SADR AJ - mata.fon.rsmata.fon.rs/skladiste/ma3/Zbirka resenih zadataka iz Matematike 3.pdf · 10 1...
Transcript of SADR AJ - mata.fon.rsmata.fon.rs/skladiste/ma3/Zbirka resenih zadataka iz Matematike 3.pdf · 10 1...
-
SADRAJ
1 Diferencijalne jednaqine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Jednaqine koje razdvajaju promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Homogene jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Linearne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Bernulijeve jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Jednaqine sa totalnim diferencijalom . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Razne jednaqine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Diferencijalne jednaqine vixeg reda . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Jednaqine kojima se moe sniziti red . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Linearne jednaqine sa konstantnim koeficijentima 54
3 Sistemi diferencijalnih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1 Nelinearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Homogeni linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Nehomogeni linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Parcijalne jednaqine prvog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1 Opxte rexee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Partikularno rexee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Funkcije kompleksne promenive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.1 Izvodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
USERRectangle
USERLine
-
6 Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.1 Definicija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Inverzna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 Primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7 Varijacioni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.1 Ekstremale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Fiksirani graniqni uslovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
-
10 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda
Rexea y = 2k ne mogu da se dobiju iz opxteg rexea ni za jednu vrednost
konstante C, xto znaqi da su to singularna rexea.
Smene promenivih
U zadacima 9.11. pogodnom smenom svesti datu diferencijalnujednaqinu na jednaqinu koja razdvaja promenive.
9. y = cos(x+ y).
Rexee: Ako je x + y = z(x) iz date jednaqine sledi da je z = 1 + cos z. Za
z 6= (2k + 1) integracijom dobijamo da je tanz2= x + C, pa je opxte rexee
y = x + 2 arctan(x + C) (C R).
Rexea su takoe i z = (2k + 1), odnosno y = x + (2k + 1) i to singularna.
10. y =2y + x+ 12x+ 4y + 3
.
Rexee: Smenom x + 2y = z(x) dobijamo jednaqinu
2z + 3
4z + 5dz = dx (z 6= 5/4),
pa integracijom imamo da je
1
2z +
1
8ln |4z + 5| = x + C (C R).
Kako je i z = 5/4 rexee, opxte rexee date jednaqine je
4x + 8y + 5 = De4x8y (D R).
11. (x y + 1)dy = (ay ax+ 1)dx (a R).
Rexee: Ako je x y = u(x), onda iz date jednaqine sledi da jeu + 1
udu = (1 + a)dx,
pa je
u + ln |u| = (a + 1)x + C (C R).
Prema tome, opxte rexea date jednaqine je
ln |x y| = ax + y + C (C R).
1.2 Homogene jednaqine
U zadacima 12. 26. odrediti opxte rexee date jednaqine.
12. y =x+ yx y
.
-
1 Diferencijalne jednaqine prvog reda 11
Rexee: Za x 6= 0 je y = 1 + y/x1 y/x
, pa smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu
xu =1 + u
1 u u,
odnosno1 u1 + u2
=dx
x.
Integracijom leve i desne strane ove jednaqine imamo da je
arctan u ln1 + u2 = ln |x| + C1, (C1 R)
odnosno
earctan x = C2|x|1 + u2 (C2 R+).
Kako je u = y/x, opxte rexee je
x2 + y2 = Cearctan y/x (C R+).Napomena: U polarnim koordinatama opxte rexee je % = Ce, xto znaqi da
integralne krive predstavaju familiju logaritamskih spirala.
13. y =y xy
.
Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu
udu
u2 u + 1= dx
x.
Integracijom leve i desne strane imamo da je
ln(u2 u + 1) + 23arctan
2u 13
= ln x2 + C1 (C1 R),
pa je opxte rexee
3 ln(x2 xy + y2) + 2 arctan 2y x
x3
= C (C R).
14. (x y)y = x.
Rexee: Za x 6= y i x 6= 0 smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvajapromenive
dx
x=
1 uu2 u + 1
du.
Integracijom nalazimo da je
ln |x| = lnu2 u + 1 +
3
3arctan
2u 13
+ C1 (C1 R),
pa je opxte rexee date jednaqine
3 ln
y2 yx + x2 =3 arctan
2y x3x
+ C (C R).
15. y =xy
x2 + y2.
Rexee: Smenom y/x = u dobijamo jednaqinu
xu = u3
1 + u2(),
-
12 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda
odnosno1 + u2
u3du = dx
x. Integracijom leve i desne strane ove jednakosti imamo
da je
ln |xu| = 12u2
+ A (A R),
odnosno xu = Be1/2u2(B 6= 0). Kako je i u = 0 rexee jednaqine (), eno opxte
rexee je xu = Ce1/u2(C R), a y = Cex2/2y2 opxte rexee date jednaqine.
16. y2dx+ (x2 xy)dy = 0.
Rexee: Za x(y x) 6= 0 iz date jednaqine dobijamo da je
y =y2
xy x2=
(y/x)2
y/x 1.
Smenom y/x = u(x) imamo jednaqinu koja razdvaja promenive
xu =u
u 1, ()
odnosnou 1u
du =dx
x
za u 6= 0. Integracijom leve i desne strane ove jednaqine imamo da je
ln |xu| = u + C1, (C1 R)
odnosno xu = C2eu (C2 R \ {0}). Kako je u = 0 rexee jednaqine (), to je opxte
rexee te jednaqine xu = Ceu, gde je C R, a y = Cey/x opxte rexee datejednaqine.
17. y2dx+ x(
y2 x2 y)
dy = 0.
Rexee: Jednaqina je definisana za |y| |x|, a za x 6= 0 je ekvivalentnajednaqini
y =y2
x(y y2 x2)
.
Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive
dx
x=uu2 1
uu2 1
du.
Nakon integracije leve i desne strane ove jednaqine imamo da je
ln |x| = ln(u +u2 1) ln |u| + C1 (C1 R),
odnosno
x = C2u +u2 1u
(C2 R \ {0}).
Kako je i x = 0 rexee date jednaqine, opxte rexee je
yx = C(
y + sgn(x)
y2 x2)
(C R).
18. xy y = x(1 + ey/x).
-
1 Diferencijalne jednaqine prvog reda 13
Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive
du
1 + eu=dx
x.
Integracijom imamo da je
lneu
1 + eu= ln |x| + C1, (C1 R),
odnosnoeu
1 + eu= C|x|, (C R+).
Kako je y/x = u, opxte rexee date jednaqine je
y = |x| ln C|x|1 C|x|
, (C R+, C|x| < 1).
Napomena: Oblast definisanosti funkcije y zavisi od vrednosti konstante C.
19. xy =
x2 y2 + y.
Rexee: Smenom y/x = u(x) iz date dobijamo jednaqinu
ux =1 u2, (),
odnosnodu1 u2
=dx
x, u2 6= 1, x 6= 0.
Integracijom ove jednaqine imamo da je
arcsin u = ln |x| + C (C R).
Kako su u = 1 i u = 1 rexea jednaqine (), to su rexea date jednaqine
y = x, y = x, y = x sin(ln |x| + C).
20. y =2x3 y3
x2y.
Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu
udu
2 u2 u3=dx
x.
Kako jeu
2 u2 u3= 1
5 1u 1
+1
5 u 2u2 + 2u + 2
integracijom se dobija da je
15ln |u 1| + 1
10ln(u2 + 2u + 2) 3
5arctan(u + 1) = ln |x| + A (A R),
2 ln |u 1| + ln(u2 + 2u + 2) 6 arctan(u + 1) = 10 ln |x| + B (B R),
lnu2 + u + 2
(1 u)3x10= C + 6 arctan(1 + u) (C R),
odnosno
y2 + 2xy + 2x2
(x y)2x10= De
arctanx + y
x (D R+).
-
14 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda
21. (y2 x2 + 2xy)dx+ (y2 x2 2xy)dy = 0.
Rexee: Data jednaqina je homogena, pa smenom u(x) = y/x, za u 6= 1, dobijamojednaqinu
u2 2u 1(1 u)(u2 + 1)
du =dx
x.
Kako jeu2 2u 1
(1 u)(u2 + 1)=
1
u 1 2uu2 + 1
,
integracijom nalazimo da je
ln |u 1| ln(1 + u2) = ln |x| + C1 (C1 R),
odnosno
u 1 = Cx(u2 + 1) (C R).
Prema tome, opxte rexee je yx = C(x2+ y2). Za u = 1 dobijamo rexee y = x.
Napomena: Ako opxte rexee napixemo u obliku
x2 + y2 = D(y x) (D R),
vidimo da su integralne krive krunice koje sadre koordinatni poqetak i qiji
centri pripadaju pravoj y = x. Partikularno rexee y = x se dobija zaD =.
22. y +x2 + y2
xy= 0.
Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinuu
1 + 2u2du = dx
x. Integraci-
jom leve i desne strane nalazimo da je
ln(1 + 2u2) = 4 ln |x| + C1 (C1 R),
odnosno 1 + 2u2 = C/x4 (C > 0). Prema tome, opxte rexee je
x4 + 2x2y2 = C.
23. xydy y2dx = (x+ y)2ey/xdx.
Rexee: Smenom y/x = u data jednaqina se svodi na jednaqinu
ueudu
(1 + u)2=dx
x. ()
Kako je
ueudu
(1 + u)2=
eu(1 + u) eu
(1 + u)2du =
d
(
eu
1 + u
)
=eu
1 + u,
to iz jednaqine () sledi da je eu
1 + u= ln |x|+C1 (C1 R), odnosno
eu
1 + u= ln C|x|
(C > 0), pa je opxte rexee xey/x = (x + y) ln C|x|.
24. y =y
x2 + y2 + x.
-
1 Diferencijalne jednaqine prvog reda 15
Rexee: Smenom y/x = u(x) sledi da je
ux + u =u
1 + u2 + 1, ux = u
1 + u2
1 + u2 + 1,
1 + u2 + 1
u1 + u2
du = dxx,
du
u+
du
u1 + u2
= dxx.
Integracijom leve i desne strane poslede jednakosti nalazimo da je
ln u ln 1 +1 + u2
u= ln x + C1 (C1 R),
odnosnou2
1 +1 + u2
=C
x,1 + u2 1 = C
x.
Prema tome, opxte rexee jex2 + y2 = C + x ili y2 = C2 + 2Cx.
Napomena:
du
u1 + u2
se lako dobija smenom t = 1/u.
25. (e2x y2)dx+ ydy = 0.
Rexee: Neka je P = (e2x y2) (x) i Q = y(x). Iz uslova P y = Qx nalazimo(x) = e2x. Za jednaqinu
(
1 e2xy2)
dx + e2xydy = 0
imamo da je
u(x, y) =
(
1 e2xy2)
dx + (y) = x +1
2y2e2x + (y).
Kako je (y) = 0, opxte rexee je
x +1
2y2e2x = C, C R.
26.
(
2x shyx+ y chy
x
)
dx x chyxdy = 0.
Rexee: Smenom y/x = u(x) dobijamo jednaqinu
ch u
sh udu = 2
dx
x
qije je rexee sh u = Cx2. Prema tome, opxte rexee je shy
x= Cx2.
Svoee na homogenu
U zadacima 27.30. rexiti date diferencijalne jednaqine svo-eem na homogenu jednaqinu.
27. y =3y 7x+ 73x 7y 3
.
-
16 1 Diferencijalne jednaqine prvog reda
Rexee: Smenama x = u + i y = v + , gde je
3 7 + 7 = 0, 7 + 3 3 = 0,
dobijamo homogenu jednaqinu. Dakle, za x = u + 1 i y = v imamo jednaqinu
v =3v 7u3u 7v
,
iz koje smenom v/u = z dobijamo jednaqinu koja razdvaja promenive
2dz
z 1+
5dz
z + 1= 7du
u.
Integracijom nalazimo da je
u7(z 1)2(z + 1)5 = C, (u v)(u + v)5 = C (C R),
odnosno, vraaem promenivih x i y
(y x + 1)2(y + x 1)5 = D (D R).
Drugo rexee: Smenama u = 3y 7x + 7 i v = 3x 7y 3 dobijamo da jedu
dv=
3dy 7dx3dx 7dy
=3y 73 7y
=3u/v 73 7u/v
,
a zatim smenom u/v = z imamo jednaqinu
1
7 3 7zz2 1
dz =dv
v.
Integracijom leve i desne strane nalazimo da je
2 ln |z 1| + 5 ln |z + 1| = 7 ln |v| + C1 (C1 R),
odnosno
(z 1)2|z + 1|5 = C|v|1/7, (u v)2(u + v)5 = C (C R),
odakle dobijamo isto opxte rexee.
28. y =2x y + 1x 2y + 1
.
Rexee: Smenama x = u + , y = v + , gde je
2 + 1 = 0, 2 + 1 = 0
data jednaqina se svodi na homogenu. Dakle, za = 1/3 i = 1/3 imamojednaqinu
dv
du=
2u vu 2v
()
koja se smenom v/u = z svodi na jednaqinu
1 2z1 z + z2
dz = 2du u
qije je rexee u2(1z+z2) = C (C R). Rexee jednaqine () je u2uv+v2 = C,a opxte rexee date jednaqine je
x2 xy + y2 + x y = C (C R).
-
1 Diferencijalne jednaqine prvog reda 17
Drugo rexee: Smenama 2x y + 1 = u i x 2y + 1 = v dobijamo homogenujednaqinu
du
dv=
2v uv 2u
qije je rexee u2 uv + v2 = C. Vraaem promenivih x i y i sreivaemdobijamo isto opxte rexee.
29. (4x+ 3y + 1)dx+ (x+ y + 1)dy = 0.
Rexee: Smenom x = u + 2 i y = v 3 dobijamo homogenu jednaqinu
v =3v/u 4v/u + 1
.
Ako je v/u = z(u), onda iz prethodne jednaqine sledi da je
du
u= 1 + z
(2 + z)2dz,
pa je
ln |u| = ln |2 + z| 12 + z
+ C1 (C1 R).
Iz ove jednakosti dobijamo opxte rexee homogene jednaqine
2u + v = Ceu/(2u+v) (C R),
odnosno opxte rexee date jednaqine
2x + y 1 = Ce2 x
2x + y 1 .
30. y = x 2y + 52x y + 4
.
Rexee: Smenama x = u + i y = v + , gde i odreujemo iz uslova
2 + 5 = 0, 2 + 4 = 0
data jednaqina se svodi na homogenu
dv
du= u 2v
2u vqije je rexee v u = C(v + u)3. Prema tome, opxte rexee je
y x + 3 = C(y + x + 1)3 (C R).Napomena: Partikularna rexea y = x 3 i y = x 1 se dobijaju iz opxteg
za C = 0 i C =.
1.3 Linearne jednaqine
31. Linearnu jednaqinu y + p(x)y = q(x) rexiti smenom q/y = z/z.
Rexee: Datom smenom dobijamo da jedy
y=dz
z pdx, odakle sledi da je
y = ze
p(x)dx.
Korica.pdfm3 - zbirka resenih zadataka - homogene jednacine prvog reda.pdfsadrzaj.pdfhomogene jednacine.pdf