S3exa mat2 0708 - jlmat.esjlmat.es/_datos/2bto/S3exa_mat2_0708.pdf · Aplicación del teorema...
Transcript of S3exa mat2 0708 - jlmat.esjlmat.es/_datos/2bto/S3exa_mat2_0708.pdf · Aplicación del teorema...
Examen. 2ª evaluación 4/03/2008
jlmat.es Matemáticas II. [1]
Opción AOpción AOpción AOpción A
Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Obtener el valor del siguiente límite:
( )2 2
0
50
ln 1 4x
x
t t dtlim
x→
+∫
Aplicación del teorema fundamental del cálculo integral: “Si ( )f x es continua en [ ],a b entonces la función
( ) ( )x
aA x f t dt= ∫ es derivable en [ ],a b y ( ) ( )A x f x′ = para todo [ ],x a b∈ ”
Como es una indeterminación del tipo 0
0, estamos en las condiciones del teorema de L´Hôpital
( ) ( ) ( )( )
( )
2 2 2 2 22
0
5 4 2 20 0 0 0 0
8ln 1 4 ln 1 4 ln 1 4 81 4
5 5 10 10 51 4
ˆ
4x
x x x x x
xt t dt x x x
xlim lim lim lim limx x x x x
indica que aplicamos la regla de L Hopital
→ → → → →
+ + + += = =+
′
∫≙ ≙
≙
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Calcula las integrales indefinidas:
a)
2
3 2
5
2
xdx
x x x
+− +∫
Es una integral racional, factorizamos el denominador y separamos en fracciones simples
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( )
2 22
2 2 2 2
22
2 2
1 1 25
11 1 1 1
1 5
2 0 4
5 6
5 5 4 6 1 15 4 6 1
1 11
65ln 4ln 1
11
A x Bx x Cx A B x A B C x Ax A B C
x xx x x x x x x
A B A
A B C B
A C
xxdx dx dx dx dx dx x dx
x x x xx xc
xxx
−
− + − + + + − − + ++ = + + = =−− − − −
+ = = − − + = ⇒ = − = =
+ −= + + = − + − =− −− −
− − − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Examen. 2ª evaluación
jlmat.es
b) 3x
sen xdx
e∫ 3 ( )xe sen x dx aplicamos la integración por partes−= ⋅ ⋅∫3 3 3 /u sen x du cos x dx dv e dx v e dx e= ⇒
( )
3
3 3 3 3 3 3 3 *
* 3 3 3 3 3
3 3 3 3 9 3 10
x x x x x
x x
x x x x x
u cos x du sen x dx dv e dx v e dx e
e sen x dx e sen x e cos x dx e sen x e cos x dx
e sen x e cos x e sen x dx
e sen x dx e sen x e cos x e sen x dx e sen x dx
− − − − −
− − −
− − − −
= − − − = − + =
= − + − −
= −
= ⇒ = − =
−
∫
∫
∫
∫ ∫
( 3 3 33
10
x
x e sen x cos xe sen x dx c
−− − +
= +∫ Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular el área del recinto limitado por las curvas
Representamos las funciones para visualizar el área pedida
Calculamos los puntos de corte entre las curvas
3 ( )e sen x dx aplicamos la integración por partes= ⋅ ⋅
3 3 3 / x x xu sen x du cos x dx dv e dx v e dx e− − −⇒ = = ⇒ = = −∫
( )3 3 3 3 3 3 3 *
* 3 3 3 3 3
3 3 3 3 9 3 10
3 3 /
3
x x x x x
x x
x
x x x x
u cos x du sen x dx dv e dx v e dx e
e sen x dx e sen x e cos x dx e sen x e cos x dx
e sen x e cos x e sen x dx
e sen x dx e sen x e cos x e sen x dx e sen x dx
−
− − − − −
− − −
− − − − −
−
= − − − = − + =
= − + − − ⇒
= − = ⇒ =
⇒
−
−
=
∫
∫
∫ ∫
∫)3 3 3e sen x cos x
x dx c= +
= − −∫
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Calcular el área del recinto limitado por las curvas 2 3 10y x x= − − , 2 4y x= −
Representamos las funciones para visualizar el área pedida
Calculamos los puntos de corte entre las curvas
2
23 103 10 2 4
2 4
y x xx x x
y x
= − −⇒ − − = − = −
( ) ( ) (6 62 2
1 1
63 2
1
2 4 3 10 5 6
5 216 1
343
80 1 56 36 6
3 2 3 2 3 2
1 5
3 660
2
A x x x dx x x dx
x xx
− −
−
= − − − − = − + + =
− − = + + == + + − + − =
= − − =
∫ ∫
4/03/2008
Matemáticas II. [2]
3 ( )
x x xu sen x du cos x dx dv e dx v e dx e− − −= = −∫
)3 3 3 3 3 3 3 *
xu cos x du sen x dx dv e dx v e dx e−−=
3 3 3x xe sen x e cos x− −= − −
2 4= − .
13 10 2 4
6
x
x
= −⇒ =
( )6 62 2
1 12 4 3 10 5 6
80 1 56 36 6
3 2 3 2 3 2
A x x x dx x x dx= − − − − = − + + =
= + + == + + − + − =
∫ ∫
Examen. 2ª evaluación
jlmat.es
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Determina el área comprendida entre la curvas
representando para ello las funciones dadas.
La función ( )f x tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es
simétrica puesto que ( ) ( )f x f x− = −
( ) ( )2 22
4 4
2 1 21x x
xlim lim
x xx→∞ →∞
− −++
≙
en los puntos 1
3x = y
1
3x = − . Derivamos otra vez
un mínimo ya que 1
03
f ′′ >
, del mismo modo en
0 , 1 , 1x x x= = = − , hay 3 puntos de inflexión.
El área pedida será igual a 2A , para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.
( ) ( )2 22 2 2
22
41 4 1 4 0 1 2 1
1
xx x x x x x x x
x
−− = ⇒ + =+
( )1 1 1
20 0 02
4 1 1
1
x xA x dx x dx x x dx
x
− − = − − = − + + = − + = + ∫ ∫ ∫
Entonces el área pedida es 2 1A =
(Puntuación máxima: 3 puntos)
Determina el área comprendida entre la curvas ( )( )22
4
1
xf x
x
−=+
y ( )g x x= −
representando para ello las funciones dadas.
tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es
)f x f x , tiene una asíntota horizontal en la recta 0y = puesto que
02 1 2x x
= . Derivando obtenemos que ( )( )
2
32
12 4
1
xf x
x
−′ =+
1
3Derivamos otra vez ( )
( )3
42
48 48
1
x xf x
x
−′′ =+
y deducimos que en
, del mismo modo en 1
3x = − hay un máximo; además como
, hay 3 puntos de inflexión.
, para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.
( )2 22 2 2
2
0
1 4 1 4 0 1 2 1
1 2
x
x x x x x x x x
x
= ⇒ + − = ⇒ + = ⇒ = ±
+ = −
( ) ( )1
21 1 1 2
2
20 0 00
4 1 12 1 2 2
2 21
x xA x dx x dx x x dx
x
− − −= − − = − + + = − + = + ∫ ∫ ∫
4/03/2008
Matemáticas II. [3]
g x x= − . Dibuja la situación
tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, así mismo es
0 puesto que
32
12 4−, vemos que ( ) 0f x′ =
y deducimos que en 1
3x = hay
hay un máximo; además como ( ) 0f x′′ = en
, para calcularla debemos encontrar los puntos de corte de las dos funciones.
1 4 1 4 0 1 2 1
1 2
x x x x x x x x = ±
)
1
2
0
4 1 1
2 2x
= − − = − + + = − + =
Examen. 2ª evaluación
jlmat.es
Opción BOpción BOpción BOpción B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos) Determina el área del recinto plano limitado por las gráficas de las
2 21 , 3y x y x= − = − , y x= +
( ) ( )
( )
1 12 2 22 2
2
1 12 2 22 2
2
1 13 2 3 2 3 22 2
2
3 3 3 1 3 3
6 2 6
6 2 63 2 3 2 3
A x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x dx
x x x x x xx x x
−
−
−
−
−
−
= + − − + + − − + + − − =
= − + + + + + + − + + =
= − + + + + + + − + + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
(Puntuación máxima: 2 puntos)
Determina el área del recinto plano limitado por las gráficas de las tres funciones
3= + .
Representamos las funciones para tener una idea clara de la región de la
que debemos calcular el área.
Calculamos los puntos de corte entre las curvas:
2
2 2 2
2
13 1 2 4
3
y xx x x x
y x
= −⇒ − = − ⇒ =
= −
2 2
2
33 3 6 0
3
y xx x x x
y x
= +⇒ − = + ⇒ − − = = −
entonces el área pedida es:
) ( ) ( ) (
( ) ( )
1 1 32 2 22 2
1 12 2
1 1 32 2 22 2
1 12 2
1 1 33 2 3 2 3 22 2
1 12 2
3 3 3 1 3 3
6 2 6
6 2 612
3 2 3 2 3 2
A x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x dx
x x x x x xx x x
−
−
−
= + − − + + − − + + − − =
= − + + + + + + − + + =
= − + + + + + + − + + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
4/03/2008
Matemáticas II. [4]
tres funciones siguientes:
Representamos las funciones para tener una idea clara de la región de la
Calculamos los puntos de corte entre las curvas:
13 1 2 4
2x x x x= ⇒ = ±
33 3 6 0
2
xx x x x
x
=− − = ⇒ = −
) ( )2 2 23 3 3 1 3 3
125 22 2
6
A x x dx x x dx x x dx = + − − + + − − + + − − =
= − + + + + + + − + + =
−
Examen. 2ª evaluación
jlmat.es
Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Sea la función ( ) 3xf x x e= ⋅ . Esboza la gráfica de la curva
para que el área limitada por la curva
La función ( )f x tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas,
y tampoco tiene asíntotas verticales ni oblicuas, sin embargo
( )3
3 33 3
x
x xx x x
xlim x e lim lim
e e e− − ∞→−∞ →−∞ →−∞⋅ = = = =
− − −∞≙
Derivamos e igualamos a cero para buscar los extremos de la función
( ) ( )3 3 3 33 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0x x x xf x e x e f x e x f x e x x x′ ′ ′= + ⋅ ⇒ = + =
( ) ( )3 3 33 3 1 3 3 3 2 ; 0 .x x xf x e x e f x e x f en x hay un mínimo′′ ′′ ′′= + + ⇒
( ) ( )
( )
30 3 3 2 0 3 2 0 .
0 3 1 0 ; , , .
xf x e x x x hay un punto de inflexión
f x x x en f x crece y en decrece
′′ = ⇒ + = ⇒
′ > ⇒ + > ⇒ > − − ∞ −∞ −
Igualando la integral definida al valor del área obtenemos p
( ) (3 33 1 3 11 1
9 9 9 9
p pe p e p− −+ = ⇒
(Puntuación máxima: 3 puntos)
. Esboza la gráfica de la curva ( )y f x= y calcula
para que el área limitada por la curva y el eje de abscisas ente 0x = y x p=
tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas,
y tampoco tiene asíntotas verticales ni oblicuas, sin embargo 0y = es asíntota horizontal cuando
3 3
1 1 10
3 3x xe e e− − ∞⋅ = = = =− − −∞
Derivamos e igualamos a cero para buscar los extremos de la función
( ) ( ) ( )3 3 3 33 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0x x x xf x e x e f x e x f x e x x x′ ′ ′= + = ⇒ + = ⇒
( ) ( )3 3 3 1 13 3 1 3 3 3 2 ; 0 .
3 3
x x xf x e x e f x e x f en x hay un mínimo ′′ ′′ ′′= + > ⇒ =
( )
( )
20 3 3 2 0 3 2 0 .
3
1 1 10 3 1 0 ; , , .
3 3 3
f x e x x x hay un punto de inflexión
f x x x en f x crece y en decrece
⇒ + = ⇒ = −
> − − ∞ −∞ −
1
9A = , pero también A x e dx= ⋅
Aplicamos la fórmula de integración por partes para calcular
una primitiva de ( )f x
3
3 3 3 3
3
3
3 3 3 3 3 9
x
x
x x x x x
u x du dx
x e dx
e e e xe ex
dv e dx v
dx x e dx
⋅ = == ⇒ =
= ⇒
= ⋅ − = ⋅ − = −
∫
∫ ∫
( )3 3
3
00
3 1 3 1
9 9 9
px p
px e x e p
x e dx − −
⋅ = = − −
∫
Igualando la integral definida al valor del área obtenemos p
)3 1 3 10 3 1 0
1
39pp
− −= ⇒ − = ⇒ =
4/03/2008
Matemáticas II. [5]
y calcula un número 0p >
x p sea 1
9.
tiene dominio todos los números reales, corta a los ejes en el origen de coordenadas, no es simétrica
es asíntota horizontal cuando x → −∞
( ) 13 3 1 ; 0 3 1 0 3 1 0
3f x e x e f x e x f x e x x x⇒ + = ⇒ = −
1 13 3 1 3 3 3 2 ; 0 .
3 3f x e x e f x e x f en x hay un mínimo=
0 3 3 2 0 3 2 0 .
1 1 10 3 1 0 ; , , .
3 3 3
f x e x x x hay un punto de inflexión
f x x x en f x crece y en decrece > − − ∞ −∞ −
3
0
pxA x e dx= ⋅∫
Aplicamos la fórmula de integración por partes para calcular
3 3 3 33
3
3
3
1
3 3 3 3 3 9
x
x x x x xx
u x du dx
e
e e e xe e
dv e dx v
dx x e dx
⋅ = ==
=
= ⋅ − = ⋅ − = −
∫ ∫
( )3 3
0
3 1 3 1 1
9 9 9
px pe x e p − − ⋅ = = − −
Examen. 2ª evaluación 4/03/2008
jlmat.es Matemáticas II. [6]
Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)
De la función ( )f x se sabe que pasa por el origen de coordenadas y que su derivada es la función
( ) 1
1 xf x
e′ =
+. Encontrar la expresión de ( )f x .
( )f x será una primitiva de ( )f x′ y además cumple que ( )0 0f = .
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 111
11 1 1
1 1 1 1 1ln ln 1 ln ln 1 ln 1
1 1 1 1
ln 1 , 0 0 0 ln 2 0 ln
1
2
x x x
x
x
x
x
x dt dtcambio e t e dx dt dx dx
e t
A B BA t Bt A B t AA B
At t
dtdx dt dt t t e e x e
e t t
f x x
t t t
t t t t
f x x e c pero f c c
t t t
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ = ⇒ = −+ + + + = + = =
= ⋅ = = − = − + = − + = − ++ + + +
= − + + = ⇒ − + = ⇒ =
⇒ =+ + + +
=
−⇒
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )ln 1 ln 2xe+ +
Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las integrales:
( )1 2
2 5 2
1ln
25) 2
25
sen sen xd
xa dx
cos xx
cos xcos x c−
−= = +
−∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
22 2
2 2
22 2
3
2
2
2
2
2
2
3 8 2 2 3 1 2 12 3 *
4
0 243 8 4
344 4 4
4 8 2
11 1 1 1 12*
4 4 4
4 4
3 8)
4
411 2
4
4
A M MA M x Nx Ax A Mx N Ax A Mx Nx
Nx xx x x x x x
A A
dx d
x x xdx dx dx
x dx ar
dx dx
ctgxx
x x x x x
x
xb dx
x x x x
− − += = +
+ = ⇒ =+ +
= − +
+− + + + + = + = = ⇒ =
++ +
++ + + = − ⇒ = −
= = =+ ++
+−
+ +
∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )2
3
3 32ln ln
4 2
84
2
4
xx
xdx
xx arc
x
gx
t c
− + + + +=
−+
∫