S7 edl de_orden_2_variacion_de_parametros_ed_de_euler
-
Upload
neil-sulca-taipe -
Category
Engineering
-
view
104 -
download
1
Transcript of S7 edl de_orden_2_variacion_de_parametros_ed_de_euler
ÁLGEBRA LINEAL Y
ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
E.D.L. de orden 2
( Variación de
parámetros)
Ecuación de Euler
OBJETIVOS
Aplicar el método de variación de parámetros para
resolver una E.D.L. de segundo orden.
Resolver ecuaciones diferenciales de orden 2
Reconocer la ecuación diferencial de Euler
Resolver la ecuación de Euler reduciéndola a una
ecuación diferencial con coeficientes constantes.
Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real
E.D.L. de segundo orden
Sea la E.D.L. normal y no homogénea de orden 𝟐
𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙)
donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼
Sabemos que la solución general de (*) se expresa de la forma
𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑
donde 𝒚𝒉 es la solución general de la ecuación homogénea
asociada y 𝒚𝒑 es una solución particular. Para hallar 𝒚𝒑 el método
empleado ahora es llamado variación de parámetros
()
E.D.L. de segundo orden (variación de
parámetros)
Supongamos una solución particular de la forma
𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐 𝒙 𝒚𝟐(𝒙)
donde los coeficientes 𝒖𝟏 y 𝒖𝟐 son funciones por determinar y
𝒚𝟏 y 𝒚𝟐 son soluciones de la homogénea asociada, es decir
que satisfacen:
𝒚𝟏′′ + 𝒑 𝒙 𝒚𝟏
′ + 𝒒 𝒙 𝒚𝟏 = 𝟎
𝒚𝟐′′ + 𝒑 𝒙 𝒚𝟐
′ + 𝒒 𝒙 𝒚𝟐 = 𝟎
𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏
′ 𝒚𝟏′ + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏 𝒚𝟏
′′ + 𝒑𝒚𝟏′ + 𝒒𝒚𝟏 +⋯
⋯+ 𝒖𝟐 𝒚𝟐′′ + 𝒑𝒚𝟐
′ + 𝒒𝒚𝟐 + 𝒑 𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐 = 𝒇
Al derivar 𝒚𝒑 y reemplazar en (*) obtenemos
= 𝟎
= 𝟎
E.D.L. de segundo orden (variación de
parámetros)
De donde obtenemos
𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐′ + 𝒖𝟏
′ 𝒚𝟏′ + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐′ + 𝒑 𝒖𝟏
′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐′ 𝒚𝟐 = 𝒇
Esta identidad se cumplirá cuando las funciones 𝒖𝟏(𝒙) y 𝒖𝟐(𝒙) de modo que cumplan las ecuaciones:
𝒖𝟏′ 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐
′ 𝒙 𝒚𝟐 𝒙 = 𝟎
𝒖𝟏′ 𝒙 𝒚𝟏
′ 𝒙 + 𝒖𝟐′ 𝒙 𝒚𝟐
′ 𝒙 = 𝒇(𝒙)
en el intervalo 𝐼
E.D.L. de segundo orden (variación de
parámetros)
Procedimiento de solución
1.- Se hallan la solución general de la E.D.L. homogénea
asociada a (*)
𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒚𝟏 + 𝒄𝟐𝒚𝟐
2.- Se halla una solución particular 𝒚𝒑 usando el método de
variación de parámetros. Es decir suponer que
𝒚𝒑 = 𝒖𝟏 𝒙 𝒚𝟏 𝒙 + 𝒖𝟐 𝒙 𝒚𝟐(𝒙)
Donde las funciones 𝒖𝟏 y 𝒖𝟐 se hallan resolviendo el sistema
𝒖𝟏′ 𝒚𝟏 + 𝒖𝟐
′ 𝒚𝟐 = 𝟎
𝒖𝟏′ 𝒚𝟏
′ + 𝒖𝟐′ 𝒚𝟐
′ = 𝒇(𝒙)
Podemos aplicar el método de Cramer y luego de integrar
obtenemos:
E.D.L. de segundo orden (variación de
parámetros)
𝒖𝟏(𝒙) = − 𝒇 𝒙
𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒖𝟏(𝒙) =
𝒇 𝒙
𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐𝒚𝟏 𝒙 𝒅𝒙
donde
𝑾 𝒚𝟏; 𝒚𝟐 =𝒚𝟏 𝒚𝟐
𝒚𝟏′ 𝒚𝟐
′ es llamado el Wronskiano de 𝒚𝟏 y 𝒚𝟐
3.- La solución general de (*) es de la forma
𝒚 = 𝒚𝒉 + 𝒚𝒑
OBSERVACIÓN
En el paso 1 anterior se puede hallar otra solución
Linealmente independiente de la E.D.L. homogénea asociada
conociendo una de las soluciones, por ejemplo 𝒚𝟏, como se
muestra en el siguiente teorema
Teorema
Sea la E.D.L. normal y homogénea de orden 𝟐
𝒚′′ + 𝒑 𝒙 𝒚′ + 𝒒 𝒙 𝒚 = 𝟎
donde 𝒑; 𝒒; 𝒇 ∶ 𝑰 → ℝ son funciones continuas en un intervalo 𝐼.
Si 𝒚𝟏 es una solución, entonces
a.- La función
𝒚𝟐 𝒙 = 𝒚𝟏 𝒙 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙
𝒚𝟏 𝒙 𝟐𝒅𝒙
es otra solución en cualquier subintervalo 𝑱 ⊂ 𝑰 donde
𝒚𝟐 𝒙 ≠ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑱
b.- El conjunto 𝒚𝟏; 𝒚𝟐 es Linealmente independiente en 𝑱
Ejemplo Ejemplo 1
Determine la solución general de las siguientes E.D.L.
a.- 𝒚′′ + 𝒚 = 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
b.- 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝒆−𝒙𝒍𝒏𝒙
c.- 𝒚′′ − 𝟐𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝒆𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙
Solución
Ejemplo Ejemplo 2
Resuelva la E.D.L.
𝒙 + 𝟏 𝒚′′ + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑 𝒚′ + 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 𝒚 = −𝟒𝒙 𝒙 + 𝟏 𝟐
Si se sabe que la solución de la ecuación homogénea
asociada es:
𝒚𝒉 = 𝒄𝟏𝒆−𝒙𝟐 + 𝒄𝟐𝒆
𝟐𝒙 Solución
Ejercicio 1
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales sabiendo
que 𝒚𝟏 es una solución de la homogénea
a.- 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝒙𝒚′ − 𝟑𝒚 = 𝟓𝒙𝟒 ; 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐
b.- 𝟐𝒙𝒚′′ + 𝟏 − 𝟒𝒙 𝒚′ + 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒚 = 𝒆𝒙 ; 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙
c.- 𝒚′′ + 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒚′ + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒚 = 𝟎 ; 𝒚𝟏 = 𝒄𝒐𝒔(𝒔𝒆𝒏𝒙)
Solución:
E.D. de Cauchy Euler
Una E.D.L. de la forma (𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏𝒚 𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒏−𝟏𝒚 𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒚′ + 𝒂𝟎𝒚 = 𝒉 𝒙
Donde
• 𝒂𝒊 ∈ ℝ ; 𝒊 = 𝟎; 𝟏;⋯ ; 𝒏 − 𝟏 son constante reales y 𝒂 > 𝟎
• 𝒉: 𝑰 → ℝ es continua en cualquier intervalo que no contiene
al punto 𝒙 = −𝒃
𝒂
es llamada Ecuación de Cauchy-Euler.
OBSERVACIÓN
Esta ecuación está definida en ℝ, pero solo es normal en
aquellos intervalos que no contienen al punto 𝒙 = −𝒃
𝒂.
E.D. de Cauchy Euler
Procedimiento de solución
1.- Se realiza el cambio de variable
• 𝒖 = 𝒍𝒏(𝒂𝒙 + 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰 contenido
en ] −𝒃
𝒂; +∞[
• 𝒖 = 𝒍𝒏(−𝒂𝒙 − 𝒃) cuando se considera un intervalo 𝑰
contenido en ] − ∞; −𝒃
𝒂[
Esto reduce (*) a una E.D.L. con coeficientes constantes.
2.- Use los métodos anteriores para hallar la solución buscada.
Ejemplo Ejemplo 1
Determine la solución general de
𝒙𝟐𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎
Solución
Realizamos el cambio de variable 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 o equivalente mente
𝒙 = 𝒆𝒖 (trabajaremos en el intervalo ]𝟎; +∞[)
La ecuación diferencial en la variable 𝒙 es:
𝒙𝟐𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐− 𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝟎
Aplicando la regla de la cadena tenemos: 𝒚 → 𝒙 → 𝒖 𝒅𝒚
𝒅𝒖=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒖=
𝒅𝒚
𝒅𝒙 𝒆𝒖 →
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝒆−𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒖
Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚
𝒅𝒙→ 𝒙 → 𝒖
Ejemplo Ejemplo 1
Análogamente para la segunda derivada: 𝒅𝒚
𝒅𝒙→ 𝒙 → 𝒖
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒖𝟐=
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 𝒆𝒖 𝒆𝒖 +
𝒅𝒚
𝒅𝒙 𝒆𝒖 =
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒖 + 𝒆−𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒖𝒆𝒖
=𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒖 +
𝒅𝒚
𝒅𝒖
De donde
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐= 𝒆−𝟐𝒖
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒖𝟐 −𝒅𝒚
𝒅𝒖
Reemplazamos en la ecuación y obtenemos:
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒖𝟐 − 𝟐𝒅𝒚
𝒅𝒖+ 𝟐𝒚 = 𝟎
La solución general de esta ecuación es:
𝒚 = 𝒄𝟏𝒆𝒖𝒄𝒐𝒔 𝒖 + 𝒄𝟐𝒆
𝒖 𝒔𝒆𝒏(𝒖)
Y regresando a la variable 𝒙 tenemos
𝒚 = 𝒄𝟏𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒍𝒏 𝒙 ; ∀𝒙 > 𝟎
Ejemplo Ejemplo 2
Determine la solución general de las siguientes E.D.
a.- 𝒙𝟐𝒚′′ − 𝟒𝒙𝒚′ + 𝟔𝒚 =𝟏
𝒙
b.- 𝒚′′ −𝟐
𝒙𝒚′ −
𝟏𝟎
𝒙𝟐𝒚 = 𝒙𝟑𝒍𝒏𝒙
Solución
Bibliografía
2. Ecuaciones diferenciales técnicas de solución y aplicaciones-
José V. Becerril Espinoza y David Elizarraraz Matrtínez
3. Calculus - James Stewart
1.Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-
Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.