SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

LÓGICO-MATEMÁTICO

Que divertido es aprender SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

MG VICTOR ALEGRE F

SEMEJANZA

¿ Qué observas ?10 cm

5 cm

4 cm 8 cm

Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño

La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.

¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?

La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías :Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir:

las dos fotografías son:

IDENTICAS O SEMEJANTES

cm

cm

cm

cm

10

5

8

4

Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales10 x 4 = 8 x 5

Dos figuras son semejantes porque:

1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción.

2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los

ángulos.

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.

Multiplica cada uno de los lados por 3.

x 3

Los lados del triángulo se han triplicado.

4m5m

6mA

B

C

18m

15m

12m

P

Q

R

11

Identificamos algunos elementos :

RAZÓN DE SEMEJANZA : 3

LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC

PQ QR

PR

Criterios de semejanza de triángulos

Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.

Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

Existen tres criterios de semejanza de triángulos

1. AA ( ángulo-ángulo)2. LLL (lado-lado-lado)3. LAL (lado-ángulo-lado)

Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos

congruentes son semejantes entre sí.

A´

B´C’

A

BC

´

´

´

Es decir: Si ´ ,

´ de lo anterior se deduce que

´Entonces, ABC semejante con A´B´C´

Ejemplo

¿Son los siguientes triángulos semejantes?

¡SI!Por que al tener dos de

sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

65° 25°

A

BC

Q

25°

65°

PR

Segundo criterio: LLL

Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.

A´

B´C’

A

BC

aa´

El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de

razón de semejanza.

Es decir:aa´ = b

b´ = cc´ =K

b b´

c

c´

Ejemplo :

Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes

Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales

1,5 3 = =

3,5 7

510

A

BC

1,5

3,5

5

P

Q

R

3

7

10Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre

los lados correspondientes es constante

Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

= 0,5

Tercer criterio:LAL

Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.

A’

B’C’

A

BC

Es decir:

aa’

aa’ = c

c’

c

c’

y = ’

´

Entonces ABC semejante aA’B’C’

Ejemplo :

¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?

Veamos si dos de sus lados son proporcionales

39

= 412

Efectivamente así es, ya que los productos

“cruzados” son iguales

3 • 12 = 4 • 9

¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?

Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos

A

BC

4

3

D

E

F

9

12

En la figura, queremos medir la distancia que hay del paradero Ñaña (punto C) al colegio (punto B) , pero el río Rímac nos

impide medir directamente y para colmo no tenemos aparato para medir ángulos. ¿Cuántos metros hay desde el paradero al colegio?

50 mA

45 m10 m

C

M N

B

Carlos observaba que, frente de su casa, unos obreros de la Municipalidad de Chaclacayo colocaban unos cables de soporte a uno de los postes eléctricos que amenazaba con caer. Con la ayuda de los obreros, obtuvo los datos que se muestran en la figura. ¿A qué distancia del poste de luz debe colocarse el gancho de seguridad del cable?

Calculando el lado del cuadrado:

El triángulo ABC es recto

PQRS es un cuadrado AR=20 cm CS=30 cm