teorema 1 kesebangunan, ∆ ABC ∆ ABD

ABBC = BD

AB → ca = a} over {c ¿

→ c2 = a . a” ( 1 )

Lihat ∆ ABC dan ∆ ADC


∠ A + ∠B + ∠C = 180o

∠ A1 + ∠B + ∠D1 = 180o


lain juga sama

∠ A+∠B+∠C=∠A1 + ∠C + ∠D1

90o + ∠B+∠C=∠A1 + ∠C + 90o

Aksioma 3. kedua ruas di kurangi dengan 90o dan∠B

∠B=∠ A1

∠ A=∠D1 ( siku siku )

∠C=∠C ( berhimpit )

maka menurut teorema 1 kesebangunan, ∆ ABC ∆ ADC ACBC = CD

AC → ba = a '

b

→ b2 = a . a’ ( 2 )

Dari persamaan 1 dan 2 di peroleh :

c2 = a . a”

b2 = a . a’

persamaan 1 + persamaan 2

c2 + b2 = ( a . a” ) + ( a . a’ )

c2 + b2 = a ( a” + a’ )

c2 + b2 = a . a

c2 + b2 = a2

a2 = c2 + b2 Terbukti

4. di ketahui 2 buah trapesium yang kongruen seperti pada pembuktian

phytagoras 1 yaitu ACGF dan ADEF dimana garis AF dari trapesiun ACGF

berhimpit dengan garis AF dari trapesium ADEF. sehingga membentuk

trapesium CDEG.

L. CDEG = 12 ( 2c + 2b ) ( c + b )

= ( c + b ) ( c + b )

= c2 + 2bc + b2

L. ∆ total = L. ∆ ABC + L. ∆ ABD + L. ∆ BEF + L. ∆ BGF + L. ∆ CBG + L.

∆ DBE

= 12

bc + 12

bc + 12

bc + 12

bc + 12

a2 + 12

a2

= 2bc + a2

L. CDEG = L. ∆ total

c2 + 2bc + b2 = 2bc + a2

c2 + b2 = a2

a2 = b2 + c2 Terbukti

Web viewT APITNYA Y. ANG SAMA, MAKA. SISI KETIGANYA ADALAH SAMA. ... ( karna BE ǁCF dimana CI...

Documents

Transcript of Web viewT APITNYA Y. ANG SAMA, MAKA. SISI KETIGANYA ADALAH SAMA. ... ( karna BE ǁCF dimana CI...