23

PRACE NAUKOWE GIG

GRNICTWO I RODOWISKO RESEARCH REPORTS

MINING AND ENVIRONMENT

Kwartalnik Quarterly 2/2006

Urszula Sanetra, Krzysztof Paczeniowski

OBLICZANIE KTA TARCIA WEWNTRZNEGO I SPJNOCI SKA METOD STYCZNEJ DO OBWIEDNI K MOHRA

W POSTACI PARABOLI

Streszczenie

W artykule przedstawiono najczciej stosowane metody obliczania kta tarcia wewntrznego

i spjnoci ska, a take metod zaproponowan przez autorw. Podstaw tej metody jest przyjte

zaoenie, zgodnie z ktrym obwiednia k Mohra jest parabol. Rwnanie paraboli okrela si metod

najmniejszych kwadratw, a wartoci kta tarcia i spjnoci z rwnania stycznej do tej paraboli

w zadanym punkcie. Opracowano program komputerowy MOHR, wedug ktrego oblicza si wartoci

ktw tarcia i spjnoci.

Przedstawiono rwnie przykady praktycznego zastosowania opracowanego programu oraz analiz

uzyskanych wynikw dla kilku przykadowych ska karboskich GZW. Badania prowadzono

w trjosiowym stanie naprenia, stosujc sztywn maszyn, co umoliwio okrelenie wasnoci

wytrzymaociowych ska zwizych (faza przedkrytyczna) i spkanych (faza pokrytyczna). Do analizy

wynikw wykorzystano omwiony program komputerowy. Z rwnania obwiedni parabolicznej k

Mohra dla danego rodzaju skay metod stycznych do obwiedni wyznaczono zmian wartoci kta tarcia

wewntrznego i zmian spjnoci w funkcji naprenia normalnego.

Calculation of internal friction angle and rock coherence by means of the method

tangent to the envelope of Mohrs circles in the form of a parabola

Abstract The article presents the used most frequently method of calculation of the internal friction angle and

rock coherence as well as a method proposed by the authors. The basis of this method is the assumption,

in conformity with which the envelope of Mohrs circles is a parabola. The parabola equation is

determined using the least square method, and the values of the friction angle and coherence from the

equation of tangent to this parabola in the assigned point. A MOHR computer program was developed,

according to which we calculate the values of friction angles and coherence.

Furthermore, examples of practical application of the worked out program and analysis of obtained

results for several exemplary Carboniferous rocks from the Upper Silesian Coal Basin have been

presented. The investigations were conducted in the triaxial stress state, using a rigid machine, which

enabled to determine the strength properties of cohesive rocks (precritical stage) and fissured rocks

(postcritical stage). For the analysis of results the discussed computer program was used. From the

equation of the parabolic envelope of Mohrs circles for the given type of rock by means of the method

of tangent to the envelope, the change of the internal friction angle and change of coherence in the normal

stress function were determined.

WPROWADZENIE

W projektowaniu podziemnych robt grniczych niezbdna jest znajomo war-

toci fizyko-mechanicznych parametrw ska zalegajcych w warunkach naturalnych,

przede wszystkim wytrzymaoci na ciskanie i cinanie. Zwykle wartoci te uzyskuje

Mining and Environment

24

si na podstawie bada prbek skalnych w warunkach laboratoryjnych podczas

jednoosiowego lub trjosiowego stanu naprenia, przy czym gboko zalegania

ska symuluje si za pomoc cinienia oklnego.

Na og wytrzymao na cinanie jest przedstawiana za pomoc dwch parame-

trw: kta tarcia wewntrznego i spjnoci.

Parametry te s stosowane do okrelania nonoci spgw, wielkoci oddziaywa-

nia ska na obudow wyrobisk korytarzowych i wybierkowych, i do obliczania

dziaajcych cinie na obudow szybw (Borecki, Chudek 1972). S one rwnie

wykorzystywane do okrelania szerokoci strefy spka (Wilson 1981, Brady-Brown

1985, Duncan Fama 1993, Keczek 1994, Sanetra 2004). Znajomo kta tarcia

wewntrznego i spjnoci, szczeglnie pokrytycznej, s konieczne do projektowania

wyrobisk zlokalizowanych poniej gbokoci krytycznej, gdzie wok nich wytwarza

si strefa plastyczna lub strefa spka.

1. METODY WYZNACZANIA KTA TARCIA WEWNTRZNEGO I SPJNOCI SKA

Do wyznaczania kta tarcia wewntrznego i spjnoci c ska najczciej jest

stosowana metoda stycznej do k Mohra. Polega ona na wykreleniu, w ukadzie

wsprzdnych: naprenia cinajcego (rzdna), naprenia normalnego

(odcita), k Mohra dla znanych wartoci naprenia krytycznego i cinienia

oklnego (Kidybiski 1982, Bukowska i inni 1998, Majcherczyk 2000). Dla uzyska-

nych k wyznacza si obwiedni, a nastpnie wykrela si styczn do obwiedni. Kt

utworzony midzy styczn i osi odcitych odpowiada wartoci kta tarcia wewntrz-

nego, natomiast odcinek utworzony przez przecicie osi rzdnych styczn jest

wartoci spjnoci. Jest to jednak metoda subiektywna.

Najbardziej jednoznaczne okrelenie tych parametrw umoliwiaj metody obli-

czeniowe. Do takich naley metoda, zgodnie z ktr w ukadzie wsprzdnych p, q

(Bela i inni 1984) s nanoszone kolejne punkty obliczone wedug wzorw:

2

31 p , 2

31 q (1)

gdzie:

p pooenie rodka koa,

q maksymalne naprenie styczne.

Dla otrzymanego wykresu punktowego wyznacza si rwnanie aproksymanty

apq f ap tg (2)

z ktrego okrela si kt tarcia wewntrznego i spjnoci c, wedug wzorw:

arc sinar (3)

Grnictwo i rodowisko

25

cos

ac (4)

W innej metodzie obwiedni granicy wytrzymaoci i obwiedni wytrzymaoci rezydualnej (resztkowej) w ukadzie wsprzdnych 1, 3 mona aproksymowa dwoma prostymi (Kovari i inni 1983) o rwnaniu

ii bpm bm1 (5)

gdzie:

mi tangens kta nachylenia,

bi rzdna punktu przecicia wyznaczonej prostej z osi

p cinienie oklne.

Parametry mi i bi stosuje si do obliczania wartoci kta tarcia wewntrznego i

i spjnoci ci wedug wzorw wynikajcych z teorii Coulomba:

1

1arcsin

1

1ar

i

ii

m

m (6)

i

iii bc

i

ibcos2

sin1 (7)

Wedug Talobra (Keczek 1994, Piniska 1998) obwiedni k Mohra mona

uzna za krzyw zbudowan z trzech oddzielnych ukw, przy czym uk pierwszy

odpowiada utracie cigoci grotworu na drodze polizgu, uk drugi odpowiada

zniszczeniu struktury grotworu przez kruche pknicie, a uk trzeci odksztaceniu

plastycznemu.

Fairhurst (Keczek 1994) zaproponowa opis obwiedni okrelajcej krytyczny

stan grotworu rwnaniem paraboli, ktrej parametrami s wytrzymao skay na

jednoosiowe ciskanie Rc i rozciganie Rr przy zaoeniu, e Rc/Rr >4. Rwnanie

paraboli wyraa wzr

rr

r

c RRR

R2

2 11 (8)

Kryterium wytrzymaociowe w postaci obwiedni zaproponowane przez Bracego

(Keczek 1994) ma posta: (K

w przedziale napre rozcigajcych

rRRr2 (9)

w przedziale napre ciskajcych

tgtgrR2 (10)

Mining and Environment

26

W przypadku ska karboskich Grnolskiego Zagbia Wglowego do penego

opisu kryterium wytrzymaociowego mona posuy si rwnaniem obwiedni

(Kidybiski 1982), ktre ma posta

b

rRa Ra (11)

gdzie:

naprenie styczne, MPa;

naprenie normalne, MPa;

Rr wytrzymao na rozciganie, MPa;

a, b wspczynniki liczbowe (dla wgla kamiennego: a = 18,3; b = 0,364; dla

piaskowca a = 21,3; b = 0,50).

Wedug Dunikowskiego, Kormana i Khslinga (1969) w przypadku ska kru-

chych warto ich spjnoci mona odczyta na osi w miejscu przecicia jej ze

styczn czc koa napre przy jednoosiowym rozciganiu i jednoosiowym

ciskaniu. Kt tarcia wewntrznego odczytuje si midzy t prost a osi .

W przypadku ska plastycznych warto spjnoci odcina na osi styczna do

prostoliniowego odcinka obwiedni, a utworzony przez ni kt z osi jest ktem

tarcia wewntrznego.

W badaniach piaskowcw kronieskich, poddanych wysokim cinieniom, uka-

szewski (2004) do wyznaczania obwiedni wytrzymaociowej, wedug kryterium

Coulomba-Mohra, wykorzysta lini regresji okrelon metod najmniejszych

kwadratw.

2. OBLICZANIE KTA TARCIA WEWNTRZNEGO I SPJNOCI SKA METOD STYCZNEJ DO OBWIEDNI K MOHRA W POSTACI PARABOLI

2.1. Wyznaczanie rwnania paraboli

Odlego midzy zadan parabol a okrgiem obliczono wykorzystujc schemat

przedstawiony na rysunku 1.

Odlego Odl1 midzy rodkiem okrgu o promieniu R i wsprzdnych ( p, 0)

a dowolnym punktem na paraboli okrelonej rwnaniem 2 = 2p( Rr), korzystajc

z twierdzenia Pitagorasa, obliczono z nastpujcej zalenoci

2

12)( prRpOdl (12)

Odlego midzy rodkiem okrgu o promieniu R i wsprzdnych ( p, 0) a pa-

rabol 2

= 2p( Rr) wyznaczono jako minimum funkcji Odl1( ). Obliczono

pierwsz pochodn funkcji (12) i po przyrwnaniu jej do zera otrzymano

2

1 2 pRpppOdl rpp pRpp (13)

Grnictwo i rodowisko

27

2)()(2

2)( prRp

Rr p

)(22

rRp R2

2

2p(

R

r

Rys. 1. Sposb obliczania odlegoci midzy parabol i rodkiem okrgu

Fig. 1. Calculation method of distance between the parabola and circle center

Z powyszej zalenoci oraz z rysunku 1 wynika, e odlego Odl, midzy okr-

giem o promieniu R i rodku o wsprzdnych ( p, 0) a parabol wynosi

RpRppOdl rp RpRp2

2 (14)

Wyznaczenie obwiedni k Mohra w postaci rwnania paraboli sprowadza si do

okrelenia takiej wartoci parametru p paraboli o rwnaniu 2 = 2p( Rr), dla ktrego

warto sumy kwadratw odlegoci Odl, wyznaczonych wedug wzoru (14), midzy

okrgami (koami Mohra) o promieniach Ri=1..n i wsprzdnych rodkw (Xi=1..n)

a parabol ma minimaln warto, co mona zapisa w postaci wyraenia

min1

222

mi

2

11

n

iirip

RpRpp (15)

gdzie n liczba k Mohra.

2.2. Wyznaczanie kta tarcia wewntrznego i spjnoci

W celu okrelenia wartoci kta tarcia wewntrznego i spjnoci c skay

wyznaczono kierunkowe rwnanie prostej (y = ax + b) stycznej do paraboli 2 = 2p( Rr) w punkcie o wsprzdnych ( s, s = rs Rp R2 ), a nastpnie

obliczono pierwsz pochodn prawej strony rwnania paraboli

2 = 2pp (16)

Mining and Environment

28

'pp

(17)

Aby prosta bya styczna do paraboli, musi zachodzi rwno

s

pa

p (18)

gdzie s rzdna punktu stycznoci.

Warto staej b w rwnaniu prostej oblicza si z zalenoci

ss ab a (19)

Na podstawie powyszych wzorw, podstawiajc pod s zadan warto napre-

nia , mona obliczy warto kta tarcia wewntrznego oraz warto spjnoci c

dla danej prbki skay Znajc warto wspczynnika kierunkowego a prostej,

wyznacza si warto kta tarcia wewntrznego skay z zalenoci

)(atanarcar (20)

a warto spjnoci c skay z zalenoci

11 ac a (21)

2.3. Program komputerowy MOHR

W celu praktycznego wykorzystania opisanej metody opracowano komputerowy

program o nazwie MOHR (wer. 3.0), ktry zosta napisany w jzyku Visual Basic

i pracuje w rodowisku MS Excel. Program ten na podstawie empirycznych wartoci

napre 1 i 3 pozwala na obliczanie wartoci kta tarcia wewntrznego

i spjnoci c prbki skay dla zadanych wartoci naprenia normalnego

n

n.

Informacje wejciowe do programu wprowadza si do arkusza DANE. Mog one

by zapisane do bazy danych (arkusz BAZA) stanowicej integraln cz programu,

a nastpnie w dowolnej chwili uyte ponownie do oblicze. Wyniki oblicze s

przedstawiane na arkuszu WYNIKI. W arkuszu tym s pokazane koa Mohra wraz

z obwiedni w postaci paraboli oraz wykres przedstawiajcy zmiany wartoci kta

tarcia wewntrznego i spjnoci w zalenoci od wartoci naprenia. W postaci

tekstowej jest prezentowane rwnanie paraboli oraz wartoci kta tarcia wewntrzne-

go i spjnoci dla zadanych wartoci naprenia.

Arkusz do wprowadzania danych (arkusz DANE) przedstawiono na rysunku 2,

natomiast przykadowe wyniki oblicze (arkusz WYNIKI) na rysunku 3.

Grnictwo i rodowisko

29

Rys. 2. Arkusz wprowadzania danych w programie MOHR

Fig. 2. Sheet of data introduction in the MOHR program

Rys. 3. Arkusz wynikw w programie MOHR

Fig. 3. Sheet of results in the MOHR program

Mining and Environment

30

3. PRZYKADY OBLICZENIOWE

Badania laboratoryjne prbek ska, w trjosiowym stanie naprenia, wykonywa-

no w sztywnej maszynie wytrzymaociowej typu MTS 810 NEW metod

konwencjonalnego ciskania 1 2 = 3 ze sta prdkoci odksztacenia osiowego

= 105

s1

, to znaczy prdkoci odpowiadajc odksztacaniu si ska w ssiedztwie

wyrobisk eksploatacyjnych oraz przygotowawczych (Kwaniewski 1986), przy

zadanym cinieniu oklnym od 0 do 70 MPa. W badaniach stosowano komor

cinieniow 70 MPa, typu KTK produkcji UNIPRESS oraz kompresor typu U2

umoliwiajcy utrzymywanie staego cinienia podczas badania.

Przykadowe wyniki bada dwch karboskich piaskowcw rednioziarnistych

oraz dwch wgli kamiennych, ktre wystpuj w Grnolskim Zagbiu Wglo-

wym: wy

piaskowca ze stropu pokadu 207 w kopalni Piast (prbka 1),

piaskowca ze spgu pokadu 419 w kopalni Sonica (prbka 2),

wgla z pokadu 502/I w kopalniPolska Wirek (prbka 3),

wgla z pokadu 510 w kopalni Niwka Modrzejw (prbka 4)

oraz rwnania parabolicznych obwiedni k Mohra dla ska zwizych (2 = 2p ( n

Rr)) i spkanych (2 = 2p n obliczono za pomoc programu komputerowego MOHR

i zestawiono w tablicy 1.

Tablica.1. Zestawienie rwna parabolicznej obwiedni k Mohra dla ska zwizych i spkanych

Typ skay Numer prbki

kr, MPa

przy p = 0 MPa Skaa zwiza Skaa spkana

Piaskowiec rednioziarnisty

1

2

26,2

122,4

2 = 36,82 ( n + 2,00)

2 = 116,96 ( n + 8,60)

2 = 28,16 n

2 = 32,72 n

Wgiel 3

4

24,4

48,0

2 = 30,90 ( n + 1,30)

2 = 41,16 ( n + 2,20)

2 = 16,38 n

2 = 21,64 n

Znajc rwnanie paraboli obliczono zmian wartoci kta tarcia wewntrznego

w funkcji naprenia normalnego n dla zwizych i spkanych piaskowcw rednio-

ziarnistych (rys. 4 i 5) oraz wgli (rys. 6 i 7). Podobnie mona obliczy zmian

spjnoci w funkcji naprenia normalnego.

Zaleno midzy ktem tarcia wewntrznego a napreniem normalnym dla

badanych ska zarwno zwizych (faza przedkrytyczna), jak i spkanych (faza

pokrytyczna) w zakresie stosowanego cinienia oklnego (070 MPa) najlepiej

opisuje funkcja potgowa (tabl. 2).

Grnictwo i rodowisko

31

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

n, MPa

zw, sto

pnie

2

1

Rys. 4. Zaleno zw = f( n) dla piaskowcw rednioziarnistych: 1, 2 numery prbek jak w tablicy 1, zw kt

tarcia wewntrznego skay zwizej, n naprenie normalne

Fig. 4. Relationship zw = f(n) for medium granular sandstones: 1, 2 sample numbers as in Table 1, zw internal friction angle of cohesive rock, n normal stress

10

15

20

25

30

35

40

45

0 25 50 75 100 125 150 175

2

1

n, MPa

zw, sto

pnie

Rys. 5. Zaleno sp = f( n) dla piaskowcw rednioziarnistych: 1, 2 numery prbek jak w tablicy 1, zw kt

tarcia wewntrznego skay zwizej, n naprenie normalne

Fig. 5. Relationship sp = f(n) for medium granular sandstones: 1, 2 sample numbers as in Table 1, zw internal friction angle of cohesive rock, n normal stress

Mining and Environment

32

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225

n, M Pa

zw,

sto

pn

ie4

3

Rys. 6. Zaleno zw = f( n) dla wgli: 3, 4 numery prbek jak w tablicy 1, zw kt tarcia wewntrznego skay

zwizej, n naprenie normalne

Fig. 6. Relationship zw = f(n) for coals: 3, 4 sample numbers as in Table 1, zw internal friction angle of cohesive rock, n normal stress

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 25 50 75 100 125 150 175

n, MPa

4

3

sp,

sto

pn

ie

Rys. 7. Zaleno sp = f( n) dla wgli: 3, 4 numery prbek jak w tablicy 1, zw kt tarcia wewntrznego

skay zwizej, n naprenie normalne

Fig. 7. Relationship sp = f(n) for coals: 3, 4 sample numbers as in Table 1, zw internal friction angle of cohesive rock, n normal stress

Tablica 2. Zaleno midzy ktem tarcia wewntrznego a napreniem normalnym zwizych i spkanych piaskowcw oraz wgli

Typ skay Numer prbki

Skaa zwiza Skaa spkana

Piaskowiec rednioziarnisty

1

2

zw = 114,83 n 0,42

zw = 118,78 n 0,32

sp = 114,80 n 0,44

sp = 119,28 n 0,44

Wgiel 3

4

zw = 109,62 n 0,42

zw = 113,43 n 0,40

sp = 97,19 n 0,46

sp = 106,33 n 0,45

Zastosowany program umoliwia uzyskanie wykresu zalenoci kta tarcia we-

wntrznego i spjnoci od naprenia normalnego rwnoczenie dla skay zwizej,

Grnictwo i rodowisko

33

jak i spkanej. Przykadowo na rysunku 8 przedstawiono zaleno = f( n) odpowiednio dla zwizego i spkanego piaskowca rednioziarnistego (prbka 2) oraz wgla (prbka 4).

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200 250 300

a

b

, sto

pn

ie

0

10

20

30

40

50

60

70

0 25 50 75 100 125 150

a

b

, MPa

, s

top

nie

n, MPa n, MPa

PIASKOWIEC REDNIOZIARNISTY WGIEL

Rys. 8. Kt tarcia wewntrznego skay zwizej i spkanej jako funkcja naprenia normalnego: a skaa zwiza, b skaa spkana

Fig. 8. Internal friction angle of cohesive and fissured rocks as a function of normal stress: a cohesive rock, b fissured rock

PODSUMOWANIE

Przedstawiona metoda obliczania kta tarcia wewntrznego i spjnoci c skay,

za pomoc stycznych do obwiedni k Mohra w postaci paraboli, pozwala w jedno-

znaczny sposb obliczy te parametry dla rnych wartoci naprenia normalnego.

Dziki temu mona porwnywa ze sob wartoci i c dla prbek pochodzcych z tej

samej skay, jak i pochodzcych z rnych ska.

Program komputerowy MOHR, ktrego algorytm bazuje na opisanej metodzie,

umoliwia na podstawie empirycznych wartoci napre 1 i 3 skay, szybko

i jednoznacznie oblicza wartoci kta tarcia wewntrznego i spjnoci c dla

zadanych wartoci naprenia normalnego n (Sanetra 2005). Umoliwia rwnie

zapisywanie informacji wejciowych do bazy danych oraz ich pniejsze wykorzysta-

nie do przeprowadzenia powtrnych oblicze.

Literatura

1. Bela i inni (1984): Geotechnika laboratorium z mechaniki gruntw. Skrypty uczelniane nr 1197. Gliwice, Politechnika lska.

2. Brady B.H.G., Brown E.T. (1985): Rock Mechanics for Underground Mining. London,

George Allen & Unwin (Publishers) Ltd., s. 203206. 3. Bukowska M., Sanetra U., Szedel D. (1998): Wyznaczanie kta tarcia wewntrznego

i kohezji dla prbek skalnych badanych w konwencjonalnym ciskaniu w sztywnej maszy-

nie wytrzymaociowej. V Konferencja Naukowo-Techniczna TPANIA98 nt.:

Bezpieczne prowadzenie robt grniczych, Katowice, GIG.

, sto

pn

ie

, sto

pn

ie

Mining and Environment

34

4. Duncan Fama M.E. (1993): Numerical Modeling of Yield Zones in Weak Rock. Compre-

hensive Rock Engineering. Vol. 2, Analysis and design methods, s. 4975.

5. Dunikowski A., Korman St., Khsing J. (1969): Laboratoryjne badania wskanikw

fizyko-mechanicznych. Przegld Grniczy nr 11, s. 523528.

6. Kidybiski A. (1982): Podstawy geotechniki kopalnianej. Katowice, Wydaw. lsk. 7. Keczek Z. (1994): Geomechanika grnicza. Katowice, lskie Wydaw. Techniczne. 8. Kovari K., Tisa A., Einstein H.H., Franklin J.A. (1983): Suggested methods for determin-

ing the strength of rock materials in triaxial compression: revised version. Int. J. Rock.

Mech. Mining Sci. & Geomech. Abstr. Vol. 20 No 6, s. 283290. 9. Kwaniewski M. (1986): Wpyw stanu naprenia, temperatury i prdkoci odksztacania

na mechaniczne wasnoci ska. Archiwum Grnictwa T. 31, z. 2, s. 383415. 10. ukaszewski P. (2004): Struktura uwarunkowania wytrzymaoci piaskowcw kronie-

skich z Mucharza poddanych wysokim cinieniom. XXVII Zimowa Szkoa Mechaniki Grotworu. Krakw, AGH 2004, s. 151160.

11. Majcherczyk T. (2000): Zarys fizyki ska i gruntw budowlanych. Biblioteka Szkoy Eksploatacji Podziemnej, Seria z Lampk Grnicz nr 5.

12. Piniska J. (1998): Badania wytrzymaociowe zbiornikowych ska wglanowych i klastycznych dla celw inynierii zoowej. XXI Zimowa Szkoa Mechaniki Grotworu. Krakw, AGH, s. 367378.

13. Sanetra U. (1994): Wpyw cinienia bocznego na wasnoci mechaniczne ska Grnol-

skiego Zagbia Wglowego w warunkach trjosiowego ciskania. Prace Naukowe

Instytutu Geotechniki i Hydrotechniki Politechniki Wrocawskiej nr 65, seria Konferencje nr 33, s. 183191.

14. Sanetra U. (2002): Kt tarcia wewntrznego i spjno ska zwizych i spkanych.

Warsztaty grnicze nt. Problematyka inynierska z zakresu ochrony terenw grniczych. Sympozja i konferencje nr 55. Krakw, IGSMiE PAN, s. 393404.

15. Sanetra U. (2004): Okrelenie nonoci filarw oporowych w stanie pokrytycznym na

podstawie bada trjosiowego ciskania karboskich prbek skalnych. Katowice, GIG

(Praca doktorska).

16. Sanetra U. (2005): Kt tarcia wewntrznego ska zalegajcych na rnej gbokoci.

Bezpieczestwo Pracy i Ochrona rodowiska w Grnictwie nr 6 (130), s. 5456. 17. Wilson A.H. (1981): Soft Rock Properties and Strata Control. Comprehensive Rock

Engineering. Vol. 2: Analysis and design methods, s. 585630.

Recenzent: prof. dr hab. in. Antoni Kidybiski