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Näherungspolynome einer FunktionNäherungspolynome einer Funktion

In den praktischen Anwendungen besteht häufig In den praktischen Anwendungen besteht häufig der Wunschder Wunsch, eine , eine vorgegebene Funktion durch eine Polynomfunktion anzunähern bzw. zu vorgegebene Funktion durch eine Polynomfunktion anzunähern bzw. zu

ersetzen. Denn Polynomfunktionen besitzen bekanntlich besonders ersetzen. Denn Polynomfunktionen besitzen bekanntlich besonders einfache und überschaubare Eigenschaften. Mit Hilfe der einfache und überschaubare Eigenschaften. Mit Hilfe der

Potenzreihenentwicklung lässt sich diese Aufgabe in vielen Fällen wie folgt Potenzreihenentwicklung lässt sich diese Aufgabe in vielen Fällen wie folgt lösen:lösen:

Wir entwickeln zunächst die Funktion in eine Mac Laurinsche Reihe:Wir entwickeln zunächst die Funktion in eine Mac Laurinsche Reihe:

Durch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir dasDurch Abbruch dieser Reihe nach der n-ten Potenz erhalten wir das

folgende Näherungspolynom n-ten Grades für (auch Mac Laurinschesfolgende Näherungspolynom n-ten Grades für (auch Mac Laurinsches

Polynom genannt):Polynom genannt):

Die dabei vernachlässigten (unendlichen vielen) Glieder fassen wir zuDie dabei vernachlässigten (unendlichen vielen) Glieder fassen wir zu

einem Restglied zusammen:einem Restglied zusammen:

Das Restglied erfasst somit alle Reihengleider der Entwicklung ab derDas Restglied erfasst somit alle Reihengleider der Entwicklung ab der

(n+1)-Potenz. Die Funktion unterschiedet sich also von ihrem(n+1)-Potenz. Die Funktion unterschiedet sich also von ihrem

Näherungspolynom durch das Restglied . Daher gilt:Näherungspolynom durch das Restglied . Daher gilt:

Taylorsche Formel

Dabei bedeuten:

Max Laurinsches Polynom vom Grade n

Restglied

Diese Darstellungsform der Funktion als Summe aus einem PolynomDiese Darstellungsform der Funktion als Summe aus einem Polynomn-ten Grades und einem Restglied wird allgemein als Taylorschen-ten Grades und einem Restglied wird allgemein als TaylorscheFormel bezeichnet.Formel bezeichnet.

Die Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich durchDie Güte der Mac Laurinschen Näherungspolynome lässt sich durch

Hinzunahme weiterer Glieder verbessern. Gleichzeitig verliert dasHinzunahme weiterer Glieder verbessern. Gleichzeitig verliert das

Restglied an Bedeutung und wird vernachlässigbar klein. DasRestglied an Bedeutung und wird vernachlässigbar klein. Das

Restglied beschreibt den Fehler, den man begeht, wenn man dieRestglied beschreibt den Fehler, den man begeht, wenn man die

Funktion durch ihr Näherungspolynom ersetzt. Es ist in der PraxisFunktion durch ihr Näherungspolynom ersetzt. Es ist in der Praxis

jedoch unmöglich, den exakten Wert des Restgliedes zu bestimmen.jedoch unmöglich, den exakten Wert des Restgliedes zu bestimmen.

Der durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene FehlerDer durch die Vernachlässigung des Restgliedes entstandene Fehler

kann in der Regel nur abgeschätzt werden. Hier zu wird die folgendekann in der Regel nur abgeschätzt werden. Hier zu wird die folgende

von Lagrange stammende Form des Restgliedes herangezogen:von Lagrange stammende Form des Restgliedes herangezogen:

Restglied nach Lagrange

Anmerkung:Anmerkung:

Neben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen desNeben der Lagrangeschen Form kennt man noch weitere Formen des

Restgliedes, z.B. die nach Cauchy und Euler benannten Formen.Restgliedes, z.B. die nach Cauchy und Euler benannten Formen.

Geometrische Deutung der Näherungspolynome:Geometrische Deutung der Näherungspolynome:

Das Restglied verschwindet stets für . Daher Das Restglied verschwindet stets für . Daher

stimmen Funktionswert stimmen Funktionswert

und Näherungspolynom an dieser Stelle in ihren Funktions- und und Näherungspolynom an dieser Stelle in ihren Funktions- und

Ableitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedesAbleitungswerten bis zur n-ten Ordnung überein. Es gilt somit für jedes

::

Wir deuten diese Gleichung geometrisch wie folgt:Wir deuten diese Gleichung geometrisch wie folgt:

Die Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den Die Gleichung besagt, dass alle Näherungspolynome durch den

Kurvenpunkt verlaufen, in dessen Umgebung dieKurvenpunkt verlaufen, in dessen Umgebung die

Reihenentwicklung vorgenommen wurde. Aus der zweiten GleichungReihenentwicklung vorgenommen wurde. Aus der zweiten Gleichung

folgern wir speziell für :folgern wir speziell für :

Für n = 1:Für n = 1:

Die Kurve wird in der Umgebung von P näherungsweiseDie Kurve wird in der Umgebung von P näherungsweise

durch ihren Kurventangente, d.h. durch die lineare Funktion ersetzt.durch ihren Kurventangente, d.h. durch die lineare Funktion ersetzt.

Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer Man bezeichnet diesen Vorgang auch als „Linearisierung einer

Funktion“.Funktion“.

Für n = 2:Für n = 2:

Die Kurve wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d.h. Die Kurve wird jetzt durch eine quadratische Funktion, d.h.

durch eine Parabel mit der Funktionsgleichungdurch eine Parabel mit der Funktionsgleichung

angenähert.angenähert.

Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente Kurve und Parabel besitzen dabei in P eine gemeinsame Tangente undund

gleiche Kurvenkrümmung.gleiche Kurvenkrümmung.

1)1) Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von erhalten wir durch Grundsätzlich gilt: Die 1. Näherung von erhalten wir durch Abbruch der Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, Abbruch der Potenzreihe nach dem ersten nicht-konstanten Glied, die 2. Näherung durch Abbruch nach dem zweiten nicht-die 2. Näherung durch Abbruch nach dem zweiten nicht-konstanten Glied usw..konstanten Glied usw..

Anmerkungen:

2)2) Wird durch ein Polynom 1. Grades, d.h. durch eine lineare Wird durch ein Polynom 1. Grades, d.h. durch eine lineare Funktion angenähert, so sagt man, man habe die Funktion Funktion angenähert, so sagt man, man habe die Funktion linearisiert. Geometrische Deutung: Die Kurve wird in der linearisiert. Geometrische Deutung: Die Kurve wird in der

Umgebung der Stelle durch die dortige Kurventangente Umgebung der Stelle durch die dortige Kurventangente ersetzt.ersetzt.

3)3) Allgemein Gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umsoAllgemein Gilt: Die Güte einer Näherungsfunktion ist umso

besser, je mehr Reihenglieder berücksichtigt werden.besser, je mehr Reihenglieder berücksichtigt werden.

4)4) Alle Aussagen gelten sinngemäss auch für Taylorsche Alle Aussagen gelten sinngemäss auch für Taylorsche Reihenentwicklungen, d.h. Potenzreihenentwicklungen um ein Reihenentwicklungen, d.h. Potenzreihenentwicklungen um ein (beliebiges) Entwicklungszentrum . Die Näherungsfunktionen (beliebiges) Entwicklungszentrum . Die Näherungsfunktionen heissen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ:heissen dann Taylorsche Polynome und sind vom Typ:

5)5) Eine Funktion ist unter dem folgenden Voraussetzungen in Eine Funktion ist unter dem folgenden Voraussetzungen in eine (unendliche) Mac Laurinsche Reihe entwickelbar:eine (unendliche) Mac Laurinsche Reihe entwickelbar:

1.1. ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes ist in einer gewissen Umgebung des Nullpunktes beliebig oft differenzierbar. beliebig oft differenzierbar.

2.2. Das (Lagrangesche) Restglied verschwindet Das (Lagrangesche) Restglied verschwindet beim Grenzübergang d.h. es gilt:beim Grenzübergang d.h. es gilt:

Wir kommen wieder keine Wir kommen wieder keine Frage!!!Frage!!!