Sabrina Zahra Fitriani-1206249391-Teknologi Bioproses-Integrasi Numerik
-
Upload
sabrinazahraf -
Category
Documents
-
view
60 -
download
5
description
Transcript of Sabrina Zahra Fitriani-1206249391-Teknologi Bioproses-Integrasi Numerik
UNIVERSITAS INDONESIA
TUGAS INDIVIDUAL PRA UAS KOMPUTASI NUMERIK
Disusun oleh:Sabrina Zahra Fitriani (1206249391)
Teknologi Bioproses
DEPARTEMEN TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS INDONESIADEPOK 2014
Page | 1Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
1/2 1/2
3 m m o oT 1/2 1/2
m m o o
k .K .P .K Pr'
1 K .P 1 K .P
Soal 1. Penentuan W/Fo untuk disain Reaktor Fixed Bed Reactor Reaksi
Parsial Oksidasi Metanol menjadi Formaldehida
Packed-bed reactors adalah reaktor tubular terisi oleh partikel-partikel katalis untuk
melangsungkan reaksi parsial oksidasi metanol :
O2 + 2 CH3OH 2 CH2O + 2 H2O
Persamaan disain reaktor bed adalah sebagai berikut,
Dimana :
-r’T adalah laju konversi metahol menjadi formaldehida, mol/kg. jam
X adalah Nilai Konversi Metanol menjadi Formaldehida,
W adalah jumlah katalis yang digunakan/diisikan dalam reaktor, kg katalis.
Fo adalah laju umpan reaktan masuk reaktor, mol/jam.
Persamaan laju konversi metanol menjadi Formaldehida adalah
Dan berdasarkan penentuan harga kontanta dari referensi literature, pada 571 K:
k3 = 0,43 (mol.hr-1.g cat-1)
Km = 12,4 (atm-1)
Ko = 1.23 (atm-1)
Bila tekanan parsial metanol Pmet = 1.2 atm dan Rasio awal M = Pmet/PO2 = 0,5----Nah tinggal
cari data-data Pmet dan PO2 untuk menghitung persamaan laju konversi metanol menjadi
Formaldehida.
Dalam desain Reaktor maka besaran parameter W/Fo sangat penting untuk ditentukan, karena untuk
menunujukkan kemampuan reaktor dalam mengkonversi reaktan, menentukan reaksi berjalan atau lambat
dan bahkan memperkirakan reaksi katalitik berjalan efektif atau tidak. Untuk menghitung harga W/Fo
reaktor, maka perlu melakukan perhitungan dengan mengintegrasi harga dX/-r’T dalam rentang konversi
tertentu. Berdasarkan peran dan kemampuan anda dalam Komputasi Numerik, hitunglah harga W/Fo
dengan rentang konversi tabel berikut.
Page | 2Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
No.kode
Soal
Konversi metanol X
awal
Konversi metanol X akhir
B1 0 0,40
B2 0 0,50
B3 0 0,60
B4 0 0,70
B5 0 0,80
B6 0 0,90
B7 0,1 0,60
B8 0,2 0,70
B9 0,3 0,80
JAWAB
Tugas yang akan saya kerjakan adalah Kode Soal B8: Xawal = 0,20 dan Xakhir = 0,70. Perhitungan
dilakukan dengan step size 0,1
Menghitung tekanan parsial metanol Pm berdasarkan konversi metanol Xm awal yg anda
tentukan dlm rentang tugas, yakni
Pm = Pm awal - Pm awal. Xm
Dengan Pm awal = 1,2 atm, Pm dapat diperoleh dengan perhitungan pada Microsoft Excel
Xm Pm
0,20 0,96
0,30 0,84
0,40 0,72
0,50 0,6
0,60 0,48
0,70 0,36
Menghitung harga konversi oksigen Xo untuk setiap konversi metanol Xm berdasarkan :
PO awal . XO = Pm awal . Xm/2 dimana
M = Pm/PO =0,5 (awal)
Jumlah oksigen yg bereaksi=1/2 jumlah mol metanol yg bereaksi
Persamaan diatas dapat ditulis juga sebagai
Page | 3Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
1/2 1/2
3 m m o oT 1/2 1/2
m m o o
k .K .P .K Pr'
1 K .P 1 K .P
XO = Pm/PO awal . Xm/2
XO = M . Xm/2
Dengan M = 0,5, Xo dapat diperoleh dengan perhitungan pada Microsoft Excel
Xm Xo
0,20 0,05
0,30 0,075
0,40 0,1
0,50 0,125
0,60 0,15
0,70 0,175
Menghitung harga tekanan parsial oksigen Po untuk setiap harga tekanan parsial awal oksigen atau
konversi oksigen Xo dengan menggunakan rumus :
Po = Po awal – Xo (Po awal)
= Po awal - Pm awal . Xm/2
Dengan Po awal = Pm awal/M = 1,2/0,5 = 2,4 atm, maka Po dapat diperoleh dengan perhitungan
pada Microsoft Excel
Xm Po
0,20 2,28
0,30 2,22
0,40 2,16
0,50 2,1
0,60 2,04
0,70 1.98
Membuat tabel hasil perhitungan laju reaksi konversi metanol (-r’T) dalam rentang konversi
metanol awal- sampai konversi metanol akhir sesuai tugas anda masing-masing. Boleh melebihi
dari rentang konversi yg ditentukan
Persamaan laju konversi metanol menjadi Formaldehida adalah
Page | 4Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
Dan berdasarkan penentuan harga kontanta dari referensi literature, pada 571 K:
k3 = 0,43 (mol.hr-1.g cat-1)
Km = 12,4 (atm-1)
Ko = 1.23 (atm-1)
Persamaan laju konversi methanol dapat ditulis sebagai
−r 'T=0,43 .12,4 .Pm .1,231/2 . Po
1 /2
(1+12,4 . Pm )(1+1,2312 .Po
12 )
Dengan Po dan Pm yang diperoleh dari perhitungan sebelumnya, −r 'Tdapat dihitung
menggunakan Microsoft Excel
Pm Po −r 'T0,96 2,28 0,2483662560,84 2,22 0,2444200660,72 2,16 0,2396567230,6 2,1 0,2336638670,48 2,04 0,2256779380,36 1,98 0,214106224
Membuat tabel hasil perhtungan harga 1/(-r’T) dan butlah plot antara 1/(-r’T) vs X
Xm 1/−r 'T0,20 4,0263120,30 4,0913170,40 4,1726350,50 4,2796520,60 4,4310930,70 4,670579
Page | 5Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
0.2 0.3 0.4 0.5
0.600000000000001
0.7000000000000013.6
4
4.4
4.8
f(x) = 3.86384220747293 exp( 0.0287663801297371 x )R² = 0.951073357656793
Grafik 1/r'T vs X
1/r'T vs XExponential (1/r'T vs X)
X
1/-
r'T
Menghitung luasan dibawah kurva hasil plot. Luasan tersbut merupakan harga W/Fo
Metode Trapesium Segmen Berganda
Metode ini digunakan dengan membagi luasan grafik menjadi n segmen dengan lebar yang sama.
Pada langkah sebelumnya, sudah dilakukan perhitungan dengan 5 segmen (n = 5). Step sizenya
h=b−an
=0,7−0,25
=0,1. Harga W/Fo sesuai dengan persamaan
W=∫X awal
Xakhir Fo
−rT'dX
WFo
= ∫Xawal
X akhir
1
−rT'dX
Dari soal no kode B8, Xawal = 0,20 dan Xakhir = 0,70. Integrasi numerik menggunakan metode
trapesium segmen berganda dihitung menggunakan persamaan
I ≅ (b−a )f (xo )+2∑
i=1
n−1
f (x i )+ f (xn )
2n
f(x) berdasarkan soal adalah 1
−rT' , b = 0,70 dan a = 0,20. Perhitungan menggunakan Microsoft
Excel menghasilkan
No Xm 1/−r 'T
Page | 6Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
0 0,20 4,0263121 0,30 4,0913172 0,40 4,1726353 0,50 4,2796524 0,60 4,4310935 0,70 4,670579
Hasil dari perhitungan dimasukkan ke persamaan integrasi sehingga
I ≅ (0,70−0,20 ) 4,026312+2 ( 4 ,091317+4 ,172635+4 ,279652+4 ,431093 )+4 ,6705792 .5
I ≅ 2,655817
Maka
WFo
= dX
−rT'= 1
−rT'=2,656kg . jam /mol
Metode Simpson
Metode simpson terdiri dari dua jenis, yaitu 1/3 dan 3/8. Metode 3/8 digunakan untuk 4 titik
berspasi sama sedangkan metode 1/3 memerlukan tiga titik berspasi sama. Pada masalah ini, step
size = 0,1 dan menghasilkan 5 segmen. Segmen 1 dan 2 dihitung dengan menggunakan aturan 1/3
dan segmen 3,4 dan 5 dihitung menggunakan aturan 3/8. f(x) berdasarkan soal adalah 1
−rT' , b =
0,70 dan a = 0,20. Perhitungan menggunakan Microsoft Excel menghasilkan
No Xm 1/−r 'T0 0,20 4,0263121 0,30 4,0913172 0,40 4,1726353 0,50 4,2796524 0,60 4,4310935 0,70 4,670579
1. Segmen 1 dan 2 dengan aturan 1/3 Simpson
I ≅ (b−a )f (xo )+4 f (x1 )+f (x2 )
6
Page | 7Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
I ≅ (0,40−0,20 ) 4,0263+4 (4,091317)+4,172636
=0,8188
2. Segmen 3, 4 dan 5 dengan aturan 3/8 Simpson
I ≅ (b−a )f (xo )+3 f (x1 )+3 f (x2 )+ f (x3 )
8
I ≅ (0,70−0,40 ) 4,17263+3(4,2796)+3 (4,43109)+4,67058
=1,31157
Integral total dihitung dengan menjumlahkan keduanya
I=0,8188+1,31157=2,13038
Maka
WFo
= dX
−rT'= 1
−rT'=2,130kg . jam /mol
Jadi, nilai W/Fo dengan rentang konversi dari 0,20 hingga 0,70 dengan metode trapesium segmen
berganda adalah 2,656kg . jam/mol dan dengan metode Simpson adalah 2,130kg . jam /mol. Hasil
perhitungan numerik ini tidak dapat dibandingkan dengan perhitungan analitis karena integral sulit
dilakukan.
Page | 8Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
Soal 3. Studi kasus perhitungan : Kuantitas Panas
Ulangilah Studi kaus 15.2 halaman 549 (Bab 15, Chapra-Raymod versi bahasa) Tunjukkan dengan proses perhitungan sampai mendapatkan error yang sekecil-kecilnya dari kuantitas panas yang diperlukan dalam rentang suhu tertentu dan mulai ukuran segmentasi h berapakah untuk mendapatkan %error dibawah 0,01%. Perhitungan error didasarkan pada hasil perhitungan analitisnya (hasil sebenarnya). Boleh menggunakan excell, atau program lainnya untuk membantu perhitungan dengan batas suhu dari -50 s/d 100 oC.
JAWAB
Kapasitas panas sebagai fungsi dari suhu adalah :
c (T )=0,132+1,56×10−4T+2,64×10−7T 2
Besar perubahan entalpi dapat dihitung dengan :
∆ H=m∫T1
T2
c (T )dT
∆ H=m∫T1
T2
0,132+1,56×10−4T +2,64×10−7T 2dT
Dengan m = 1000 gram, T1 = -50 oC T2 = 100 oC. Nilai dari ∆H dihitung dengan menggunakan integrasi
numerik kemudian dibandingkan dengan hasil dari integrasi analitik untuk mendapatkan nilai % error.
1. Solusi Analitik
Solusi analitik dicari dengan langsung mengintegralkan persamaan c(T) dengan rentang -50 s/d
100 oC.
∆ H=1∫−50
100
0,132+1,56×10−4T +2,64×10−7T2dT
∆ H=[0,132T+0,78×10−4T 2+0,88×10−7T 3 ]−50
100
∆ H=20,484cal
2. Solusi Numerik
Integrasi numerik dari c(T) dilakukan dengan menggunakan metode Multiple Trapezoid. Untuk
memperoleh %error dibawah 0,01%, perhitungan dilakukan dengan menghitung pada step size
50, 30, 15 agar terlihat pembagian manakah yang menghasilkan error dibawah 0,01%.
Fungsi yang digunakan untuk integrasi adalah
Page | 9Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
f ( x )=c (T )=0,132+1,56×10−4T+2,64×10−7T 2
Integrasi dengan metode Trapesium berganda dihitung dengan menggunakan persamaan
I ≅ (b−a )f (xo )+2∑
i=1
n−1
f (x i )+ f (xn )
2n
Persen error dihitung dengan
ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %
Step size (h) = 50 (n= 3 )
n X f(x)0 -50 0.124861 0 0.1322 50 0.140463 100 0.15024
I=(100−(−50 )) 0,12486+2 (0,132+0,14046 )+0,150242.3
I=20,5005
∆ H=I=20,5005
Persen error :
ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %=|20,5005−20,484
20,484 |×100 %
ε t=0,080551 %
Step size (h) = 30 (n= 5 )
n x f(x)0 -50 0,124861 -20 0,1289862 10 0,1335863 40 0,1386624 70 0,1442145 100 0,15024
I=¿
Page | 10Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
I=20,48994
∆ H=I=20,48994
Persen error :
ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %=|20,48994−20,484
20,484 |×100%
ε t=0,0289 %
Step size (h) = 15 (n= 10 )
n x f(x)0 -50 0,124861 -35 0,1268632 -20 0,1289863 -5 0,1312274 10 0,1335865 25 0,1360656 40 0,1386627 55 0,1413798 70 0,1442149 85 0,14716710 100 0,15024
I=¿
I=20,485485
∆ H=I=20,485485
Persen error :
ε t=|Solusinumerik−Solusi analitikSolusianalitik |×100 %=|20,4843854−20,484
20,484 |×100 %
ε t=0,00725 %
Pada step size 15, error sudah mencapai jauh dibawah 0,01%. Untuk mengetahui letak
pastinya saat error mulai berada dibawah 0,01%, perlu dibuat grafik agar dapat diketahui nilai
step size yang spesifik dan mendekati 0,01%.
Page | 11Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
Step size Persen Error50 0,080551 %30 0,0289 %15 0,00725 %
50 30 150
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f(x) = 0.284993655339834 exp( − 1.20394452766431 x )R² = 0.99269398611355
Grafik Step Size vs Persen Error
Step Size vs Persen ErrorExponential (Step Size vs Persen Error)
step size
Pers
en E
rror
(%)
Dari berbagai kasus, terlihat bahwa persenan error menurun secara eksponensial dengan
berkurangnya step size. Dengan pendekatan secara eksponensial, diperoleh hubungan
y=0,286e−1,204 x. Step size pada 0,01% dapat dihitung dengan persamaan tersebut, dan didapat
step size sekitar 18.
Jadi,berdasarkan perhitungan yang sudah dilakukan, persen error mencapai <0,01% saat
step size ¿ 18.
Page | 12Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
Soal 4 Selesaikan soal 15.15 Bab 15, Chapra-Raymod versi bahasa. Selama suatu survey lapangan, anda diminta untuk menghitung luas lapangan seperti gambar. Gunakan aturan Simpson untuk menentukan luas ini.
JAWAB
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Panjang kotak adalah 200 kaki sehingga luas satu kotak mewakili (200 kaki)2.
Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n = 16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
n y(n)
0 211 20.82 20.53 204 19.55 17.56 16.57 16.28 16
Page | 13Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391
9 1510 14.211 13.512 12.513 914 6.515 516 0
Dari tabel diatas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan metode integrasi Simpson dengan persamaan
L=h3 ( yo+ y16+4 ∑
i=ganjil
y i+2 ∑i=genap
y i)Dengan memasukkan data-data yang diperoleh pada tabel, diperoleh
L=13¿
L=233,47
Luas yang sebenarnya
L x Luas persegi seharusnya = 233,47 x (200 ft)2 = 9338667 ft2
Jadi, dengan perhitungan menggunakan metode integrasi Simpson, diperoleh luasan dari
lapangan tersebut adalah 9338667 ft2.
Page | 14Tugas Komputasi Numerik/Sabrina Zahra Fitriani/Teknologi Bioproses/1206249391