BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

KHƢƠNG THỊ HOA

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ

CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2016

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi

trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và

truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự

quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong

quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô công tác tại phòng Sau Đại Học,

Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã

trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên

môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong

gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong

suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Khương Thị Hoa

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân

cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan.

Tôi cũng xin cam đoan rằng các sổ liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận

văn là trung thực, và không trùng với các luận văn khác.

Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016

Tác giả

Khương Thị Hoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1

2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2

4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................ 2

5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2

6. Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài) ............................. 2

Chương 1. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ............................... 3

1.1.Dao động tử .............................................................................................. 3

1.1.1. Dao động tử Boson ..................................................................... 3

1.1.2. Dao động tử Fermion ................................................................. 6

1.2. Phổ năng lượng của dao động tử ............................................................ 8

1.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson ..................................... 8

1.2.2. Phổ năng lượng của dao động tử Fermion ............................... 11

Chương 2. SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNGCỦA DAO ĐỘNG

BIẾN DẠNG -q ............................................................................................... 14

2.1. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson 14

2.1.1. Dao động tử biến dạng - q Boson ............................................. 14

2.1.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q

Boson ................................................................................................. 16

2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Fermion 20

2.2.1. Dao động tử biến dạng - q Fermion .......................................... 20

2.2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q

Fermion………………………………………………………………………...21

Chương 3. SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA CÁC DAO

ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG (q, R) ...................................................... 25

3.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R ........................ 26

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng – R ............................................. 26

3.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R ............. 27

3.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)29

3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng (q, R) ......................................... 28

3.2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến

dạng (q, R) ......................................................................................... 32

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật

lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác.

Để giải thích một số hiện tượng và hiệu ứng mới được phát hiện vào

những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học cổ điển không thể giải thích được,

các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, Albert Einstein và Niels

Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều

thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một số loại hệ vi mô.

Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai

đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ điển sang vật lý học lượng tử

6 , 11 , 12 , 13 .

Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong vật

lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực

tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián

đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ

liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các

giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng

phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của

hạt vi mô không thể có. Với dao động tử điều hoà phổ năng lượng chỉ gồm

các giá trị gián đoạn, các mức năng lượng cách đều nhau, với các dao động tử

biến dạng các mức năng lượng không cách đều nhau nữa, nghĩa là phổ năng

lượng đã bị dịch chuyển đi. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động

tử biến dạng vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học. Với lý do

đó tôi chọn đề tài nghiên cứu: “SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ CỦA CÁC DAO

2

ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG”.

2. Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử

biến dạng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dao động tử biến dạng

- Tìm hiểu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng.

4. Đối tƣợng nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động biến dạng

- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hoà

- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử biến dạng và sự dịch

chuyển phổ của các dao động biến dạng.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết.

6. Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài)

Sử dụng phương pháp lý thuyết biến dạng để tìm phổ năng lượng của

dao động tử biến dạng, kết quả cho thấy phổ năng lượng của dao động tử biến

dạng là gián đoạn và khoảng cách giữa các vạch phổ là không bằng nhau.

Điều này gợi ý rằng có thể sử dụng lý thuyết biến dạng để nghiên cứu các hệ

vật lý sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn dùng phương pháp lý thuyết thông

thường tương ứng.

3

Chƣơng 1

PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản

về một số dao động tử lượng tử và phổ năng lượng của chúng, bao gồm dao

động tử Boson và dao động tử Fermion. Những kết quả nghiên cứu này là cơ

sở có thể mở rộng để xác định phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng.

1.1.Dao động tử 1 , 2

1.1.1. Dao động tử Boson

Dao động tử Boson là dao động của các hạt có spin nguyên.

Với các toán tử hủy, sinh ˆ ˆ,a a dao động tử Boson đơn mode tuân hệ thức

giao hoán sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1a a aa a a

(1.1)

Toán tử số dao động N có dạng:

ˆ ˆ ˆN a a (1.2)

ˆ ˆ ˆ1N aa

Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,N a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,a a a a a a

ˆ ˆ ˆ,a a a

a (1.3)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,N a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,a a a a a a

a (1.4)

4

Không gian Fock là không gian mà véc tơ cơ sở của nó là những trạng

thái với số hạt xác định.

Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 , được xác định là

trạng thái thỏa mãn điều kiện:

ˆ 0 0a

(1.5)

Gọi n là các véctơ cơ sở trong không gian Fock, mà là các vector riêng

của toán tử số dao động N có dạng:

ˆ( )0

!

nan

n

n=0,1 (1.6)

trong đó, toán tử số N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

N n n n

(1.7)

Thật vậy, chúng ta có:

ˆ ˆN n a a n

1ˆ ˆ ˆ 0

!

n

a a an

1

ˆ ˆ ˆ 0!

n

a a an

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0!

n n

a a a a a an

1ˆ ˆ ˆ, 0

!

n

a a an

1ˆ 0

!

n

n an

11

ˆ ˆ 0!

n

a n an

5

ˆ 0

!

nna

n

n n

Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:

1

ˆ ˆ ˆ,n n

a a n a

(1.8)

Để chứng minh (1.8) ta sử dụng phương pháp quy nạp sau:

Với n=1:

ˆ ˆ, 1a a

Với n=2:

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,a a a a a a

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa a a aa a aa a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆaa a a a a aa a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,a a a a a a

ˆ2a

Nhận thấy (1.8) đúng với n=1,2.

Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.8) đúng với n=k, tức là:

1

ˆ ˆ ˆ,k k

a a k a

Ta hãy chứng minh biểu thức (1.8) đúng với n=k+1:

1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,k k k

a a a a a a

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k k k

a a a a a a a a a a

6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k k

aa a a a a a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,k k

a a a a a a

1

ˆ ˆ ˆk k

a a k a

1

ˆ ˆ ˆk k

a ka a

ˆ1k

k a

Vậy phương trình (1.8) đúng với n=k+1

Suy ra (1.8) đúng với mọi n.

Tác dụng của các toán tử ˆ ˆ,a a lên các véc tơ trạng thái n là:

ˆ 1

ˆ 1 1

a n n n

a n n n

(1.9)

1.1.2. Dao động tử Fermion 2

Dao động tử Fermion là dao động của các hạt có spin bán nguyên.

Dao động tử Fermion đơn mode tuân theo hệ thức phản giao hoán sau:

2

2

ˆ ˆ, 1

ˆ ˆ 0

b b

b b

(1.10)

Toán tử số dao động N có dạng:

ˆ ˆN b b (1.11)

ˆ ˆ1 N bb

Trong đó:

b : là toán tử hủy dao động tử

b: là toán tử sinh dao động tử

7

Ta có, toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ ˆ ˆˆ , ,N b b b b

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,b b b b b b

ˆ ˆ ˆ,b b b

b (1.12)

ˆ ˆ ˆ ˆˆ , ,N b b b b

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,b b b b b b

b (1.13)

Đại số (1.12) và (1.13) có thể thực hiện trong không gian Fock với các

véc tơ cơ sở là các véc tơ riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:

ˆ0 , 0,1

!

n

bn n

n

ˆ 0

n

b

(1.14)

(n=0,1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli)

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động N:

N n n n

n=0,1

Khi ấy tác dụng của toán tử ˆ ˆ,b b lên trạng thái n :

ˆ 0 0

ˆ 1 0

ˆ 0 1

ˆ 1 0

b

b

b

b

(1.15)

8

1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử 8 , 9 , 10

1.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson có dạng:

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ2 2

H p m xm

(1.16)

Với ˆ ˆ,p x lần lượt là toán tử xung lượng và toán tử tọa độ

m là khối lượng của dao động tử

là tần số dao động

là hằng số Plank

Các toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p có thể biểu diễn qua toán

tử sinh, hủy ˆ ˆ,a a

như sau:

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

x a am

mp i a a

(1.17)

Hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 2

mp x i a a a a

m

ˆ ˆ ˆ ˆ,2

ia a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ia a a a a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆi aa a a

ˆ ˆ,i a a

i

9

Từ biểu thức (1.16):

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ2 2

H p m xm

Thay ˆ ˆ,p x từ (1.17) vào biểu thức trên, chúng ta viết lại:

2 2

21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

mH i a a m a a

m m

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ4 4

a a a a

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ4

a a a a

2 2

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4

a a a aa a a aa a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2 24

a a aa

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ22

a a aa a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2 ,2

a a a a

Thế (1.1) và (1.2) vào biểu thức trên chúng ta được:

2 1 2 1

2 2H N N

(1.18)

Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm

riêng và trị riêng của toán tử H:

ˆnH n E n

(1.19)

với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.18):

Thayvào (1.19),chúng ta được:

10

2 1

2nN n E n

1N+

2nn E n

1n+

2nn E n

1n+

2nE

n=0,1,2,… (1.20)

- Trường hợp n = 0, năng lượng của dao động tử:

02

E

(1.21)

Giá trị năng lượng dao động tử được xác định bởi (1.21) tương ứng với

năng lượng dao động tử ở trạng thái nền (hay trạng thái chân không)

- Trường hợp n =1, năng lượng của dao động tử:

1

3

2E

(1.22)

- Trường hợp n = 2, năng lượng của dao động tử:

2

5

2E

(1.23)

- Trường hợp n = 3 , năng lượng của dao động tử:

3

7

2E

(1.24)

………………………..

Hiệu hai mức năng lượng:

1n n nE E E

(1.25)

11

Từ kết quả tính toán ở hệ thức (1.20) và (1.25), chúng ta thấy rằng phổ

năng lượng của dao động tử Boson là gián đoạn, các vạch phổ phân bố cách

đều nhau,khoảng cách giữa hai vạch phổ kế tiếp bằng

1.2.2. Phổ năng lượng của dao động tử Fermion

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Fermion có dạng:

2 2 21 1ˆ ˆ ˆw2 2

H p m xm

(1.26)

Với ˆ ˆ,p x lần lượt là toán tử xung lượng và toán tử tọa độ

m là khối lượng của dao động tử

w là tần số dao động

là hằng số Plank

Các toán tử tọa độ và xung lượng được biểu diễn qua các toán tử sinh,

hủy ˆ ˆ,b b như sau:

w ˆ ˆˆ2

ˆ ˆˆ2 w

mp i b b

x b bm

(1.27)

Chúng ta xác định hệ thức giao hoán:

w ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,2 2 w

mp x i b b b b

m

ˆ ˆ ˆ ˆ,2

ib b b b

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ib b b b b b b b

ˆ ˆ ˆ ˆi bb b b

i

12

Thay ˆ ˆ,p x từ (1.27) vào biểu thức (1.26), chúng ta được:

2 2

21 w 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ w2 2 2 2 w

mH i b b m b b

m m

2 2w wˆ ˆ ˆ ˆ

4 4b b b b

2w ˆ ˆ ˆ ˆ

4b b b b

2 2 2 2w ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

4b b b bb b b bb b b b

w ˆ ˆ ˆ ˆ2

bb b b

w ˆ ˆ,2

b b

Từ (1.10) suy ra:

w

2H (1.28)

Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm

riêng và trị riêng của toán tử H:

ˆnH n E n (1.29)

với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.28)

Thay vào (1.29), chúng ta được:

w

2nn E n

w

2nE (1.30)

Kết quả tính toán ở công thức (1.30) phù hợp với nguyên lý loại trừ Pauli:

“Không tồn tại hai Fermion có cùng các trạng thái lượng tử”. Mỗi dao động tử

Fermon ở trạng thái xác định có năng lượng w

2nE .

13

Kết luận chƣơng 1

Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách logic, đầy đủ về hình

thức luận của các dao động tử Boson, dao động tử Fermion. Trình bày được

các hệ thức giao hoán của các dao động tử tương ứng, xác định được biểu

thức tính năng lượng và phổ năng lượng của chúng.

Có thể mở rộng những kết quả trên cho trường hợp của dao động biến

dạng để xác định phổ năng lượng và sự dịch chuyển phổ của các dao động tử

biến dạng trong các chương tiếp theo.

14

Chƣơng 2

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƢỢNG

CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG -q

2.1. Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng - q Boson

2.1.1. Dao động tử biến dạng - q Boson 7

Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử

hủy và toán tử sinh dao động tử ˆ ˆ,a a

theo hệ thức giao hoán sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ Naa qa a q (2.1)

Trong đó: q là thông số biến dạng.

N là toán tử số dao động tử

Toán tử số dao động biến dạng N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị

riêng:

q qN n n n

(2.2)

Và N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ ˆ,

ˆ ˆ ˆ,

N a a

N a a

(2.3)

Các véc tơ cơ sở của không gian Fock mà là véc tơ riêng của toán tử số

dao động biến dạng có dạng:

ˆn 0

!

n

q

q

a

n

(2.4)

Ở đây ta sử dụng kí hiệu:

1

! . 1 . 2 ...... 1

n n

q

q q q q q

q qn

q q

n n n n

(2.5)

15

Trong đó 0 là trạng thái nền (trạng thái chân không),

n là trạng thái số hạt n.

Ta dễ dàng chứng minh được:

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

q qq

q qq

a a n n n

aa n n n

(2.6)

Thật vậy.Ta tác dụng ˆ ˆ ˆ ˆ,a a aa lên véc tơ trạng thái riêng q

n như sau:

ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0

!

n

q

q

aa a n a a

n

Ta có:

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0n n

Na a qa a q a

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ 0n n

Nq a qa a a

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n n

N Nq a qa qa a q a

1 1 2 2

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n n n

N Nq a q a q a a a

……………………………….…………

1

2 2 2 ˆ ˆ ˆ... 0n n

N N N n nq q q a q a a

Dẫn tới:

1

1 3 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 ..... 0n n n

N N N n na a a q q q a q a a

Suy ra:

16

11 3 2 1 ˆ ˆ ˆ...

ˆ ˆ 0!

n nN N N n n

q

q

q q q a q a aa a n

n

1 3 1...n n n

qq q q n

1

n n

q

q qn

q q

qq

n n

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

! !

n n

N

q

q q

a aaa n aa qa a q

n n

ˆ ˆˆ ˆ 0 0

! !

n n

N

q q

a aqa a q

n n

ˆ ˆ N

q qqa a n q n

1

n nn

q q

q qq n q n

q q

1 1 1 1

1

n n n n

q

q q q qn

q q

1 1

1

n n

q

q qn

q q

1qq

n n

Vậy ˆ ˆq qq

a a n n n

ˆ ˆ 1q qq

aa n n n

2.1.2. Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson

Hamiltonian của dao động tử biến dạng - q Boson được biểu diễn qua

toán tử tọa độ x và toán tử xung lượng p có dạng:

17

22 2ˆ 1ˆ ˆ

2 2

pH m x

m

(2.7)

Ta định nghĩa toán tử hủy và sinh dao động tử ˆ ˆ,a a

của dao động biến dạng q:

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

m ia x p

m

m ia x p

m

(2.8)

Từ đó, các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các

toán tử hủy và sinh dao động tử ˆ ˆ,a a :

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

x a am

mp i a a

(2.9)

Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ và xung lượng:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

2

ix p a a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

iaa a a a a aa

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2

ia a a a

ˆ ˆ,i a a

ˆ ˆ ˆ ˆi aa a a

1q q

i N N

18

Từ (2.9) chúng ta có:

2

2ˆ ˆ ˆ2

mp i a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2

ma a a a

2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

ma aa a a a

2

2ˆ ˆ ˆ2

x a am

ˆ ˆ ˆ ˆ2

a a a am

2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

a aa a a am

(2.7) được viết thành

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ2 2

H p m xm

2 2

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

mH a aa a a a m a aa a a a

m m

2 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

4 4a aa a a a a aa a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2 24

aa a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2

aa a a

Phổ năng lượng của dao động biến dạng q được cho bởi:

19

ˆnq q

H n E n

ˆ ˆ ˆ ˆ

2nq q

aa a a n E n

1

2nq q

N N n E n

1

2nq qq q

n n n E n

1

2n q q

E n n

(2.10)

Nếu sử dụng ký hiệu:

1

1 1

11

n n

q

n n

q

q qn

q q

q qn

q q

Thay vào (2.10) ta có thể viết lại biểu thức của nE như sau:

1 1

1 12

n n n n

n

q q q qE

q q q q

2 2 1 1

1 1 12

n n n n

n

q q q qE

q q q q

Xét hiệu:

1n n nE E E

2 2

12

n n n nq q q q

q q

Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson cũng bị gián

đoạn, mức thấp nhất (với n=0) được gọi là năng lượng “không” vẫn bằng

02

,những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị dịch

20

chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường,

và khi 0<q<1 thì n càng lớn các mức càng sít nhau hơn.

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về

phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

2 12

nE n

n=0,1,2…

2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng - q Fermion

2.2.1. Dao động tử biến dạng - q Fermion 7

Các toán tử sinh dao động tử b

và hủy dao động tử b của dao động tử

Fermion biến dạng - q tuân theo các hệ thức giao hoán sau:

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

Nbb qb b q

b b

(2.11)

Trong phương trình (2.11) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử

điều hòa (1.10).

Toán tử số dao động tử biến dạng - q Fermion N thỏa mãn các hệ thức

giao hoán sau:

ˆ ˆ,

ˆ ˆ,

N b b

N b b

(2.12)

Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng như sau:

q qN n n n

(2.13)

Với các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N trong không gian

Fock được xác định theo công thức:

ˆ

0!

n

q

q

bn

n

(2.14)

21

Trong đó sử dụng ký hiệu:

1

1nn n

q

q qn

q q

(2.15)

! . 1 . 2 ... 1q q q q

n n n n

(2.16)

Khi q = 1 thì q

n n .

Ở đây ta có:

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

q

q

b b N

bb N

(2.17)

Ở đây nguyên lý loại trừ Pauli được thừa nhận từ điều kiện:

2

2ˆ ˆ 0b b

(2.18)

Khi q = 1 thì ta có dao động tử Fermion thông thường (1.10).

ˆ ˆ ˆ ˆ 1bb b b (2.19)

2.2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q

Fermion

Hamiltonian của hệ dao động tử biến dạng - q Fermion có dạng:

22 2ˆ 1ˆ ˆw

2 2

pH m x

m

(2.20)

Toán tử hủy, sinh dao động tử được biểu diễn qua các toán tử tọa độ và

xung lượng:

wˆ ˆ ˆ2 w

wˆ ˆ ˆ2 w

m ib x p

m

m ib x p

m

(2.21)

Từ đó, các toán tử tọa độ và xung lượng tương ứng có thể biểu diễn

ngược lại như sau:

22

ˆ ˆˆ2 w

w ˆ ˆˆ2

x b bm

mp i b b

(2.22)

Từ (2.22), ta có:

2

2 w ˆ ˆˆ2

mp i b b

w ˆ ˆ ˆ ˆ2

mb b b b

2

2w ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

mb bb b b b

2

2 ˆ ˆˆ2mw

x b b

ˆ ˆ ˆ ˆ2 w

b b b bm

2

2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2

b bb b b bm

(2.20) được viết thành

2 2 21 1ˆ ˆ ˆw2 2

H p m xm

2 2

2 2 21 w 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ w2 2 2 2 w

mH b bb b b b m b bb b b b

m m

2 2

2 2w wˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4

b bb b b b b bb b b b

w ˆ ˆ ˆ ˆ2 24

bb b b

23

w ˆ ˆ ˆ ˆ2

bb b b

Phổ năng lượng của dao động biến dạng - q Fermion được cho bởi:

ˆnq q

H n E n

w ˆ ˆ ˆ ˆ

2nq q

bb b b n E n

w

12

nq qN N n E n

w

12

nq q q qn n n E n

w

12

n q qE n n (2.23)

Nếu sử dụng ký hiệu:

1

11 1

1

1

11

nn n

q

nn n

q

q qn

q q

q qn

q q

Thay vào (2.23) ta có thể viết lại biểu thức của nE như sau:

11 1

1 1

1 1w

2

n nn n n n

n

q q q qE

q q q q

2 12 2 1 1

1 1 1

1 1w

2

n nn n n n

n

q q q qE

q q q q

24

Xét hiệu:

1n n nE E E

22 2

1

1 1w

2

n nn n n nq q q q

q q

Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q Fermion cũng bị

gián đoạn, mức thấp nhất (với n=0) được gọi là năng lượng “không” vẫn bằng

w0

2 , những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị

dịch chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông

thường, và khi 0<q<1 thì n càng lớn các mức càng sít nhau hơn.

Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về

phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

w

2 12

nE n n=0,1,2…

25

Kết luận chƣơng 2

Trong chương 2 chúng ta đã khảo sát hệ các dao động tử Boson và

Fermion biến dạng q: Đưa ra hệ thức giao hoán cơ bản của các dao động tử

biến dạng, xây dựng toán tử năng lượng và giải phương trình hàm riêng, trị

riêng của toán tử năng lượng để tìm phổ năng lượng của các dao động tử

Boson và Fermion biến dạng q, so sánh kết quả với các dao động tử điều hòa

Boson và Fermion thông thường.

Từ đó ta có kết luận: Phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng – q

là gián đoạn, các mức năng lượng không cách đều nhau tức là các vạch phổ

đã bị dịch chuyển đi so với các dao động tử điều hòa thông thường.

26

Chƣơng3

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƢỢNG

CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG (q, R)

Dao động biến dạng là sự mở rộng của dao động thông thường. Khi thông

số biến dạng tiến tới 1 thì các kết quả của dao động biến dạng trở về các kết

quả của dao động thông thường. Dao động tử Boson biến dạng R (mà R là toán

tử phản xạ) tỏ ra có hiệu quả khi đưa vào nghiên cứu các hạt có spin cao.

Dao động tử Boson biến dạng q là dao động biến dạng có thông số biến

dạng q để mô tả các hạt có spin nguyên.

Dao động tử Boson biến dạng (q, R) là tổ hợp của dao động biến dạng q

và biến dạng R. Ở chương này chúng tôi nghiên cứu dao động biến dạng R,

biến dạng (q, R) và tìm phổ năng lượng của chúng, đồng thời nghiên cứu sự

dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R).

3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử Boson biến dạng R 3

3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng R

Dao động tử Boson biến dạng R được đề xuất dưới hệ thức sau:

ˆ ˆ, 1a a R (3.1)

Trong đó : thông số biến dạng

R : toán tử Hermit thỏa mãn điều kiện:

2 1

R R

R

(3.2)

Bên cạnh đó R cũng thỏa mãn:

ˆ, 0R a tức là R phản giao hoán với toán tử hủy dao động tử a .

Xét không gian Fock với cơ sở là các véc tơ trạng thái riêng đã chuẩn

hóa của toán tử số dao động tử N

27

ˆ

!

n

R

an

n

(3.3)

Vớ i R

n n khi 2n k k Z

Rn n khi 2 1n k k Z

! 1 .2 ...

R R R Rn n

Ta có:

1R n n (3.4)

Từ (3.1) và (3.4) ta dễ dàng chứng minh được:

1 11 1

ˆ ˆ ˆ ˆ,2

nn n n

a a n a a R

(3.5)

Và:

1 1ˆ ˆ

2

n

a a n n n

(3.6)

Trong không gian Fock toán tử ˆ ˆa a và R có thể viết:

1

1 1ˆ ˆ

2

1 1ˆ ˆ 1

2

N

N

N

R

a a N

aa N

3.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng R

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson biến dạng R được biểu diễn

qua toán tử tọa độ và xung lượng có dạng:

28

2 2 21 1ˆ ˆ ˆ2 2

H p m xm

(3.7)

Các toán tử tọa độ và toán tử xung lượng có thể biểu diễn qua toán tử

sinh, hủy ˆ ˆ,a a

như sau:

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

x a am

mp i a a

(3.8)

Hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,x p i a a

1i R

Thay ˆ ˆ,x p từ (3.8) vào biểu thức (3.7), chúng ta viết lại:

2 2

21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

mH i a a m a a

m m

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ4 4

a a a a

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ4

a a a a

2 2

2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4

a a a aa a a aa a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2 24

a a aa

ˆ ˆ ˆ ˆ2

a a aa

1 1 1 11

2 2 2

N N

N N

2 12

N

(3.9)

Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng R:

29

ˆnH n E n (3.10)

2 12

nN n E n

2 12

nn n E n

2 12

nE n

(3.11)

Đặc biệt khi 0 thì phổ năng lượng của dao động tử biến dạng R sẽ

trở về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều.

Khi 1 thì 1nE n suy ra 0 12

E

.

3.2 Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)

3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng (q, R)

Trong dao động tử Boson biến dạng (q, R), đại số Heiseinberg được tổng

quát từ đại số biến dạng q và đại số biến dạng R.

Đại số biến dạng (q, R) được định nghĩa thông qua các hệ thức:

ˆ ˆ ˆ ˆ Naa qa a q R (3.12)

2 1R (3.13)

ˆ ˆ 0Ra a R (3.14)

ˆ ˆ 0Ra aR (3.15)

Trong đó: ˆ ˆ,a a là các toán tử sinh, hủy

R là toán tử phản xạ

,q là các thông số biến dạng thực

Toán tử phản xạ R và toán tử số hạt N thỏa mãn các hệ thức sau:

ˆ ˆ,

ˆ ˆ,

R R

N a a

N a a

(3.16)

Chúng ta xây dựng không gian Fock có cơ sở là các véc tơ riêng của toán

30

tử số dao động N được xác định như sau:

ˆ 0n

nn C a

(3.17)

Với nC là hệ số chuẩn hóa,

0 là trạng thái chân không.

Trạng thái 0 thỏa mãn các điều kiện sau:

ˆ 0 0

ˆ 0 0

0 0 1

0 0

a

N

R r

(3.18)

Tác dụng toán tử ˆ ˆa a lên các trạng thái n chúng ta thu đươc:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0n

na a n C a a a

qn n

0,1,2,...n Xét với r=1 (3.19)

Với

1

1

nn

q q

qn n

q

(3.20)

Và 1

n n

q

q qn

q q

Ta chứng minh được các hệ thức sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0n n

a a a a

1 11

ˆ ˆ 01

nnn n

q

qn a a R

q

(3.21)

Với 1, 1r không gian biểu diễn đaị số biến dạng (q, R) là vô hạn

31

và được xây dựng từ các véc tơ đã chuẩn hóa:

ˆ0

!

n

q

an

n

(3.22)

,n nn n (3.23)

Tác dụng toán tử số hạt N lên véc tơ trạng thái n chúng ta được:

ˆ0

!

n

q

aN n N

n

1

ˆ ˆ0

!

n

q

a aN

n

11ˆ ˆ ˆ 0

!

n

q

a a N an

21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0

!

n n

q

a a a a N an

2 21ˆ ˆ ˆ2 0 0

!

n n

q

a a N an

....................................

1ˆ 0

!

n

q

n a n nn

Như vậy chúng ta viết được: N n n n

(3.24)

Trong không gian Fock với cơ sở là các véc tơ n , các toán tử được viết

như sau:

32

1

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

N

q

q

R

a a N

aa N

(3.25)

3.2.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)

4 , 5

Trước hết, chúng ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp dao

động tử Boson biến dạng (q, R) một chiều, sau đó tổng quát hóa cho trường

hợp N chiều.

Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson biến dạng (q, R) được biểu

diễn như sau:

22 21ˆ ˆ ˆ

2 2q q

mH p x

m

(3.26)

Biểu diễn toán tử tọa độ và xung lượng ˆ ˆ,x p thông qua toán tử sinh, hủy

dao động ˆ ˆ,a a như sau:

ˆ ˆ ˆ2

ˆ ˆ ˆ2

x a am

mp i a a

(3.27)

Trong đó ,q là thông số biến dạng thực.

Thay toán tử tọa độ và xung lượng từ (3,27) vào biểu thức của toán tử

năng lượng, chúng ta thu được:

2 2

21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 2

q

mH i a a m a a

m m

2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4

qH a a a a

33

2 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

4 4a aa a a a a aa a a a

ˆ ˆ ˆ ˆ2

aa a a

ˆ ˆ,2

a a

Trong đó lưu ý rằng:

ˆ ˆ

ˆ ˆ 1

q

q

a a N

aa N

Như vậy, trong trường hợp một chiều thì toán tử năng lượng của dao

động tử Boson biến dạng (q, R) được biểu diễn qua hệ thức phản giao hoán:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,

2 2qH a a aa a a

(3.28)

Phổ năng lượng của toán tử Hamiltonian được xác định từ phương trình

hàm riêng, trị riêng:

ˆq qH n E n n

(3.29)

ˆ ˆ ˆ ˆ2

qa a aa n E n n

12

qq qN N n E n n

12

qq qn n n E n n

12

q q qE n n

Sử dụng 1

1

nn

q q

qn n

q

Trong đó: 1

n n

q

q qn

q q

34

Phổ năng lượng qE n cho trường hợp một chiều được xác định:

11 1

12 1 1

n n

q

q qE n n n

q q

1 22 1

2 1

n nq qn

q

11 2

2 2 1

n nq qn

q

(3.30)

2 11 2( 1) 1

2 2 1

n n

q

q qE n n

q

Xét hiệu:

( 1) ( )q q qE E n E n

2

12 1

n nq q

q

1

12

n nq q

Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử Bosson biến dạng (q, R) cũng bị

gián đoạn, mức thấp nhất (với n=0) được gọi là năng lượng “không” bằng

12

, những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị

dịch chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông

thường.

Trong trường hợp tới hạn:

+ Khi 1q

1

2q nE n n E

(3.31)

Tức là trở về dạng của phổ năng lượng của dao động tử Boson được xác

35

định bởi hệ thức1

2nE n

, n=0,1,2,…

+ Khi 1q

2 12 2

q nE n n E

(3.32)

Đồng thời nếu 0 thì 2 12

q nE n E n

, ứng với dao động Boson.

Tiếp theo, chúng ta tổng quát hóa cho dao động tử Boson biến dạng (q, R)

trường hợp N chiều.

Đối với trường hợp tổng quát N chiều, bằng việc tổng quát hóa kết quả

một chiều (3.20), Hamiltonian được biểu diễn như sau:

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ,2

N N

q R q

m m

H H a a

(3.33)

Trong đó m=1,2,3…N là số chiều của dao động tử Bosonbiến dạng (q, R).

Phương trình hàm riêng, trị riêng có dạng:

1 2 1 2ˆ , ,... , ,...N NH m m m E m m m

(3.34)

Hay chúng ta viết được:

1 2 1 2 1 2 1 2

1

ˆ , ,... , ,... , ,... , ,...q N N q N N

m m

H m m m E m m m E m m m m m m

Suy ra phổ năng lượng cho trường hợp tổng quát N chiều:

1 2, ,...q NE E m m m

1 2 ...q q q NE m E m E m

1 1 1

1 12

ii

N N Nmm

i qi i i

E q m q

(3.35)

Trong đó trạng thái 1 2, ,... Nm m m được xác định:

36

1 2

1 2

1 2

1 2

ˆ ˆ ˆ..., ,... 0,0,...0

! !... !

Nm m m

N

N

Nq q q

a a am m m

m m m

(3.36)

- Trường hợp dao động tử hai chiều: N=2

1 2,qE E m m

1 21 2

1 21 1 12

m mm m

q qq m m q q

Trường hợp dao động tử ba chiều: N=3

1 2 3, ,qE E m m m

31 2

1 2 312

mm m

q q qq m m m q q q

1 2 31 1 1m m m

37

Kết luận chƣơng 3

Trong chương 3 chúng ta đã khảo sát phổ năng lượng của các dao động

tử Boson biến dạng R và dao động tử Boson biến dạng (q, R). Kết quả cho

thấy phổ năng lượng của chúng là gián đoạn,khoảng cách giữa các mức năng

lượng liên tiếp không bằng nhau tức là các vạch phổ bị dịch chuyển đi so với

các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường.

Từ đó ta có nhận xét: Khi mô tả hệ vật lý như một tập hợp hệ dao động

tử biến dạng sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn khi mô tả hệ vật lý như một

tập hợp hệ dao động tử điều hòa thông thường.

38

KẾT LUẬN

Sau thời gian nghiên cứu, luận văn đã đạt được một số kết quả chính

như sau:

1. Trình bày được các hệ thức giao hoán, xác định được phổ năng lượng

của một số dao động tử lượng tử bao gồm dao động tử Boson và dao động tử

Fermion.

2. Trình bày được các hệ thức giao hoán biến dạng - q, biểu diễn được

toán tử năng lượng, giải phương trình hàm riêng trị riêng của toán tử năng

lượng để xác định phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson và

dao động tử biến dạng - q Fermion.

3. Nghiên cứu dao động tử Boson biến dạng R và dao động tử Boson

biến dạng (q, R), xác định được phổ năng lượng và sự dịch chuyển phổ của

chúng. Từ đó thấy được sự ưu việt khi nghiên cứu các dao động tử biến

dạng so với các dao động tử điều hòa thông thường.

Những kết quả trên đây có thể là thông tin tham khảo hữu ích cho nhiều

người quan tâm, nghiên cứu về các dao động tử biến dạng trong vật lý lý

thuyết. Hy vọng rằng với sự biến dạng của các dao động tử , đóng góp của các

thông số biến dạng sẽ thu được kết quả gần với thực nghiệm hơn.

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học

Quốcgia Hà Nội

2 Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân,(2003), “Cơ sở lí thuyết của vật lí

lượng tử”, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

3 Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2005), “Oscillators

repressentation of R(q) - Deformed Virasoro algebra”, Báo cáo tại Hội nghị

Vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 30, Thành phố Huế.

4 Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2003), “(q, R) - Deformed

Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”, Communications in

physics, Vol 13, No 4, page 240 - 244.

5 Nguyễn Thị Hà Loan, Vũ Thị Nga, Lê Hồng Việt, “Cơ lượng tử biến

dạng - (q, R)”, Tạp chí khoa học trường ĐHSPHN 2, số 27 (2014).

6 Nguyễn Thị Hà Loan, Đỗ Thị Thu Thuỷ, “Dao động mạng tinh thể biến

dạng - q cho chuỗi nguyên tử cùng loại”, Tạp chí khoa học trường ĐHSPHN

2, số 5 (2008).

7 Nguyễn Thị Hà Loan, Kiều Văn Thực, 2011, “Dao động tử biến dạng

tổng quát”.

8 A. Messiah (1968), Quantum Mechanics, Vol. I, IT, Wiley, NewYork.

9 A. S. Davydov (1972), Cơ học lượng tử, Đặng Quang Khang dịch, Nhà

xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

10 C. Kittel (1964), Quantum Theory of Solids, Wiley, NewYork.

11 D. Halliday, R. Resnick và J. w. Walker (1998), Cơ sở Vật lý Tập VI,

40

Quang học và Vật lý nguyên tử, Hoàng Hữu Thư, Phan Văn Thích và Phạm

Văn Thiều dịch, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

12 E. Ư. Condon and G. H. Shortley (1963), The Theory of Atomic Spectra,

Cambridge University Press, Cambridge.

13 E. V. Spolskii (1967), Vật lý nguyên tử, Phạm Duy Hiển, Phạm Quý Tư

và Nguyễn Hữu Xý dịch, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.

41

42

43