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Gdmd Audibert IREM de Montpellier 6, Impasse des Alouettes 30700 Uzes, France

English translation: Traduction anglaise: Harout Kodjian

- Space in geometry

Introduction patial skill requires a certain mastery of spatial representation. In a first part, we’ll examine differ- S ent representations and compare the advantages

they give us for the control of the space elements and their properties spatial representation is above all drawing. In a second part, in order to contribute to the knowledge of the drawing status, we’ll examine certain roles of the drawing or notions, or of the objects associated to the drawing, in solid geometry. Finally as a conclusion, we will extract from the previous discussion a few consequences concerning the role of geometry in scientific training.

1. The techniques of representation The six principal space representations we shall examine, are: The Oblique Cylindrical Projection (OC? Perspective Cuvuliere in French), the views in technical drawing, the Axonometric Perspective (AP), the working drawing in de- scriptive geometry, the working drawing in horizontal pro-

m

L‘espace en ghm&ie

Introduction 9 habilete spatiale necessite une certaine maitrise de la

representation de l’espace. Dans une premiere partie, L nous examinons les differentes representations et comparons les avantages qu’elles offrent pour la maitrise de l’espace. Representer l’espace c’est avant tout dessiner. Aussi, dans une deuxieme partie, afin de contriiuer a une connais- sance du statut du dessin, nous examinons certains rbles joues par le dessin dans le cadre de la geometrie de l’espace. En conclusion, nous tirons de ce qui precede quelques con- sequences concemant le rble de la geometrie dans la forma- tion scientifique.

1. Les techniques de repr6sentations Les six principales representations de l’espace que nous exa- minons sont la perspective cavaliere, les vues du dessin tech- nique, la perspective axonometrique, l’epure de geometrie descriptive, l’epure de geometrie cotee, la perspective lineaire (ou coniaue. ou centrale. ou vraiel. Ratmelons brievement les

apace m gwmeuy cespece en geornamne

Figure 1

Figure 2

jection, the linear perspective (LP) (also central, conical, or true perspective). Let's recall briefly the definitions of these representations. A more detailed study can be found in [5] and [9].

Oblique cyiindkalptvjection WCp3 The "Perspective Cavaliere" of an object is a drawing that we get by an oblique cylindrical projection (OCP) of the object, and the projection is neither perpendicular nor parallel to the projection plane.

F i w s 1 and 2 represent the oblique cylindrical projec- tion of a polyhedron with a vanishing angle' of 60" and the reduction coefficient2 being 1/2. The polyhedron is drawn in two different positions.

7 - - - - - - FI I

Figure 3

I The vanishing angle is associated with the direc- tion of the projection which must conform to the orientations of the plane and space (see [5]). The reduction coefficient is the ratio of an or-

thogonal segment at the plane of projection, as projected, and the space segment (see A).

' Cangle de fuite est associ& la direction de la projection. devant respecter les orientations du plan et de I'espace (voir [5]). Le rapport de kduction est le rapport entre un

segment orthogonal au plan de projection tel que projete, et le segment de I'espace (voir [5]).

We get the drawing views of an object by six orthogonal pro- jections of the object on six faces of a cube which is unfolded afterwards in order to see these projections' results.

Figure 3 represents the six views of the polyhedron al- ready represented in OCP; the scale being different for page making reasons. In order to realize this drawing, we use the views as they are defined by the French Norms NF E04520 (cf. [21).

definitions de ces representations. On trouvera une etude plus detaillee dans [9]. On peut aussi se referer a [5].

R?mpectiw mcralih cpcl La perspective cavaliere (notee PC en abrege) dun objet

est un dessin obtenu en projetant cet objet sur un plan selon une projection cylindrique oblique; la direction de la projec- tion n'est ni perpendiculaire ni, bien entendu, parallele au plan de projection.

Les figures 1 et 2 representent un polyedre selon une perspective cavaliere dont l'angle de fuite' est egal a 60" et dont le rapport de reduction2 est egal a 112. Ce polyedre est dessine dans deux positions differentes.

kes Les vues d'un objet sont six dessins obtenus en projetant orthogonalement cet objet sur six plans constituant les faces d'un cube et en developpant ensuite ce cube sur un plan.

La figure 3 represente les six vues du polyedre deja re- presente en PC ; l'echelle est differente pour des raisons de mise en page. Nous utilisons, pour realiser ce dessin, les vues telles qu'elles sont definies par les Normes FranCaises NF E04520 (cf. [2]).

kspectk axonomdt&pe CpAl La perspective axonometrique (notee PA en abrege) dun objet est un dessin obtenu en projetant orthogonalement cet objet sur un plan.

La figure 4 represente une PA, dite perspective isome- trique, de notre polyedre.

L'epure de geometrie descriptive dun objet est constituee de deux dessins obtenus en projetant orthogonalement cet o b jet sur deux plans perpendiculaires qui sont ensuite develop pes sur un m&me plan. Des l e m s sont utilisees pour coor- donner les deux dessins.

La figure 5 represente une epure de notre polyedre. Un couple de points de l'epure, le couple (a, a') par exemple, represente un sommet du polyedre.

cot& L'epure de geometrie cotee dun objet est un dessin obtenu en projetant orthogonalement cet objet sur un plan. Les cotes de certains points de l'objet sont indiquees sur le dessin.

Descriptivle

Fgure 4

a e

Figure 5

2,75

2,75

0,75 0

Figure 6

Figure 7

Figure 8 Reference cube Cude de rkfkrence

3.5

3,5

5

Figure 9 Isometric lsomktrioue

Axonomettikpeqwthe [Apl The axonometric perspective (noted AP) of an object is a drawing that we get by an orthogonal projection of the object on a plane.

Figure 4 represents an AC an axonometric perspective of our polyhedron.

The worlung drawing of an object in descriptive geometry is made of two drawings that give the orthogonal projection of the object on two perpendicular planes which would be un- folded afterwards. Letters are used in order to coordinate both drawings.

Figure 5 represents a working drawing of our polyhe- dron. A pair of points of the working drawing, for instance (a, a’), represent a vertex of the polyhedron.

Hon2ontaIpmfedion The working drawing of an object in horizontal projection is a drawing that we get projecting orthogonally the object on a plane. The heights of certain points of the object are indi- cated on the drawing.

Figure 6 represents a working drawing of our polyhe- dron in horizontal projection.

Linearperspectivle (rpl The linear perspective (noted LP) of an object is a drawing that we get by conical projection of the object on a plane.

Rvjedon In order to define the six previous representations, we use three kinds of projection: The cylindric orthogonal projec- tion for four of them, the oblique cylindrical projection for the OCF: and the conical projection for the Ll? The concept

Dl?SC@pk

Figure 7 represents a LP of our polyhedron.

V Figure 10 Figure 11 Figure 12 Trimetric Usual dimetric Right dimetric Trimktrique Dimktrique usuelle Dimktrique redresske

La figure 6 represente en geometrie cotee une epure de notre polyedre.

hmpectiw lindaiire (PLJ La perspective lineaire (notee PL en abrege) d u n objet est un dessin obtenu comme projection conique d e cet objet sur un plan.

La figure 7 represente une PL de notre polyedre.

Rvjection Pour definir les six representations precedentes, nous utili- sons trois sortes de projection : la projection cylindrique or- thogonale pour quatre d’entre elles, la projection cylindrique oblique pour la PC, la projection conique pour La PL. Le con- cept de projection cylindrique orthogonale est Le plus acces- sible des trois a tous les niveaux d’apprentissage. D’autres representations de l’espace entrainent des transformations plus compliquees (voir Barre A. & Flocon [8]).

Cube de d- Deux de ces representations, la PC et la PA, introduisent de faqon essentielle un cube de reference.

l’espace qui sert de repere pour les autres objets de l’espace. La figure 8 represente le cube de reference d u n e PC (112, 60°), c’est-a-dire dune perspective cavaliere dont le rapport de reduction vaut 1/2 et dont l’angle de fbite est egal a 60’.

La PA, elle aussi, est determinee par le dessin du cube de reference, c’est-a-dire un cube de l’espace qui s e r t de repere pour les autres objets de l’espace. Les quatre principales PA definies par les normes franqaises NF E04108 d e fevrier 1953 (cf. [l]) sont les projections isometrique, trimetrique a 105’ e t a 120°, dimetrique usuelle et dimetrique redressee. Les figures 9,10, 11 et 12 presentent les dessins des quatre cubes de reference correspondant a ces quatre PA. Le cube de reference dune PA n’a aucune arete parallele au plan de projection.

Les quatre autres representations n’introduisent pas de cube de reference. Ce sont plut6t des plans de reference qui sont utilises, notamment des plans horizontaux et verticaux. ’Tbutefois, les vues font appel a un cube dont les faces fixent les six plans de projection. Ce cube est ensuite ouvert et mis a plat. La figure 13, qui est une PC (112, 60°), illustre cette mise a plat. Ainsi est justifiee la representation du dessin technique telle que nous l’avons reproduite sur la figure 3.

La PC est parfaitement definie par le dessin de ce cube de

I

Figure 13

of cylindric orthogonal projection is the most accessible of those three, for all the learning levels. Other space represen- tations bring in more complicated transformations; we can read about these in Barre A. & Flocon A. (cf. [8]).

R e h m w b e Tko of these representations, the OCP and the AP, bring in basically a reference cube.

The OCP is completely defined by the drawing of this space cube which is a reference for the other space objects. Figure 8 represents the reference cube of a OCP ( l / Z , 60°), that is an oblique cylindrical projection with a reduction ratio of 10, and a vanishing angle of 60”.

cube, a space cube serving as a reference for the other ob- jects of the space. The four principal AP’s defined by the French Norms NF E04108 February 1953 (cf. [l]) are the iso- metric projections, trimetric of 105’ and 120°, usual dimet- ric, and right dimetric. Figures 9, 10, 11 and 12 represent the drawings of the four reference cubes corresponding to these four AP‘s. The reference cube of an AP has no parallel edges to the projection plane.

The four other representations do not bring in any refer- ence cube. Rather they are specially horizontal and vertical reference planes. However, in the views, we use a cube whose faces determine the six projection planes. Then this cube is unfolded and flattened out. Figure 13 which is a OCP (112, 60°), illustrates this unfoldment. This is how the technical drawing representation is justified, as we repro- duced in figure 3.

more accessible in all levels of learning.

Number of drawings In technical drawing, when views are used in order to repre- sent an object, we associate at least two or three drawings to this object. The working drawing in descriptive geometry needs at least two drawings for each object. The four other representations AP, OCP, LP and working drawing associate only a single drawing to the object. The fact that only one drawing represents only one object makes easier the reading of the drawing. This situation makes easier the learning of representation because it avoids the coordination difficulties between different drawings inherent in the views and in descriptive geometry.

The AP too is determined by the drawing of the reference

The use of a reference cube makes the OCP and the AP

L’usage du cube de reference rend la PC et la PA plus ac- cessibles a tous les niveaux dapprentissage.

Nombm de dessins En dessin technique, lorsqu’on utilise des vues pour repre- senter un objet, on associe au moins deux ou trois dessins a cet objet. L’epure de geometrie descriptive necessite au moins deux dessins par objet. Les quatre autres representa- tions PA, PC, PL et epure de geornetrie cotee n’associent qu’un seul dessin a l’objet. Le fait qu’un seul dessin repre- sente un seul objet facilite la lecture du dessin. Cette situa- tion permet daborder plus aisement l’apprentissage de la representation car elle evite les difficultes de coordination entre les differents dessins inherentes aux vues et a la gee metrie descriptive.

Quelques -1s Examinons pour chaque representation les regles suivantes :

R,: Une droite de l’espace est representee par une droite

R,: Deux points et leur milieu sont representes par deux

R,: Deux droites paralleles sont representees par deux

R,: La representation conserve les proportions. R,: La representation conserve le rapport des aires

lorsque les surfaces comparees sont coplanaires. R,: La representation conserve les distances et les angles. Les regles R, , R,, R,, R,, R, sont verifiees pour la PC, la

ou un point.

points et leur milieu.

droites paralleles ou par deux points.

PA et l’epure de geometrie cotee. La regle R, est verifiee pour la PC et l’epure de geometrie cotee a condition que l’objet soit plan et appartienne a un plan parallele au plan de projection. Les regles R, , R,, R,, R,, R, et R, sont verifikes de faqon analogue pour les vues et les epures de geornetrie descriptive, a condition de les appliquer separement a cha- que dessin. Seule la regle R, est verifiee pour la PL, les cinq autres regles ne le sont pas. Une figure situee dans une face du cube de reference de la PA est representee par un dessin ne verifiant pas R,. C’est donc la PC qui beneficie le plus de ces regles elementaires.

L’bppmntkage Les representations le plus facilement lues par les eleves sont la PC, la PA et la PL. Mais si on souhaite que les eleves apprennent a dessiner, si on veut qu’ils realisent eux-mCmes

Nk?S Let’s examine for each representation the following rules:

R,: A straight line in the space is represented by a straight

R,: ?hro points and their midsegment are represented by

R,: nYo parallel lines are represented by two parallel

R,: The representation preserves the proportions. R,: The representation preserves the areas’ ratio when

R,: The representation preserves distances and angles. The rules R,, R,, R,, R,, and R, are true for the OCP, the

AP and the working drawing in horizontal projection. The rule R, is true for the OCP and the working drawing in hori- zontal projection only when the object is plane and placed in a parallel plane to the projection plane. The rules R,, R,, R,, R,, R,, and R, are true in a similar way for the views and working drawings in descriptive geometry, only when they are applied separately on each drawing. Only the rule R, is true for the LP, the other five are not. A figure situated in a reference cube face of the AP is represented by a drawing that is not true for R,; so, it’s for the OCP that these elemen- tary rules are the most beneficial.

The learning The representations the most easy to read for the students, are OCP, Ap; and Ll? But if we wish the pupils learn to draw, if we wish them to realize representations by themselves, we should give learning priority to the OCP (cf. [7D. This learn- ing can be efficiently done without referring to the projec- tion concept as early as 11 years old (cf. [5]), chapter 1).

T&t?S If we examine the trades that use space representations, we notice the pre-eminence of the views over the other repre- sentations.

also the LP But we notice particularly that, when the views are used very much in certain trades, specially in Civil and Mechanical Engineering, the AP and the OCP come up as soon as pedagogical explanations, concerning the space, are necessary for mechanics, materials resistance, crystallogra- phy, robotics,. . . and for the technical design also.

line or by a point.

two points and their midsegment.

lines or by two points.

the surfaces are in parallel planes.

A good number of trades dealing with an artistic field, use

Topdogk, structunle 18 Sbuctunl Topology - 1982

des representations, donnons la priorite a un apprentissage de la PC (cf. [7]). Cet apprentissage peut &tre entrepris de faqon efficace et sans faire appel au concept de projection des 11 ans (cf. [5l), chapitre 1).

Lapmhsion Si nous examinons les professions qui utilisent les represen- tations de l’espace, nous constatons la preeminence des vues sur les autres representations.

Un bon nombre de professions qui touchent a un d e maine artistique utilisent aussi la PL. Mais nous constatons en particulier que, si les vues sont tres usitees dans certains metiers notamment ceux du genie civil et de la mecanique, la PA et la PC interviennent des que ces explications pedage giques touchant a l’espace sont necessaires pour la mecani- que, la resistance des materiaux, la cristallographe, la robe tique, . . . et aussi pour le dessin technique.

La representation de l‘espace qui parait inhspensable pour developper l’habilete spatiale est la PC car elle prend le pas sur les autres representations en ce qui concerne les points suivants: l’existence du cube de reference, le fait qu’elle ne necessite qu’un dessin, le jeu de regles simples qu’elle uti- lise, le fait qu’elle conserve exactement les figures situees dans un plan parallele au plan de projection, qu’elle peut beneficier d’un apprentissage precoce utile aux autres repre- sentations.

La PA parait aussi interessante et merite une serieuse etude experimentale pour un developpement eventuel de son usage a des fins pedagogiques.

c o n d ~ i o n d e l a p a ~ l

2. Les fonctions du dessin de I’espace Dans la premiere partie de ce texte, les dessins ont ete classes et analyses dapres les techniques de representation qu’ils faisaient intervenir. Mais ils avaient tous l a m6me fonG tion : representer des objets de l’espace. Pourtant les dessins associes a l’espace peuvent avoir des fonctions differentes. Nous ne pouvons pas presenter et analyser toutes leurs fonG tions, cela depasse tres largement notre competence. De plus, nous nous restreignons a des fonctions du dessin ass@ cie a la geometrie de l’espace bien que certaines s’etendent plus generalement a tous les dessins de la geometrie. Nous analysons le r6le du dessin lorsqu’il est utilise :

comme configuration,

Space in geometq L’espace en gbombtde

O e - - - - . ’. u

Figure 14

6 0 * - - - -

Figure 16

.----- Q Figure 15

k Figure 17

&nd&n of hrt 1 The space representation which appears to be essential for the spatial skill development, is the OCP because it takes an advance over the other representations on the following points: the existence of a reference cube, the fact that only one drawing is necessary, the set of simple rules involved in it, the fact that it preserves exactly the figures situated in a plane parallel to the projection plane, and that it can be use- ful for a sooner learning of the other representations.

The AP seems also interesting and deserves a serious experimental study for an eventual development of its use for pedagogical purposes.

2. The functions of space drawing In the first part of this paper, the drawings have been classi- fied and analysed according to the representation tech- niques they involved. But they had all the same function: to represent space objects. However the drawings associated to space can have different functions. We cannot present and analyse all their functions, this goes far beyond our compe- tency. Moreover, we restrict our study to functions of the drawing associated to space geometry, although certain functions extend to all the drawings of the geometry. We analyse the role of a drawing when it is used

as a configuration to realize real constructions to carry out experimental processes to represent a model to illustrate a structure

Configuration One or a dozen of drawings associated to space geometry are configurations. A configuration or a fundamental drawing is a drawing that illustrates a concept or an important property with strong constraints of regularity, and that is socially known.

The thesis of Pais L.C. [lo] is dedicated to “the representation of round objects in the teaching of college geometry: students’ practice, books’ analysis’! One of the conclusions of ths thesis is the following: “we have noticed the existence of certain figures more hndamental than others whch can be considered as configumtions associated to the concepts of round objects. The FiguIles 14,15, and 16 illustrate three configurations associ- ated respectively to the concepts of cylinder, sphere and cone.

pour realiser des constructions effectives, 0 pour effectuer des demarches experimentales,

pour representer une maquette, 0 pour illustrer une structure.

Con f.quuratn Une ou deux douzaines de dessins associes a la geometrie de l’espace sont des configurations. Une configuration ou des- sin fondamental est un dessin qui illustre un concept ou une propriete importante, qui respecte de fortes contraintes dequilibre et qui est socialement reconnu (cf. [4D.

L a these de Pais L.C. [lo] est consacree a ((la representa- tion des corps mnds dans l’enseignement de la geometrie au college: pratique d’eleves, analyse de livres D. Une des con- clusions de cette these est la suivante : (( Nous avons constate l’existence de certaines figures plus fondamentales que dautres qui peuvent &re considerees comme des configura- tions associees aux concepts des corps mnds. Les figures 14,15 et 16 illustrent les trois configurations associees res- pectivement aux concepts de cylindre, sphere et c h e . Les axes des ellipses de ces configurations sont toujours paralle- les aux bods de la page. I1 s’agit dun tres important element d’equilibre observe dans ces dessins. Environ 70% des repre- sentations des corps ronds respectent les criteres definissant une configuration. Parmi les autres dessins qui ne sont pas des configurations on peut souvent retirer un dessin partiel qui est une configuration. De cette faCon nous pensons que ces dessins fondamentaux ont un statut tres important dans l’apprentissage des corps rands)) (cf. [lOl>.

Si nous examinons les configurations de cube, de cylin- dre, de sphere et de cbne (figures 17,14, 15 et 16), nous constatons qu’elles font appel, de faCon approchee dailleurs, a differentes techniques de representation. Pour le cube, la configuration fait appel a une PC, par exemple une PC (112, 60’) comme le montre la figuw 17 ou une PC ( l / Z , 45’) selon [l]. Pour le cylindre, c’est une PC ( l / Z , go”), comme le montre la figuw 14. Pour la sphere (voir la figuw 15), la configuration fait appel a deux representations, a une PC ( l / Z , 90’) qui conduit au dessin elliptique de l’equateur et a une projection orthogonale qui donne le dessin circu- laire du contour apparent. Le cbne (voir figure 16) fait aussi appel a une PC (I/& 90’) pour representer le cercle de base, mais les deux segments qui completent cette configuration n’ont pas un statut tres net, car ils representent le contour

The axes of the ellipses of these configurations are always paral- lel to the edges of the page. This is a very important equilibrium element observed in the drawings. Almost 70% of the round objects' representations respect criteria defining a configura- tion. Among the other drawings that are not configurations, we can often have a partial drawing that is a configuration. Thus we think these hndamental drawings have a very important status in the learning of round objects" (cf. [lOD.

If we examine the configurations of a cube, cylinder, sphere and cone (Figurn 17,14,15, and 16), we notice that they make use, in very much the same way, to different rep resentation techniques. In the case of the cube, the configura- tion makes use of OCg for example a OCP(1/2,6O0) as in the figwe 17, or a OCP(1/2,45') accodng to [l]. In the case of the cylinder, it's a OCP(1/2, go'), as in the Figure 14. In the case of the sphere (Figwe 15), the configuration makes use of two representations, to a OCP (14 90') leading to the ellip tic drawing of the equator, and to an orthogonal projection which gives the circular drawing of the apparent outline. The cone @gum 16) uses a OCP (1/2,90') in order to represent the base circle, but both of the line segments that complete this configuration do not have a very clear status, because they represent the apparent outline, but also a part of the cone section by a plane passing through the cone's axis.

It seems that these configurations serve to schematize concepts without looking for an accurate technique of repre- sentation. So they become quite quickly mental images.

Constnrction Let's examine a totally traditional problem that is given to our 17 year old students of grade 13:

D, and D, are straight lines in the space and Z a given plane. Construct a line segment K,K2 whose length is a and it's parallel to Z , given that K, is on D,, and K, is on D,.

This problem can be treated in many ways. Let's consider the following three solutions:

First solution : If one of the straight lines D, or D, is paral- lel to Z, we have zero solution, one, two or an infinity of line segments solutions. If the straight lines are not parallel to Z, let's consider a point M on D, and the circle C situated in the plane passing through M and parallel to Z. A straight line parallel to D, generates a cylinder. This cylinder and D, have in common an infinity, two, one or zero points. The problem has then an infinity, two, one or zero solutions.

apparent, mais aussi une partie de la section du c6ne par un plan passant par l'axe du c6ne.

I1 apparait donc que ces configurations ont pour fonction de schematiser des concepts sans chercher a utiliser une technique precise de representation. Les configurations peuvent ainsi devenir assez vite des images mentales.

Constnrclro ' n Examinons un probleme tout a fait traditionnel tel qu'il est pose dans nos classes de Terminale a nos eleves de 17 ans :

Soit D, et D, deux droites de l'espace et Z un plan donne. Construire un segment K,K2 de longueur donm'e a, parallele a Z et tel que K,E D, et K,E D,.

Ce probleme peut &tre traite de bien des manieres. Consi- derons les trois solutions suivantes :

Premkre solution : Si une des droites D, ou D, est parallele a Z, nous avons zero, une, deux ou une infinite de segments solutions. Si les droites ne sont pas paralleles a 2, conside- rons un point ME D, et le cercle C situe dans le plan passant par M et parallele a Z. Une droite parallele a D, et s'ap puyant sur C engendre un cylindre. Ce cylindre et D, ont en commun une infinite, deux, un ou zero points. Le probleme admet donc une infinite, deux, une ou zero solutions.

Deuxiime solution : Supposons que D, et Z ne soient pas paralleles et considerons la projection cylindrique sur le plan Z selon la direction D, . Supposons que cette projection definisse une PC (0,625; 55') dont le cube de reference est donne par la figure 18. Supposons que la droite D, soit re- presentee par le point A et que la droite D, passe par le som- met B du cube et par un point M de l'ar&te DH, d'ou sa repre- sentation sur la figure 18. Nous obtenons alors sur le dessin les points K , et K, de la droite BM tels que AK, = A K , =a. Les deux segments solutions sont representes par AK, et AK,.

Doisiime solution : Supposons que le m&me probleme soit pose, et que les positions des differents elements soient don- nees par rapport a un cube de reference. L a representation choisie est la PC (1/2, 60"). Le cube represente sur la figure 19 est nomme ABCDEFGH. Les deux droites donnees sont les droites NM et PQ, les points M, N, Pet Q etant sur des ar&tes du cube de reference. Le plan Z est parallele a la face ADHE du cube. On determine alors le point P' sur PQ tel que la droite MP' soit parallele a la face ADHE. Dans le plan du dessin, il existe un point Z qu'on determine, centre de la similitude plane directe transformant les points M et N en P'

space in geometry respace en grorn6tria

Second solution : Let’s suppose that D, and Z are not paral- lel and let’s consider the cylindrical projection on Z in the direction of D,. Let’s suppose that this projection defines a OCP (0.625; 55’) whose reference cube is given in Figure 18. Let’s suppose that D, is represented by the point A and that D, passes through the vertex B of the cube and through a point M on the edge DH, hence its representation in Fig- ure 18. We get then in the drawing the points K, and K, of the straight line BM such as AK, = AK, =a. Both of the line segments solutions are represented by AK, and AK,.

Third solution: Let’s suppose that we pose the same prob- lem, and that the positions of the different elements are given with respect to the reference cube. The chosen repre- sentation being the OCP (1/2,60°). The cube represented in Figure 19 is named ABCDEKH. Both of the given straight lines are NM and PQ, the points M I N , P and Q being on the reference cube edges. Plane Z is parallel to face ADHE. We determine then the point P’ on PQsuch as Mp’becomes parallel to face ADHE. On the drawing’s plane, exists a point I that we determine as the centre of direct plane similarity transforming the points M and N into P’ and Q. Thanks to this similitude, we find that the points K, and L, belonging to the straight line MN, transform into K, and L, of PQand justdy the fact that K,K, = L,L, =a. We have then effectively constructed two line segments K,K2 and L,L, solutions of the problem.

/ D

M

- E

Figure 18 Figure 19

et Q. Gr3ce a cette similitude, nous trouvons les points K , et L,, appartenant a la droite M N , qui se transforment en K, et L, de PQ et verifient de plus KIKz = L,L2 = a. Nous avons alors construit effectivement les deux segments KlK2 et L,L, solu- tions du probleme.

Comparons les trois solutions de notre probleme de cons- truction. La premiere demontre l’existence de solution. La deuxieme met en evidence une construction effective du probleme, l’auteur de la solution choisissant une situation rendant la construction effective simple. Dans le troisieme cas, la situation imposee n’est pas simple et la construction effective est laborieuse et certainement tres difficile pour des eleves de Tmninale. On peut d’ailleurs imaginer une situation encore plus complexe. Par exemple, lorsque le plan Z n’est pas parallele a la face ADHE, ou lorsque la reprksen- tation donnee est une PL. La situation materielle imposee par l’intermediaire dun dessin necessite raisonnement et pratique de la representation de l’espace. Cette troisieme solution est beaucoup plus riche que les precedentes et fait jouer au dessin un r61e indispensable necessitant la maitrise des techniques de representation. La solution 1 ne fait que repondre a un probleme dexistence alors que dans la solu- tion 3 le dessin a pour fonction de permettre la realisation dune construction effective. Nous disons pour resumer que, dans ce troisieme cas, nous avons affaire avec un dessin de construction effective.

n A U

I

C 6

Figure 20

Let’s compare the three solutions of our construction prob- lem. The first one proves the existence of a solution. The see ond one makes evident a real construction where the student chooses a situation that makes simple the real construction.

In the thid case, the situation imposed is not simple and the real construction is laborious and certainly very difficult for the students of grade 13. Besides we can imagine a situa- tion even more complicated. For example, when plane Z is not parallel to face ADHE, or when the given representation is a LP. The material situation imposed by the drawing re- quires reasoning and practice of the space representation. This thid solution is much more richer than the former ones and makes the drawing play an indispensable role re- quiring the control of the representation techniques. While the solution 1 only answers to a question of existence, in the solution 3 the drawing has the function of allowing the reali- zation of a real construction. Briefly we say that in this third case we deal with a real construction drawing.

Eqmimentalprvcess In a problem solving situation, one may follow an experi- mental process. The characteristics of the experimental process (E.P.) are: first to begin by the announcement of an hypothesis, then comes an observation coming with or not with a new realization and at last a decision is made about the truth of the hypothesis.

In order to examine a little bit more closely this experimen- tal process, let’s take a look to the following problem of Marc:

In a 7m by 5m, and 3m height classroom a thread is tensed vertically from the ceiling to the floor. A gun bullet crosses the classroom from a comer of the ceiling to the mid- dle of a wall’s bottom line. The bullet moves in a straight line and cuts the thread at 1.5m from the floor. At what distance from the walls the thread was tied?

In order to introduce the solution of this problem, we can divide the classroom in two parts such as the trajectory be the diagonal of one of these half-classrooms. Then the thread is in the middle of the half-classroom.

Let’s take a look at Marc’s way of solving this problem. Marc is 18 years old and he is in grade 13. He drew at the beginning of his research a rectangle, ABCD, representing a view from upside as well as two line segments AI and AJ to represent two possible trajectories of the bullet. Figuw 20 reproduces his drawing.

-amhe expdtirnenmle Au cours de la resolution dun probleme, un sujet peut avoir une demarche experimentale. La demarche experimentale (D.E.) est caracterisee par l’enonciation dune hypothese, suivie dune observation accompagnee ou non dune realisa- tion nouvelle et se terminant par une prise de decision por- tant sur la valeur de verite de l’hypothese.

l’enonce du probleme (( Fil n. Une salle de classe a pour di- mension 7 m de long, 5 m de large et 3 m de haut. Un fil est tendu verticalement du plafond au sol. Une balle de revolver traverse la salle. Elle part dun des coins du plafond et aboutit a la base d’un mur en son milieu. La balle se deplace en ligne droite a partir de ce coin et coupe le fil a 1,s m audessus du sol. A quelle distance de chaque mur le fil etait-il place ?

Pour presenter la solution de ce probleme, nous pouvons separer la salle de classe en deux, de telle sorte que la trajeG toire soit la dagonale dune de ces demi-salles. Alors le fil est au milieu de la demi-salle.

Considerons le travail de l’eleve appele Marc, cherchant ce probleme. Cet eleve, 2ge de 18 ans, est en classe de Pre- miere. Marc a dessine au debut de sa recherche un rectangle ABCD representant une vue de dessus ainsi que deux seg- ments AI et AJ representant dew trajectoires possibles pour la balle. La figum 20 reproduit son dessin.

Marc annonce a la onzieme minute, en parlant du fil : (( il sera place au centre n. Puis il s’apeqoit que les trajectoires AI et AJ ne passent pas par le centre du rectangle et en mon- trant le centre du rectangle, il dit (( c’est pas possible )). Nous avons la un exemple type de ce que nous appelons une de- marche experimentale avec l’enonciation dune hypothese (( le fil au centre )), une observation portant sur la figure 20 et une decision (( c’est pas possible )).

Le dessin utilise pour contrbler l’hypothese peut ne pas Ctre tres precis comme c’est le cas dans l’exemple precedent, s’il porte une contradiction assez evidente. On peut aussi utiliser un dessin tres precis notamment pour confirmer une hypothese.

Pour examiner dun peu plus pres cette D.E., introduisons

Dessin de maquelte Avant darriver a une bonne maitrise de l’espace, les eleves doivent realiser de nombreux dessins representant des ob- jets ou des maquettes qu’ils ont sous les yeux. Ces dessins ont donc pour fonction de representer des objets presents.

I 5:

Figure 21

E L

Figure 22

Marc says after 11 minutes, tallung about the thread: “it will be placed at the centre.” Then he observes that the trajeG tones AI and AJ do not go through the centre, and says: “This is not possible.” This is a typical example of an experimental process; hypothesis: “the thread is at the centre,’, observation: on the figure 20, and a decision: “this is not possible.”

The drawing used to control the hypothesis may not be accurate as it is in the case of the previous example where there’s an evident contradiction in it. We can also use a very precise drawing notably to confirm an hypothesis.

Model drawing Before achieving a good mastery of space, pupils have to make a lot of drawings which represent models or physical objects that they observe. These drawings have then the role of representing present objects. Object and its drawing must be carefully associated with each other because specially with the OCE LF: AE or one single view, the drawing and the object are not in bijective relation, and this raises many diffi- culties that we did notice in the three problems proposed in the paragraph titled “Bijection’!

it in front of us, requires many applications. In order to real- ize such a task, we can first construct the dodecahedron, using a similar pattern to the figure 21 formed by 12 regu- lar pentagons.

Thus we can do more simple exercises resembling the following:

On a wooden cube ABCDEFGH represented in a OCP (1 12, 60“) in Figum 22, let I be the mlddle of the e&-e AB. What are the particularities of the three triangles AID, DJC, and ICB in the drawing Figure 22), and the three analogous triangles on the face of the wooden cube?

and drawing when we try to construct the model associated to a given drawing. In order to analyse this question, refer to [6].

Drawing andstmctunz Many mathematical structures are illustrated by drawings; the most important in teaching being the Euclidean, affine and vectorial structures. But drawings and structures are independent. Different types of drawing can be associated with the same structure, and different structures can be illus- trated by the same drawing. A bad management of this inde- pendence is often the source of ambiguity and even error. In

Tb draw a regular dodecahedron in OCP (1/2, 60°), seeing

We can go more deeply into flus relationshipbetween object

Objet et dessin de llobjet doivent Ctre attentivement associes car notamment avec la PC, la PL, la PA ou une seule me, le dessin et l’objet ne sont pas en correspondance bijective et cela souleve beaucoup de difficultes dont on a pu se rendre compte en cherchant les trois problemes proposes dans n c tre paragraphe intitule ((bijection n.

Dessiner dans une PC ( 1 / Z l 60’) un dodecaedre regulier qu’on a sous les yeux demande beaucoup &application. Pour realiser une telle &he, on peut prealablement construire le dodecaedre grsce a un patron semblable a la figure 21 et constitue par 12 pentagones reguliers.

On peut ainsi pratiquer des exercices plus simples res- semblant au suivant :

Sur un cube en bois ABCDEFGH represente en PC (1 /2, 60“) par hFguve 22, on consulkre le point I milieu de I’ar6te AB. Quelles sont 1espamcuZaritks des trois triangles AID, DJC et ICB du dessin cfigure 22) et &s trois triangles analogues sur la face du cube en bois ?

Cette liaison entre objet et dessin peut encore Ctre appro- fondie lorsqu’on essaie de construire la maquette associee a un dessin donne. Pour analyser cette question, on peut se referer a [6].

Dessin et sbuctunz De nombreuses structures mathematiques sont illustrees par des dessins, les plus importantes dans notre enseigne- ment etant les structures euclidienne, affine et vectorielle. Mais dessins et structures sont independants, c’est-adire que differents types de dessins peuvent Ctre associes a la mCme structure et dserentes structures peuvent &tre illustrees par le mCme dessin. Une mauvaise gestion de cette indepen- dance est souvent source dambiguite et mCme derreur. M n de convaincre le lecteur de cette independance, considerons l’exemple suivant. Soit un espace vectoriel reel E a deux di- mensions represente par l’ensemble des segments orientes d’origine 0 dun plan P de l’espace selon les conventions habituelles. Projetons ce plan P sur un deuxieme plan Q selon une projection conique. Chaque vecteur de notre es- pace E dans cette deuxieme representation peut Ctre repre- sente soit par un segment oriente ayant toujours la m&me origine, soit par une droite passant par cette origine. Lorsqu’on utilise cette representation, la somme de deux vecteurs Vet W est dessinee generalement au moyen de la construction illustree par la figure 23. La somme des deux

Figure 23

order to convince you of this independence, consider the following example:

the set of oriented line segments with an origin 0 in a plane P according to the usual conventions. Let's project the plane P on a second plane Qin a conical projection. Each vector of our space E in this second representation can be represented by an oriented segment with always the same beginning or by a straight line passing through that origin. When we use this representation, the sum of two vectors V and W is drawn generally by the construction illustrated in Figurn 23. The sum vector V + W is a vector which is not drawn by the paral- lelogram rule usually used in vectors addition.

In our teaching, if we want to avoid confusion, we have to answer questions like:

Can we represent a vector by a dotted line? Can we represent a vector by an arrow? If we draw elements of affine space where there's no or- thogonality, can we draw a right angle?

Certain structures, whose teaching is a delicate matter, especially the projective structures and non-Euclidean ones, deserve their associated representations to be studied in order to make learning easier.

But for the moment, it seems that at the secondary level teaching, every geometric structure should be accompanied with drawings and that the relationships between the draw- ings and the structure must be clear for the teacher even if in a first step they were not made explicit for the pupils.

Let a bidimensional real vector space E be represented by

Conclusion of ktt 2 Other functions of spatial drawing, and drawing in general that we don't analyse here, deserve to be studied. For exam- ple, the functions of the freehand drawing. lb know most of these functions and to analyse their relationships are part of the tasks that would allow the establishment of the status of drawing.

3. Space and scientific training Geometry seems to be the discipline that gives the best sci- entific training to pupils from 11 to 16 years old, and space geometry is the component having the priority in this disci- pline. Seven arguments justify these confirmations.

vecteurs V+ West un vecteur qui n'est pas dessine au moyen de la regle de parallelogramme utiliske dordinaire pour l'addition des vecteurs.

Si dans notre enseignement on peut eviter bien des con- fusions, il faut repondre a des questions telles que :

Peut-on representer un vecteur au moyen dune trace ponctuelle ? Peut-on representer un vecteur au moyen d'une fleche ? Si on dessine les elements dun espace affine dans lequel il n'y a pas dorthogonalite, peut-on dessiner deux droites dequerre ? Certaines structures dont l'enseignement est delicat, les

structures projectives et non euclidiennes notamment meri- tent qu'on etudie les representations qu'il faut leur associer pour en faciliter l'apprentissage.

Mais pour l'instant, il nous semble que dans l'enseigne- ment secondaire, chaque structure geometrique doit btre accompagnee de dessins et que les rapports entre les dessins et la structure doivent Ctre clairs pour l'enseignant mCme s'ils ne sont pas dans une premiere approche eKplicites aux eleves.

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condusion de 2 D'autres fonctions du dessin de l'espace et du dessin en ge- neral que nous n'avons pas analysees ici meritent d'Ctre etudiees. Par exemple, la ou les fonctions du dessin a main levee. ConnaEtre la plupart de ces fonctions et analyser leurs relations font partie des aches qui permettront dktablir le statut du dessin.

3. Cespace et la fonnation scientifique La geometrie semble Ctre la discipline apportant la meilleure formation scientifique aux eleves ayant entre 11 et 16 ans et la geometrie de l'espace est la composante prioritaire de cette discipline. Sept arguments justifient ces affirmations.

D&na&esdepen&e La geometrie utilise les demarches de pensee les plus riches et les plus fondamentales parmi celles qui sont necessaires a la formation de l'esprit scientifique. Les contradictions y jouent un grand r81e. L'empirisme et les demarches experi- mentales y tiennent une place importante. Les demarches de pensee y prennent aussi la forme de verification, de contre-exemple, de atonnement.

Figure 24

/A I I

Figure 25

C

/

Th0ughtpnn;esSes Geometry involves the richest and the most fundamental thought processes among those necessary for the training of the scientific mind. Here contradictions play there a large role. The empiricism and the experimental processes have an important place in it. The thought processes become sometimes a verification, sometimes a counterexample, and sometimes a trial-and-error.

Matevial The pupil must use his hands. Work with material and praG tical realizations justify and allow the assimilation of geom- etry. The most important activities concern the analysis of objects, the realization of models, the reading and drawing of drawings. Space geometry can be associated to many fields: surveying, carpentry, metrology, etc.

At the students' letad Thanks to the topics and the problems that we can propose, geometry is quite well adaptable to the pupils, particularly to the college students. We noticed how much the students were active and relaxed worlung in the classroom with small problems similar to the following two problems:

Cut a 15 cm radus disk. Draw an angle of 120" as shown in the Figure 24. Take away the 120" part of the h k . Make a clown cone hat of the rest. What's the height of this cone? What's the radius of the cone's base circle? Given a lOcm edged wooden cube, we Cut it in two parts with a saw. The saw passes through three points A, B, and C as indicated in Figure 25 which is a reduced drawing of the cube. Point A is at 3 cm from the verta. Point B is at 8 cm from the same vertex. Point C is at 8 cm from the same verta. We apply one of the two obtained surfaces over an inking-pad and we print it on a paper: m a w exactly the outline of the obtained ink stain. The equipment used in space geometry, as drawing

instruments and models, is particularly well adapted for pupils from 11 to 16 years old. The concepts explicitly or implicitly introduced in the learning, as for instance in the problems before, those of cone, unfoldment (plane develop ment), dividing into sections or those linked to the theorem of Pythagoras, come just in time in the students' school life and are indispensable for the first steps in scientific training.

MatMeI L'eleve doit se servir de ses mains. Un travail materiel et des realisations pratiques justifient et permettent dassimiler la geometrie. Les activites les plus importantes concernent l'analyse dobjets, la realisation de maquettes, la lecture et le trace de dessins. La geometrie de l'espace peut &tre associee a de nombreux travaux : mesure de terrains, travaux de me- nuiserie, de metrologie.. . Alaport&des&m Grke aux sujets qu'on peut proposer et aux problemes qu'on peut traiter, la geometrie est bien adaptee aux eleves. Elle peut en particulier &tre mise a la portee des eleves de colleges. Nous avons pu constater a quel point les eleves etaient actifs et detendus en cherchant en classe des petits problemes semblables aux deux problemes suivants:

Dtkoupe un &que de 15 em de rayon. nace un angle de 120" comme le montre la figure 24. Enleve le morceau du duque qui se trouve dans cet angle. Fabrique avec le reste un chapeau de clown ayant le forme dun cdne. Quelle est la hau- teur de ce cdne? Quel est le rayon du cercle de base de ce cdne? On a un cube en bois de 10 cm de cdte. On lepartage en deux morceaux d'un coup de scie. Le mup de scie passe par les h-ois points A, B et C indiqut% sur la figure 25 qui est un desszn en r&i!mtion du cube. Le point A est a 3 cm dun sommet. Le point B est a 8 cm du m h sommet. Le point C est a 8 cm du m h e sommet. On applique une des deux surfaces obtenm sur un tampon encreur et on Pimprime sur une faille. On de- mande de desszner asactement le contour ale la tache obtenue. Le materiel utilise en geometrie de l'espace, instruments

de dessin et maquettes, est particulierement bien adapte aux eleves ayant entre 11 et 16 ans. Les concepts introduits de faGon explicite ou implicite dans l'apprentissage, wmme par exemple dans les problemes precedents de the, de develop pement, de sectionnement ou ceux lies au theoreme de Fy- thagore, amvent au bon moment de la scolarite et sont indis- pensables aux premiers pas en formation scientifique.

DWpline de stmice La geornetrie de l'espace est une discipline utilisee dans de tres nombreux domaines autres que les mathematiques. Elle joue un r6le important en tant que dscipline de service. Comment faire de la physique sans les aires, les volumes, les vecteurs.. .? Comment faire de la chimie sans les polyedres,

Service dMpline Space geometry is a discipline used in many fields other than mathematics. It has an important function as a serve discipline. How to do physics without areas, volumes, vec- tors.. .? How to do chemistry without polyhedrons, iso- metries.. .? Geography without spheres, coordinates, level lines.. .? Industrial design without orthogonality, projec- tion.. .? Statistics without the mass distniution notion, centre of gravity.. .? Robotics without translations, rotations.. .? Etc.

Reasoning Due to the importance of reasoning and the organization of rigour, space geometry prepares the student to the elabora- tion of a rational conceptualization. Many themes are good trainers from this point of view. For example, the richness of the cube or regular tetrahedron sectionings, the regular poly- hedrons inventory or the space isometries classification.

FOlmalism Formalism is indispensable for scientific endeavours. In order to construct in space geometry, a formalism is set up in a progressive and argued way. This setting up constitutes an excellent initiation to the scientific enterprise. The rich- ness and variety of the geometric formalization is particu- larly remarkable. There is a language whose vocabulary ex- tends from very current words, for example lined up points, to special words as linear form. There are symbols very well known as 4 m3 and others more sophisticated as matrices like:

1 -2 -5/6

2 4 5 or like x x (BAG). There are many varied techniques: for example, when we use trigonometry, vector calculus, matrix calculus or when we study graphs and surfaces.

&nceptualhtion Space geometry gives life to a very large number of con- cepts. We may even say that conceptualization is indissoci- able from space geometry. We have the concepts associated to the objects, cube, cylinder, cone.. . Then, concepts whose degree of abstraction can be very variable as we meet dis- tance and angle concepts, those of centre of gravity, vector and moment, as those of transformation, tensor, group, in- variant, structure.

0 3 2 1

- -

Topologle S~IUC~UN~CI. 18 * Structmnl Topology 1892

les isometries.. .? De la geographie sans les spheres, les coor- ~ ~~

donnees, les lignes de niveau.. .? Du dessin industriel sans l’orthogonalite, la projection.. .? Des statistiques sans la no- tion de repartition de masse, de barycentre.. .? De la robo- tique sans les translations, les rotations.. .? Etc.

Rahnnement Par l’importance qu’ont le raisonnement et l’organisation de la rigueur, la geometrie de l’espace prepare l’eleve a l‘elabo- ration d’une conceptualisation rationnelle. De nambreux themes sont tres formateurs dans cette optique. Soulignons, par exemple, la richesse de l’etude des sections du cube ou du tetraedre regulier, l’inventaire des polyedres reguliers ou la classification des isometries de l’espace.

hnnalisme Le formalisme est indispensable a la vie scientifique. Pour construire la geometrie de l’espace, un formalisme est mis en place de faGon progressive et argumentee. Cette mise en place constitue un excellent apprentissage a la vie scientifi- que. La richesse et la variete de la formalisation geometrique est particulierement remarquable. I1 y a un langage avec son vocabulaire qui va de mots tres courants, points alignes par exemple, a des mots plus speciaux comme forme lineaire. I1 y a des symboles bien connus, 4 m3 par exemple et dautres plus sophistiques comme

1 -2 -516 0 3 2 2 4 5 - -

ou comme A’x (BAG). I1 y a des techniques nombreuses et variees: par exemple, lorsqu’on utilise la trigonometrie, le calcul vectoriel, le calcul matriciel ou lorsqu’on etudie les courbes et les surfaces.

Conceptualisation La geometrie de l’espace a donne naissance a u n ’grand nombre de concepts. On peut m&me dire que la conceptua- lisation est indissociable de la geometrie de l’espace. Nous avons les concepts associes aux objets, cube cylindre, c8ne.. . h i s des concepts dont le degre dabstraction peut &tre tres variable puisque nous trouvons les concepts de distance et d’angle, ceux de barycentre, de vecteur et de moment et aussi ceux de transformation, de tenseur, de groupe, d’inva- riant, de structure.

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By its contriiution to the control of the material world in which we live, and to scientific training, space geometry is an excellent discipline in secondary level education.

Bibliography / Bibliimphie

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L a geometrie de l'espace par sa contriiution a la maitrise du monde materiel dans lequel nous vivons et son apport a une formation scientifique reste, a notre avis, la discipline par excellence de l'enseignement secondaire.

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